11 SKKN toán 8 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Việc tìm ra phơng pháp thích hợp cho lời giải một bài toán đợc ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm ra nhiều cáchgiải khác nhau trong một bài toán ...tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp

II-nội dung của đề tài -Tên đề tài : “Phơng pháp phân tích đa thức

và xuyên suốt quá trình học tập sau này của học sinh

Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đàosâu suy nghĩ, rèn luyện năng lực t duy toán học Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học đợc tốt

Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp Việc tìm ra phơng pháp thích hợp cho lời giải một bài toán đợc ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm ra nhiều cáchgiải khác nhau trong một bài toán tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh Khi lựa chọn các phơng pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển t

duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận dụng kiến thức

đã học khi giải một bài toán cụ thể Không những thế khi phântích đa thức thành nhân tử học sinh đợc ôn lại hay sử dụng cáckiến thức liên quan nh : Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt táchcác hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức Nói chung ,các thủthuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành

nhân tử đòi hỏi học sinh phải t duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức đó

Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán áp dụngphân tích đa thức thành nhân tử trong quá trình giải, cũng

nh nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn Toán và đồng thời phát huy đợc trí tuệ của học sinh Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán 8 tôi mạnh dạn đa ra sáng

kiến và giải pháp thực hiện về việc “ Phát huy trí lực của học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử ”

nhằm giúp các em nắm vững một số phơng pháp phân tích

đa thức thành nhân tử, một số bài tập nâng cao, một số bài tập có áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân

tử, thấy đợc đó là công cụ đắc lực trong giải một số loại toán

Và qua đó cũng nhằm phát huy trí lực của học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học

-Phạm vi và thời gian thực hiện :

Một số phơng pháp, một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ở môn toán lớp 8

Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó áp dụng vào hai lớp 8A và 8B trờng THCS TháI Hòa

III-quá trình thực hiện

1-Khảo sát thực tế (Giới thiệu hiện trạng khi cha thực hiện ):Qua quá trình nghiên cứu dự giờ và giảng dạy tại trờng tôi thấy tình hình giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh về

bộ môn Đại số mà cụ thể là phần “Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng của các phơng pháp đó vào giải Toán cấp 2 “ có những u khuyết điểm sau :

a-Ưu điểm :

Giáo viên giảng dạy nhiệt tình ,luôn cải tiến phơng pháp dạy học Nhiều giáo viên đi sâu vào việc dạy học các phơng pháp tìm lời giải các bài toán

Giáo viên đã chú trọng rèn luyện cho học sinh những kĩ năng ,phơng pháp cần thiết ,thói quen cần thiết để làm toán sao cho khoa học ,nhanh gọn ,dễ hiểu mà không dài dòng mất thời gian

Giáo viên hớng dẫn học sinh giải bài tập theo những phơng phápkhác nhau làm cho bài toán trở nên phong phú và đa dạng.

Đồng thời giáo viên dẫn dắt học sinh biết ứng dụng những kiến thức đã học vào việc giải toán

Học sinh rất ham học ham tìm hiểu ,các em thờng tự tìm gặpgiáo viên để hỏi những bài toán khó

b-Nhợc điểm :

Một số giáo viên cha chú trọng rèn luyện cho học sinh một số thói quen và phơng pháp giải toán cha đi sâu cải tiến phơng pháp giải toán ,cải tiến phơng pháp dạy và học

Một số giáo viên biến giờ luyện tập thành giờ chép bài tập với một số câu hỏi rời rạc cha phát huy tính tích cực chủ động và sáng tạo của học sinh ,giáo viên còn ít chú trọng đến việc lựa chọn những loại bài tập cho thích hợp với đối tợng học sinh và cho học sinh giải theo một trật tự nhất định

Một trong những nguyên nhân của thiếu sót đó là sự thiếu thốn tài liệu về phơng pháp dạy học sinh giải toán phân tích

đa thức thành nhân tử Đối với giáo viên điều quan trọng khôngphải là vấn đề dạy học sinh giải bài toán này hay giải bài toán kia để tìm ra lời giải mà là vấn đề dạy học sinh để học sinh giải bài toán này nh thế nào mà cụ thể hớng dẫn học sinh phân

tích đa thức này thành nhân tử bằng phơng pháp phân tích nào hợp lí nhất

Cũng có những giáo viên cha chú trọng vào việc hớng dẫn học sinh ứng dụng những kiến thức đã học vào giải toán

Một số học sinh còn lúng túng khi giải các bài tập không biết bài tập này nên áp dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử nào

Nhiều em hiểu bài toán sau khi giáo viên giảng dạy nhng khi chomột bài toán tơng tự thì lại không giải đợc Sở dĩ nh vậy là do nhiều học sinh cha nắm vững đợc các phơng pháp phân tích

đa thức thành nhân tử.Học trớc quyên sau ,học vẹt ,do cha có một phơng pháp khoa học

Một số em do cha phát huy hết khả năng học tập t duy ,một số

em có những sai sót nhng giáo viên không chú ý phát hiện và sửa chữa kịp thời do đó các em lại mắc phải những sai sót đó

Đôi khi cũng có một số giáo viên cha hớng dẫn cho học sinh suy nghĩ trớc khi giải một bài toán nên học sinh thờng không đọc

kĩ đầu bài mà giải bài luôn do đó thờng hay lạc đề

2-Số liệu điều tra trớc khi thực hiện :

chúTổng số Tỉ lệ Tổng

-Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ)

-Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức

-Phơng pháp hệ số bất định

-Phơng pháp xét giá trị riêng

Chơng III phát huy trí lực của học sinh qua việc Phân tích đa

thức thành nhân tử

- Bài toán chứng minh sự chia hết

-Bài toán chứng minh biểu thức luôn dơng, luôn âm, hoặc không âm

-Bài toán rút gọn và và tính số trị của biểu thức

-Bài toán chứng minh đẳng thức

-Bài toán tìm giá trị của biến số để biểu thức có giá trị

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân

tử còn lại của mỗi hạng tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng

Khi phân tích bằng phơng pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A(B +C)

B Phơng pháp dùng hằng đẳng thức

áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Kiến thức cơ bản là :

7 Hiệu hai lập phơng : A3 - B3 =( A - B )(A2 + AB + B2 )

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1Giải :

8x3y6 - 1 =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - 1 ).(4x2y4 + 2xy2 + 1)

VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 25x4 + 10x2y + y2

VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 4x2+8xy - 3x - 6y

=(x+y+z)(x-y+z)

D phơng pháp Phối hợp nhiều phơng pháp

Thờng đợc tiến hành theo các trình tự sau :

+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn

Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy

Giải:

3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2xy +3xy = 3xy(x2-2x-y2

-2ay-a2+1)

= 3xy[(x2(y2+2ay+a2)]

= 3xy[(x-1)2-( y+a)2] = 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a)

Chơng II : Các phơng pháp đặc biệt.

A phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Trong một số trờng hợp bằng các phơng pháp đã học không thể giải đợc mà ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

để có thể áp dụng đợc các phơng pháp đã biết

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8Giải :

Cách 1 : x2- 6x + 8 = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)

Cách 2 : x2- 6x + 8 = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)

Cách 3 :

x2- 6x + 8 = x2 - 4 - 6x +12 =(x+2)2)-62) = 2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)

(x-Cách 4 : x2- 6x + 8 = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= 2)= (x-2)(x-4)

Nh vËy trong tam thøc bËc hai :ax2+bx+c hÖ sè b = b1+ b2

sao cho b1 b2 = a.c Trong thùc hµnh ta lµm nh sau :

- T×m tÝch a.c

- Ph©n tÝch a.c ra thµnh tÝch hai thõa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch

- Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b

Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử

Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8

Tích a.c =9.(-8) =-72

Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)

Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa

số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để

*Chú ý : Trong trờng hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b là

số lẻ, hoặc không là bình phơng của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai

B Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức nào cũng nh không thể nhóm các số hạng thì ta phải biến

đổi hạng tử để có thể vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đã biết

Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a4 + b4 thành nhân tử

Giải :

Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2

64a2 + b4 = 64a4 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2

= (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)

C Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ).

Ví dụ 7 : Phân tích đa thức (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thànhnhân tử

Giải :

Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12 Nhận thấy nếu đặt x2 + x = y thì có đa thức đơn giản hơn y2 + 4y -12 là tam thức bậc hai của biến y

Ta có : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = y(y+6) -2(y+6)

= (y+6)(y-2)

= (x2 + x+6)( x2 + x -2) =(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2)

=(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]

=(x2 + x+6)(x+2)(x-1)

*Chú ý : x2 + x+6 không phân tích đợc nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = 6 = 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào

có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)

Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 thành nhân tử

Giải :

Đặt (x2+ 3x + 1) = y

Ta có : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) - 6

= y2 + y - 6

= y2 + 3y - 2y - 6

= (y + 3)(y - 2)

= (x2+ 3x + 1 +3)( x2+ 3x + 1 -2)

= (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1)

( ph¬ng ph¸p h¹ bËc ®a thøc )

D Ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc

Tæng qu¸t : cho ®a thøc f(x); a lµ nghiÖm cña f(x) nÕu f(a) =

0 nh vËy nÕu f(x) chøa nh©n tö x - a th× a ph¶i lµ nghiÖm cña

NÕu ®a thøc cã nghiÖm lµ a th× nh©n tö cßn l¹i cã d¹ng x2 +

bx +c

Suy ra: a.c = -4, tức là a phải là ớc của -4 ( 1;  2; 4) Kiểm tra thấy 1 là nghiện của đa thức Nh vậy đa thức chứa nhân

tử x – 1 Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1

ng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.

*Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ

nếu có phải có dạng q p với p là ớc của hạng tử không đổi,

q là ớc dơng của hạng tử cao nhất.

Nh vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có

Kiểm tra thấy x=

(ax+b)(cx2+dx+m)=acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm

Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x3-5x2+8x-3 , ta ợc:

đ-2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm

Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3

Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhântử) Do đó a=2 hoặc a=1

Xét a=2 thì c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3

Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3

đối với tập hợp các biến số nên thơng là hằng số k

Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3

đối với tập hợp các biến số nên thơng là hằng số k

(a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a)

Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 ta có :

(0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0)

18 = 6 k => k=3VËy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)

*Chó ý : Khi ®a thøc cã nhiÒu biÕn sè vµ vai trß c¸c biÕn

nh nhau trong ®a thøc th× ta sö dông ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng nh trªn.

