(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình chứa tham số

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU 1.Cơ sở thực tiễn vấn đề nghiên cứu Trên thực tế học sinh THPT học nhiều dạng toán PT, BPT hệ PT cụ thể là: Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy bậc hai, chứa ẩn dấu chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Lớp 11 có PT lượng giác Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ logarit Trong có nhiều dạng toán cần phải thực phương pháp đặt ẩn phụ tiến hành lời giải hầu hết tốn khơng chứa tham số Tuy nhiên đề thi tuyển sinh Đại học đề thi học sinh giỏi thường có toàn đề cập đến PT, BPT chứa tham mà tiến hành lời giải phải đặt ẩn phụ tìm ĐK ẩn phụ Với mười năm làm nghề dạy học may mắn tham gia giảng dạy cho nhiều lớp ôn thi Đại học ôn thi học sinh giỏi thấy có số vấn đề cần phải giải quyết: Một là: Việc biến đổi PT, BPT đặt ẩn phụ để quy PT cho PT bậc cao học sinh giải nhiều lớp 10 lớp 11, khảo sát hàm số cách ứng dụng đạo hàm đến lớp 12 học nên làm cần phải kết hợp hai việc với học sinh lúng túng nên lời giải nhiều không chặt chẽ Hai là: Khi học sinh làm tập PT, BPT có ĐK mà lời giải có bước đặt ẩn phụ tơi thấy nhiều học sinh mắc phải sai lầm: đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm ĐK ẩn phụ tìm sai ĐK nó, tìm xác ĐK ẩn phụ lập luận PT, BPT theo ẩn phụ lại khơng xét ĐK ràng buộc nên dẫn đến kết luận khơng xác Ba là: Từ năm 2006 sách giáo khoa khơng nói đến định lý đảo dấu tam thức bậc hai, sách tham khảo xuất trước có nhiều tốn sử dụng định lý để thực việc so sánh nghiệm tam thức bậc với số cho trước nên học sinh đọc sách hoang mang Do người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi toán sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số tình khơng thể giải đơn theo kiểu tính biệt thức đenta Những vấn đề lý để chọn đề tài “Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình chứa tham số” download by : skknchat@gmail.com Mục đích nghiên cứu Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau: Một là: Giúp học sinh nhận dạng tốn phương trình, bất phương trình có chứa tham số ứng dụng đạo hàm để giải Trang bị cho học sinh phương pháp mang lại hiệu rõ nét Hai là: Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp kĩ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư sáng tạo Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện tốn PT, BPT có tham số có liên quan đến phép đặt ẩn phụ Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dạng tốn PT, BPT đặc biệt toán PT, BPT chứa tham số lời giải có việc đặt phụ Phạm vi nghiên cứu đề tài tồn chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng đặc biệt phần: PT, BPT, hệ PT quy bậc cao ẩn PT, BPT chứa ẩn dấu bậc hai chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối PT lượng giác PT, BPT mũ logarit Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp sau: -Nghiên cứu tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát (công việc dạy – học giáo viên học sinh) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn) - Phương pháp đàm thoại vấn.(lấy ý kiến giáo viên học sinh thông qua trao đổi trực tiếp) - Phương pháp thực nghiệm PHẦN HAI: NỘI DUNG Cơ sở lý luận a) Tìm số nghiệm phương trình Xét PT: , (1) Trong ẩn thực tham số thực - Số nghiệm PT (1) số giao điểm đồ thị hàm số , (có thể nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thơng qua BBT nó) đường thẳng download by : skknchat@gmail.com đường thẳng vng góc với trục Oy điểm có tung độ - Các nghiệm PT (1) hồnh độ giao điểm b) Tìm tham số tốn bất phương trình Nếu hàm số có GTLN GTNN tập xác định BPT : thỏa mãn thỏa mãn có nghiệm có nghiệm khi Trong trường hợp hàm số khơng có GTLN GTNN tập ta phải kết hợp với BBT đồ thị để có kết luận thích hợp Thực trạng vấn đề Qua thực tiễn học tập giảng dạy thân nhận thấy ứng dụng đạo hàm toán cấp THPT đa dạng đặc biệt giải phương trình,bất phương trình chứa tham số Nhưng học sinh thường không tự tin mạnh dạn sử dụng công cụ mạnh Số lượng toán nêu xuất ngày nhiều đề thi THPTQG phương pháp sử dụng chủ yếu sử dụng đạo hàm Các phương pháp tiến hành Để cho việc tiếp thu học dễ dàng chia nội dung viết thành bốn dạng sau: - Phương trình, bất phương trình bậc cao ẩn - Phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu - Phương trình lượng giác - Phương trình, bất phương trình mũ logarit Dạng 1: Phương trình, bất phương trình bậc cao ẩn Bài Tìm tham số để PT: có nghiệm bé Giải: PT (1) , (1a) , (1) có ba nghiệm phân biệt download by : skknchat@gmail.com Yêu cầu đề tương đương với PT (1a) có ba nghiệm phân biệt cho tức đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn Ta có: ; Bảng biến thiên hàm số x f ' ( x) f ( x) + + + - - 0 -2  -4  Từ BBT suy điều kiện phải tìm là: Nhận xét: Nghiệm (1a) hoành độ giao điểm đường thẳng với đồ thị hàm số tức từ giao điểm ta chiếu vng góc lên trục hồnh suy vị trí nghiệm Bài Cho hàm số Hãy tìm tham số Giải: Giả sử để suy download by : skknchat@gmail.com Thử lại: Khi hàm số liên tục đoạn suy nên Vậy ĐK phải tìm Nhận xét: Trong lời giải tốn việc giả sử suy điều kiện , khoảng giúp ta dễ dàng tìm điều kiện thỏa mãn yêu cầu đề bước kiểm chứng ngược lại Bài Tìm tham số để BPT , (2) thỏa mãn Giải: BPT (2) (2a) Đặt BPT (11) thỏa mãn BPT (2a) thỏa mãn Ta có: ; Bảng biến thiên download by : skknchat@gmail.com x f ' ( x) f ( x) + 0 Từ BBT Vậy ĐK phải tìm Nhận xét: Trong đề bậc tham số nên ta nhóm làm thừa số chung thực việc chia hai vế cho biểu thức dương để lập tham số Bài tập tương tự: Câu 1.Tìm tham số để PT: có nghiệm nhất; Câu Tìm tham số để PT: có ba nghiệm dương phân biệt: Câu Cho hàm số Tìm tham số để Dạng 2: Phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu Bài Tìm tham số để PT: ; (3) có hai nghiệm thực phân biệt: Giải: PT (3) ( với ĐK ( với download by : skknchat@gmail.com ) ) Dễ thấy , (3a) không thỏa mãn PT (3a) PT (3a) , (3b) với PT (3) có hai nghiệm thực phân biệt phân biệt thỏa mãn ĐK PT (3b) có hai nghiệm tức đường thẳng thị hàm số phải cắt đồ hai điểm phân biệt tập Ta có ; ; Bảng biến thiên x + ' f ( x) + f ( x)   Từ BBT suy ĐK phải tìm là: + Nhận xét: Sau biến đổi PT (3) PT (3a) ta thực lời giải theo cách so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số phức tạp , ứng dụng đạo hàm ta biện luận số nghiệm PT cho Bài Biện luận theo tham số số nghiệm PT: ; (4) download by : skknchat@gmail.com Giải: ĐK: , (*) Đặt với PT (4) trở thành mà Từ , (4a) Từ PT (4a) suy ĐK (*) thỏa mãn (4a) , (4b) Ta thấy số nghiệm PT (4) số nghiệm PT (4b) Xét hàm số tập R ; ; Bảng biến thiên x f ' ( x) f ( x) +   Từ BBT suy ra: - Nếu PT (4) vô nghiệm - Nếu PT (4) có nghiệm - Nếu PT (4) có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: Việc ứng dụng đạo hàm sử dụng sau biến đổi PT (4b) đương nhiên phải khảo sát hàm số phạm vi PT cho xác định Bài Tìm tham số để BPT : download by : skknchat@gmail.com (5) có nghiệm Giải: ĐK: Đặt BPT (5) trở thành với ĐK , (5a) với ĐK Xét hàm số Ta thấy BPT (5) có nghiệm BPT (5a) có nghiệm Bảng biến thiên t + f ' (t ) + f (t ) Từ BBT suy Vậy ĐK phải tìm Nhận xét: Với kiến thức lớp 10 học sinh giải tốn thơng qua việc so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số 0, nhiên phức tạp Bài tập tương tự: Câu 1.Tìm tham số để PT : có nghiệm Câu 2.Tìm tham số để BPT download by : skknchat@gmail.com có nghiệm Câu 3.Tìm tham số để PT sau có nghiệm: Hướng dẫn: Khảo sát hàm số Câu Tìm tham số đoạn để BPT: , thỏa mãn để BPT: nghiệm với Hướng dẫn : Đặt Câu Tìm tham số Dạng 3: Phương trình lượng giác Bài Tìm tham số để BPT: nghiệm (6) Giải: BPT (6) Đặt BPT trở thành (6a) với ĐK Xết hàm số BPT (6) nghiệm BPT (6a) nghiệm 10 download by : skknchat@gmail.com Bảng biến thiên t f ' (t ) + f (t ) Tư BBT suy Vậy ĐK phải tìm : Nhận xét : Bài tốn giải theo cách so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số phức tạp khơng xét hết khả Lưu ý Bài Tìm tham số để PT: , (7) có nghiệm Giải: PT (7) Đặt PT trở thành: (7a) với Xét hàm số với 11 download by : skknchat@gmail.com PT (7) có nghiệm tức đường thẳng PT (7a) có nghiệm phải cắt đồ thị hàm số khoảng suy hàm số đồng biến khoảng mà Vậy ĐK phải tìm là: Nhận xét: - Trong lời giải tốn thiết phải tìm ĐK xác cho ẩn phụ - Trước nhờ định lý đảo dấu tam thức bậc hai thực lời giải theo cách so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số phức tạp phải xét nhiều khả xảy Bài Tìm tham số để PT: , (8) có nghiệm Giải: PT (8) xác định PT (8) Đặt ; Ta PT: , (8a) với ĐK PT (8) có nghiệm PT (8a) có nghiệm 12 download by : skknchat@gmail.com Xét hàm số với hàm số nghịch biến đoạn Vậy ĐK phải tìm là : Nhận xét: - Cần để ý liên hệ - Việc tìm ĐK thực theo cách khảo sát hàm số đoạn Bài tập tương tự: Câu 1.Tìm tham số nghiệm để BPT: Câu 2.Tìm tham số để PT: Câu 3.Tìm tham số để PT: Câu 4.Tìm tham số để PT : có nghiệm có nghiệm có nghiệm Dạng 4: Phương trình, bất phương trình mũ logarit Bài Tìm tham số để PT: có hai nghiệm trái dấu Giải: Đặt ; (9) PT (9) trở thành 13 download by : skknchat@gmail.com (3a) với Nếu Nếu Do Lưu ý: với số PT PT (9) có hai nghiệm trái dấu có nghiệm ẩn PT (9a) có hai nghiệm tức đường thẳng cho phải cắt đồ thị hàm số hai điểm với ĐK hoành độ giao điểm thứ thuộc khoảng Hàm số hoành độ giao điểm thứ hai khoảng với ĐK Có Bảng biến thiên t f ' (t ) + 55 100 f (t ) -1 3 Từ BBT suy ĐK phải tìm là: Nhận xét: Nếu sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai lời giải tốn gắn gọn sách giáo khoa hành không trình bày Nhưng giải theo phương pháp phải tìm ĐK ẩn phụ, mối liên hệ số nghiệm theo ẩn phụ số nghiệm theo ẩn Bài Tìm tham số để BPT: (10) 14 download by : skknchat@gmail.com nghiệm có tính chất Giải: BPT (10) Đặt Xét tập Bảng biến thiên hàm số x g ' ( x) g ( x)  +  +  Từ BBT suy BPT cho trở thành với ĐK (10a) với 15 download by : skknchat@gmail.com Xét hàm số nửa khoảng BPT (10) nghiệm BPT (10a) nghiệm Ta có Bảng biến thiên hàm số t f ' (t ) + + f (t ) Từ BBT suy Vậy ĐK phải tìm Nhận xét: Việc tìm ĐK ẩn phụ việc tìm tập giá trị hàm số tập Bài Tìm tham số để PT: (11) có nghiệm Giải: PT (11) PT (11) có nghiệm PT (11a) có nghiệm thỏa mãn ĐK tức đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số điểm tập Ta có 16 download by : skknchat@gmail.com Bảng biến thiên x f ' ( x) f ( x) + + 0 Từ BBT suy ĐK phải tìm là: Nhận xét: - Có thể phát biểu đề theo tổng quát hơn: Biện luận theo tham số số nghiệm PT cho - Lưu ý nhờ phép biến đổi logic nên PT (11) trở thành PT (11a) với ĐK Bài tập tương tự : Câu Biện luận theo tham số số nghiệm PT: Câu Tìm tham số để BPT: có nghiệm Hướng dẫn: xét hàm số Câu Tìm tham số đoạn để PT: có nghiệm thuộc khoảng Câu Tìm tham số m để BPT: thỏa mãn với x Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập, người giáo viên nắm bắt tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên cuối học kỳ I năm học 2018 – 2019 học sinh học song phần liên quan đến nội dung viết cho lớp 12C4, 12C6, 12C5 12C9 làm kiểm tra 45 phút Trong hai lớp 12C4 12C5 lớp thực nghiệm trình triển 17 download by : skknchat@gmail.com khai đề tài hai lớp 12C6 12C9 lớp đối chứng không tham gia việc triển khai đề tài Với đề kiểm tra sau: Câu (2,5 điểm): Tìm ĐK để PT: có sáu nghiệm phân biệt: Câu (2,5 điểm ): Tìm tham số để PT: có nghiệm nhất: Câu (2,5 điểm) Tìm tham số để BPT: thỏa mãn Câu (2,5 điểm) Tìm tham số để PT: có nghiệm Sau chấm kiểm tra tơi thu kết với mức điểm tính phần trăm sau: Lớp thực nghiệm: Điểm Lớp Lớp 12C4 ( 42 HS ) Lớp 12C5 ( 42 HS ) 1 – 2,53 – 4,5 – 6,5 – 8,5 – 10 0% 5,5% 29% 38,5% 27% 2% 9% 35% 36% 18% Lớp đối chứng: Điểm Lớp Lớp 12C6 ( 42 HS ) – 2,5 – 4,5 – 6,5 11% 24% 44,5% – 8,5 – 10 18,5% 18 download by : skknchat@gmail.com 2% Lớp 12C9 ( 42 HS ) 13% 28% 44% 15% 0% Căn vào kết kiểm tra hai lớp thực nghiệm trước sau thực đề tài sáng kiến Đối chiếu so sánh kết làm hai lớp thực nghiệm hai lớp cịn lại khơng tham gia thực nghiệm ta thấy: Với nội dung trình bày viết giúp em học sinh lớp 12 thấy liên hệ chặt chẽ toán PT, BPT chứa tham số toán khảo sát hàm số đồng thời giúp em có nhìn tồn diện tốn PT, BPT chứa tham số ẩn phụ phạm vi toán học THPT góp phần đáng kể hỗ trợ cho em học sinh việc ôn thi THPT Quốc gia PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 số tự chọn nâng cao, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm ẩn phụ để tìm tham số toán PT, BPT giúp cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ số nghiệm PT với số giao điểm đồ thị hai hàm số hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm nhiều tốn tìm tham số, học sinh làm có lập luận chặt chẽ tình tìm tham số đặt ẩn phụ Kiến nghị Mặc dù Sách giáo khoa giảm tải nhiều đề thi THPT Quốc gia có nhiều khó phát triển từ tập sách giáo khoa, nên tơi mong muốn chương trình GDPT mới, sau chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Sách tập giải tích 12 có thêm tập tự luyện (có hướng dẫn) thể việc ứng dụng đạo hàm tình tìm tham số toán PT, BPT để học sinh thấy rõ ý nghĩa đạo hàm đồng thời có nhìn tồn diện tốn tìm tham số Do thời gian có hạn nên đề tài chưa áp dụng rộng rãi chắn khơng tránh hết thiếu sót Vì mong góp ý q thầy giáo bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện áp dụng phổ biến năm học tới Xin chân thành cảm ơn! 19 download by : skknchat@gmail.com XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng 04 năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết đề tài Ths Lê Thị Hằng TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ sách giáo khoa mơn tốn lớp 10,11,12, NXBGD năm 2008 Bộ sách tập mơn tốn lớp 10,11,12, NXBGD năm 2008 WWW.Violet.vn, Các đề thi, kiểm tra thử trường THPT WWW.VNMATH.COM 20 download by : skknchat@gmail.com ... cao ẩn - Phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu - Phương trình lượng giác - Phương trình, bất phương trình mũ logarit Dạng 1: Phương trình, bất phương trình bậc cao ẩn Bài Tìm tham số để PT:... BPT: Câu 2.Tìm tham số để PT: Câu 3.Tìm tham số để PT: Câu 4.Tìm tham số để PT : có nghiệm có nghiệm có nghiệm Dạng 4: Phương trình, bất phương trình mũ logarit Bài Tìm tham số để PT: có hai... Câu Cho hàm số Tìm tham số để Dạng 2: Phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu Bài Tìm tham số để PT: ; (3) có hai nghiệm thực phân biệt: Giải: PT (3) ( với ĐK ( với download by : skknchat@gmail.com