(SKKN mới NHẤT) SKKN phát triển tư duy hàm cho học sinh qua các bài toán về hệ phương trình

TÊN ĐỀ TÀI PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH QUA CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài Như biết, chuyên đề hệ phương trình, chiếm lượng lớn chương trình tốn học phổ thơng Tuy nhiên số tập có lượng lớn tập mà ta khơng thể giải phương pháp thơng thường giải gặp nhiều khó khăn phức tạp Nhưng ta biết hệ phương trình hàm số có mối liên hệ chặt chẻ với nhau, định nghĩa phương trình người ta dựa khái niệm hàm số, nên biết sử dụng kiến thức hàm số để giải tốn phương trình, hệ phương trình lời giải nhanh gọn đơn giản nhiều Tuy nhiên khơng phải tốn sử dụng hàm số để giải ứng dụng đạo hàm hàm số để giải phương trình, hệ phương trình…, lớn chon đề tài “ Phát triển tư hàm cho học sinh qua toán hệ phương trình ” nhằm giúp em học sinh có thêm phương pháp khi giải toán hệ phương trình tìm điều kiện cho hệ phương trình có nghiệm II Mục đích u cầu -Trang bị cho học sinh phương pháp giải hệ phương trìnhỉ tìm điều kiện cho hệ phương trình có nghiệm mang lại hiệu cao -Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao khã tư duy, sáng tạo giải toán III Đối tượng nghiên cứu -Các dạng tốn hệ phương trình chương trình tốn học phổ thơng - Phân loại dạng tốn thường gặp phương pháp giải IV Phương pháp nghiên cứu Phương pháp chung dạng tập này: Sử dụng tính chất tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Các mệnh đề tính chât thường dùng 1) Cho phương trình xác định Nếu hai hàm số hàm đơn điệu, hàm lại hàm số đơn điệu ngược lại với hàm phương trình có nghiệm nghiệm download by : skknchat@gmail.com 2)Nếu hàm số đơn điệu D tồn D cho 3)Phương trình f(x) = m có nghiệm m thuộc tập giá trị hàm số y = f(x) số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m 4) Các hệ phương trình giải cách làm xuất hàm đại diện Khi hàm đại diện phương trình với miền giá trị biến u v Có nghĩa tập giá trị biến t phải xác định hợp tập giá trị biến u tập giá trị biến v Trong ta chứng minh f hàm đơn điệu T (T khoảng, nửa khoảng ) Khi ta có u = v Cịn phải u v thuộc thuộc LOẠI Biến đổi phương trình hệ để đưa hàm đại diện Bài Giải hệ phương trình Lời giải ĐK : PT(1) : Hàm số : , ta có [0;4] mà nghịch biến Thay vào phương trình (2) ta KQ : (0;2) Bài Giải hệ phương trình Lời giải Coi (2) pt bậc x, y sử dụng điều kiện có nghiệm pt bậc hai ta (3) PT(1) : Xét hàm với x,y thỏa mãn (3) suy Khi download by : skknchat@gmail.com KQ : Bài Giải hệ phương trình Lời giải ĐK PT(1) Hàm số suy f đồng biến [1;+∞) Thế vào pt(2) ta Nếu sử dụng máy tính để giải (3) ta thấy có nghiệm lẻ nhỏ Do ta khơng giải trực tiếp (3) mà ta chứng minh (3) vô nghiệm [2;+∞) Thật xét hàm có Mà g(2) = 13 nên KQ (3 ;1) (3) vơ nghiệm [2;+∞) Bài Giải hệ phương trình Lời giải Đk Pt (1) đưa dạng Hàm số có vào (2) : Lại xét hàm Xét nên f đồng biến R với ta có KQ (1/2;2) Bài Giải hệ phương trình download by : skknchat@gmail.com Lời giải ĐK PT(1) có dạng với Hàm đại diện có Vậy (1) vào (2) ta có (do x > nên G(x) > 0) Bài Giải hệ phương trình Lời giải Ta thấy x = khơng thỏa mãn Xét phương trình (1) : Hàm số đồng biến Thế vào (2) ta có kq : Bài Giải hệ phương trình Lời giải ĐK PT(1) Dễ thấy Hàm đại diện suy Thế vào pt(2) ta có Ta có Suy KQ : (1 ;-1) download by : skknchat@gmail.com Bài Giải hệ phương trình Lời giải Đk : Phương trình (2) : Hàm số : có Suy hàm f nghịch biến (0;+∞) KQ (4;2) Bài Giải hệ phương trình Lời giải Đk Phương trình (1) : Hàm số : có Suy hàm số đồng biến R KQ (-1; -1) Bài 10 Giải hệ phương trình Lời giải Đk phương trình (1) : Hàm KQ : (1/2 ;1/2) có Bài 11 Giải hệ phương trình Lời giải download by : skknchat@gmail.com PT(1) tương đương với (1) suy Hàm số : Dễ thấy f’ > nên f đồng biến PT vào (2) : Vì hàm số đồng biến (0 ;+∞) mà g(1) = 10 nên phương trình có nghiệm x = KQ : (1 ;1/3) Bài 12 Giải hệ phương trình: Lời giải Điều kiện Nhận thấy Xét khơng thỏa mãn hệ phương trình : Ta có Xét hàm số có Suy hàm số f(t) nghịch biến khoàng Từ (1) ta thấy 2x+1 y dấu, tức thuộc khoảng Do Lại       thuộc khoảng vào (2), ta :  x    x   x3  x  x    x     x    x   3 x 3   x  2   x   2   x2  x  2 x   3 x 3   x  2   x  2    x  2   x   2  x   3 x 3   x  1  x     x  1  x     x  2  x2  x  2 download by : skknchat@gmail.com Do Suy Vậy nghiệm hệ phương trình Bài 13 Giải hệ phương trình Lời giải ĐK : Phương trình (1) Xét hàm đặc trưng : Có với đồng biến Mà : có dạng Thế vào (2) ta được : (t/m) Vậy : hệ có nghiệm Bài 14 Giải hệ phương trình download by : skknchat@gmail.com Lời giải ĐK Nếu Nếu y < (2) suy x > Khi nên hệ vơ nghiệm Xét hàm suy f đồng biến R mà vào (1) ta có (4) Xét hàm suy hàm số đồng biến (-∞ ;0) mà g(-3) = nên y = -3 KQ : (1/3 ;-3) Bài 15 Giải hệ phương trình Lời giải Ta thấy y ≠ ( Lê Minh) PT(1) hàm đại diện có Bảng biến thiên -∞ +∞ - + download by : skknchat@gmail.com ta có suy hàm f đồng biến từ KQ Nhận xét : Đây toán hay khó mà hàm đại diện phải sử dụng đạo hàm bậc hai chứng minh tính đơn điệu 2.Nhóm Phối hợp hai phương trình (cộng đại số, thế) để tạo hàm đại diện Loại Hệ đối xứng loại PP : Ta cộng trừ hai phương trình để làm xuất hàm đại diện Bài Giải hệ phương trình Lời giải ĐK Trừ hai phương trình theo vế ta Xét hàm Dễ thấy Do x = y Ta có phương trình Lại xét hàm có Do g(t) đồng biến mà g(0) = Vậy hệ có nghiệm (0;0) Bài Giải hệ phương trình Lời giải ĐK Ta thấy không nghiệm hệ Với Trừ hai phương trình xét hàm ta x = y Phương trình download by : skknchat@gmail.com Hàm số g(1) = Vậy hệ có nghiệm (1;1) có Loại Hệ tổng hợp Bài Giải hệ phương trình Lời giải Cộng hai phương trình ta có Xét hàm Thay vào (2) ta KQ : (1/2;-1/2), (3/4;1/4) Mà Bài Giải hệ phương trình Lời giải ĐK : Phương trình (1) tương đương với : Thay vào phương trình (2) ta có : Hàm số : R KQ : (5/2;3/2) có nên f đồng biến Bài Giải hệ phương trình Lời giải Đk (1) – (2) ta có : Xét hàm số : , Với ta có 10 download by : skknchat@gmail.com Suy hàm f đồng biến (-1 ;+∞) Từ Kq : Bài Giải hệ phương trình Giải PT(2) – 3xPT(1) ta Hàm đại diện KQ (1 ;-1) Bài Giải hệ phương trình ( Lê Minh) Lời giải ĐK y > Từ phương trình thứ hai ta có ( x−1 ) (3 y−2)2 +1=0 → x