(SKKN mới NHẤT) SKKN hướng dẫn học sinh sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập phần phương trình và bất phương trình

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .2 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng .4 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình 2.3.2 Sử dụng tính đơn điệu hàm số tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước 2.4 Hiệu 14 2.4.1 Tổ chức thực nghiệm 15 2.4.2 Kết thực nghiệm 15 KẾT LUẬN 3.1 Kết luận 16 3.2 Kiến nghị 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Ngày nay, mà trí tuệ trở thành yếu tố hàng đầu thể quyền lực sức mạnh quốc gia, nước giới ý thức giáo dục không phúc lợi xã hội, mà thực đòn bẩy quan trọng để phát triển kinh tế, phát triển xã hội Ở Việt Nam giáo dục Đảng, Nhà nước coi quốc sách hàng đầu Chính sách giáo dục ln hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề Vì vậy, trường phổ thơng nói chung trường THPT Lam Kinh nói riêng, bên cạnh việc quan tâm giáo dục đại trà, giáo dục mũi nhọn coi trọng Mỗi giáo viên trường dều có ý thức trau dồi chun mơn, tìm cách nâng cao hiệu qủa tập học sinh Trong chương trình Tốn THPT nội dung phần phương trình, bất phương trình phân bố xuyên suốt ba khối lớp Tuy nhiên, sách giáo khoa giới thiệu dạng phương trình, bất phương trình đơn giản, số phương pháp giải thường dùng Trong đó, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh đề thi THPT quốc gia lại nội dung khó Vì vậy, tơi mong muốn bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá, giỏi lực giải tập phần phương trình bất phương trình đáp ứng tốt yêu cầu kiến thức, kỹ để thực tốt phần tập đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thi THPT quốc gia Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình giới thiệu chương trình sách giáo khoa muộnchương II, Giải tích 12 Nhưng lại phương pháp giải đem lại hiệu bất ngờ, giúp giải tốn nhanh chóng, thuận lợi hơn, gây hứng thú cho học sinh Và, nghĩ đến việc cho em tiếp cận phương pháp sớm hơn- từ lớp 10, tạo tiền đề tảng cho kỹ sử dụng công cụ hàm số giải toán; đồng thời giúp em phát huy tối đa tính sáng tạo việc tìm đường giải tốn nhanh nhất, hay Từ em tích lũy kiến thức, hình thành kỹ để làm tốt tập phần phương trình, bất phương trình ba khối Xuất phát từ lí mà tơi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải tập phần phương trình bất phương trình” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh hình thành phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải tập phần phương trình bất phương trình từ lớp 10 - Cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ để học sinh giỏi giải tốt tập phương trình bất phương trình đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thi THPT quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu download by : skknchat@gmail.com - Phương trình bất phương trình vơ tỉ, phương trinh lượng giác, phương trình bất phương trình mũ, logarit - Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải tập phần phương trình bất phương trình 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu lí luận phương pháp dạy học mơn Tốn, nghiên cứu tài liệu phương trình bất phương trình - Quan sát, điều tra: Thông qua thực tế giảng dạy thân học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp - Thực nghiệm sư phạm: Để kiểm nghiệm kết đề tài áp dụng thực tiễn dạy học NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán phương trình bất phương trình học sinh cần nắm vững kết sau: 1, [3] Cho hàm số bậc hai + Nếu hàm số nghịch biến khoảng đồng biến khoảng + Nếu hàm số đồng biến khoảng nghịch biến khoảng + Bảng biến thiên Nếu x -∞ y Nếu x +∞ +∞ +∞ -∞ +∞ download by : skknchat@gmail.com y -∞ -∞ 2, [5] Cho hàm số xác định khoảng Nếu (hoặc ) với hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng ( Dấu xảy số hữu hạn điểm) 3, Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng phương trình khoảng có tối đa nghiệm 4, Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng phương trình 5, Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng bất phương trình ( ) 6, Cho hàm số liên tục tập D + Phương trình có nghiệm tập D + Bất phương trình có nghiệm tập D + Bất phương trình có nghiệm tập D + Bất phương trình nghiệm với + Bất phương trình nghiệm với 7, [5] Cho hai hàm số có đồ thị (C1) (C2) Khi số nghiệm phương trình số giao điểm (C1) (C2) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Phương trình bất phương trình nội dung tảng tốn học phổ thơng Xuất chương trình sách giáo khoa mức độ bản, lại xuất mức độ vận dụng đề thi học sinh giỏi thi THPT quốc gia Khi tiếp cận phương trình bất phương trình không mẫu mực đa số học sinh lúng túng không hào hứng Các phương pháp giải thường dùng bình phương hai vế, đặt ẩn phụ, nhân liên hợp khơng có hiệu nhiều tốn áp dụng lại thiếu tính tự nhiên 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình Dạng 1: Phương trình đưa dạng f(x) = g(x) (I), f(x) hàm đồng biến, g(x) hàm nghịch biến hàm Các bước giải: download by : skknchat@gmail.com + Tìm tập xác định phương trình + Đưa phương trình dạng (I) + Chứng minh f(x) hàm đồng biến, g(x) hàm nghịch biến hàm + Nhận xét phương trình có tối đa nghiệm, nhẩm để tìm nghiệm kết luận nghiệm Ví dụ 1: [7] Giải phương trình: Phân tích: Đối với phương trình (1) học sinh nghĩ đến phương pháp bình phương hai vế để giải trình biến đổi đại số phức tạp Cũng nghĩ đến phương pháp nhân liên hợp khơng phải học sinh tìm biểu thức liên hợp Trong học sinh dễ dàng nhận x tăng hai biểu thức tăng, nghĩa hàm số vế trái đồng biến, hàm số vế phải hàm Vì vậy, dùng phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình (1) nhanh thuận lợi Lời giải : Tập xác định Xét hàm số tập Ta có nên hàm số f(x) đồng biến tập Do phương trình Mặt khác có nghiệm nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Lời bình: Như sau phân tích tốn, định hướng cách giải, thực theo bước giải giáo viên nêu trên, học sinh đưa lời giải cách nhanh chóng tự nhiên Và bạn thấy cách giải ưu việt Chúng ta tiếp tục khẳng định ngắn gọn, súc tích, tự nhiên, dễ hiểu phương pháp giải thơng qua ví dụ Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) Phân tích: Đánh giá sơ từ hai vế phương trình học sinh nhận định : bình phương hai vế phương trình dẫn đến phương trình bậc cao, nhân với biểu thức liên hợp khó để xác định biểu thức liên hợp Vì giáo viên gợi ý giúp học sinh sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình (2) Nhận xét: Khi giá trị x tăng giá trị biểu thức tăng, giá trị biểu thức lại giảm Lời giải: Điều kiện xác định: download by : skknchat@gmail.com Xét hàm số Ta có: nên f(x) hàm đồng biến tập D Xét hàm số Ta có nên hàm số g(x) nghịch biến tập D Do phương trình (2) có tối đa nghiệm tập D Mặc khác: nên x = nghiệm phương trình (2) Ví dụ 3: Giải phương trình: Với nhận xét (3) ta biến đổi phương trình (3) sau: Phương trình (3) Học sinh nhận xét vế trái ln dương, phương trình (3) vơ nghiệm Khi hướng dẫn học sinh biến đổi phương trình thành: Sau xét tập Ta có Do hàm sơ nghịch biến tập phương trình (3) Ví dụ 4: Giải phương trình: Mà f(1) = Vậy x = nghiệm (4) Nhận xét: biến đổi phương trình (4) thành dễ dàng nhận thấy vế trái hàm đồng biến, vế phải hàm Vì sử dụng chiều biến thiên hàm số để giải phương trình (4) lựa chọn tối ưu Lời giải: Tập xác định Xét Ta có : Do hàm số đồng biên tập D, mà f(1) = nên x = nghiệm phương trình download by : skknchat@gmail.com Tiếp theo ta khẳng định tính ưu việt cơng cụ hàm số ví dụ dạng Dạng 2: Phương trình (bất phương trình) đưa dạng f(u) = f(v) (hoặc dạng f(u) > f(v)) (II); u = u(x), v = v(x), f(t) hàm đồng biến nghịch biến Các bước giải: + Tìm tập xác định phương trình + Đưa phương trình (bất phương trình) dạng (II) + Xét hàm số f(t) chứng minh f(t) hàm đồng biến nghịch biến + Khi phương trình bất phương trình f(t) hàm đồng biến f(t) hàm nghịch biến + Giải phương trình u = v (hoặc bất phương trình u > v bất phương trình u < v) + Kết luận nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình: (5) Phân tích: Khi giao tập cho học sinh quan sát em giải vấn đề Một số em lúng túng cách mà em hay sử dụng lập phương hai vế, đặt ẩn phụ không khả thi Một số khác tốt dùng máy tính tìm nghiệm phương trình x = -1, sau giải tốn cách nhân liên hợp Ta theo dõi tiếp cách làm em: Nhưng đến em lại khơng thể giải phương trình cịn lại Chúng ta thấy việc giải phương trình cịn lại phức tạp Vậy ta khơng áp dụng phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình (5) Trước tiên hướng dẫn em biến đổi phương trình (5) dạng (II) Ta có: (5.1) Xét hàm số có Nên hàm số đồng biến Do đó: download by : skknchat@gmail.com Pt Vậy phương trình (4) có nghiệm: Ngạc nhiên, thích thú điều mà tơi nhìn thấy em Từ tốn em cho “ khó ơi”, toán bị “tắc” chừng, em “ chinh phục” vài bước giải ngắn gọn Ví dụ 2: [8] Giải phương trình: Lời giải: Đặt (6) ; Khi phương trình (6) trở thành (6.1) Xét hàm số có nên hàm số đồng biến Do từ phương trình (6.1) ta có: Vậy nghiệm phương trình (6) Ví dụ 3: Giải phương trình: Lời giải: Biến đổi Pt Xét hàm số (7) (7.1) có Do hàm số đồng biến Do Pt Vậy phương trình (7) có nghiệm là: Ví dụ 4: Giải bất phương trình: (8) download by : skknchat@gmail.com Lời giải: Điều kiện: Xét hàm số Ta có , Nên hàm số đồng biến Mà nên Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình (8) Ví dụ 5: [8] Giải bất phương trình: (9) Lời giải: Điều kiện: Đặt Khi bất phương trình (9) trở thành: Xét hàm Hàm số tổng hai hàm đơn điệu giảm nên hàm đơn điệu giảm Mặt khác nên Với ta có Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình (9) là: Đến có lẽ ta phủ nhận “ hấp dẫn” phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trinh bất phương trình 2.3.2 Sử dụng tính đơn điệu hàm số tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Một số thầy cô thường “để dành” đến học ứng dụng đạo hàm hướng dẫn em dùng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình bất phương trình Nhưng tơi thiết nghĩ nên cho em tiếp cận phương pháp từ lớp 10 Hãy cảm nhận hiệu tuyệt vời thơng qua tốn tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Các bước giải : + Đưa phương trình (bất phương trình) dạng : ( hoặc ) ( Ta thường gọi bước ‘cô lập’ tham số) + Xét hàm số f(x) lập bảng biến thiên + Từ kết bảng biến thiên kết luận điều kiện tham số m download by : skknchat@gmail.com Chú ý : Trường hợp phương trình, bất phương trình chứa biểu thức phức tạp ta thường phải đặt ẩn phụ theo bước sau : + Đặt ẩn phụ t = u(x) + Từ điều kiện ẩn x, ta tìm điều kiện ẩn phụ t + Đưa phương trình (hoặc bất phương trình) ẩn x phương trình (hoặc bất phương trình) ẩn t, có dạng h(t) = g1(m) (hoặc dạng h(t) > g1(m) dạng h(t) < g1(m)) + Xét hàm số h(t) lập bảng biến thiên + Từ kết bảng biến thiên kết luận điều kiện tham số m Ví dụ 1: [7] Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với (1) Phân tích : Ta biến đổi để phần chứa biến biểu thức biểu thức ngồi trở nên giống Vì vậy, nên đặt ẩn phụ để đưa bất phương trình (1) thành bất phương trình bậc hai quen thuộc Bước em sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai định lí Viet để giải toán Nhưng hướng dẫn em giải tiếp toán cách sử dụng tính đơn điệu hàm số để xem hấp dẫn phương pháp Lời giải: Tập xác định: Đặt với Khi ( Cách tìm điều kiện ẩn phụ khơng phải nội dung sáng kiến nên xin phép khơng trình bày) Bất phương trình (1) trở thành: (1.1)  Bất phương trình (1.1) Bất phương trình (1) nghiệm với nghiệm với Xét hàm số Lập BBT hàm số: t f(t) 10 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: Bất phương trình (1) nghiệm với Lời bình: Ta thấy ngắn gọn, súc tích lời giải Học sinh tơi thích thú với cách giải Và tự nhiên, sau biết đến phương pháp 10 download by : skknchat@gmail.com lựa chọn em giải tập tương tự Nó lơi hấp dẫn em nhiều so với việc dùng định lí dấu tam thức bậc hai định lí Viet Nhất học sinh lớp 10, em thực thích thú khám phá thêm vẻ đẹp toán học, phương pháp hàm số Chúng ta cảm nhận ngắn gọn, thuận lợi, vẻ đẹp phương pháp giải thông qua ví dụ Ví dụ 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình: (2) có nghiệm Lời giải: Phương trình (2) Đặt Phương trình (2) trở thành: Phương trình (2) có nghiệm Xét hàm số với Lập bảng biến thiên t f(t) (2.1) phương trình (2.1) có nghiệm 1 Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (2) có nghiệm Ví dụ 3: [7] Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt (3) Lời giải: Do khơng phải nghiệm phương trình (3) nên 11 download by : skknchat@gmail.com Xét hàm số Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt Phương trình (3.1) có hai nghiệm phân biệt có hai điểm chung khác với đường thẳng đồ thị hàm số Lập bảng biến thiên hàm số f(x) trên Ta có: Giới hạn: Bảng biến thiên + + Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 4: [7] Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt (4) Lời giải: Tập xác định phương trình : Khi phương trình 12 download by : skknchat@gmail.com Xét hàm số Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt điểm chung khác với đồ thị hàm số Lập bảng biến thiên hàm số f(x) đường thẳng có hai Ta có: Giới hạn: Bảng biến thiên + ̶ Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 5: Tìm giá trị tham số m để phương trình (5) có ba nghiệm phân biệt Lời giải: Phương trình (5) Xét hàm số với Ta có , đồng biến Khi phương trình (5) (5.1) 13 download by : skknchat@gmail.com Phương trình (5) có nghiệm phân biệt phương trình (5.1) có nghiệm phân biệt Như vậy, cách sử dụng tính đơn điệu hàm số ta chuyển từ phương trình phức tạp phương trình đơn giản Tiếp theo để thỏa mãn yêu cầu tốn ta hướng học sinh theo hai cách: Cách 1: Xét số nghiệm phương trình (5.1) thơng qua số nghiệm hai phương trình thành phần Cách 2: Xét số nghiệm phương trình (5.1) thơng qua số giao điểm đường thẳng y = 2m hợp hai đồ thị hai hàm số Ta theo dõi lời giải chi tiết cách Khi phương trình (5.1) (5.2) Khi phương trình (5.1) (5.3) TH: phương trình (5.2) có nghiệm kép phương trình (5.3) có hai nghiệm phân biệt khác Khi phương trình (5.2) có nghiệm nghiệm phân biệt (thỏa mãn) TH2: phương trình (5.3) có nghiệm kép phân biệt khác Khi , phương trình (5.3) có hai phương trình (5.2) có hai nghiệm phương trình (5.3) có nghiệm hai nghiệm , phương trình (5.2) có (thỏa mãn) TH3: phương trình (5.2) (5.3) có chung nghiệm , thử lại thỏa yêu cầu toán Vậy , Bài tập rèn luyện: Bài 1: Giải phương trình sau: 14 download by : skknchat@gmail.com Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 2.4 Hiệu sáng kiến Tuy chưa phải nhiều thơng qua số ví dụ điển hình mà tơi nêu trên, lần khẳng định rằng: công cụ hàm số thật tuyệt vời Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào giải tập phần phương trình bất phương trình mang lại hiệu mong đợi Học sinh tìm nguồn cảm hứng giải tốn phương trình bất phương trình Các em có linh hoạt, sáng tạo giải tốn, có niềm u thích tốn học Đặc biệt, đội tuyển Toán nhà trường đạt thành tích cao kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh hai năm học 2017-2018 2018-2019 Để kiểm nghiệm hiệu đề tài tiến hành thực nghiệm số lớp trường THPT Lam Kinh 2.4.1 Tổ chức thực nghiệm * Chọn đối tượng thực nghiệm Tôi chọn lớp để tổ chức kiểm nghiệm hiệu qủa đề tài: lớp triển khai sáng kiến lớp chưa triển khai sáng kiến Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng Lớp Số học sinh Lớp Số học sinh 12C9 45 12C8 43 10B1 44 10B3 44 * Cách tổ chức: Làm kiểm tra 15 phút * Đề 1( Dành cho lớp 10): Tìm m để phương trình sau có nghiệm: * Đề 2( Dành cho lớp 12): Tìm m để phương trình sau: có nghệm 2.4.2 Kết thực nghiệm Sau học sinh làm kiểm tra Kết thu sau: + Bảng tổng hợp điểm: Lớp Sĩ Điểm số Thực 10B1 44 0 0 0 11 24 10 15 download by : skknchat@gmail.com nghiệm 12C9 45 0 0 0 10 25 Đối 10B3 44 0 0 11 13 10 chứng 12C8 43 0 0 14 17 + Bảng đánh giá, so sánh Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng Xếp loại (10B1, 12C9) (10B3, 12C8) Tổng % Tổng % Giỏi (9-10 điểm) 19 21,4 4,6 Khá (7-8 điểm) 70 78,6 43 49,4 Trung bình (5-6 điểm) 0,0 38 43,7 Yếu (