THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHUYÊN Đề MÔN TOáN Giáo viên thực hiện: nguyễn ngọc linh RÈN KĨ NĂNG TÌM LỜI GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC LỚP PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận: Tốn học mơn khoa học tự nhiên mang tính trừa tượng cao, tính logíc đồng thời mơn tốn cịn mơn cơng cụ hổ trợ cho mơn học khác.Với mơn hình học môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả đo đạc, tính tốn, suy luận logíc, phát triển tư sáng tạo cho học sinh Đặc biệt rèn luyện học sinh khá, giỏi Nâng cao lực tự duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt cách tìm lời giải tập tốn mơn hình học có ý nghĩa quan trọng Việc bồi dưỡng học sinh giỏi không đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả sáng tạo mơn hình học phải biết rèn luyện lực tư trừu tượng phán đốn lơgíc Cơ sở thực tiễn: Qua năm công tác giảng dạy trường tơi nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải tốn thân người thầy cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách giải Đặc biệt qua năm giảng dạy thực tế trường việc có học sinh giỏi mơn Tốn điều khó, nhiên có nhiều nguyên nhân có khách quan chủ quan Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tịi nghiên cứu tìm nhiều phương pháp cách giải qua Toán để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động tư sáng tạo Vì tơi tâm huyết chọn sáng kiến kinh nghiệm này: "Rèn luyện khả tìm lời giải tốn hình học cho học sinh khá, giỏi lớp " Với mục đích thứ rèn luyện khả sáng tạo Toán học, trước tập tơi cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cô giáo phải gợi ý cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lý Phát cách giải tương tự khái quát phương pháp đường lối chung Trên sở với tốn cụ thể em khái qt hố thành Toán tổng quát xây dựng Toán tương tự download by : skknchat@gmail.com Điều mong muốn thứ hai mong muốn thay đổi phương pháp bồi dưỡng cho học sinh giỏi từ trước đến Xây dựng phương pháp rèn luyện khả sáng tạo Toán cho học sinh cho lúc, nơi em tự phát huy lực độc lập sáng tạo PHẦN II: NỘI DUNG Thực trạng vấn đề nghiên cứu: 1.1 Thực trạng : a) Thuận lợi: Được đạo Ban giám hiệu nhà trường hoạt động đặc biệt họat động chuyên môn, tạo điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập nghiên cứu, phát huy phương pháp dạy học đổi sáng tạo Bên cạnh mơn học khác có học sinh giỏi huyện ln khuyến khích giáo viên dạy tốn học sinh phải động tìm tịi, tư sáng tạo việc dạy học toán Mặt khác nghiệp giáo dục có nhiều thay đổi đáng kể, có học sinh giỏi tỉnh, giỏi huyện, cấp uỷ Đảng quyền, bậc phụ huynh, đặc biệt Hội khuyến học xã có phần quan tâm động viên nghiệp giáo dục xã nhà trường b) Khó khăn: Bên cạnh mặt thuận lợi có nhiều khó khăn như: Điều kiện sở vật chất nhà trường thiếu thốn, khơng có phịng học để mở việc bồi dưỡng cho học sinh giỏi theo trình tự có hệ thống từ lớp nhỏ đến lớp lớn, cụ thể từ lớp đến lớp Phòng thư viện nhà trường cịn nghèo nàn, việc tìm tịi sách đọc vấn đề hạn chế Nhưng khó khăn em học sinh điều kiện địa