Chuyên đề tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

CHUYÊN ĐỀ TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Tóm tắt lý thuyết

Vấn đề ①: Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước thức chứa lũy thừa

Phương pháp:

Xác định F x là một nguyên hàm của hàm số   f x sao cho   F x 0 k

Tìm nguyên hàm F x  

Thế điều kiện F x 0 k tìm hằng số C

Kết luận cho bài toán

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm F x của hàm số  f x sin 2x thỏa mãn 1

2

F   

 

Ⓐ ( ) cos( 2 ) 1

x

F x  

Ⓑ ( ) cos( 2 ) 1

x

F x    

Ⓒ ( ) cos( 2 ) 1

2

x

F x    

Ⓓ ( ) cos( 2 ) 1

x

F x  

Lời giải

Chọn B

2

x

1

F       C

 

1 2

C

 

Vậy ( ) cos( 2 ) 1

x

F x 

Vấn đề ②: Phương pháp đổi biến số

-Định lí: Cho hàm số uu x  có đạo hàm và liên tục trên trên K và hàm số y f u  liên tục sao cho

 

f u x  xác định trên K Khi đó nếu hàm số F u là một nguyên hàm của   f u , tức là:  

f u x u  x duF u x C



-Phương pháp:

Từ đó ta có hai cách đổi biến số trong việc tính nguyên hàm như sau:

Đặt biến số: t u x 

Suy ra: dtdu x un x dx rồi đưa về việc tính nguyên hàm

I f u x u x dx f t dt đơn giản hơn

Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm 2

cos xsinx dx

 ta được kết quả là

Ⓐ 2

cos x C

 

Ⓑ 1 3

cos

Ⓒ 1 3

cos

Ⓓ 1 3

sin

Lời giải

Chọn C

3

x x dx  x d x   x C

Vấn đề ③: Phương pháp từng phần

-Phương pháp:

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn  a b và có đạo hàm liên tục trên đoạn ;  a b ;

Khi đó:udvuv vdu  *

Để tính nguyên hàm  f x dx  bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Chọn u v, sao cho f x dx  udv (chú ý dvvn x dx)

Sau đó tính vdv và duu dxn

Bước 2 Thay vào công thức và tính vdu

①.Dạng 1   sin d

cos

x

x

 , trong đó P x là đa thức  

.Đặt:

  sin

cos

u P x

x

x

 





  





② Dạng 2 I P x e  ax b dx, trong đó P x là đa thứ  

.Đặt:  

d ax bd

u P x

v e  x

 





③ Dạng 3 I P x  ln mxndx, trong đó P x là đa thức  

 

ln

u mx n

v P x x



 

Ví dụ 3 Họ nguyên hàm của hàm số f x xcos 2x là

x x x

C

2

x

x x C

2

x

x x C

x x x

C

Lời giải

Chọn A

cos 2 d

I x x x

Đặt

1

2

u x

u x

v x x v x







Khi đó 1 sin 2 1 sin 2 d 1 sin 2 1cos 2

I  x x  x x x x x C

2 Bài tập

Câu 1 Tìm tất cả nguyên hàm F x của hàm số     1

f x x

x

 

A   1 2

ln 2

F x  x  x C

B   1 2

ln 2

F x  x  x

C F x  1 ln x C

D   1 2

ln 2

F x  x  x C

Câu 2: Cho hàm số    2017

f x  x Tìm tất cả các hàm số F x thỏa mãn  

4036

x

A  2018

2 1

2018 2018

x

B    2016

F x  x 

C Fn x  f x  và 1 2018

2

F 

 

D    2016

F x  x 

Câu 3: Cho hàm số f x có đạo hàm    

1

f x

x



 và f  0 1 Tính f  5

A f  5 2ln 2

B f  5 ln 4 1

C f  5  2ln 2 1

D f  5  2ln 2

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f x sin 4x

A f x dx   4cos 4x C

B  f x dx  4cos 4x C

C   1

cos 4 4

f x dx x C

cos 4 4

f x dx  x C

Câu 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số   2

1

3x

f x

x

 

f x x C

x

  

d

ln 3

x

x

f x x  C

D   3 1

d

ln 3

x

x

Câu 6: Tính nguyên hàm 1

1x dx

A log 1 x C

B ln 1 x   C

C ln 1 x C

D

1

Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số y2x1 là

A

2

2

x

x C

 

B 2x 1 C

C x2 x C

D 2x C

Câu 8: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( )sin 2 x1 là:

2

F x   x C

2

F x  x C

2

F x   x

D F x( )cos 2 x1

Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số f x 2x1 là

A x2 x

B 2

C C

D 2

x  x C

Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số ycos 3x là

A sin 3

3

x

C

 ( C là hằng số)

B sin 3

3

x C

  (C là hằng số)

C sin 3x C (C là hằng số)

D sin 3x C (C là hằng số)

Câu 11: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x sin 2018x

A cos 2018

2018

x C



2019

x C

2018

x C

D 2018cos 2018x C

Câu 12: Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) 4sin 2x2cosx e x là

A 8cos 2x2sinx e x C

B 8cos 2x2sinx e x C

C 4cos 2x2sinx e x C

x x e C

Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số   5

4 3

g x

x





A   5

3

g x x  x C

3

g x x   x C

C g x dx5ln 4 3 x C

D g x dx5ln 4 3  xC

Câu 14: Cho   3 2

f x   x x  Một nguyên hàm F x  của hàm số f x  thỏa m n F 1 2 là

A   4 3 2

F x   x x  x 

x

F x   x  x

C   4 3 2 1

x

F x   x x 

D   4 3 2

3

F x    x x x 

Câu 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A e xdxe xC

B sin xdxcos x C

C 2 dxx x2C

D 1dx ln x C

x  

Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số f x sin 2x là

A cos 2x C

B cos 2x C

C cos x C2 

D 2

sin x C

 

Câu 17: Nguyên hàm sin 2 dx x bằng:

A 1cos 2

B cos 2x C

C 1cos 2

D cos 2x C

Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f x e xcosx là

A e xsinx C

B

1

sin 1

x

e

x C x



C x sin

e  x C

D

1

sin 1

x

e

x C x



Câu 19: Tìm nguyên hàm F x của hàm số   f x 1000 x

A F x 1000xC

B   3

3.10 ln10x

C   1000 1

1

x

x



D   103

3ln10

x

F x  C

Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số y2x?

A 2 d 2

ln 2

x x

x C

B 2 dx xln 2.2xC

C 2 d 2

1

x x

x



D 2 dx x2xC

ĐÁP ÁN

1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.C 7.C 8.A 9.D 10.A

11.C 12.D 13.B 14.B 15.B 16.C 17.A 18.C 19.D 20.A

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí