Toán học Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức cauchy34591

PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY Bất đẳng thức CauChy: a+b  ab Đẳng thức xảy a= b a+b+c b) Cho a  0, b  0, c    abc Đẳng thức xảy a= b = c a +a + +a n n c) Cho a1  0, a2  0, , an    a1.a2 an Đẳng thức xảy n a1  a2   an a) Cho a  0, b   Ví dụ: 1) Cho số dương a, b Chứng minh rằng: a) a b  2 b a b)  a  b  ab  1  4ab  2) Chứng minh: 1  a 1  b 1  c    abc  với a, b, c không âm 3) Chứng minh: a  3 b  4 c  9 abc xy yz zx    x  y  z với x, y, z > z x y a b c 5) Chứng minh: a)    với a, b, c > bc ca ab a2 b2 c2 abc b)    bc ca ab 4) Chứng minh: Bài tập: 1) Cho a, b, c > Chứnng minh: 1 1  4 a b c) a  b  c  ab  bc  ca a)  a  b   1 1   9 a b c d)  a  b  c  a  b  c  9abc b)  a  b  c     bc ca ab 4    abc f)    a b c a  2b  c 2a  b  c a  b  2c a  b  c a b c 1 g)      bc ca ab a b c 2) Cho a1 , a2 , , an số thực dương thoả a1.a2 an  Chứng minh: e) 1  a1 1  a2  1  an   2n x2 y z x y z 3) Cho x, y, z > Chứng minh      y z x y z x n 1 n 4) Chứng minh:  n! ; n  N DeThiMau.vn 5) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 Chứng minh:  x  y  y  z  z  x  xyz  729 6) Cho a  1; b  Chứng minh rằng: a b   b a   ab 7) Cho a > 0, b > 0, c > thoả a + b + c = Chứng minh: a  b  b  c  c  a  8) Chứng minh  x  y  y  z  z  x   xyz với x, y, z > 9) Cho số dương x, y, z thoả xyz=1 n số nguyên dương Chứng minh n n n 1 x  1 y  1 z        3       10) Cho x, y, z số dương Chứng minh x  y  z  xy  yz  zx 11) Cho a, b, c số thực thoả a+b+c = Chứng minh 8a  8b  8c  2a  2b  2c 12) Chứng minh với số thực a, ta có: 3a 4  34 a 8  13) Cho x, y, z  thỏa x  y  z  Chứng minh xy  yz  zx  18 xyz  xyz a b2 c2 d 1 1  5 5  3 3 3 b c d a a b c d 1 15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không Chứng minh    x y z x  y2  z2 14) Cho a, b, c, d > Chứng minh 16) Chứng minh với x, y số khơng âm tuỳ ý, ta ln có: x3  17 y  18 xy  a  5 b   c  3 d   với a  5, b  4, c  3, d  abcd 1     18) Cho a, b, c > Chứng minh a  b  c    a  b  c ab bc ca  x  y  z 19) Cho x, y, z > Chứng minh 1  1  1    y  z  x   17) Chứng minh  20) Chứng minh x2     x  ฀ x 2 x8 21) Chứng minh  x >1 x 1 22) Cho n số a1 , a2 , , an không âm thoả a1  a2   an  Chứng minh n 1 a1.a2  a1.a3   an1.an  n  ฀ + , n  23) Chứng minh n n   n     24) Cho x, y, z > x+ y + z = Chứng minh : 1  1  1    64 y  z   x  1 1 25) Cho x  0, y  0, z     Chứng minh xyz  1 x 1 y 1 z DeThiMau.vn n 1 n   1  26) Chứng minh: 1    1   ; n  ฀  n   n 1 27) Chứng minh 1.3.5  2n  1  n n n  ฀ + 28) Cho x  y  Chứng minh   x  y  29) Cho số thực x, y, z thỏa x  3; y  ; z  Chứng minh xy z   yz x   zx y   2   xyz 30) Cho f ( x)   x    x  với 4  x  Xác định x cho f(x) đạt GTLN 31) Tìm GTNN hàm số sau: với x > b) f ( x)  x  với x > x x 1 32) Cho  x  4;  y  Tìm GTLN A    y   x  y  x  a) f ( x)  x  33) Tìm GTLN biểu thức: ab c   bc a   ca b  với a  3; b  4; c  abc x y z 34) Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTLN P    (ĐHNT-1999) x 1 y 1 z 1 F 35) Cho số dương a, b, c thỏa a.b.c=1 Tìm GTNN biểu thức: bc ca ab   (ĐHNN – 2000) 2 a b  a c b c  b a c a  c 2b 36) Chứng minh bất đẳng thức sau với giả thiết a, b, c  : P a b5 c    a  b3  c b c a 5 a b c5    a  b3  c bc ca ab a3 b3 c3    (a  b  c ) a  2b b  2c c  2a a3 b3 c3    (a  b  c) 2 (b  c) (c  a ) ( a  b) a b5 c a b3 c      c a b3 c a b 4 a b c    abc bc ca ab a3 b3 c3    (a  b  c) (a  b)(b  c) (b  c)(c  a ) (c  a )(a  b) 37) Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn xyz  Chứng minh x2 y2 z2    (ĐH 2005) 1 y 1 z 1 x x4 y4 z4 38) Cho x, y, z số dương Chứng minh    ( x3  y  z ) (ĐH 2006) yz zx x y 39) Giả sử x, y hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm GTNN biểu thức 4 S  (ĐH 2002) x 4y DeThiMau.vn 40) Cho x, y, z số dương x  y  z  Chứng minh rằng: 1 2  y   z   82 (ĐH 2003) x2 y2 z2 1 41) Cho x, y, z số dương thỏa mãn    Chứng minh rằng: x y z 1    (ĐH 2005) 2x  y  z x  y  z x  y  2z x2  x x x  12   15   20  x x x 42) Chứng minh với x  ฀            (ĐH 2005)  5  4   43) Cho x, y, z số dương thỏa mãn xyz  Chứng minh rằng:  x3  y  y3  z3  z  x3    3 (ĐH 2005) xy yz zx y    44) Chứng minh với x, y  (1  x) 1   1    256 (ĐH 2005) x   y   45) Cho x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh  x   y   z  (ĐH 2005) Chứng minh rằng: a  3b  b  3c  c  3a  (ĐH 2005) 46) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn a  b  c  47) Cho x, y, z thỏa mãn 3 x  3 y  3 z  Chứng minh 9x 9y 9z 3x  y  3z (ĐH 2006)    3x  y  z y  3x  z 3z  3x  y 11   48) Tìm GTNN hàm số y  x   1   ( x  0) (ĐH 2006) 2x  x  49) Cho x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm GTNN biểu thức 3x   y (ĐH 2006)  4x y2 1 50) Ba số dương a, b, c thỏa mãn    Chứng minh rằng: (1  a )(1  b)(1  c)  (ĐH 2001) a b c x y 51) Giả sử x y hai số dương x  y  Tìm GTNN P  (ĐH 2001)  1 x 1 y A 52) Cho hai số thực x  0, y  thỏa mãn ( x  y ) xy  x  y  xy Tìm GTLN biểu thức 1 (ĐH 2006)  x3 y 53) Chứng minh  y  x  x y  y x  (ĐH 2006) A DeThiMau.vn ... 35) Cho số dương a, b, c thỏa a.b.c=1 Tìm GTNN biểu thức: bc ca ab   (ĐHNN – 2000) 2 a b  a c b c  b a c a  c 2b 36) Chứng minh bất đẳng thức sau với giả thiết a, b, c  : P a b5 c   ... Chứng minh    ( x3  y  z ) (ĐH 2006) yz zx x y 39) Giả sử x, y hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm GTNN biểu thức 4 S  (ĐH 2002) x 4y DeThiMau.vn 40) Cho x, y, z số dương... x  y  Tìm GTNN biểu thức 3x   y (ĐH 2006)  4x y2 1 50) Ba số dương a, b, c thỏa mãn    Chứng minh rằng: (1  a )(1  b)(1  c)  (ĐH 2001) a b c x y 51) Giả sử x y hai số dương x 