Tài liệu Ôn tập Chương – Giới hạn Lớp 11 A- Giới hạn dãy số e) lim *Các giới hạn thường gặp: 1 limC = C ; lim = > ; lim = n n n ; limq = |q| < *Các phép toán giới hạn : lim(un vn) = limun limvn ; lim(un.vn) = limun ; un limun limvnlim = limvn *Các định lý giới hạn: Định lý 1: Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn Định lý 2: Cho dãy số (un),(vn) (wn) Nếu n ta có un ≤ ≤ wn limun = limwn = A limvn = A Định lý 3: Nếu limun = lim = un Nếu limun = lim = un *Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u1 S= 1–q 1.Dùng định nghĩa,tính giới hạn sau: 2n + 1 a) lim b) lim c) lim n -1 n2 n +1 2.Tính giới hạn sau: – n2 + n – 2n2 + n – a) lim b) lim 2n2 – n2 + 4n –1 3n – c) lim d) lim n2 – n + 2n e) lim f)lim( n2 – 2n – n) n 2n 2sinn + 3cosn g) lim 3n – 3.Tính giới hạn sau: 2n – a) lim b) lim( n + – n) n2 + c) lim n) d) lim n – 1) n n–1 3n2 + g) lim f) lim 2n n2 + n 3n2 + 2n + n n n n 1 2 n 1 2n – – n h) lim i)lim( n2 + n – n2 + 3n + ) j) lim n( n2 + – n2 – 2) k) lim( n 2n n ) 4n2 + – 2n – l) lim n2 + 4n + – n m) lim(1 + n2 – n4 + 3n + 1) n2 + – n6 n) lim n4 + – n2 4.Tính giới hạn 2n + 2n + 2n – 5.3n a) lim b) lim 2n + 4.3n 3n + 3n – 4n 4.3n + 7n + c) lim d) lim 3n + 4n 2.5n + 7n (– 2)n + 3n e) lim f) lim (– 2)n + + 3n + (– 1)n + 2n + (– 3)n + a + a2 + … + an g) lim với |a| < ; + b + b2 + … + bn |b| < 4.Cho dãy (un) xác định u1 = ; un+1 = + un a)Chứng minh (un) bị chặn dãy số tăng b)Suy (un) có giới hạn tính giới hạn 5.Cho dãy (un) xác định 1 u1 = ; un+1 = – un a)Chứng minh (un) bị chặn dãy số tăng b)Suy (un) có giới hạn tính giới hạn 6.Tìm số hữu tỉ sau : a) 2,1111111 b)1,030303030303 c)3,1515151515 7.Tính 1 1 lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – ) 32 42 n2 22 Cho dãy (xn) thỏa < xn < xn+1(1 – xn) ≥ ThuVienDeThi.com Tài liệu Ôn tập Chương – Giới hạn Lớp 11 Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng Tính limxn Cho dãy (xn) thỏa < xn < xn+1 = + xn – xn2 n N a)Chứng minh rằng: |xn – 2| < ( )n n ≥ b) Tính limxn 10.Cho dãy số xác định : un2 + 1 u1 = ; un +1= 2 a) Chứng minh rằng: un < n b) Chứng minh rằng: (un) tăng bị chặn c) Tính limun 11.Cho dãy số (un) xác định công thức u1 = un +1= + un a) Chứng minh un < n b)Chứng minh rằng: (un) tăng bị chặn c) Tính limun kx 1 sin kx *Các dạng vơ định: giới hạn có dạng ; ; 0. ; – x 3x 1.Tính giới hạn sau: a) lim x 2 x2 x 3x 5x b) lim x 1 x 1 x 2x c) lim d) x 2 x x x3 x2 x 1 lim x 1 x 3x x x 3x e) lim f) x 3 x 8x x4 1 lim x 1 x x lim x 0 x 2x x 1 x x x 3x lim x 2 x2 x 5x x i) lim x 1 x2 1 B- Giới hạn hàm số g) lim *Các phép toán giới hạn hàm số lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) x a x a x a lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x) x a x a x a x a f (x) x a g(x) lim g(x) x a lim f (x) lim f (x) x a lim x 7 x a *Các định lý giới hạn hàm số : Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn giới hạn Định lý 2:Cho hàm số g(x),f(x),h(x) xác định khoảng K chứa a g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Nếu lim g(x) lim h(x) L x a 2 x 3 x 49 lim x 2 x2x 4x x a lim Định lý 3: Nếu x 1 x a h) xm 1 m,nN x 1 x n k) lim d) lim 4x2 f (x) l) lim x 1 Nếu x 1 x32 2x 2 x3 c) e) x 4 x 2 f) lim x 2x x x 1 3x 2x x lim x 1 x 4x lim f (x) L x a x 0 x 4 1 x g) lim x a lim f (x) lim lim 2.Tính giới hạn sau: x 5 3 1 x 1 x a) lim b) lim x 4 x 4x x lim f (x) lim sin kx 1 kx h) i) lim x 1 k) lim x 2 x2 x x 1 x2x 4x m) lim x x n) x 1 x 1 x 3x x x 3x lim o) x 1 x 1 x 1 x2 1 3.Tính giới hạn sau: 0 lim f (x) lim x a x a f (x) s inx x Định lý 4: lim 1 lim 1 x 0 x x sinx lim ThuVienDeThi.com j) Tài liệu Ôn tập Chương – Giới hạn Lớp 11 a) lim x 2 c) lim x b) lim 8x 8 x x x 1 3 1 x 1 x4 x e) lim x x 5x x 10 x f) lim x 3 x2 10 x x lim x 2 x2 x 0 h) lim x 2 d) lim x 0 x5 x3 tgx s inx cosx c) lim x 0 x 0 x tg x cosx d) lim e) lim(1 cos2x)tgx x-/2 x x b) lim x 1 1 x2 1 x2 x s inx - cosx - tgx x g) g) lim i) lim x.sin x x cosx j) lim k) x 0 tg x 8x 11 x x 2 x 3x (1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) g) lim x 1 (1 x) sin 2x sin 2x x 0 x l) lim(sin x sin x ) m) lim x n nx n x 1 (x 1) 4.Tính giới hạn sau: a) lim sin 3x b) lim 5x x h) lim lim(cos x+1 cos x ) x 5.Tính giới hạn sau: a) lim( ) x 1 x 1 ) lim ( x 2 x x 4 x sin x 2x sin x 6x c) lim d) lim cos x sin x x 0 x2 3x e) lim cos 3x f) lim cos x cos x 0 cos x x 0 2x x g) lim cos h) lim sin x cos x x 0 x2 sin x x x 1 x cos x sin x x 0 sin 8x x2 1 1 sin x cos x 1 l) lim( ) x 0 sin x cos x x 0 sin x cos x cos x m) lim( x ) tgx n) lim x 0 x 0 sin x cos x cos x o) lim p) x 0 x2 sin x cos x sin x cos x q) lim lim x 0 tgx tg x x k) lim x 0 b) x lim ( x x ) x g) lim x ( x x ) x h) lim x ( x x ) x i) lim ( x 2x x x ) i) x r) lim 1 b) lim x x 3x x 5x ( x 1)( x 3x ) c) lim d) x x 4x x x 3x lim x 2x e) lim ( x x x ) f) x tg x 3tgx x ) cos(x + h) lim i) lim j) lim tgx cot gx f) lim x6 x2 x2 i) lim sin x cos x cos x lim x x 3x 4x x x 1 1 x 4.Tính giới hạn sau: a) lim x s inx sin 3x x j) lim x lim x ThuVienDeThi.com 9x x 4x 2x h) x 1 x 2x 3 x3 x Tài liệu Ôn tập Chương – Giới hạn Lớp 11 x2 x 1 x2 x 1 j) lim x x x2 1 7x lim Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < tồn số c (a;b) cho f(c) = Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a;b) 1.Xét liên tục hàm số sau: 3x – a) f(x) = x2 + x – b)f(x) = x2 + 3x x + c)f(x) = x2 + 2.Xét liên tục hàm số sau: x 3x x a) f(x) = xo = x 2x k) 14x 16x x 6.Tính giới hạn hàm số sau x 3x a) lim b) x x2 x lim ( x x x 1) x d) lim sin x2 cos 2x c) lim x sin x x x cos x x e) lim x x3 1 x 2x f) lim( x x x ) x g) lim(2x 4x 4x 3) x x3 x b) f(x) = x x 11 h) lim x x x x x i) lim(x 3x x ) x j) lim x x 1 x 1 3 x x x2 1 ax b) = x 1 Tính giới hạn sau: a) lim x x lim x x x 3x 3 2x x x x x 2x b) x x x f) f(x) = x x x C- Hàm số liên tục Định nghĩa: *Hàm số f(x) liên tục xo lim f (x) f (x o ) x xo xo = 1 cosx x g) f(x) = sin x xo = x 1 2x x h) f(x) = x xo = 1 x 3.Tìm a để hàm số sau liên tục x0 3x 2x x a) f(x) = x0 = x 2x a *Hàm số f(x) gọi liên tục khoảng (a;b) liên tục điểm xo (a;b) *Hàm số f(x) gọi liên tục đoạn [a;b] liên tục khoảng [a;b] lim f (x) f (a) lim f (x) f (b) x a xo = sin x x c) f(x) = x xo = x x 3x x x d) f(x) = xo = x x x2 x e) f(x) = x xo = 1 2x khix 7.Tìm số a,b để a) lim ( x x ax b) b) lim ( x x b Các định lý: Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác hàm số liên tục tập xác định chúng Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương hàm liên tục hàm liên tục ThuVienDeThi.com Tài liệu Ôn tập Chương – Giới hạn Lớp 11 x 2x x b) f(x) = x a x Chứng minh phương trình a) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + = có nghiệm khoảng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – = có nghiệm khoảng (– 3;1) d) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) e) 2x2 + 3x – = có nghiệm khoảng (– 3;1) f)* x5 – 5x4 + 4x – = có nghiệm khoảng (0;5) Cho số a,b,c khác Chứng minh phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = Có nghiệm phân biệt 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm [0; ] 9*.Cho f(x) = ax + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chứng minh ba số f(0), f(1) ,f(1/2) dấu c)Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0;1) 10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : a b c =0 + + m + m + m m a)Chứng minh af( ) < với a m + b)Cho a > , c < ,chứng minh f(1) > c)Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0;1) 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục đoạn [a;b] thoả f(x) [a;b] x [a;b] Chứng minh phương trình: f(x) = x có nghiệm x [a;b] 12 Chứng minh rằng: phương trình sau ln ln có nghiệm: a) cosx + m.cos2x = b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + = c) a(x – b)(x – c)+b(x – c)(x – a)+c(x – a)(x – b) =0 d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – = 13.Cho hàm số f(x) liên tục [a;b] , x0 = 1 cos4x x x.sin 2x c) f(x) = xo = x a x x 1 x 1 x x x d) f(x) = xo = a x x x 4.Xét liên tục hàm số sau: x 3x x 2 a) f(x) = x 2 1 x x 3x 10 x 4 2x b) f(x) = x2 3x x x x 5.Tìm a để hàm số sau liên tục R 3x x x a) f(x) = ax + x sin(x ) x b) f(x) = cos x x a 5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục R sin x x a) f(x) = asinx b x 2 x cos x x x b) f(x) = ax b x 4 x x Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) x3 – 2x – = b) x5 + x3 – = 3 c) x + x + x + 2/3 = d) x – 6x2 + 9x – 10 = e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + = f) cosx – x + = ThuVienDeThi.com Tài liệu Ôn tập Chương – Giới hạn Lớp 11 hai số dương Chứng minh rằng: phương f(a) + bf() trình f(x) = có nghiệm [a;b] + 1) Tính giới hạn 3n 2n a) lim 2 n 5n 2) Tính giới hạn 14.Cho phương trình x4 – x – = Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo (1;2) xo > 12 BÀI TẬP NÂNG CAO GIỚI HẠN DÃY SỐ 2n b) lim n 3n a) lim(1 n n 3n 1) b) lim c) lim( n n ) n2 n6 n4 n2 3) Tính giới hạn 4.3n n 1 2n 2n 1 a) lim b) lim 2.5n n 2n 5.3n 4) Tính giới haïn 1 a) lim n(n 1) 1.2 2.3 1 b) lim(1 )(1 ) (1 ) n 2n c) lim n n n n 1 d) lim 2 n 2 n n n 1 c) lim 1 (n 1) n n n 1 e) lim f) lim 1.3.5.7 (2n 1) 2.4.6 (2n) 2.12 3.22 (n 1).n n4 22 33 n n h) lim nn i) Tính lim n! j) Tính lim n n g) lim ThuVienDeThi.com c) lim (2n n 1)( n 3) (n 1)(n 2) a a a n b b b n ( a 1, b 1) Tài liệu Ôn tập Chương – Giới hạn Lớp 11 5) Tính giới hạn dãy (un) 15) Cho dãy số (xn) thỏa x0 a) un b) un 1, un 1 (1 un ) n 1 6) Chứng minh dãy un 1 có giới hạn n 7) Chứng minh dãy sau có giới hạn 1 a) un n 1 n nn 1 b) un 2 n n 1 c) un 2 n 1 d) un 1! 2! n! e) u1 2, un 1 un hàm tăng [a.b] Chứng minh a) Nếu x1 ≤ x2 (xn) dãy tăng b) Nếu x1 ≥ x2 (xn) dãy giảm c) Nếu f bị chặn (xn) hội tụ 17) Cho (xn) xác định sau 1 a xn xn 1 , n 2, a 0, x1 Chứng 2 xn 1 minh dãy hội tụ tìm giới hạn dãy 18) Cho (xn) xác định sau 1 a xn xn 1 , n 2, a 0, x1 Chứng 3 xn 1 minh dãy hội tụ tìm giới hạn dãy 19) Xác định x1 để dãy (xn) xác định sau dãy hội tụ : xn xn 1 xn 1 (n 2) 20) Cho dãy (xn) với xn xn 1 (1 xn ) Chứng minh lim xn 21) Cho dãy số (yn) xác định theo công thức Ax yn 1 (1 x) yn 1 x với A 0, x 1, y0 yn x f) u1 0, un 1 un nk 0 an 9) Cho daõy (un) xác định công thức un un 1, u1 Chứng minh (un) có giới hạn tìm giới hạn 10) Giả sử x yn yn 1 (2 xyn 1 ) Chứng minh , yi dãy (yn) hội tụ lim yn x 11) Cho dãy (xn) xác định sau x0 1, xn Tìm lim Chứng minh dãy có giới hạn tìm giới hạn 22) Cho a1 = a, an+1=an(an – 1) Hỏi với giá trị a dãy (an) hội tụ n 1 2 23 2n 23) Cho S n n 1 Tính limSn n 1 xn 1 xn 1 12) Xét dãy số nguyên dương (an) thỏa điều kiện an an 1an 1 n N * Tính giới hạn lim Chứng minh xk x tồn số dương , A cho lim n A n 16) Cho dãy (xn) xác định theo công thức xn f ( xn 1 ) n Giả sử xn [a, b] n N vaø f c) u0 u1 1, un 1 un un 1 8) Cho a 1, k Chứng minh lim ( 0), xk 1 xk 24) Cho dãy (un) (vn) xác định sau u1 = a, u v u v u2 = b, un n 1 n 1 , n n 1 (n 2) 2 Chứng minh raèng un a (b a )(1 n 1 ) , a (b a )(1 ) 2.4n 1 25) Cho dãy (an) (bn) xác định nhö sau a1 = a a b > 0, v1 = b > 0, an n 1 n 1 , 1 1 n a1 a2 an 13) Cho dãy (un) thỏa điều kiện un 1 un un 1 , u0 u1 Chứng minh dãy (un) có giới hạn Tìm giới hạn n S 14) Cho S n k cos Tính lim n2 k n k 2 ThuVienDeThi.com Tài liệu Ôn tập Chương – Giới hạn Lớp 11 bn 1 an 1 bn 1 f n 1 ( x) x f n ( x) n N , x R Chứng (n 2) Chứng minh minh tồn dãy số dương đơn điệu tăng (xn) thỏa mãn f n ( xn ) xn vaø lim xn lim an lim bn ab 35) Xét dãy (an) , (bn) xác định a1 = 3, b1 = n an+1 = an2 + 2bn2, bn+1 = 2anbn Tính lim bn 26) Các dãy (xn) (yn) xác định sau x1 = a x yn 1 , > 0, y1 = b > 0, xn n 1 yn xn 1 yn 1 (n 2) chứng tỏ giới hạn n lim a1a2 an chúng tồn 27) Cho dãy số (xn) ,( yn) , (zn) xác định sau y z x x x1=a, y1 = b, z1 = c, xn n 1 n 1 , yn n 1 n 1 2 xn 1 yn 1 , zn Chứng minh dãy số abc hội tụ lim xn lim yn lim zn 28) Cho dãy số (xn) ,( yn) , (zn) xác định sau x1= a > 0, y1 = b > 0, z1 = c > 0, xn yn 1 zn 1 , yn zn 1 xn 1 , zn xn 1 yn 1 Chứng minh lim xn lim yn lim zn abc 29) Xét dãy số (xn) xác định xn 1 , xn x0 = Chứng minh lim xn 30) Cho f hàm dương,liên tục nghịch biến [0,∞) Giả sử hệ phương trình f ( ), f ( ) có nghiệm l Chứng minh dãy số dương xn 1 f ( xn ) với x0 > cho trước hội tụ tới l 31) Xét dãy số (xn) xác định xn 1 , x0 Khảo sát hội tụ dãy xn (xn) 32) Cho a ≠ Xét dãy (xn) xác định x ( x 3) , x0 a Chứng minh dãy (yn) xn 1 n n2 xn ={(a – 1)xn} có giới hạn xác định giới hạn 33) Xét dãy (xn) xác định xn 1 , x0 Chứng minh (xn) không xn xn có giới hạn hữu hạn 34) Cho dãy hàm f n ( x)dương R+ thỏa điều kiện f ( x) x, ThuVienDeThi.com ... u0 u1 Chứng minh dãy (un) có giới hạn Tìm giới hạn n S 14) Cho S n k cos Tính lim n2 k n k 2 ThuVienDeThi.com Tài liệu Ôn tập Chương – Giới hạn Lớp 11 bn 1 an 1 bn 1 f n 1... 1 x 4. Tính giới hạn sau: a) lim x s inx sin 3x x j) lim x lim x ThuVienDeThi.com 9x x 4x 2x h) x 1 x 2x 3 x3 x Tài liệu Ôn tập Chương – Giới hạn Lớp 11... 1) Tài liệu Ôn tập Chương – Giới hạn Lớp 11 5) Tính giới hạn dãy (un) 15) Cho dãy số (xn) thoûa x0 a) un b) un 1, un 1 (1 un ) n 1 6) Chứng minh dãy un 1 có giới