Ch¬ng III ph¸t huy trÝ lùc cña häc sinh qua viÖc

Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

A Bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt

VÝ dô 1 : Chøng minh r»ng : x3 - x chia hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn x

Khi chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác ta

có nhiều cách chứng minh Vậy ví dụ 3 ta có thể chứng minh bằng cách thực hiện phép chia, số d bằng 0 có thể dùng lợc đồ Hoocme tìm số d ( d 0 ) Hoặc chứng minh nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia Nhng cách làm đó dài, hoặc đơn điệu hoặc phức tạp hơn so với cách làm trên ( áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ) biến đổi đa thức thành tích khi đó biểu thức đã cho chia hết cho nhân tử

cho tích đó đã làm cho phép giải của bài toán nhanh hơn và lời giải thông minh hơn.

B Bài toán chứng minh biểu thức luôn dơng, luôn âm, hoặc không âm.

Bài toán này kích thích t duy của học sinh phải đi tìm đờng lối giải và khi giải phải nắm đợc kiến thức:

- Biểu thức luôn dơng ( lớn hơn 0 ) khi tử thức và mẫu thức cùng dấu

- Biểu thức không âm ( lớn hơn 0 ) khi biểu thức cho bằng luỹ thừa bậc chẵn của biểu thức khác

- Bên cạnh đó cần chú ý với trờng hợp biểu thức nguyên ta xét sự luôn luôn dơng hoặc luôn âm của biểu thức dựa vàodấu của các nhân tử kết hợp với qui tắc nhân dấu trong dấu nguyên

Ví dụ 1 : Cho biểu thức P = 4x 2 - 12x + 9 Chứng minh rằng P không âm với mọi x

Giải : Ta có P = 4x 2 -12x + 9 = (2x)2-2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2

 0

Vậy P  0 với x Hay biểu thức P không âm với x

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng biểu thức M =

2 2 3

1

2 3 4

3 4

x x x

không âm với mọi x

Giải : Ta có : M =

2 2 3

1

2 3 4

3 4

x x

=

2 2 3

) 1 ( ) 1 (

2 3 4

x x

x

=

2 2 3

) 1 )(

1 (

2 3 4

x x

=

) 1 )(

2 (

) 1 (

) 1 (

2 2

2 2

x x x

=

) 2 (

) 1 (

Vậy M 0 x Hay M không âm x

Với những bài toán này các em phải phân tích đa thức

thành nhân tử hoặc rút gọn biểu thức Qua đó kỹ năng phân tích của các em đợc rèn luyện và phát triển cùng với những kỹ năng giải toán khác

C Bài toán rút gọn và và tính số trị của biểu thức.

Đây là bài toán áp dụng gần gũi nhất đối với việc phân tích

đa thức thành nhân tử Đờng lối giải là vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu thành nhân tử sau đó rút gọn thành nhân tử chung ở đây cơ bản là rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử bên cạnh đó sử dụng một số tính chất toán học khác để giải Sự kết hợp đó có tác dụng rèn trí tuệ cho học sinh giúp các em thấy sự liên hệ chặt chẽ giữa các

kiến thức toán học phát triển trí tuệ thông minh và t duy

logickhoa học ở các em

Ví dụ : Cho P =

7 8

5 5



x x x

a/ Rút gọn P

Giải P =

7 8

5 5



x x

5

 =

2008 5

D Bài toán chứng minh đẳng thức

Loại toán này đờng lối giải là ta phải đi bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp ở vế này đến kết quả là biểu thức đơn giản hơn ở vế kia nhng cũng có bài ta phải biến đổi rút gọn ở cả hai vế để đi đến 1 kết quả giống nhau

Thực chất của bài toán này là bài toán rút gọn biểu thức

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau :

7 8

5 5



x x

5 5

Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau

1 (

Giải Biến đổi VP ta có : VP =

) 4 2 )(

1 (

x

=

) 4 2 )(

1

(

) 4 2 )(

x

x x

VT =VP Vậy đẳng thức đợc chứng minh

Với học sinh các em rất thích thú với dạng bài tập này vì các

em cho rằng đây là dạng toán đã cho sẵn kết quả

E Bài toán tìm giá trị của biến số để biểu thức có giá trị nguyên

Để giải bài toán này đờng lối chung là tách phần nguyên để còn xét phần phân thức ở dạng đơn giản hơn ( Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn kết quả chỉ còn phân thức đơn giản hơn ) Tiếp thea ta dùng giá trị tử của biến số để phân thức

ấy có giá trị nguyên Muốn đạt đợc giá trị nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải là

ớc của tử thức Từ đó ta tìm đợc giá trị của biến

Ví dụ : Cho P =

7 8

5 5



x x

x

Tìm giá trị của xđể biểu thức cógiá trị nguyên

Giải: