Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số (Tài liệu ôn tập chương 3 môn Toán lớp 11)

Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số là tài liệu cực kì hữu ích, gồm 14 trang hướng dẫn giải các bài tập nâng cao giới hạn của dãy số được chọn lọc từ các đề thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia. Xem thêm các thông tin về Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số tại đây

Bài tập nâng cao giới hạn dãy số Giới hạn dãy số NỘI DUNG I) Phương pháp sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số Kiến thức sử dụng: Định nghĩa: lim un  L    0, N  N * : n  N  un  L   Sử dụng: - Tiêu chuẩn Cơ-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn với  > 0, tồn số tự nhiên N cho với m, n  N ta có |xm – xn| <  - Nguyên lý ánh xạ co: Nếu với x, y ta có |f(x) – f(y)|  q|x-y| với q số < q < {xn} bị chặn {xn} hội tụ Đặc biệt |f’(x)|  q < ta ln có điều Ý tưởng chính: Đánh giá un  L  q un1  L ; q  un1  un  q un  un1 ; q  Phương pháp thường dùng ta thấy dãy số khơng tăng, khơng giảm Các ví dụ: Bài 1: (Đề thi HSG Quảng Bình) Cho dãy số u1  un1  un2  Tìm giới hạn dãy số? HD: Chứng minh: 1  un  Giải phương trình x  x   x    a Xét un  a   a2  un2       u n  a un  a  un  a 2 2   Suy lim un   Bài 2: (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a dãy số thực (u n ) xác định bởi: u1  a un+1 = ln(3+cosun + sinun) – 2008 với n = 1, 2, 3, … Chứng minh dãy số (un )có giới hạn hữu hạn HD: Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 f '( x )  cos x  sin x  sin x  cos x Từ đó, sử dụng đánh giá | cos x  sin x | 2, | sin x  cos x | ta suy | f ' ( x) |  q  3 Áp dụng định lý Lagrange với m > n  N, ta có |um – un| = |f(um-1) – f(un-1)|  q|um-1-un-1|  … qn-1|um-n+1 – u1| Do dãy (un) bị chặn q < nên dãy (xn) thoả mãn điều kiện Cauchy nên có giới hạn hữu hạn Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB Giới hạn dãy số Bài 3: (Đề thi vô địch Nga 1982) Cho dãy số u1 1 un1  Tìm giới hạn dãy  un số? HD: Chứng minh:  un  1 1 x a 1 x 1 un  a Xét un1  a     un  a  un  a   u n  Giải phương trình x  Suy lim un  1 a Bài 4: Cho dãy số (un) định u1  (1, 2) un+1 = + un – un2/2 Chứng minh (un) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn HD: Chứng minh: < un < 3/2 Giải phương trình x   x  x  x   a Xét un1  a | un 1  ||1  un  un2  un  2   || un  || || || un  | 2 Suy lim un  Bài tập tự giải: Tìm giới hạn dãy số?  3un 2012 Bài 2: Cho dãy số u1 a un1  ln  un2  20122   20122 Chứng minh dã số có giới Bài 1: Cho dãy số u1 2012 un1  hạn II) Phương pháp sử dụng công thức, tính chất dãy số đặc biệt Kiến thức sử dụng: - Tính chất dãy số cấp số cộng, cấp số nhân - Các công thức dãy số quen thuộc: 1   n(n  1) n n  1     n  n(n  1) 12  22  32   n  n(n  1)(2n  1)  n(n  1)  3 3     n      Ý tưởng chính: Đưa dãy số dãy số quen thuộc Các ví dụ: Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB Giới hạn dãy số Bài 1: Cho dãy số un  HD: 1    Tìm giới hạn dãy số? 1.2 2.3 n(n1) 1 1 1 un         1 2 n n 1 n 1 Suy lim un  Bài 2: Cho dãy số u n  un   2      n       2n  HD: 12  32     n  1 2 22  42  62    n  2 Tìm giới hạn dãy số? 2n(2n  1)(4n  1) (4n  1)   n(n  1)(2n  1) 2(n  1) Suy lim un  Bài 3: Cho dãy số u1 5 un1  5un  Tìm giới hạn dãy số? un  HD: Chứng minh: un  un    1 un  un 1  un  1 Xét xn    un   n un  1 Ta có: un1   Suy lim un  n un Tìm giới hạn dãy số xn   un ? 2(2n  1)un  i 1 (2n  1)(2n  1) 1 HD: Đặt     un   un 2n  2n  Bài 4: Cho dãy số u1  un1  Suy lim xn  Bài 5: Cho dãy số u1 1 un1  un2  a n (0  a  1) Tìm giới hạn dãy số? HD: Chứng minh: u12  1; u22   a; u32   a  a ; ; un2   a  a  a n1  an Suy ra: un  1 a Vậy lim un  1 a Bài 6: Cho dãy số u1 2011 un1  n  un 1  un  Tìm giới hạn dãy số? HD: Ta có:  un n    un 1  un 1 n (n  1)(n  1) (n  1)(n  1)(n  2)n n 1 n 1 un1  un   u1  2011 Mặt khác: un  2 n n (n  1) 2n 2n 2011 Vậy lim un  2 Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB Giới hạn dãy số Bài tập tự giải: Bài 1: Cho dãy số un  1    Tìm giới hạn dãy số? 1.2.3 2.3.4 n(n  1)(n  2) 13  33  53    n  1 Bài 2: Cho dãy số u n       n  Bài 3: Cho dãy số un  1   Tìm giới hạn dãy số?           Tìm giới hạn dãy số?     n  Bài 4: Cho dãy số u1 1 un1  n unn  a n (0  a  1) Tìm giới hạn dãy số? III) Phương pháp sử dụng định lí kẹp Kiến thức sử dụng: - Định lí kẹp  un  wnn  N * : lim  lim wn  a  lim un  a Ý tưởng chính: Đánh giá dãy số qua hai dãy số tính giới hạn Các ví dụ: 11 22 3 nn Bài 1: Cho dãy số un  Tìm giới hạn dãy số? nn2 11 22 3 nn nn n  n2  0 HD: 0un  nn2 n n Suy lim un  1.3.5.7 (2 n  1) Tìm giới hạn dãy số? 2.4.6.8 (2 n ) 1.3.5.7 (2 n  1) 1.3.5.7 (2 n  1)  un    2.4.6.8 (2 n ) 1.3 3.5 5.7 (2 n  1)(2 n  1) Suy lim un  Bài 2: Cho dãy số u n  HD: 0 2n  Bài 3: Cho dãy số un  n n Tìm giới hạn dãy số? HD: Ta có:  un  n n  n 1.1 n n      n n n   n   1 1 n n n Suy lim un  Bài 4: Cho dãy số un  n n n    Tìm giới hạn dãy số? n 1 n  n n HD: Ta có: n n n2 n2 n  un  n 1  un  1 n n n 1 n n n 1 Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB Giới hạn dãy số Suy lim xn  Bài 5: Cho phương trình x 2n 1  x  x  Chứng minh phương trình có nghiệm dương xn Tìm giới hạn dãy số xn ? HD: Ta chứng minh phương trình có nghiệm thuộc (1;2) tính chất hàm số liên tục chứng minh dãy số xn dãy số giảm Ta có:     xn2  xn  2n   xn2  xn  xn  x  xn    2n  2n  2n   6   1 1 2n  2n  n 1 n Suy lim xn  Bài tập tự giải: 2n Bài 1: Cho dãy số un  Tìm giới hạn dãy số? n! Bài 2: Cho dãy số u n  n  a n Tìm giới hạn dãy số?  2   n n Bài 2: Cho dãy số u n  Tìm giới hạn dãy số? nn IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu bị chặn Kiến thức sử dụng: - Định lí: Dãy số tăng bị chặn (giảm bị chặn dưới) tồn giới hạn Ý tưởng chính: Chứng minh dãy số đơn điệu Chứng minh dãy số bị chặn Giải phương trình tìm giới hạn Các ví dụ: Bài 1: (Đề thi HSG lớp 11 Quảng Bình) Cho dãy số u1  2008 un1   2008   2007un  2007  (n  1) 2008  un  Tìm giới hạn dãy số? HD: Chứng minh:  2008   2008  2008 2008  2007un  2007    un  un + +u n + 2007   2008  un  2008  un   2008   2008  un2008  u  2007 u   u  Ta có n 1   n  0 n 2008  un2007  2008  un2007  un1  Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB Giới hạn dãy số Suy lim un  2008 2008  x1   Bài 2: ( Đề thi HSG Quốc gia năm 2012) Cho dãy số  n2 Tìm giới  xn  3n ( xn 1  2) hạn dãy số? HD: Chứng minh: xn 1  n2 (n  3) Khi n 1 2[(n  2)  ( n  1) xn 1 ] n2 ( xn 1  2)  xn 1  3n 3n Suy (xn) dãy số giảm kể từ số hạng thứ hai Ngoài ra, theo (1), bị chặn Theo tính chất dãy đơn điệu, tồn giới hạn hữu hạn lim xn  a Chuyển Xét hiệu xn  xn 1  n  đẳng thức xn  n2 ( xn 1  2) sang giới hạn, ta a  ( a  2)  a  3n Vậy lim xn  n  u  3u Bài 3: Cho dãy số u1 2012 un1  n n Tìm giới hạn dãy số? 3un  HD: Ta có: un1   Xét hiệu un1  un  (un  1)3 0 3un2  2un3  2un  Do dãy số giảm bị chặn nên tồn 3un2  giới hạn Suy lim un  Bài 4: Cho dãy số u1 1 un1  un2  un   un2  un  Tìm giới hạn dãy số? HD: Ta có: un1  2un un2  un   un2  un  0 Mặt khác: 1 1   u  un   u  un    un      un    2 2   n n 2 1  3    un   un       2 2  2   Do dãy số giảm bị chặn nên tồn giới hạn Suy lim un  Bài 5: Cho dãy số 0un 1 un1 (1  un )  Tìm giới hạn dãy số? 4 HD: Ta có: un1 (1  un )   un (1  un )  un 1  un Do dãy số giảm bị chặn nên tồn giới hạn Suy lim un  Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB Giới hạn dãy số un Bài 6: Cho dãy số {xn} xác định u1  un1  Chứng minh dãy {un} có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn HD: Đặt f ( x )  ( ) x dãy số có dạng x0  xn+1 = f(xn) Ta thấy f(x) hàm n số tăng x1    x0 Suy {xn} dãy số tăng Chứng minh quy nạp xn < Vậy dãy {xn} tăng bị chặn nên dãy có giới hạn hữu hạn Gọi a giới x a hạn chuyển đẳng thức x n1  sang giới hạn, ta a  Ngồi ta có a  n x Xét phương trình x   ln x  ln( 2)  x  Suy lim un  x Bài tập tự giải:   2 un  2012 Bài 1: Cho dãy số u1 2012 un1   un   Tìm giới hạn dãy số? Bài 2: Cho dãy số u1 2012 un1  un2  Tìm giới hạn dãy số? 2un  2n Tìm giới hạn dãy số? n! 2un  un ln  1  u  2012 Bài 3: Cho dãy số un1  Tìm giới hạn dãy số? 2un ln  n Bài 4: Cho dãy số un1     Tìm giới hạn dãy số?  n Cho dãy số un  Bài 5: Cho dãy số u1 b un1  un2  (1  2a)un  a Xác định a, b để dãy số có giới hạn tìm giới hạn dãy số? Bài 6: Cho dãy số un1  n   21 22 2n       Tìm giới hạn dãy số? 2n1  n  V) Phương pháp sử dụng sai phân Kiến thức sử dụng: n n - Sai phân:  k  xk 1  xk    k   xk 1  xk  xn1  x1 k 1 k 1 Ý tưởng chính: Biểu diễn tổng số hạng qua sai phân Các ví dụ: u1 = 2008 Bài 1:  2 u n+1 = u n - 4013u n + 2007 (n  1) a) Chứng minh: u n  n + 2007 1 + + + b) Đặt x n = u1 - 2006 u - 2006 u n - 2006 Tìm lim x n Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB Giới hạn dãy số HD: a) Bạn đọc tự giải Câu b): un 1  un2 - 4013un  2007  (un 1  2007)  (un  2006)(un  2007) 1   un1  2007 (un  2006)(un  2007) 1    un1  2007 un  2007 un  2006 Suy xn   1    u1 - 2006 u2 - 2006 un - 2006 1   1 u1 - 2007 u n 1 - 2007 un 1 - 2007 Suy lim un  u1   Bài 2: Cho dãy số ( un ) xác định sau:  un 1 2011  u   un , n  N , n   n  u12011 u22011 un2011  Tính lim      u u un 1   Ta có: HD: un1 1 un2011 2011 2012 2012   un  un 1  un  un  un1  un  un    un un un 1 un1 u12011 u22011 un2011 1 Suy ra:      1 u2 u3 un 1 u1 un1 un 1 Chứng minh lim un    lim 0 un1  u12011 u22011 un2011  Vậy lim      =1 u u u n 1   u1   Bài 3: Cho dãy số:  un2010  3un  16 u   n1 u 2009  u  11 n n  n Tính lim  2009 7 i 1 ui HD: Ta có: Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB Giới hạn dãy số u 4 2009 n    un   1   un2009   (un  4) un 1  un  un2009  n 1 1 Suy ra:  2009   1  u1  un 1  un1  i 1 ui Chứng minh lim un    lim 0 un1  n Vậy lim  2009 =1 u  i 1 i  u   Bài 4: Cho dãy số ( un ) xác định sau:  u  un  4un  un , n  N , n   n1 n Tính lim  i 1 ui 1 HD: Ta có:   ui ui1 ui n 1 1 Suy ra:       u1 u1 un un i 1 ui Chứng minh lim un    lim  un n Vậy lim  =6 i 1 ui un1  lim xn  Bài tập tự giải: u1   Bài 1: Cho dãy số:  u   n1 un  un  n Tính nlim ?   i 1 ui (n  1) u1  Bài 2: Cho dãy số:  un1  un (un  1)(un  2)(un  3)  Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB (n  1) Giới hạn dãy số n ? i 1 ui  u1  a  Bài 3: Cho dãy số:   2010un 1  un  2009un (n  1) n ui Tính nlim ?   i 1 ui 1  VI) Phương pháp lượng giác hóa Kiến thức sử dụng: - Biểu diễn số hạng tổng quát dãy số cơng thức lượng giác để tính giới hạn: cơng thức nhân đôi, nhân ba, đẳng thức lượng giác - Ý tưởng chính: Nhận dạng dùng cơng thức lượng giác phù hợp để biểu diễn số hạng dãy số Chú ý số hạng đầu giác trị lượng giác đặc biệt nào? Tính nlim   Các ví dụ: Bài 1: Cho dãy số u1  u un1  2un2  Tìm giới hạn dãy số n ? n   cos 2n   cos HD: Ta có: u1  Ta có un1 Suy lim un 0 n  x1    xn2  Tìm giới hạn dãy số? Bài 2: Cho dãy số   x n 1  xn  HD: Chứng minh: xn  tan Bài 3: Cho dãy số x1   Vậy n 1 lim xn  n  1 xn1   xn  xn2  n 2 HD: Chứng minh: xn    Tìm giới hạn dãy số?   cot n n 1 Vậy lim xn  n  2 Bài 4: Cho dãy số u1 2 un1  un4 u Tìm giới hạn dãy số n ? n un  8un  Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB Giới hạn dãy số HD: Ta có: 8     an 1   8an2  8an4  2(2an2  1)2  un1 un un Mặt khác: a1  Suy lim  4n   cos Ta có un1  cos 3 un 0 n Bài 5: Cho dãy số un     Tìm giới hạn dãy số un ?    HD: Chứng minh: xn  tan  Vậy n 1 lim xn  n  Bài tập tự giải:   un2 Bài 1: Cho dãy số u1  un1  Tìm giới hạn dãy số 2n un ? 2 u  un Bài 2: Cho dãy số u1  un1  Tìm giới hạn dãy số n ? n  3un u v Bài 3: Cho dãy số u1 a 0 un1  n n , v1 b 0; b a vn1  un 1vn Tìm giới hạn hai dãy số? VI) Phương pháp sử tính chất hàm sơ (dãy số cho phương trình) Kiến thức sử dụng: - Tính chất hàm số: tính liên tục định lí liên quan: định lí giá trị trung gian, chứng minh phương trình có nghiệm nhất; đạo hàm, ứng dụng đạo hàm định lí Lagrange, - Ý tưởng chính: Sử dụng tính chất hàm số để xác định số hạng dãy số cho phương trình Các ví dụ: Bài 1: Cho xn nghiệm phương trình: x n  x n1 x n x    n1  n 2 2 Chứng minh phương trình có nghiệm dương Tính lim xn ? HD: Phương trình tương đương f n ( x )  2n x n  2n1 x n1   x   1 Ta có: f n (0)  f n ( )  nên xn   0;  Dãy số xn giảm, suy tồn giới hạn  2 n xn (1  (2 xn ) ) lim xn  a Ta có:  1 a   xn Bài 2: Ký hiệu xn nghiệm phương trình thuộc khoảng (0, 1) a) Chứng minh dãy {xn} có giới hạn Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB 1    0 x x 1 xn Giới hạn dãy số b) Hãy tìm giới hạn x HD: xn xác định hàm số f n ( x )   điệu (0, 1) Ta có: f n 1 ( x)  f n ( x )  1   liên tục đơn x 1 xn  f n 1 ( x )  có nghiệm xn1  (0; xn ) Do x  n 1 dãy số giảm Giả sử lim xn  a Ta có: 0= 1 1 1 1           0 xn xn  xn  n xn   n a a Vậy ta phải có lim xn = Bài 3: (VMO 2007) Cho số thực a > fn(x) = a10xn+10 + xn + …+x + a) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình fn(x) = a ln có nghiệm dương b) Gọi nghiệm xn, chứng minh dãy {xn} có giới hạn hữu hạn n dần đến vô HD: a) Hàm số fn(x) tăng (0, +) f (0)  f (1)  nên < xn < Chứng minh dãy xn tăng, tức xn+1 > xn Xét fn+1(xn) = a10xnn+11 + xnn+1 + xnn + … + x + = xnfn(xn) + = axn + Suy f (1)  a f ( xn )  a , xn < xn+1 < Đặt c = (a-1)/a < fn(c) – fn(xn) = kcn (với k = (a-1)((a-1)9 – 1) > 0) Theo định lý Lagrange fn(c) – fn(xn) = f’()(c – xn) với  thuộc (xn, c) Nhưng f’() = (n+10)a10n+9 + nn-1 + …+ > nên từ suy kcn > c - xn Từ ta có c – kcn < xn < c Vậy lim xn = c Bài tập tự giải: Bài 1: (VMO 2002) Cho n số nguyên dương Chứng minh phương trình 1 1     có nghiệm xn > Chứng minh n x  4x  n x 1 dần đến vô cùng, xn dần đến Bài 2: Cho n số nguyên dương > Chứng minh phương trình xn = x2 + x + có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn Hãy tìm số thực a cho giới n a ( x n  xn 1 ) tồn tại, hữu hạn khác hạn lim n  Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB ... Giới hạn dãy số Bài tập tự giải: Bài 1: Cho dãy số un  1    Tìm giới hạn dãy số? 1.2 .3 2 .3. 4 n(n  1)(n  2) 13  33  53    n  1 Bài 2: Cho dãy số u n       n  Bài 3: Cho dãy. .. tự giải: 2n Bài 1: Cho dãy số un  Tìm giới hạn dãy số? n! Bài 2: Cho dãy số u n  n  a n Tìm giới hạn dãy số?  2   n n Bài 2: Cho dãy số u n  Tìm giới hạn dãy số? nn IV) Phương pháp sử... 2012 Bài 1: Cho dãy số u1 2012 un1   un   Tìm giới hạn dãy số? Bài 2: Cho dãy số u1 2012 un1  un2  Tìm giới hạn dãy số? 2un  2n Tìm giới hạn dãy số? n! 2un  un ln  1  u  2012 Bài