(SKKN mới NHẤT) SKKN hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất nguyên hàm tích phân để giải một số phương trình chứa f(x) f(x) trong đề thi TH

MỤC LỤC Trang Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận skkn 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường………………………… 19 Kết luận, kiến nghị 20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Với xu đổi phương pháp giáo dục giáo dục, trình dạy học để thu hiệu cao địi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Ý thức điều đó, tơi ln tích cực học tập; khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Trong giảng dạy, ln nghiên cứu, trao đổi với đồng nghiệp, tìm tịi phương pháp phù hợp nhằm giúp học sinh thích nghi tốt với thay đổi hình thức thi THPT Quốc Gia Đặc biệt năm học 2016 - 2017 (Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017), mơn Tốn áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Đây thử thách hội không với giáo viên mà với học sinh giảng dạy học tập tầm phát triển nhiều học sinh lo lắng Việc chuyển từ thi tự luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa với việc thay đổi cách học, cách làm quen thuộc em Do hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn câu hỏi rộng nên việc tìm tịi tài liệu dạy học mơn Tốn theo hình thức thi trắc nghiệm nhiệm vụ quan trọng hoạt động chuyên môn Trong chuyên đề ơn luyện thi THPT Quốc Gia có nhiều chun đề hay áp dụng như: Các toán vận dụng Toán học vào thực tế; Bài toán cực trị hình học; …Tuy nhiên, chun đề tích phân khai thác câu vận dụng với hàm tổng quát chưa cụ thể học sinh khó Vì để xây dựng hướng tiếp cận rõ ràng , quen nhìn nhận học sinh sử dụng tính chất tích phân để tính tích phân hàm số chưa xác định biểu thức (dạng chống bấm máy tính) Trong khn khổ đề tài Vì tơi lựa chọn đề tài“ Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm Tích phân giải số phương trình chứa đề thi THPT Quốc Gia.” 1.2 Mục đích nghiên cứu Phương trình chứa dạng tốn khai thác khơng nhiều sách giáo khoa Nhưng đề thi THPTQG lại dạng nội dung Nguyên hàm – Tích phân theo hướng chống bấm máy tính áp dụng chất Toán Đây hướng khai thác với học sinh nên tài liệu dạy học; Trong đề thi THPTQG, hay đề thi thử trường tồn quốc lại khai thác với câu mức độ vận dụng, chí vận dụng cao Mục đích: Xây dựng dạng - nhận dạng - nêu dạng tổng quát (nếu có) rèn luyện kĩ giải dạng toán “ Giải phương trình chứa ” download by : skknchat@gmail.com Qua học sinh định hướng giải được, giải đúng,giải nhanh dạng toán liên quan đề thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu +) Lớp 12A5;12A6 năm học 2018-2019 trường THPT Đông Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phối hợp nhiều phương pháp chủ yếu phương pháp: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết : Dựa sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia , đề minh họa , đề thi thử trường THPT làm tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ phân tích, nhận dạng áp dụng lí thuyết vào tốn cụ thể Phương pháp thực hành: Soạn thiết kế chuyên đề theo phương pháp định hướng lực, tiến hành thực nghiệm lớp 12A5 lớp12A6 năm học 2018-2019 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm *.Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “ Phương pháp giáo dục phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ” 2.1.1.Dựa vào kiến thức nguyên hàm sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao + Định nghĩa nguyên hàm + Tính chất chât nguyên hàm 2.1.2 Dựa vào kiến thức tích phân sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao + Cơng thức định nghĩa tích phân: Cho hàm số f liên tục K a,b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K thì: + Các tính chất tích phân Các hàm số f, g liên tục K a,b,c ba số thuộc K Khi ta có: a) ; b) c) download by : skknchat@gmail.com d) e) với f) 2.2 Thực trạng vấn đề Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn với tính tích phân hàm số cụ thể học sinh bấm máy tính để chọn đáp án, chất kiến thức tốn khơng áp dụng Chính giáo dục đào tạo xây dựng đề thi trọng nhiều dạng toán học sinh phải vận dụng chất kiến thức Toán vào thi Ban đầu gặp dạng toán chứa mức độ sách giáo khoa Giải Tích 12 học sinh suy luận Khi tốn mức độ yêu cầu vận dụng học sinh lúng túng khơng có định hướng giải tốn cách chủ động Đề thi THPT Quốc Gia đề minh họa, đề thi thử có câu chứa mức độ vận dụng chí mức độ vận dụng cao Trong q trình giảng dạy học sinh tơi nhận thấy em cịn gặp nhiều khó khăn cách nhận dạng, phương pháp giải kĩ giải Vì xây dựng đề tài “Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm Tích phân giải số phương trình chứa 2.3 Giải pháp cụ thể đề thi THPT Quốc Gia ” Bài toán xây dựng : Cho hàm số xác định liên tục khoảng K cho trước , thỏa mãn liên hệ cho trước Tìm tính chất Phương pháp: + Vận dụng công thức đạo hàm phép tốn đạo hàm đưa phương trình chứa dạng định + Lấy ngun hàm tích phân phương trình (*) , xác , + Vận dụng tính chất Bài tốn Cho Tìm tính chất , biết download by : skknchat@gmail.com Đây toán ban đầu quen thuộc với học sinh, câu hỏi nhận biết hay thơng hiểu, nhưnglại tốn sở toán sau Để giải toán học sinh cần nhớ khái niệm nguyên hàm thực Phương pháp: + Lấy ngun hàm vế (1) ta có + Dựa vào điều kiện cho tìm số C phù hợp Ví dụ 1: [MH-THPTQG2018] Cho hàm số A Lời giải : xác định liên tục Tính giá trị biểu thức B Ta có thỏa mãn C D Theo giả thiết , nên Do Chọn đáp án A Ví dụ 2: [ Thi thử THPTQG trường Lương Thế Vinh 2019] Hai người A B cách 180m đoạn đường thẳng chuyển động thẳng theo hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian, A chuyện động với vận tốc , B chuyển động với vận tốc (a số), t (giây) khoảng thời gian từ lúc A, B bắt đầu chuyển động Biết lúc đầu A đuổi theo B sau 10 (giây) đuổi kịp Hỏi sau 20 giây, A cách B mét? A 320 (m) B 720 (m) C 360 (m) D 380 (m) Đây toán hay gặp liên quan đến chuyển động, yêu cầu học sinh nhớ ứng dụng học đạo hàm Lời giải: Ta có nên theo Quãng đường người A 10 giây kể từ bắt đầu chuyển động download by : skknchat@gmail.com Quãng đường người B 10 giây kể từ bắt đầu chuyển động Vì sau 10 giây người A đuổi kịp người B người A lúc ban đầu cách người B 180m nên ta có phương trình suy Quãng đường người A 20 giây kể từ bắt đầu chuyển động Quãng đường người B 20 giây kể từ bắt đầu chuyển động Khoảng cách hai người A người B sau 20 giây Chọn đáp án D Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho hàm số Phương trình A B xác định có hai nghiệm , C Bài 2: Cho hàm số xác định A thỏa mãn Tính tổng D thỏa mãn , Giá trị biểu thức B C D Bài 3: [MH- THPTQG2017] Một ô tô chạy với tốc độ người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với , khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? A B C D download by : skknchat@gmail.com Bài toán Tìm hàm số biết với có cơng thức xác định Khi gặp phương trình (2) đặt câu hỏi cho học sinh gợi nhớ công thức đạo hàm nào? Từ liệu có đưa Bài tốn hay không? xây dụng phương pháp thực Phương pháp: + Biến đổi phương trình (2) dạng + Lấy ngun hàm vế ta có Ví dụ 3: Cho hàm số xác định liên tục Biết Khi phương trình B C A Lời giải : có nghiệm? D Suy ra: Từ Phương trình có nghiệm trái dầu Ví dụ 4:Cho hàm số liên tục Chọn đáp án A Cho giản tổng sau A Lời giải : Ta B với phân thức tối Mệnh đề đúng? C D có download by : skknchat@gmail.com Mà Mặt khác nên Khi Bài tập áp dụng Chọn đáp án D Bài 4: Cho hàm số xác định liên tục Khi phương trình B A Bài 5: Cho hàm số điều kiện có nghiệm? D C xác định liên tục , giá trị Biết ; thỏa mãn đồng thời , Tính A B Bài 6: Cho hàm số mãn C D có đạo hàm liên tục đoạn A đồng thời thỏa Tính B Bài 7: Cho hàm số C D xác định liên tục với Tính thỏa mãn A B C D Bài 8:[THPTQG-2017] Cho hàm số với A thỏa mãn Giá trị B C D download by : skknchat@gmail.com Bài tốn Tìm biết thỏa mãn phương trình hàm số xác định Khi gặp phương trình (3) học sinh gợi nhớ cơng thức đạo hàm tích Dẫn dắt dạng Bài tốn 1cơ bản, để tự tìm phương pháp giải Phương pháp : + Biến đổi phương trình (3) dạng + :ấy ngun hàm ta có Ví dụ 5: Cho hàm số A B liên tục ,với ta có Có giá trị a để C Hướng dẫn học sinh cách tìm hàm D quan sát biểu thức trước x từ nhận xét biến đổi theo tốn Lời giải: Ta có Vậy nên Suy Vậy , mà ,để ta có phương trình giá trị cần tìm Chọn đáp án B Ví dụ 6: Cho hàm số thỏa mãn A , Giá trị B , C D Học sinh lo sợ phương trình cho có đạo hàm cấp Hãy cho học sinh quan sát kỹ để có phép tương ứng đạo hàm cấp hai đạo hàm cấp hàm Lời giải: , đưa dạng cần tìm tốn trở nên dễ dàng Ta có: , , download by : skknchat@gmail.com Do nên ta có Mà nên ta có Vậy Do đó: Do Chọn đáp án D Trong hàm , có hàm số đặc biệt mà đạo hàm hay ngun hàm khơng thay đổi , đáy hàm Tận dụng thú vị ta xây dụng thêm số toán liên quan mà ta nhân thêm để đạo hàm tích bất ngờ thơng qua Bài toán 3.1, Bài toán 3.2, Bài toán 3.3 Bài tốn 3.1: Tìm hàm số biết thỏa mãn phương trình Phương pháp : + Biến đổi phương trình (3.1) dạng Bài toán cách nhân vế với + Ta có nguyên hàm ta có + Lấy Ví dụ 7:[THPT Thăng Long-Hà Nội 2018] Cho hàm số liên tục thỏa mãn Tính A Lời giải : B C D Chọn đáp án B Ví dụ 8: Cho hàm số có đạo hàm cấp 2, liên tục thỏa mãn Tính A B C D Đây tốn nhìn lạ mắt Ta để ý đến dạo hàm cấp có biểu download by : skknchat@gmail.com thức hẳn có biểu thức chứa đạo hàm lên Do biểu thức liên quan đến tổng nên ta nghĩ tới đạo hàm tổng tích Vì ta đưa biểu thức tổng quen thuộc Bài toán Lời giải: Ta có Với Xét phương trình Suy Ta có , mà Ta lại có Chọn đáp án A Bài tốn 3.2 Tìm hàm số biết thỏa mãn phương trình Phương pháp : + Biến đổi phương trình (3.2) dạng Bài tốn cách nhân vế với + Ta có nguyên hàm ta có + Lấy Ví dụ 9: [Thi thử trường chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi 2018] Cho hàm số liên tục A Lời giải: Tính thỏa mãn B C D 10 download by : skknchat@gmail.com Mà Chọn đáp án D Trong toán 3.1 hay toán 3.2 ta xét hệ số đặc biệt hay -1 Câu hỏi đặt thay đổi hệ số khác có hay khơng? Dẫn dắt đến Bài toán 3.3 tổng quát Bài toán 3.3: Tìm hàm số biết thỏa mãn phương trình Phương pháp : + Biến đổi phương trình (3.3) dạng Bài toán cách nhân vế với + Ta có nguyên hàm hai vế ta có + Lấy Ví dụ 10: Cho hàm số liên tục thỏa mãn Tính A Lời giải : B C D Mà Chọn đáp án C Bài tập áp dụng Bài 9: Cho hàm số thỏa mãn Khi 11 download by : skknchat@gmail.com có giá trị A B Bài 10: Cho hàm số Tính A D thỏa mãn B Bài 11:Cho hàm số C.1 D thỏa mãn Tính A C.1 B Bài 12: Cho hàm số có mãn C.1 D liên tục nửa khoảng thỏa Khi đó: A B C .D Bài tốn Tìm biết thỏa mãn phương trình , hàm số xác định Khi gặp phương trình (4) học sinh gợi nhớ cơng thức đạo hàm thương Dẫn dắt dạng Bài toán 1cơ bản, để tự tìm phương pháp giải Phương pháp : +Biến đổi phương trình (4) dạng + Lấy nguyên hàm vế ta có 12 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 11: Cho hàm sớ có đạo hàm liên tục và thỏa mãn Tính A B C Hướng dẫn học sinh cách tìm hàm D quan sát biểu thức trước x từ nhận xét mẫu số , biến đổi theo toán dạngđạo hàm thương hai hàm số Lời giải : Do nên Do nên Vậy Chọn đáp án B Ví dụ 12: Cho hàm số , , thỏa mãn Tính A B C D Bài tốn nhìn giống dạng việc xuất hệ số hàm đạo hàm cấp làm cho học sinh thấy lạ mắt, hướng dẫn học sinh nhận định số lũy thừa đạo hàm xuống định hướng tìm hàm mẫu số Lời giải: Ta có: Do 13 download by : skknchat@gmail.com .Chọn đáp án C Bài tập áp dụng: Bài 13: Cho hàm số liên tục có đạo hàm thỏa mãn điều kiện: Khi A đồng thời nằm khoảng nào? B Bài 14: Cho hàm số C D có đạo hàm cấp liên tục thỏa mãn Mệnh đề sau đúng? A B C Bài 15: Cho hàm số Có đạo hàm liên tục , A Bài toán 5: Tìm D B Tính Biết C biết D thỏa mãn phương trình , hàm số xác định Khi gặp phương trình (5) điều đặc biệt có chứa hàm bậc hai, học sinh gợi nhớ công thức đạo hàmcủa hàm thức Dẫn dắt dạng Bài tốn bản, để tự tìm phương pháp giải Phương pháp : +B iến đổi phương trình (4) ta có ngun hàm ta có + Lấy 14 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 13: Cho hàm số liên tục, không âm đoạn , giá trị lớn A , hàm số B , , thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ đoạn C , D , Khi quan sát toán ta thường quan tâm đến biểu thức dấu bậc hai đạo hàm nào, nhìn đạo hàm dấu thức có biểu thức Lời giải : từ ta có cách giải tốn Từ giả thiết Suy Do Vậy , hàm số Ta có liên tục, , xét hàm số có hồnh độ đỉnh loại Suy , Ví dụ 14: Cho hàm số Chọn đáp án A đồng biến nhận giá trị dương ; thỏa mãn liên tục, Mệnh đề đúng? A C B D Lời giải: 15 download by : skknchat@gmail.com Hàm số đồng biến Mặt khác nên suy liên tục, nhận giá trị dương nên , , ; ; Từ suy Chọn đáp án B Bài tập áp dụng: Bài 16: Cho hàm số liên tục, Tính B A Bài 17: Cho , thỏa mãn C D không âm thỏa mãn điều kiện Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số B A Bài 18: Cho C D xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến mãn Giá trị A B Bài toán 6: Tìm hàm số bằng: C biết thỏa D thỏa mãn phương trình Phương pháp : + Biến đổi phương trình (6) dạng + Lấy nguyên hàm vế ta có 16 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 15: Giả sử hàm số liên tục, dương Khi hiệu A Lời giải : B ; thỏa mãn C có giá trị D Ta có Vậy , mà Do Nên Chọn đáp án A Ví dụ 16: Cho hàm số Biết có đạo hàm liên tục để phương trình A B Lời giải : thỏa mãn Tìm giá trị thực tham số có hai nghiệm thực phân biệt C D Ta có Mà Ta có với giá trị thực biệt phương trình Vậy để phương trình Chọn đáp án C Bài tập áp dụng: Bài 19: Giả sử hàm số thỏa mãn đúng? A , có suy Suy ứng có hai nghiệm phân nghiệm phân biệt liên tục, nhận giá trị dương , với B .C Bài 20: Cho hàm số mãn , Mệnh đề sau D có đạo hàm liên tục đoạn Biết , tính , thỏa 17 download by : skknchat@gmail.com A B C D Khi dạy học sinh phần kiến thức vận dụng tơi xây dựng từ tốn để học sinh không thụ động tiếp nhận mà tiếp nhận cách tự nhiên Chính đưa Bài tốn mang tính chât tổng quát dành cho việc vận dụng rộng đa dạng dành thời lượng cuối cùngcủa chuyên đề Bài toán 7.Tìm hàm số biết thỏa mãn phương trình Vói hàm cho trước Phương pháp : + Biến đổi phương trình chứa (7) Bài tốn cách nhân vế với + Ta có + Lấy ngun hàm hai vế ta có Ví dụ 17: [Thi thử trường THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An -2018] Cho hàm số liên tục , thỏa mãn Tính A B C D Lời giải: Ta tìm , nên nhân vế (*) cho ta có Mà Chọn đáp án C Ví dụ 18: Cho hàm số liên tục , thỏa mãn Biết Tính A Lời giải: B Theo tốn tổng qt 1.8 để thỏa mãn điều kiện Chia vế phương trình đề cho C D phải độc lập, ta tìm cách biến đổi ta có 18 download by : skknchat@gmail.com Ta tìm , nên nhân vế (*) cho ta có Mà Chọn đáp án D Bài tập áp dụng Bài 21:[HKII Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM-2018] Cho hàm số liên tục , thỏa mãn Tính A B C D Bài 22: [Thi thử THPTQG Cẩm Bình – Hà Tĩnh-2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục , thỏa mãn Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ là A B C D Bài 22: [Thi thử THPTQG Cẩm Bình – Hà Tĩnh-2018] Cho hàm số A có đạo hàm liên tục Tính B Bài 23: Cho hàm số B C D Có đạo hàm liên tục , A , thỏa mãn Tính C Biết D 19 download by : skknchat@gmail.com 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm - Trong năm học 2018- 2019 xây dựng hai đề kiểm tra mức độ tương đương kiểm tra học sinh lớp 12A5, 12A6 Đề số 1 : Trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Đề số 2 : Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Tỉ lệ điểm Lớp Sĩ số 12A5 12A6 41 Trước áp dụng SKKN Giỏi Khá TB Yếu 2% 15% 73% 10% Sau áp dụng SKKN Giỏi Khá TB Yếu 15% 30% 50% 5% 40 10% 30% 30% 52% 8% 50% 18% 3% KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sau thời gian áp dụng đề tài giảng dạy thấy : số lượng học sinh giải dạng tập dạng tăng lên rõ rệt em tự tin chủ động việc tìm tịi lời giải ,có tư dạng tập tăng lên (có thể em chưa giải đúng) điều quan trọng giúp em thấy không hoang mang gặp dạng toán , động lực để em u thích mơn tốn Qua hai đề kiểm tra ta nhận thấy kết học tập học sinh tiến rõ dệt, tỉ lệ học sinh đạt yêu cầu nâng cao Trong lần thi kiểm tra kiến thức thi THPT Quốc Gia thông qua đề thi thử trường THPT hầu hết học sinh học đề tài hồn thành tương đối có liên quan đến đề tài Điều thể tính ững dụng đề tài 3.2 Kiến nghị Thời gian tiến hành làm đề tài , thấy đề tài rộng, với lượng kiến thức THPT chưa nhiều thời gian nghiên cứu cịn có hạn Vì tơi đưa dạng , dễ hiểu, dễ áp dụng cho học sinh THPT Tơi mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài đầy đủ hoàn thiện Mặt khác mong muốn bạn đồng nghiệp tiếp tục viết thêm skkn liên quan đến chun đề tơi để hồn thiện bổ sung thêm phương pháp dạy học giúp em lĩnh hội tốt chuyên đề XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2019 20 download by : skknchat@gmail.com Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trịnh Thị Thương 21 download by : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Các đề thi minh họa, đề tham khảo đề thi thức giáo dục đào tạo kì thi THPT Quốc Gia [2] Đặng Việt Đơng -Tích phân hàm ẩn [3] Nguyễn Minh Tuấn- Các nguyên hàm – tích phân vận dụng - vận dụng cao 22 download by : skknchat@gmail.com 23 download by : skknchat@gmail.com ... giải kĩ giải Vì tơi xây dựng đề tài ? ?Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm Tích phân giải số phương trình chứa 2.3 Giải pháp cụ th? ?? đề thi THPT Quốc Gia ” Bài toán xây dựng : Cho hàm. .. Trong khn khổ đề tài Vì lựa chọn đề tài“ Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm Tích phân giải số phương trình chứa đề thi THPT Quốc Gia.” 1.2 Mục đích nghiên cứu Phương trình chứa dạng... LIỆU THAM KHẢO [1] Các đề thi minh họa, đề tham khảo đề thi th? ??c giáo dục đào tạo kì thi THPT Quốc Gia [2] Đặng Việt Đơng -Tích phân hàm ẩn [3] Nguyễn Minh Tuấn- Các nguyên hàm – tích phân vận dụng