phương với đặc thù vùng nông thôn, số nhân đơng, điều kiện kinh tế khó khăn, việc quan tâm đến học hành cịn hạn chế nhiều tinh thần vật chất, dẫn đến hạn chế việc học hành em đặc biệt mơn tốn Chính cần phải rèn luyện cho em lực tư độc lập sáng tạo khiến tơi tâm huyết tìm tịi, nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm 1.2 Các số liệu thực trạng : Qua năm giảng dạy trực tiếp bồi dưỡng cho học sinh giỏi, qua trắc nghiệm hứng thú học tốn học sinh tơi thấy có 25% em thực có hứng thú học tốn (Có tư sáng tạo), 45% học sinh thích học tốn (chưa có tính độc lập, tư sáng tạo) 30% cịn lại thích khơng Qua gần gủi tìm hiểu em cho biết muốn học xong nhiều học cách thụ động, chưa biết cách tư để tạo cho sáng tạo cách giải tốn đó, điều kiện khách download by : skknchat@gmail.com quan địa phương nhà trường, học sinh bồi dưỡng thời gian định trước thi học sinh chưa có hứng thú học tốn kết qua kì thi chưa cao Quá trình thực đề tài: 2.1 Giải pháp thực hiện: toán - Hình thành tình có vấn đề liên quan đến cách giải cho Hướng dẫn học sinh đưa cách giải cho toán, từ hướng dẫn học sinh tìm lời giải ngắn phù hợp học sinh Tăng cường hoạt động tìm tịi, quan sát,đo đạc, dự đoán tiếp cận lời giải Nắm vững kiến thức bản, huy động, vận dụng kiến thức vào giải vấn đề có liên quan 2.2 Kiến thức cần truyền đạt: Xuất phát từ điều mong muốn rèn luyện khả sáng tạo, tìm nhiều cách giải thân người thầy, người dạy phải người tìm nhiều cách giải hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho tốn Trong đề tài khn khổ, giới hạn đề tài đưa số dạng tập điển hình cho dạng tốn Dạng 1: Chứng minh đoạn thẳng Dạng 2: Quan hệ góc tam giác,và góc với đường trịn Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Dạng 4: Chứng minh tam giác đồng dạng Dạng 5: Chứng minh điểm thuộc đường tròn Dạng 6: Hệ thức hình học Tổ chức thực hiện: Tìm tịi cách giải toán Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng nhau: BÀI TỐN : Trong hình vng ABCD đường trịn đường kính AD vẽ cung AC mà tâm D Nối D với điểm P cung AC, DP cắt đường tròn đường kính AD K Chứng minh PK khoảng cách từ P đến AB download by : skknchat@gmail.com Cách giải 1: (Hình 1) Gợi ý : - Kẻ PI - AB Xét hai tam giác APK API Lời giải: Kẻ PI AB Xét API : APK APK vng K (Vì = 900 góc nội tiếp chắn đường trịn đường kính AD) ADP cân D, AD = DP P2 = DAP Mặt khác: Do đó: P1 nhau) P1 = DAP (So le AD // PI) APK = API (Có chung cạnh huyền cặp góc = P2 PK =PI Cách giải 2: (Hình 2) download by : skknchat@gmail.com Gợi ý: - Ngoài cách chứng minh hai tam giác APK API cách ta chứng minh P1 = P2 Ta chứng minh A1 = A2 - Gọi F giao điểm AP với đường tròn đường kính AD Lời giải: Ta có: AFD = 900 (Góc nội tiếp chắn đường tròn) Tam giác ADP cân D có DF đường cao nên DF phân giác suy D1 = D2 mà D2 = A1 ; D1 = A2 Vì góc có cặp cạnh tương ứng vng góc Suy ra: A1 = A2 APK = API (Có chung cạnh huyền cặp góc nhọn nhau) PK = PI Cách giải 3: (Hình 2) Gợi ý : - Cách giải chứng minh A1 = A2 việc chứng minh áp dụng kiến thức khác Chú ý AB tiếp tuyến đường trịn tâm D nên ta có: Lời giải: Ta có IAK = ADK (Có số đo sđ ) Mặt khác góc IAP góc IAP nửa số đo góc tâm chắn IAP = ADP = (Có chung cạnh huyền cặp góc nhọn nhau)PK = PI Cách giải 4: Gợi ý: - Kéo dài K cắt đường tròn tâm D E - Áp dụng định lí góc tạo tiếp tuyến dây cung (Hình download by : skknchat@gmail.com Lời giải Góc BAE cung AE nên AP tia phân giác góc BAE : DK AE nên AP = PE Suy ra: A1 (góc tạo tiếp tuyến =A2APK = nhau) PK = PI Đối với toán để chứng minh hai đoạn thẳng PK PI ta chứng minh APK = API vấn đề giáo viên cần cho học sinh tư vận dụng sáng tạo kiến thức Trường hợp tam giác vng Góc tạo tiếp tuyến dây cung Góc nội tiếp Dạng 2: Quan hệ góc hình học: BÀI TỐN 2: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O, với AB > AC Kẻ đường cao AH, bán kính OA Chứng minh OAH = ACB - ABC Cách giải 1: (Hình 1) Gợi ý: - Kẻ OI AC cắt AH M - Áp dụng kiến thức góc ngồi tam giác - Góc nội tiếp,góc tâm Lời giải: Ta có: OMH = ACB (góc có cặp cạnh tương ứng vng góc) AOM = ABC (cùng sđ AC ) Trong OAM thì: OMH = AOM + OAH (Góc ngồi tam giác) Hay ACB = ABC + OAH Vậy: OAH = ACB - ABC (Đpcm) download by : skknchat@gmail.com Cách giải 2: (Hình 2) Gợi ý: Kẻ tiếp tuyến với đường tròn A cắt BC D Lời giải: Ta có: ABC = CAD (1) (Cùng chắn AC ) OAH = ADC (2) (góc có cặp cạnh tương ứng vng góc) Cộng vế (1) (2) Ta được: ABC + OAH = CAD + ADC Mà CAD + ADC = ACB (góc ngồi tam giác) ABC + OAH = ACB Vậy: OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 3: (Hình 3) Gợi ý: - Kẻ đường kính AOD -KẻDK BC Lời giải: Ta cóDK // AH OAH = ODK (1) (so le trong) ABC = ADC (2) (góc nội tiếp chắn AC ) Cộng vế (1) (2) Ta OAH + ABC = ODK + ADC = KDC Mà: KDC = ACB (góc có cặp cạnh tương ứng vng góc) OAH + ABC = ACB Vậy OAH = ACB - ABC (Đpcm) download by : skknchat@gmail.com PE EC Tứ giác EFCP tứ PFFC Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn ABP + FCP = 180 Mà ABP + BDP = 180 PD BD PEBC Từ (1) ; (2) Suy ba điểm D ; E ; F thẳng hàng Đối với toán tốn khó u cầu học sinh phải huy động nhiều kiến thức có liên quan việc tìm lời giải khó việc tìm cách giải khác vấn đề khó, với thân học sinh không làm sau giáo viên gợi ý học sinh dần tư sáng tạo tìm hướng tốn Đơn vị kiến thức áp dụng để giải toán Để chứng minh ba điểm thẳng hàng cần chứng minh hai góc kề có tổng số đo 1800 Tứ giác nội tiếp đường trịn Góc nội tiếp đường trịn Dạng 4: Chứng minh tam giác đồng dạng: BÀI TOÁN 5: Đường tròn (O;R1) (O';R2) tiếp xúc P Một cát tuyến qua P cắt (O;R1) A (O';R2) B Một cát tuyến khác qua P cắt (O;R1) C (O';R2) D Chứng minh tam giác PAC PBD đồng dạng Sau đọc toán giáo viên cần cho học sinh nhắc lại kiến thức hai đường tròn tiếp xúc với Và từ cần yêu cầu học sinh để giải toán chung ta phải xét hai trường hợp xảy Hai đường tròn tiếp xúc ngồi hai đường trịn tiếp xúc Ở tơi trình bày hai đường trịn tiếp xúc ngồi cịn trường hợp hai đường trịn tiếp xúc ngồi chứng minh tương tự Cách giải 1: (Hình 1) Gợi ý: - Tính chất hai đường trịn tiếp xúc - Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai (3) 13 download by : skknchat@gmail.com Lời giải: Ta có tam giác OAP tam giác O'BP tam giác cân O O' Suy ra: OAP = OPA OAP = PBO' Tương tự ta có: OCP = OPC O'PD = O'DP OCP = PDO' OCP mà OPC = O'PD ( Hai góc đối đỉnh) PO R PC O'DP = PD (2) PO' Từ (1) (2) ta có: PA =PC PB PD R2 R1 R2 Lại có CPA = BPD Suy : PA1B1 PA2B2 Cách giải 2: (Hình 2) Gợi ý: - Kẻ tiếp tuyến chung xPy hai đường tròn - Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba - Áp dụng định lí góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Lời giải: Kẻ tiếp tuyến chung xPy hai đường trịn Ta có CAP = CPy = xPD = PBD (Áp dụng tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung nhau) Mặt khác APC = BPD (hai góc đối đỉnh) Suy : PA1B1 PA2B2 Dạng : Chứng minh điểm thuộc đường trịn: BÀI TỐN 6: Cho tam giác đường phân giác BN tâm O đường tròn nội tiếp tam giác Từ A kẻ tia vng góc với tia BN, cắt BC H Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm đường tròn 14 download by : skknchat@gmail.com Đối với toán xảy hai trường hợp hình vẽ Trường hợp 1: H O nằm phía với AC (Hình 1) Trường hợp 2: H O nằm khác phía với AC (Hình 2) Gợi ý: - Gọi I giao điểm AH BN Kẻ AP vng góc với CO cắt AB P M giao điểm OC AB, K giao điểm OC AP Áp dụng tính chất đường (đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung bình) tam giác Kiến thức tứ giác nội tiếp Tính chất góc ngồi tam giác Cách giải 1: Xét ACP có CK vừa phân giác vừa đường cao nên CK đường trung tuyến, đường trung trực KA = KP (1) Xét ABH có BI vừa phân giác vừa đường cao nên BI đường trung tuyến, đường trung trực IA = IH (2) Từ (1) (2) ta có: IK đường trung bình tam giác APH IKO = OCH ( Hình 1) Hoặc IKO + OCH = 1800 (Hình 2) Xét tứ giác AKOI có I = K = 900 AKOI tứ giác nội tiếp IKO = OAH Tứ giác AOHC nội tiếp A; O; H; C nằm đường trịn Cách giải 2: Ta có BN đường trung trực AH BHO = OACTứ giác AOHC nội tiếp A; O; H; C nằm BHO = BAO mà BAO = OAC nên đường trịn Cách giải 3: ABI tam giác vng nên IBA + BAI = 1800 hay IBA + BAO + OAI = 1800 Suy ra: OAI + B A +2 A; O; H; C nằm đường tròn 15 download by : skknchat@gmail.com Cách giải 4: * Đối với (Hình 1) ta có AHC = 900 + AOC = 900 + B Góc ngồi tam giác B (Vì O tâm đường tròn nội tiếp) AHC = AOC Tứ giác AOHC nội tiếp A; O; H; C nằm đường trịn * Đối với (Hình 2) Xét tam giác IBH ta có AOC = 90 Tứ giác AOHC nội tiếp A; O; H; C nằm đường tròn Cách giải 5: A+B Ta có AON = (Góc ngồi đỉnh O tam giác AOB) AOH = A + BAOH + ACH = 1800 (Hình 1) AOH = ACH = A + B (Hình 2) Tứ giác AOHC nội tiếp A; O; H; C nằm đường tròn Dạng 6: Hệ thức hình học: BÀI TỐN 7: Trên cung BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P tuỳ ý Các đoạn thẳng AP BC cắt điểm Q Chứng minh rằng: 1= 1 PQ PB PC Cách giải 1: (Hình 1) Trên đoạn AP lấy hai điểm N M cho BN = BP PM = PC Khi ta có tam giác BNP tam giác MPC tam giác cân 16 download by : skknchat@gmail.com Vì APB = ACB = 600 MPC = ABC = 600 (Các góc nội tiếp chắn cung) Suy tam giác BNP tam giác MPC tam giác Xét hai tam giác CQP BQN có: BQN = CQP (Hai góc đổi đỉnh) BNQ = CPQ = 60 Nên: CQPBQN = BN-PQ CPPQ.BN = 1 CP PQ BP ( Đpcm) Cách giải 2: (Hình 2) Trên tia BP lấy điểm D cho PD = PC Ta có: CPD = 60 nên tam giác CPD tam giác APB = CDP Vì AP // CD 11 PQ BP CP Đối với toán việc vẽ đường phụ quan trọng HS cần áp dụng kiến thức hai tam giác đồng dạng, kiến thức tam giác cân, tam giác Tính chất dãy tỉ số học lớp vào giải toán Hai cách giải tương tự giống Song sau tìm lời giải giáo viên cần gợi ý cho HS qua câu hỏi Vậy tia BP lấy điểm D cho PD = PC ta chứng minh hệ thức hay khơng? Như học sinh tư tìm tịi lời giải Giáo viên khơng nên đưa lời giải mà phải để học sinh tìm lời giải cho tốn Bài tập giải nhiều cách Bài tập 1: Ở miền hình vng ABCD lấy điểm E cho EAB = EBA = 15 Chứng minh tam giác ADE tam giác 17 download by : skknchat@gmail.com Bài tập 2: Chứng minh định lí Pitago Bài tập 3: Cho hình vng ABCD, O giao điểm đường chéo AC BD gọi M N trung điểm OB CD chứng minh A; M; N; D thuộc đường tròn Bài tập 4: Cho tứ giác ABCD; AD = BC; M N trung điểm AB DC kéo dài AD, MN cắt E kéo dài BC, MN cắt F Chứng minh rằng: AEM = BFM Bài tập 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AC Trên tia AB lấy điểm D cho AD = 3AB Đường thẳng Dy vng góc với DC D cắt tiếp tuyến Ax đường tròn (O) E Chứng minh tam giác BDE tam giác cân Khái quát hoá toán Sau tìm cách giải khác nhau, giáo viên cần cho học sinh khái quát hoá toán cách trả lời số câu hỏi cụ sau: 1) Trong cách chứng minh kiến vận dụng ? 2) Có cách chứng minh tương tự nhau? Khái quát đường lối chung cách ấy? 3) Và cách chứng minh kiến thức vận dụng kiến thức học lớp mấy, hỏi cụ thể chương tiết để kiểm tra nắm vững kiến thức học sinh 4) Cần cho học sinh phân tích hay cách trường hợp cụ thể ta nên áp dụng cách để đơn giản áp dụng để giải câu liên quan hình khơng có câu mà cịn có câu liên quan 5) Việc khái qt hoá toán vấn đề quan trọng Khái qt hóa tốn thể lực tư duy, sáng tạo học sinh Để bồi dưỡng cho em lực khái quát hoá đắn phải bồi dưỡng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, vận dụng kiến thức liên quan để biết tìm cách giải vấn đề trường hợp 6)Việc tìm nhiều lời giải cho tốn vấn đề khơng đơn giản địi hỏi học sinh phải có lực tư logic, kiến thức tổng hợp Khơng phải tốn tìm nhiều lời giải Mà thơng qua tốn với nhiều lời giải nhằm cho học sinh nắm sâu kiến thức vận dụng kiến thức thành thạo để giải tốn khác Bài học kinh nghiệm: 4.1 Đối với giáo viên: Cần xác định yêu cầu nhiệm vụ, trách nhiệm vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi, vấn đề chất lượng học sinh mơn Tốn, chất lượng học sinh giỏi Nhiệt tình trách nhiệm cao chăm lo đến chất lượng học sinh đặc biệt học sinh giỏi Có kế hoạch phấn đấu cụ thể cho đối tượng học sinh, có thời gian bồi dưỡng cu thể, có chương trình bồi dưỡng phù hợp với đối tượng học sinh Nắm vững kiến thức Toán học, nội dung chương trình SGK, nắm vững phương pháp giảng dạy mơn Tốn, phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi 18 download by : skknchat@gmail.com 4.2 Đối với học sinh: - Phát động phong trào thi đua học tập thường xuyên - Chọn đối tượng phù hợp để bồi dưỡng - Hướng dẫn việc học tập phương pháp học tập lớp học sinh Kiểm tra việc học tập lớp, học tập nhà học sinh thông qua dạy, ghi, tập Sau kiểm tra thông báo kết động viên học sinh học tập đặt biệt em có kết cao để phấn đấu có kế hoạch bổ sung Kết hợp chặt chẽ với giáo viên môn trình giảng dạy bồi dưỡng, đặc biệt quan tâm đến đối tượng học sinh giỏi để em phát triển đồng môn nhằm tạo điều kiện cho em phát triển mơn Tốn - Đối với cha mẹ học sinh giỏi: Động viên hướng dẫn quản lý kiểm tra học sinh vấn đề học tập nhà học sinh Cha mẹ phải thực nhiệt tình chăm lo đến 4.3 Kết đạt được: Trong thực tế giảng dạy việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn, với cách làm mang lại hiệu cao việc rèn luyện lực sáng tạo toán cho học sinh Cụ thể 85% em học sinh thực có hứng thú học toán bồi dưỡng cho học sinh giỏi, tự độc lập tìm tịi nhiều cách giải khác mà không cần gợi ý giáo viên 15% em cần gợi ý trường hợp, song mong muốn tham dự lớp bồi dưỡng học sinh giỏi Trong năm PGD giao trọng trách dạy bồi dưỡng lớp thu kết khả quan có thành tích cao cơng tác BD HSG Cụ thể năm học 2012-2013 tơi trực tiếp bồi dưỡng có 01 học sinh giải nhì cấp Tỉnh,01 học sinh đạt giải ba cấp Tỉnh, 12 học sinh đạt giải KK cấp Tỉnh 19 download by : skknchat@gmail.com PHẦN III: KẾT LUẬN Giảng dạy áp dụng sáng kiến mang lại hiệu việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn Nhiều học sinh chủ động tìm tòi, định hướng sáng tạo nhiều cách giải tốn khơng cần góp ý giáo viên Từ mang lại kết bất ngờ từ việc giải tốn thơng qua phương pháp sáng tạo tìm lời giải tốn cho học sinh Chính giáo viên nói chung thân tơi nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tượng học sinh để đưa tập phương pháp giải toán cho phù hợp giúp em làm sáng tạo cách giải gây hứng thú cho em, từ nâng cao kiến thức từ dễ đến khó Để làm giáo viên cần tìm tịi tham khảo nhiều tài liệu để tìm tốn hay, với nhiều cách giải khác để tung cho học sinh làm, phát cách giải hay Thông qua phương pháp giáo dục cho em lực tư độc lập, rèn tư sáng tạo tính tự giác học tập, phương pháp giải toán nhanh, kỹ phát tốt Trên vài kinh nghiệm nhỏ việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Rất mong bạn bè, thầy giáo góp ý để tơi có nhiều kinh nghiệm tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Sông Lô, ngày 01 tháng 03 năm 2014 Người viết chuyên đề Nguyễn Ngọc Linh 20 download by : skknchat@gmail.com ... khơng? Như học sinh tư tìm tịi lời giải Giáo viên khơng nên đưa lời giải mà phải để học sinh tìm lời giải cho tốn Bài tập giải nhiều cách Bài tập 1: Ở miền hình vng ABCD lấy điểm E cho EAB = EBA... có nhiều cách giải khác toán việc sử dụng yếu tố vẽ thêm đường phụ vấn đề quan cho việc tìm lời giải vấn đề khó học sinh tốn giáo viên cần cho học sinh kiến thức vận dụng vào giải toán Kiến thức... đến cách giải cho Hướng dẫn học sinh đưa cách giải cho tốn, từ hướng dẫn học sinh tìm lời giải ngắn phù hợp học sinh Tăng cường hoạt động tìm tịi, quan sát,đo đạc, dự đốn tiếp cận lời giải Nắm
Ngày đăng: 29/03/2022, 12:27
Xem thêm: