(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề giải phương trình vô tỉ được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi học sinh giỏi

Chun đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung LỜI NĨI ĐẦU Phương trình vơ tỷ đề tài lý thú vị Đại số, lôi nhiều người nghiên cứu say mê tư sáng tạo để tìm lời giải hay, ý tưởng phong phú tối ưu Tuy nghiên cứu từ lâu phương trình vơ tỷ mãi cịn đối tượng mà người đam mê Tốn học ln tìm tịi học hỏi phát triển tư Mỗi loại tốn phương trình vơ tỷ có cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Bên cánh đó, tốn giải phương trình vơ tỷ thường có mặt kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp THCS Chun đề '' Giải phương trình vơ tỉ'' viết theo chương trình SGK hành nhằm dạy học sinh đại trà lớp ôn thi học sinh giỏi Chuyên đề giới thiệu số phương pháp hay dùng để giải phương trình vơ tỉ: Ơn thi học sinh đại trà: Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI Ôn thi học sinh giỏi , lớp chọn: Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Trong chuyên đề phương pháp có dành nhiều tập cho học sinh tự luyện Chúng hy vọng chuyên đề mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích giúp bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp Toán học qua phương trình vơ tỷ Mặc dù cố gắng nhiều, chun đề khơng tránh khỏi sai sót Chúng mong nhận ý kiến đong gop quý bau từ thày cô em học sinh để chun đề ngày hồn thiện hơn! Mọi đóng góp xin gửi : trannamtrung23@gmail.com Chúng tơi xin cảm ơn! download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN LẠC TRƯỜNG THCS TRUNG KIÊN Năm 2011 - 2012 CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I - Tác giả: Trần Nam Trung- THCS Trung Kiên II - Mục Lục: Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Bài tập tổng hợp: III - Tài liệu tham khảo: Các thầy em học sinh tham khảo : Nâng cao phát triển toán - Tập - Vũ Hữu Bình download by : skknchat@gmail.com Chun đề giải phương trình vơ tỉ CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA I-KIẾN THỨC: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ … II-BÀI TẬP Bài 1: Giai phương trinh: HD: (1) Bài 2: Giai phương trinh: HD:Ta có: Bài 3: Giai phương trinh: HD: Ta có: download by : skknchat@gmail.com Trần Nam Trung Chun đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Bài 4: Giai phương trinh: HD:ĐK: (1) PT Kếế́t hợp (1) (2) ta được:x = Bài Giải phương trình : HD:Đk: pt đa cho tương đương: Bài Giải phương trình sau : HD:Đk: phương trình tương đương : Bài Giải phương trình sau : HD: pt Bài Giai va biên luân phương trinh: HD: Ta co: – Nếu m = 0: phương trinh vô nghiêm – Nếu m ≠ 0: Điêu kiên đê co nghiêm: x ≥ m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 m2 ≤ + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 m2 ≥ m ≤ –2 Tom lai: ≥m – Nếu m ≤ –2 hoăc < m ≤ 2: phương trinh co môt nghiêm – Nếu –2 < m ≤ hoăc m > 2: phương trinh vô nghiêm download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Bài Giải biện luận phương trình với m tham số: (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) HD: Ta co: – Nếu m = 0: phương trinh vô nghiêm – Nếu m ≠ 0: Điêu kiên đê co nghiêm: x ≥ m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 m2 ≤ + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 m2 ≥ m ≤ Tom lai: – Nếu hoăc Phương trinh co môt nghiêm: – Nếuhoăc: phương trinh vô nghiêm Bài 10 Giai va biên luân theo tham sô m phương trinh: HD: Điêu kiên: x ≥ – Nếu m < 0: phương trinh vô nghiêm – Nếu m = 0: phương trinh trơ co hai nghiêm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trinh đa cho tương đương vơi Nếu < m ≤ 1: phương trinh co hai nghiêm: x1 = m; x2 = Nếu m > 1: phương trinh co môt nghiêm: x = m III-Bài tập áp dụng: Bài 1:Giải phương trình sau: 1/ 4/ + + 7/ 10/ 13/ Bài 2: Giải phương trình: a) d) g) Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 4: Cho phương trình: a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình: a) Giải phương trình m=3 b) Với giá trị m phương trình có nghiệm download by : skknchat@gmail.com Chun đề giải phương trình vơ tỉ Bài 6: Giải phương trình sau: a/ Trần Nam Trung g/ h/ b/ i/ c/ PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC: Sử dụng đẳng thức sau: II-BÀI TẬP: Bài 1: Giải phương trình: HD: (1) |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1) – x = – x (vô nghiêm) – Nếu x : (1) x – = – x x = (thoả mãn) Bài 2: Giải phương trình: HD: (2) Đăt y = (y ≥ 0) phương trinh(*) đa cho trơ thanh: – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y y = –1 (loai) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiêm) Vơi y = x+1=9 x = (thoả mãn) Vây: x = Bài 3:Giải phương trình: HD:ĐK: PT (Thoả mãn) Vậy:x = 15 Bài 4:Giải phương trình: HD:ĐK: Pt Nếế́u pt (Loại) Nếế́u pt Vậy tập nghiệm phương trình là: (Ln với ) download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ III-Bài tập áp dụng: Giải phương trình 1/ 3/ 5/ 7/ 9/ 11/ 13/ 15/ 17/ 19/ 21/ PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường  Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặtvà ýế́ điều kiện nếế́u phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biếế́n quan trọng ta giải phương trình theo việc đặt phụ xem “hồn tồn ” Bài Giải phương trình: HD:Điều kiện: Nhận xét Đặt phương trình có dạng: Thay vào tìm Bài Giải phương trình: HD:Điều kiện: Đặt Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm bốn nghiệm là: Do nên nhận gái trị Từ tìm nghiệm phương trình l: Cách khác: Ta bình phương hai vếế́ phương trình với điều kiện Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {1} Bài Giải phương trình: HD: Điều kiện: (*) Với điều kiện (*),đặt ; , với u ≥ 0, Ta có: Do dó ta có hệ u v nghiệm phương trình download by : skknchat@gmail.com 14 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung (b) vơ nghiệm (a) có nghiệm Do đó: Vì u ≥ nên ta chọn Vậy phương trình cho có nghiệm Bài Giải phương trình: HD:Với điều kiện (*) Đặt , với u ≥ 0, v ≥ Suy Phương trình cho tương đương với hệ: Đặt A = u + v P = u.v, ta có: (1) Với S = 4, P = u v nghiệm phương trình: download by : skknchat@gmail.com 15 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Do ta có: Suy thoả mãn (*) Với S = 4, P = 29 không tồn u v Vậy phương trình cho có nghiệm là: (2) 5.2 Giải phương trình vơ tỉ cách đưa hệ đối xứng loại II  Ta tìm nguồn gốc tốn giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II  Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau : đơn giản Bây ta biếế́n hệ thành phương trình cách đặt , ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : cho (2) ln , ta đặt lại đưa hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc : phương trình dạng sau : đặt việc giải hệ , ta xây dựng , ta có phương trình : Tương tự cho bậc cao : Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viếế́t dạng : đặt để đưa hệ , ýế́ dấu ??? Việc chọn thông thường cần viếế́t dạng : chọn Bài 1: Giải phương trình: HD:Điều kiện: Ta có phương trình viếế́t lại là: Đặt ta đưa hệ sau: Trừ hai vếế́ phương trình ta Giải ta tìm nghiệm phương trình là: download by : skknchat@gmail.com 16 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Cách 2: Đặt Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x - kếế́t hợp với đầu ta có hệ phương trình: Giải hệ ta tìm x Bài Giải phương trình: HD:Điều kiện Ta biếế́n đổi phương trình sau: Đặt ta hệ phương trình sau: Với Với (vơ nghiệm) Kếế́t luận: Nghiệm phương trình Bài 3:Giải phương trình: HD:ĐK: Pt (*) Đặt Chọn a = ta được:t2 - = x kếế́t hợp với (*) ta hệ phương trình: từ ta tìm nghiệm Bài 4:Giải phương trình: 7x2 + 7x = HD:Đặt Chọn ta được: Kếế́t hợp với đầu ta hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm Bài tập áp dụng: Giải phương trình: PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I-KIẾN THỨC: 1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: Cho hai số : ( a , b), (x , y) ta có: (ax + by)2 Dấu ‘‘=’’ xảy 2.Bất đẳng thức côsi: a) Với hai số a, b ta có: download by : skknchat@gmail.com 17 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Dấu ‘‘=’’ xảy Với ba số a, b, c Dấu ‘‘=’’ xảy b) ta có: =c Với bốn số a, b, c, d ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy =c=d c) e) Với n số a1, a2,…, an ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy 3.GTLN,GTNN biểu thức: a/ A = m + f2(x) m Dấu ''='' xảy f(x) = Dùng đẳng thức : Từ đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình ta khai triển có phương trình : Dùng bất đẳng thức Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức: nếế́u dấu (1) (2) đạt nghiệm phương trình Ta có : Dấu và , dấu x = Vậy ta có phương trình: Đơi số phương trình tạo từ ýế́ tưởng : : Nếế́u ta đốn trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá II-BÀI TẬP:  Bài Giải phương trình : HD:Đk: Ta có : download by : skknchat@gmail.com 18 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Dấu Bài Giải phương trình : HD:Đk: Biếế́n đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu Bài Giải phương trình: HD:Ta chứng minh : Bài 4: Giải phương trình: HD:Ta có :VT2=( Nên : < VT Mặt khác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2 Theo giả thiếế́t dấu ''='' xảy khi:x = Vậy x = nghiệm phương trình cho Bài 5: Giải phương trình: HD:ĐK: PT Từ (2) ta có: Từ (1) (3) Ta có x = thếế́ vào (2) thoả mãn.Vậy :x = Bài 6:Giai phương trinh : HD: Điêu kiên Áp dụng bất đẳng thức si ta có: Theo giả thiếế́t dấu xảy khi: download by : skknchat@gmail.com 19 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Dâu “=” xay Vậy : Bài 7:Giai phương trinh : HD: Cach điêu kiên x ≥ Vơi x ≥ thi: Vế trai: Vế phai: ≥ vế phai dương Vây: phương trinh đa cho vô nghiêm Cach Vơi x ≥ 1, ta co: Vế trai la môt sô âm vơi x ≥ 1, vế phai dương vơi x ≥ phương trinh vô nghiêm Bài 8:Giai phương trinh : HD: Ta co (1) Ta co: Vế trai ≥ Dâu “=” xay x = –1 Vế phai ≤ Dâu “=” xay x = –1 Vây: phương trinh đa cho co môt nghiêm x = –1 Bài 9:Giai phương trinh : HD: điêu kiên x ≥ Dê thây x = la môt nghiêm cua phương trinh – Nếu : VT = – Nếu x > 2: VP = 2x2 + Mà: VP > > 2.22 + = VT < Vây: phương trinh đa cho co môt nghiêm nhât la x = Bài 10:Giai phương trinh : HD: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = nghiệm phương trình Ta cần chứng minh nghiệm Thật vậy:Với x < : download by : skknchat@gmail.com 20 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Tương tự với < x < 2: Bài 11:Tìm nghiệm ngun dương phương trình: HD:ĐK: (1) Ta có: (*) Ta có: VP(*) = (2) Từ (1) (2) ta có:x = nghiệm III-BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Giải phương trình sau : PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: Bước 2: Xét hàm số Bước 3: Nhận xét: Với Với Với Vậy Hướng 2: Thực theo bước Bước 1: Chuyển phương trình dạng: Bước 2: Dùng lập luận khẳng định g(x) có tính chất trái ngược xác định cho Bước 3: Vậy nghiệm phương trình Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi Ví dụ: Giải phương trình : download by : skknchat@gmail.com 21 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung HD:pt Xét hàm số , hàm đồng biếế́n R, ta có Ví Dụ 2: Giải phương trình: HD: nhận thấy x = -2 nghiệm phương trình Đặt Với Vậy x = -2 nghiệm phương trình Bài tập áp dụng: Giải phương trình: a) b) PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm dạng tích vơ nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía vơ nghiệm Bài 1:Giải phương trình: HD: C1: ĐK (1) Nếế́u x ta có Giải (3) ta tìm x Nếế́u x -2 ta có Giải (4) ta tìm x C2: ĐK: Nếế́u x ta chia hai vếế́ cho ta được: Bình phương hai vếế́ sau giải phương trình ta tìm x Nếế́u x -2 Đặt t = -x Thay vào phương trình ta Chia hai vếế́ cho ta download by : skknchat@gmail.com 22 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Bình phương hai vếế́ tìm t Sau tìm x Trong C1 ta sử dụng kiếế́n thức liên hợp Còn C2 ta vận dụng kiếế́n thức miền xác định ẩn phương trình.nhìn chung việc vận dụng theo C2 đơn giản Bài Giải phương trình sau : HD: Ta nhận thấy : v Ta trục thức vếế́ : Dể dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình Bài Giải phương trình sau: HD: Để phương trình có nghiệm : Ta nhận thấy : x = nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : Dễ dàng chứng minh : Bài Giải phương trình : HD :Đk Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biếế́n đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm x = Bài 5:Giải phương trình sau: HD:ĐK: Nhân với lượng liên hợp mẫu số phương trình cho ta được: download by : skknchat@gmail.com 23 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Giải hệ ta tìm Bài 6:Giải phương trình: HD:ĐK: Pt nghiệm Bài tập vận dụng: 1) 2) Tổng quát: 3) BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm tất số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn: Bài 2: Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: Bài 3: Giải phương trình sau: Bài 4: Giải phương trình sau: download by : skknchat@gmail.com 24 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Trần Nam Trung x4 + Bài 5: Kýế́ hiệu [x] phần nguyên x Giải phương trình sau: Bài 6:Cho phương trình: Gọi tổng nghiệm phương trình S,tính S15 Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a/ Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: Bài 9:Giải phương trình sau : download by : skknchat@gmail.com 25 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Bài 10: Giải phương trình: a) c) e) g) Bài 11: Giải phương trình: Bài 12: Cho phương trình: a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 13: Cho phương trình: a) Giải phương trình với Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình: b) Giải phương trình với m = Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 15:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) b) y= Bài 16: Giải phương trình nghiệm ngun sau: nếế́u: a/ Vếế́ trái có 100 dấu b/ Vếế́ trái có n dấu Bài 17:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: (Vếế́ trái có 100 dấu căn) download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ 26 Bài 18:Tìm số hữu tỉ a b thoả mãn: Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn: Bài 20:Giải phương trình: Bài 21:Cho số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện: Chứng minh rằng: Bài 22:Cho số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: Chứng minh rằng: Bài 23:Giải phương trình nghiệm nguyên: Bài 24:Tìm số hữu tỉ a b biếế́t: Bài 25:Giải phương trình: Bài 26:Tìm số nguyên k thoả mãn: Bài 27:Giải phương trình: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ Bài 28:Giải phương trình sau: The end download by : skknchat@gmail.com 27 Chun đề giải phương trình vơ tỉ download by : skknchat@gmail.com Trần Nam Trung 28 ... 25 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Trần Nam Trung Bài 10: Giải phương trình: a) c) e) g) Bài 11: Giải phương trình: Bài 12: Cho phương trình: a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình. .. vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : Như phương trình giải phương pháp nếế́u: Xuất phát từ đẳng thức : Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như: Để có phương trình. .. Giải phương trình: a) d) g) Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 4: Cho phương trình: a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình: a) Giải phương