Ôn tập Đạo hàm khối 1134531

ÔN TẬP ĐẠO HÀM 11 Hoạt động 1: Củng cố định nghĩa đạo hàm điểm công thức tính đạo hàm Định nghĩa : Cho hàm số y  f x  xác định khoảng a ; b  x0  a ; b  , đạo hàm hàm số điểm x0 : f ' x0   lim x x0 f x   f x0  x  x0 Chú ý :  Nếu kí hiệu x  x  x0 ; y  f x0  x   f x0  : f ' x0   lim f x0  x   f x0  x  x0 x x0  y x x  lim Nếu hàm số y  f x  có đạo hàm x0 liên tục điểm Qui tắc tính đạo hàm cơng thức tính đạo hàm Các quy tắc : Cho u  u x  ; v  v x  ; C : số  u  v '  u ' v '  u.v '  u '.v  v '.u    C.u   C.u C.u  u  u '.v  v '.u  C   , v          2 v u v u    Nếu y  f u , u  u x   y x  yu u x Các công thức :  C   ; x    xn   n.xn1   x   x  sin x   cos x    n.u n1.u  un , x     u   2uu , n  ฀ , n   , u    sin u   u. cos u  cos u   u .sin u u  tan u    tan x   cos x cos u u  cot u     cot x    sin x sin u Hoạt động 2: Tìm đạo hàm theo định nghĩa  cos x    sin x Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có cách sau :  Cách : Theo quy tắc Bước : Cho x số gia x tìm số gia y tìm y  f x  x   f x  Lập tỉ số y x x Bước : Tìm giới hạn lim ThuVienDeThi.com y x Cách : Áp dụng công thức: f ' x0   lim x x0 f x   f x0  x  x0 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y  f(x)  2x2  x  x  Cho x0 = số gia x ta có: Bài 1: y  f (1  x)  f (1)  2(1  x)  (1  x)    2x  3x  Vậy y '(1)  lim x 0 b) y  lim (2x  3)  x x 0 y  f(x)   2x x0 = –3 Cho x0 = -3 số gia x ta có: y  f (3  x)  f (3)   2(3  x)    2x   Vậy y '(3)  lim x 0 c) y  f(x)  2x  x 1 y  2x  x y  2x   x x y  2x  2 1  lim  lim  x 0  2x  x x 0 x x0 = y  f(x)  f) x2  x  x 1 x0 = Bài 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y  x  3x  x x =4 b) y  x   x x =1 c) y  x  x x =2 d) y  sin x  cos x x =0 e) y  sin 2 x x =  f) y  tan x  x = Hoạt động 2: Rèn cơng thức tính đạo hàm theo công thức Phương pháp: Nắm công thức áp dụng vào tính Bài 3: Tính đạo hàm sau: a) y  x3  x  x   y '  x  6x  x b) y  x  x    y '  3x  c) y  ( x  1)( x  2)  y'  2x( x  2)  3x ( x  1)  5x  3x  4x d) y  2x  11  y'  3x  (3x  1)2 x  3x  (4x  3)(3  2x)  2(2x  3x  1) 4x  12x   y'   e) y   2x (3  2x) (3  2x) f) y  1  y'  x 1 ( x  1)2 ThuVienDeThi.com x  x2  Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau : 3x  x  4x cot x y x 1 a/ y  b/ y    3x   x  1 x  2 x c/ y    3 x x 7x d/ Giải 3x  x2 x  x2  x  15 24  b/ c/ y       y 2 4x 2x x x x 7x  x cot x  sin x x y  a/ y  2 d/  x 1 Bài 5: Tính đạo hàm sau: a) y  3x    y '  30(3x  6)9 b) y  10 c) y  x2  2x  y '  4 x  y'  2 ( x  1) ( x  1)3 x 1 d) x  2x 3 x 1 y   x  x2  y '   2x x 6x  x  2x2   f) y     x 3  2x-3 x  3x  e) y  x  3x   y '    x x x  3x  x Bài 7: Tính đạo hàm hàm số sau: y = x3-3x2 – + x + sinx x y = x  3x  2x  sin x  cos x sin x  cos x y = (x2 -11)(2x3 – x2 + x – 3) y= y = (x8 – x)10 y = x x2 - 2x + y= x x 9.y=sin(cos23x) y = cos x2 - 2x + 10* y= sin [cos2(tan3x) ] ThuVienDeThi.com 11, y 2x  12, x 1 14, y  13, y  ( x  x  4)  x 15, f(x) = y  2x x  x 1 2x  x 4x 1   x cot  x   4        y’ = ( x ) 'cot  3x    x  cot  3x    = cot  x    4 x       x  sin  x      4  2   2   x   cos   x     16, g(x) = cos2x + cos2  2   2   2   2   x  sin   x   cos   x  sin   x         g’(x) = - 2cosxsinx – 2cos  4   4   x   sin   2x      = - sin2x -sin  = - sin2x + 2cos 4 sin(-2x) = -sin2x + sin2x = Bài 8: Xét tính liên tục tồn đạo hàm tính đạo hàm hàm số sau ฀  x2  x  x  a) f x    x  ; 3 x  x   Ta có lim f ( x)  lim x 1 x 1 x  4x   lim( x  3)  2 , lim f ( x)  lim(3x  5)  2 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy lim f ( x)  2  f (1) Vậy hàm số liên tục x = x 1 x  4x  2 f ( x)  f (1) x  2x  x 1 lim  lim  lim   y '(1 )  x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ( x  1) lim x 1 f ( x)  f (1) 3x   3x   lim  lim   y '(1 )  x x 1   x 1 x 1 x 1 Vậy hàm số không tồn đạo hàm x = ThuVienDeThi.com 2 x  a x  b) f x     x  bx x  Ta có lim f ( x)  lim ( x3  bx)  , lim f ( x)  lim (2x  a)  a x  0 x  0 x  0 x  0 Vậy để hàm số liên tục R a = lim x 0 f ( x)  f (0)  x3  bx - a  lim    không tồn đạo hàm phải x 0 x x f ( x)  f (0) 2x  a  a lim  lim   y '(0 )  Vậy với a, b hàm số có đạo hàm x 0 x 0 x x trái không tồn đạo hàm  x   x  3x   c) f x   x  3x    Vậy ta xét x = x = x    x  3x  < x < 2 Tại x = Ta có lim f ( x)  lim( x  3x  2)  , lim f ( x)  lim(x  3x+2)  x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy lim f ( x)   f (1) Vậy hàm số liên tục x = x 1 lim f ( x)  f (1)  x  3x-2  lim  lim(2  x)   y '(1 )   x  x  x 1 x 1 lim f ( x)  f (1) x  3x +2  lim  lim( x  2)  1  y '(1 )  1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy hàm số khơng có đạo hàm x = Tương tự x = d) f x   x Bài 9*: Tìm đạo hàm cấp n hàm số sau: 1) y  x2 Giải: ThuVienDeThi.com '  Ta có:     x2 '' ''' 1.2 1.2.3     (1);  ;      ( x  2)  x   ( x  2)  x   ( x  2) Ta dự đoán y(n) = (-1)n n! (*) Ta chứng minh (*) quy nạp ( x  2) n 1 Từ (1) suy (*)đúng n = 1  Giả sử (*)đúng với n = k, ta có    x2 (k )  (1) k k! (2) Ta chứng minh (*)đúng ( x  2) k 1 với n = k+1 Lấy đạo hàm hai vế (2) ta được:      x2 ( k 1)  (1) k 1 = (1)k 1      x2 (n) 1) y =  (1) n k k ![( x  2) k 1 ]' k 1 k !( k  1)( x  2)   ( 1) ( x  2) k  ( x  2) k  (k  1)! Vậy với n  N*, ta có: ( x  2) k  n! ( x  2) n 1 2x 1 3) y = sinx; 4) y= sin4x +cos4x; 5)y= Hoạt động 3: Ôn tập giải PT, BPT chứa đạo hàm 2x 1 x  5x  Phương pháp : Tính đạo hàm trước sau giải PT, BPT Bài 10 Giải bất phương trình sau: x  1, y’ > với y  x3  3x2   y '  3x2  6x,y '   3x2  6x    x  2, y’ < với y  x3  x  x   y '  x  x  2, y '   x  x    3  x  3, y’ ≥ y với  x  2x    x  1 (2x  1)( x  1)  x  x  x  2x  x x2 , ' y  y'       2 ( x  1) ( x  1) x 1 x  x   1  x  x  4, y’>0 với y  x  x  y '  4x  4x, y '   4x  4x    ThuVienDeThi.com 5, y’≤ với y  x  x 6, y '  với y  x  x  Bài 11:a) Cho f x    x Tính f 3  x  3 f  3 Tính f  x  , f  3 , f 3  x  3 f  3 a) - Ta có f  x   1 x Suy f  3 = x 3 Vậy f 3  x  3 f  3= + 4 b)Ta có f  x    60 192  x2 x4 b) Cho f x   3x  60 64   Giải pt f  x   x x2  x2   x  2 60 192 f  x        x  20 x  64     x x  x  4  x  16 Bài 12: Cho hàm số : y  f x   a) f  x   x  ฀ c) f  x   , x  0;  x  x  mx  Tìm m để : b) f  x   , x  0;    d) f  x   , x    ;  Giải f’(x) = x2 – 4x + m a) b) a  1  f  x   x  ฀    m4   4  m  f  x   , x  0;     x  4x  m  0, x  (0; )  m   x  4x  h( x),  x  (0; ) Bảng biến thiên hàm y = h(x) (Làm cho câu tiếp) Vậy m > max h( x)  (0;  ) c) f  x   , x  0;   m   x  4x  h( x), x  (0; 2)  m  h( x)  (0;2) ThuVienDeThi.com d) f  x   , x    ;   m   x  4x, x  ( ; 2)  m  max h( x)  ( ;2) Bài 13: Cho hàm số : f x   a) m m x  x  4  m  x  5m  Tìm m để : f  x   , x  ฀ b) f  x   có hai nghiệm dấu Giải y’ = mx2 – mx + (4-m) Nến m = y’ = > không thỏa mãn a  m    vô nghiệm   5m  16m  Nếu m  để f  x   , x  ฀   m  m  b) f  x   có hai nghiệm trái dấu cần: ac   m(4  m)    Bài 14: Giải phương trình y’ = y  cos x  sin x  x  y'=0  -sin x + cosx + 1=  sin x - cosx  a) b)   x   k 2   sin( x  )   ,k Z   x    k 2  y  sin x  cos x  x  y '  cos x  sin x   1 y '   sin x  cos x  1  sin( x  )   x  c) y  20 cos x  12 cos x  15cos x  y '  60sin 3x  60sin 5x  60sin x k  sin 4x  x  ,k Z y '   sin 3x  sin 5x  sin 4x  2sin 4x cos x  sin 4x    cos x   x     k 2   Bài 15: Cho f ( x )  sin x cos3 x  cos x  3(sin x  ) 3 a) Giải PT: f '( x )  b) Tính f ''(0) ThuVienDeThi.com Bài 16: Giải phương trình y '  biết : ; b) y  cos x  sin x ; a) y  sin x  cos x c) y  3sin x  cos x  10 x ; d) y  m  1sin x  2cos x  2mx Hoạt động : Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm Phương pháp : Tính đạo hàm sau thay vào để hai vế Bài 18 : Chứng minh hàm số sau thoả mãn hệ thức: a, f ( x)  x  x  x  thoả mãn: f ' (1)  f ' (1)  4 f (0) Ta có f’(x) = 5x4 + 3x2 – 2, f’(1) = 6, f’(-1) = 6, f(0) = -3 Thay vào thỏa mãn b, y = cot2x thoả mãn y’ + 2y2 + = y'  2 sin 2x Thay vào ta có: VT  c, 2 2 2  cot 2x+ 2=  2(1  cot 2x)   2   VP 2 sin 2x sin 2x sin 2x sin 2x y x3 x4 Ta có: y '  thỏa mãn 2y '2  (y  1)y" 14 , y ''  Thay vào suy ĐPCM: ( x  4) ( x  4)3 d, y = a.cosx +b.sinx thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = y '  a sin x  b cos x, y ''  a cos x  b sin x thay vào: y’’ + y = acosx – b sinx + acosx + bsinx = ĐPCM cos x     Tính f ' 0 ; f '  ; f '  ; f '    sin x 2 4 cos x     b) Cho hàm số y  f x   Chứng minh: f    f '     sin x 4 3 Bài 19: a) Cho hàm số f x   Giải cos x  sin x(1  sin x)  cos x 1  y'    sin x (1  sinx)  sin x 1  1  2 f '(0)   1, f '( )  1, f'( )  , f '( )   sin 2 2 f x   Câu b tương tự Bài 20: Cho hàm số y  x sin x chứng minh : ThuVienDeThi.com y'  x  tan x cos x Bài 21: Cho hàm số : f x   sin x  cos x , g x   sin x  cos x Chứng minh : f ' x  g ' x   a) xy   y ' sin x   x 2cos x  y   ; b) Bài 22: a) Cho hàm số y  x   x Chứng minh :  x y '  y b) Cho hàm số y  cot x Chứng minh : y ' y   Hoạt động 4: Củng cố qua số câu hỏi trắc nghiệm Chương V: Đạo hàm Câu 93: TĐ1119NCB: Số gia hàm số f(x) = x3, ứng với: x0 = ∆x = là: A 19 B -7 C D PA: A Câu 94: TĐ1119NCB: Số gia hàm số f(x) = x2 ‒ theo x ∆x là: A 2x + ∆x B ∆x(x + ∆x) C ∆x(2x + ∆x) D 2x∆x PA: C x2 Câu 95: TĐ1119NCB: Số gia hàm số f(x) = ứng với số gia ∆x đối số x0 = ‒ là: A 2(∆x)2 + ∆x 1 B 2(∆x)2 ‒ ∆x C 2((∆x)2 ‒ ∆x) Câu 96: TĐ1119NCH: Tỉ số A B 2∆x C ∆x B C ∆y ∆x D 2(∆x)2 ‒ ∆x + PA: B hàm số f(x) = 2x ‒ theo x ∆x là: D 2−∆x PA: A D PA: D Câu 97: TĐ1119NCH: Đạo hàm hàm số f(x) = 3x ‒ x0 = là: A Câu 98: TĐ1119NCH: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số f(x) = ‒ x3 điểm M(-2; 8) là: A 12 B -12 C 192 D -192 PA: B Câu 99: TĐ1119NCH: Một chất điểm chuyển động có phương trình s = t2 (t tính giây, s tính mét) Vận tốc chất điểm thời điểm t0 = (giây) bằng: A 2m s B 5m s C 6m s D 3m s PA: C Câu 100: TĐ1119NCH: Đạo hàm hàm số f(x) = 5x3 ‒ x2 ‒ khoảng ( ‒ ∞ ; + ∞) là: ThuVienDeThi.com A 15x2 ‒ 2x B 15x2 ‒ 2x ‒ C 15x2 + 2x PA: A D Câu 101: TĐ1119NCH: Phương trình tiếp tuyến Parabol y = ‒ 3x2 + x ‒ điểm M(1; 1) là: B y = ‒ 5x + A y = 5x + C y = ‒ 5x ‒ D y = 5x ‒ D 5(A) PA: D PA: B Câu 102: TĐ1119NCH: Điện lượng truyền dây dẫn có phương trình Q = 5t + cường độ dịng điện tức thời điểm t0 = bằng: A 15(A) B 8(A) C 3(A) Câu 103: TĐ1119NCH: Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A Hàm số y = cotx có đạo hàm điểm mà xác định B Hàm số y = x có đạo hàm điểm mà xác định C Hàm số y = |x| có đạo hàm điểm mà xác định D Hàm số y = |x| + x có đạo hàm điểm mà xác định PA: A Câu 104: TĐ1119NCH: Đạo hàm hàm số y = bằng: A B -5 C D Khơng có đạo hàm PA: C Câu 105: TĐ1119NCV: Một vật rơi tự có phương trình chuyển động s = 2gt2, g = 9,8m s2 t tính s Vận tốc thời điểm t = bằng: A 49 m s B 25 m s C 20 m s D 18 m s PA: A Củng cố: Các cơng thức tính đạo hàm Hướng dẫn nhà:Xem chữa làm tập sau: Bài Cho hàm số y   mx  m  1 x  mx  Xác định m để : a) y '  , x  ฀ b) y '  có hai nghiệm phân biệt âm ; c) y '  có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x12  x22  mx  x  Xác định m để hàm số có y '  0, x  1 ;    x2 Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số: y  x  x  mx  m Bài Cho hàm số y  có y '  đoạn có độ dài ThuVienDeThi.com   Bài Cho hàm số y  mx  m  x  10 1 m tham số  Xác định m để hàm số có y '  có nghiệm phân biệt Bài 5: Giải phương trình f’(x) = biết: 1, f(x) = cos 2x – cosx f ( x)  2, f(x) = cosx + sinx – 2x – sin x sin x   cos x ThuVienDeThi.com 3, ... mệnh đề sau: A Hàm số y = cotx có đạo hàm điểm mà xác định B Hàm số y = x có đạo hàm điểm mà xác định C Hàm số y = |x| có đạo hàm điểm mà xác định D Hàm số y = |x| + x có đạo hàm điểm mà xác... để hàm số liên tục R a = lim x 0 f ( x)  f (0)  x3  bx - a  lim    không tồn đạo hàm phải x 0 x x f ( x)  f (0) 2x  a  a lim  lim   y '(0 )  Vậy với a, b hàm số có đạo hàm. .. 1 2x 1 3) y = sinx; 4) y= sin4x +cos4x; 5)y= Hoạt động 3: Ôn tập giải PT, BPT chứa đạo hàm 2x 1 x  5x  Phương pháp : Tính đạo hàm trước sau giải PT, BPT Bài 10 Giải bất phương trình sau: