Phương pháp Geometrize algebra (GLA) chứng minh bất đẳng thức30799

GEOMETRIZE ALGEBRA (GLA) L IM U Trong trào l u b t đ ng th c phát tri n nh v bão hi n m t lo t nh ng ph ng pháp ff y giá tr c a nh ng tên tu i n i ti ng c ng nh c a b n say mê b t đ ng th c đ i thif vi c m t ph ng pháp không th t s n i b t cho dù m nh tr nên nh t nhòa b lãng quên c ng ch ng có khó hi u V i ph ng pháp hi n vi c gi i b t đ ng th c kì thi qu c gia, qu c t khơng cịn khó kh n v i m t l ng l n b n h c sinh n a Tuy nhiên, l i gi i đ p sáng cho m t toán v n u m i v ph n t i Ch ng th có m t ph ng pháp mà l i gi i m i tốn b ng ng pháp đ u đ p nh t c Chính u t o nên s quy n r không bao gi nhàm chán c a b t đ ng th c Là m t ng i c ng yêu thích mơn h c đ y kì bí này, tơi c ng đúc k t cho riêng m t ph ng pháp có tên GLA, t m d ch “hình h c hóa đ i s ” Th c ch t ch ng d ng c a ph ng pháp p, R, r đ i s mà Trong b t đ ng th c hình h c, vi c qui đ i l ng nh đ dài, sin, cos c a tam giác v p, R, r đ nghiên c u t lâu nh ng m i ng c kh p n i th gi i i có nh ng hi u bi t riêng ch a có m t cu n sách nói th t chi ti t v c Có l , nh ng b t đ ng th c l ch a bao gi o xu t hi n kì thi qu c t c mà ng ng giác i cho r ng v i nh ng nghiên c u v p, R, r hi n đ r i không nghiên c u ti p Và b t đ ng th c l ng giác p, R, r có m t s c m nh h y di t đ đ gi i quy t g n nh tòan b VI c đem p, R, r ng d ng vào đ i s c ng không ph i m t u m i m nhiên m c đ c a v n cịn r t “manh mún” Ph n nhi u đ i s có nhi u ph pháp p, R, r b lãng quên không đ ng pháp m nh nên ph c đánh giá m c ng a s t n t i m t quan ni m c h u r ng: “n u đem so sánh b t đ ng th c đ i s v i hình h c ch ng khác đem gã kh ng l so v i bé ti hon hay tay đ a ch v i k b n nông” C ng ch ng trách đ b t đ ng th c hình h c ch tr c h xét v hình th c ng h p đ c bi t c a b t đ ng th c d i s có thêm u ki n đ th a mãn tính ch t hình h c mà Theo quan m c a ThuVienDeThi.com riêng tơi b t đ ng th c đ i s có th ví nh ph m trù riêng cịn b t đ ng th c hình h c có th ví nh ph m trù chung tri t h c: “Cái riêng toàn b , phong phú h chung, chung b ph n, nh ng sâu s c h n riêng” Tôi m nh d n sâu vào tìm hi u ng d ng c a p, R, r đ i s tách riêng thành m t ph ng pháp có tên GLA tr c h t nh n th y nh ng d ng toán nh t đ nh cho l i gi i r t đ p; sau mu n góp ph n cơng s c tìm l i ti ng nói cho b t đ ng th c hình h c Tôi mu n ch ng minh ph n quan m nêu c a Có th ngông cu ng nh ng n u qua vi t không ch ng t đ c kh n ng h n ch c a ch ch a th ph đ nh quan m c a đ Trong trình vi t ph n lý thuy t s đ th c c s p đ t không tuân theo qui t c thông ng Phân đ u vi t c xây d ng nh ng ki n th c th t c b n đ c áp d ng đ có th gi i t p mà không c n dùng đ n ph n “lý thuy t t ng quan” cu i vi t T i kì thi h c sinh gi i ngồi nh ng b t đ ng th c kinh n đ c áp d ng tr c ti p l i t t c nh ng áp d ng đ u ph i ch ng minh Do đ b n hi u đ c lý thuy t đ gi i t p ch không ph i dùng lý thuy t m t cách máy móc Nh ng t p ph n vi t không khó, n u b n đ c mu n tìm hi u nh ng cao h n xin liên h v i qua đ a ch cu i vi t xin chân thành c m n nh ng ý ki n đóng góp t b n đ c Bùi Vi t Anh ThuVienDeThi.com ng th i A C S C A PH NG PHÁP Xin nói tr c tơi s trình bày vi t c a khơng gi ng nh s trình bày nh ng ph ng pháp khác c a h đ u tiên xây d ng lý thuy t r i vào gi i quy t t p xem th s c m nh c a ph ng pháp ch s l nh ng c n thi t đ gi i toán đ i x ng bi n Sau trình bày t c ng đ i hoàn ch nh v i bi n ta m i b t đ u tìm hi u xem GLA cịn có nh ng ng d ng b m t th t c a Vi c trình bày theo cách c ng khơng hồn tồn vơ lý b i l sau gi i đ b n c ng n m đ c m t lo t nh ng tốn bi n c ch c nh ng ki n th c c s c a GLA đ d dàng ti p thu nh ng lý thuy t cao xa h n Nh ng mà tơi s trình bày nh ng ph n t A đ n E v i ki n th c c a h c sinh THCS c ng có th hi u g n nh tồn b Xóa nhịa ranh gi i v tu i tác c ng u c g ng th c hi n ph n t A đ n E Xét nh ng b t đ ng th c bi n đ i x ng v i u ki n bi n không âm: a, b, c B ng cách đ t x = b + c, y = c + a, z = a + b ho c x = b + c , y = c + a , z = a + b nhi u cách khác n a ta suy đ c x , y , z đ dài c nh c a tam giác Nh v y ta chuy n m t b t đ ng th c đ i s thành hình h c Tr bi n a, b, c có m t bi n b ng O tam giác suy bi n thành đ ng h p ng th ng Ta coi tam giác có r = Ta bi t m i tam giác đ u đ c xác đ nh b i y u t p, R, r nên sau qui toán v x, y, z ta qui v p, R, r Do có nhi u đ nh lý hay, b đ đ p v quan h gi a p, R, r nên m t s tán nh t đ nh vi c chuy n tốn g m đ i l ng a, b, c v p, R, r thu n l i h n r t nhi u ThuVienDeThi.com B CÁC H NG NG TH C VÀ B ÁP D NG TRONG BÀI VI T: Qui c: Khi nhìn th y kí hi u a, b, c ta hi u đ dài c nh c a tam giác Còn p, R, r l n l t n a chu vi, bán kính đ ng trịn ngo i ti p n i ti p c a ∆ABC VT kí hi u c a v trái, VP kí hi u c a v ph i a) ab + bc + ca = p + Rr + r b) ( ab + bc + ca ) = a + b + c + 16 Rr + 4r c) a + b + c = p − 8Rr − 2r d) Rr − r − p2 = − ( b + c − 2a ) ( c + a − 2b ) ( a + b − 2c ) 18 p e) Rr − r − p2 = − ( b + c − 3a ) ( c + a − 3b ) ( a + b − 3c ) 32 p Ch ng minh: Ta d dàng nh n th y đ ng th c c n ch ng minh t v i nên ch c n ch ng minh cho đ ng th c a) đ ng đ ng Ta có: p − a = r cotg A a = R sin A ⇒ sin A = a ; tg A = r 2R p−a 2⋅ r tg A p−a ⇒ a = M t khác áp d ng công th c: sin A = 2R r2 + tg A 1+ p−a ( ) = 2r ( p − a ) ( p − a)2 + r ⇒ ap − pa + a + ar = Rr ( p − a ) ⇒ a − pa + a ( r + p + Rr ) − Rrp = (1) Xét ph ng trình: x − px + ( r + p + Rr ) x − Rrp = (*) T (1) ta th y a, b, c nghi m c a (*) Do theo đ nh lý Viet ta có: ab + bc + ca = p + Rr + r d) H th c đ c ch ng minh l n đ u tiên b i nhà toán h c P Nuesch vào n m 1971 t p chí “Elementary Math”, No 26, 1971 trang 19 ây m t h th c ph c t p R t ti c ch a đ c đ c m t cách ch ng minh c nên đành ch ng minh tam b ng sách sau đây: Rr − r − p2 = − ( b + c − 2a ) ( c + a − 2b ) ( a + b − 2c ) 18 p ThuVienDeThi.com ⇔ 36Rrp − 18 pr − p = − ( b + c − 2a ) ( c + a − 2b ) ( a + b − 2c ) (1) VT(1) = 9abc − 18 S − p = 9abc − 18 ( p − a )( p − b )( p − c ) − p p t p − a = x, p − b = y , p − c = z ⇒ x + y + z = p − a + p − b + p − c = p ; a = y + z , b = z + x , c = x + y ⇒ VP(1) = − ( x − y − z )( y − z − x )( z − x − y ) VT(1) = ( x + y )( y + z ) ( z + x ) − 18 xyz − ( x + y + z ) T c ta c n ch ng minh: ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) − 18xyz − ( x + y + z ) = − ( x − y − z ) ( y − z − x ) ( z − x − y ) (2) Ta có: VT(2) = ⎡⎣ x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) + xy ⎤⎦ − 18 xyz − ⎡⎣ x + y + z + 3x ( y + z ) + 3z ( x + y ) + xyz ⎤⎦ = ⎣⎡ x ( y + z ) + x ( y + z ) + z ( x + y ) ⎦⎤ − ( x + y + z ) − 12 xyz (3) n vi c ch ng minh A = B đ n gi n h n r t nhi u N u khơng tìm đ c cách ch ng minh hay b n đ c có th ch u khó ng i phân tích nhân t Vi c làm ch t n chút công s c ch khơng c n suy ngh nhi u có tr c k t qu mà không c n nháp, xin trình bày đ b n tham kh o: Ta nh n th y (3) bi u th c đ i x ng d dàng th y r ng n u đ t (3) b ng f ( x, y, z ) 2x = y + z m t nghi m c a f ( x, y, z ) Do tính đ i x ng f ( x, y, z ) có b c b ng nên y = z + x, z = x + y c ng nghi m c a f ( x, y, z ) ch có nghi m D u c a x , y , z f ( x, y, z ) d u tr nên có th vi t: f ( x, y, z ) = − ( x − y − z )( y − z − x )( z − x − y ) ây m t m o nh q trình phân tích bi u th c có tính ch t đ i x ng Cịn vi c thi có đ c s d ng tính ch t khơng b n tham kh o th y giáo có uy tín nhé! e) H th c đ c ch ng minh l n đ u tiên b i nhà toán h c P Nuesch vào n m 1972 t p chí “Elementary Math”, No 27, 1972 (trang 16-17) Các b n có th ch ng minh t ng t nh cach ch ng minh d) ây m t đ ng th c đ p nhi u ng d ng nên b n tr c h t tìm cho riêng m t l ii gi i đ hi u đ c b n ch t c a Sau xin gi i thi u l i gi i c a đ b n tham kh o ThuVienDeThi.com ng th c cho t ng đ ng v i: 128Rrp − 32 pr − p = ( 3a − b − c ) ( 3b − c − a ) ( 3c − a − b ) ⇔ 32abc − 32 ( p − a )( p − b )( p − c ) − ( a + b + c ) = ( 3a − b − c ) ( 3b − c − a ) ( 3c − a − b ) ⎧a = x + y + z ⎪ t ⎨b = y + z + x ⎪ ⎩c = z + x + y ( x + y > 0, y + z > 0, z + x > ) ⇒ a + b + c = ( x + y + z ) (1) Ta d dàng nh n th y v i cách đ t u ki n a, b, c đ dài c nh c a ⎧ p − a = y + z , p − b = z + x, p − c = x + y ⎪ ⎪3a − b − c = x (2) tam giác không b vi ph m và: ⎨ ⎪3b − c − a = y ⎪ ⎩3c − a − b = z T (1) (2) ta c n ch ng minh: 32 ( x + y + z )( y + z + x )( z + x + y ) − 32 ( x + y )( y + z ) ( z + x ) − 64 ( x + y + z ) = 64 xyz ⇔ ( x + y + z )( y + z + x )( z + x + y ) − ( x + y )( y + z ) ( z + x ) − ( x + y + z ) = xyz n ta ch ng minh ( m + n ) ( n + p )( p + m) + mnp = ( m + n + p )( mn + np + pm) (*) áp d ng v i m = y + z, n = z + x, p = x + y ta có: (*) ⇔ ( x + y + z )( y + z + x )( z + x + y ) + ( x + y )( y + z ) ( z + x ) = ( x + y + z ) + ⎡⎣( x + y )( y + z ) ( z + x ) + xyz ⎤⎦ ⇔ ( x + y + z ) ⎡⎣( x + y )( y + z ) + ( y + z ) ( z + x ) + ( z + x ) ( x + y ) ⎤⎦ = ( x + y + z ) + ( x + y + z )( xy + yz + zx ) (®óng) V y ta ch ng minh xong đ ng th c e) ThuVienDeThi.com Các đ nh lý: nh lý 1: Cho tam giác ABC, D m t m b t kì thu c BC Khi đó: nc + mb = ( d + mn ) a AD = d, BD = m, DC = n Ch ng minh: Ta có m + d − c = 2md cos ADB (1), n + d − b = 2nd cos ADC (2) Nhân c v c a (1) v i n c v c a (2) v i m ta đ c: n ( m + d − c ) = 2mnd cos ADB ( 3) , m ( n + d − b ) = 2mnd cos ADC ( ) C ng v theo v c a (3) v i (4) ta đ c: mn ( m + n ) + ( m + n ) d − nc − mb = 2mnd ( cos ADB + cos ADC ) ⇔ ( mn + d ) a = nc + mb nh lý 3: p ≤ R + 10 Rr − r + ( R − 2r ) R ( R − 2r ) Cách 1: Gi s a, b, c th a mãn a > b ≥ c ≥ nghi m c a ph ng trình: M ( X ) = X − pX + ( p + Rr + r ) X − pRr = i u ki n đ a, b, c đ dài c nh c a m t tam giác là: ⎧⎪b + c > a ⎧⎪ p > a ⇔⎨ ⇔ p > a ≥ b ≥ c > (1) ⎨ ⎪⎩c > ⎪⎩c > ⇔ Ph ng trình M(X) = có nghi m th a mãn (1) Ta có: M ′ ( X ) = X − pX + p + Rr + r ∆ ′ = ( p ) − ( p + Rr + r ) = p − 12 Rr − 3r ; M(X) có nghi m ⇒ ∆’ ≥ Hai nghi m c a M’(X) = là: X = p − ∆′ p + ∆′ ;X2 = 3 ThuVienDeThi.com ⎧M ( 0) < ⎪ ⎪⎪ M ( X ) ≥ ⇒ (1) ⇔ ⎨ Ta nh n th y M(0) < M(p) > ⎪M ( X ) ≤ ⎪ ⎪⎩ M ( p ) > 2 ⎧ ⎧⎪ M ( X ) ≥ ⎪∆ ′ ∆ ′ ≥ p ( p − 18 Rr + 9r ) ⇔⎨ Còn ⎨ ⇔ ∆ ′ ∆ ′ ≥ p ( p − 18 Rr + 9r ) 2 ⎩⎪ M ( X ) ≤ ⎪⎩∆ ′ ∆ ′ ≥ − p ( p − 18 Rr + 9r ) ⇔ ( ∆ ′ ) ≥ p ( p − 18 Rr + 9r ) ⇔ p − p ( R + 10 Rr − r ) + r ( R + r ) ≤ (2) 3 ∆ 1′ = ( R + 10 Rr − r ) − r ( R + r ) = R ( R − 2r ) ≥ 3 ⇒ (2) ⇔ R + 10 Rr − r − ( R − 2r ) R ( R − 2r ) ≤ p ≤ R + 10 Rr + r + ( R − 2r ) R ( R − 2r ) (Cách ch ng minh ThuVienDeThi.com Cách 2: Cách ch a có b t kì m t tài li u c mang đ m b n s c hình h c Ta có: p ≤ R + 10 Rr − r + ( R − 2r ) R ( R − 2r ) ⇔ p − 16 Rr + 5r ≤ ( R − Rr + 4r ) + ( R − 2r ) R ( R − 2r ) + R ( R − 2r ) ⇔ 9.IG ≤ ⎡⎣( R − 2r ) + R ( R − 2r ) ⎤⎦ ⇔ 3.IG ≤ R − 2r + OI Trong O, I, G l n l t tâm đ ng tròn ngo i ti p, n i ti p tr ng tâm c a ∆ABC Trên đ ng th ng IG ta l y m H cho IK = 3IG Ta s dùng đ nh lý đ tính đo n OH Theo đ nh lý 1: OI HG + OH IG = ( OG + IG.GK ) IK 2 ⎛ p − 16 Rr + 5r ⎞ ⇔ R ( R − 2r ) + OK = ⎜ R − a + b + c + ⋅ ⎟ (do 9 ⎝ ⎠ GK = IG, IK = 3IG ) ⇔ R ( R − 2r ) + 3.OK = R − ( p − 8Rr − 2r ) + p − 32 Rr + 10r ⇔ 3.OK = ( R − Rr + 4r ) ⇔ OK = ( R − 2r ) ⇔ OK = R − 2r Trong tam giác OIK ta ln có: OI + OK ≥ IK hay (R − 2r) + OI ≥ 3.IG T c là: p ≤ R + 10 Rr − r + ( R − 2r ) R ( R − 2r ) ng th c x y ⇔ O n m gi a I K Comment: T đ nh lý ta có th t o r t nhi u đo n th ng có đ dài đ c bi t r t đ p nh OK B n có ni m say mê tìm tịi th , cịn vi t tơi ch d ng ThuVienDeThi.com Hồn tồn t ng t ta ch ng minh đ c: p ≥ R + 10 Rr − r − ( R − 2r ) R ( R − 2r ) i u t ng đ ng v i IK + OK ≥ OI ng th c x y K n m gi a O I Bây gi ta s tìm u ki n c n đ : + O n m gi a I K + K n m gi a O I * O n m gi a I K khi: p − 16 Rr + 5r = R − 2r + R ( R − 2r ) ⇒ p − 16 Rr + 5r ≥ R ( R − 2r ) + ( R − 2r ) R ( R − 2r ) ≥ R ( R − 2r ) + ( R − r ) = ( R − r ) ( 3R − r ) ⇒ p ≥ ( R + r ) ⇒ p ≥ R + r 2 Theo đ nh lý trình bày u x y tam giác có góc ≥ 60°, t c tam giác cân có c nh bên l n h n ho c b ng c nh đáy * K n m gi a O I khi: p − 16 Rr + 5r = R ( R − 2r ) − ( R − 2r ) ⇒ p − 16 Rr + 5r ≤ R ( R − 2r ) + ( R − 2r ) ≤ ( R − 2r ) ( 3R − 4r ) ⇒ p ≤ 3( R + r ) ⇒ p ≤ R + r Theo đ nh lý trình bày u x y tam giác có góc ≤ 60°, t c tam giác cân có c nh bên nh h n ho c b ng c nh đáy nh lý 5: a + b + c ≤ R + 4r Ch ng minh: Ta có nhi u cách đ ch ng minh đ nh lý nh ng vi t s s d ng đ nh lý làm b đ m t b đ r t m nh tính ng d ng cao Nh n th y R ( R − 2r ) ≤ R ( R − 2r ) + r = ( R − r ) Do đó: p ≤ R + 10 Rr − r + ( R − 2r ) ( R − r ) ⇔ p ≤ R + 10 Rr − r + ( R − 3Rr + 2r ) ⇔ p ≤ R + Rr + 3r ⇔ p ≤ 8R + 8Rr + 6r ⇔ a + b + c + Rr + 2r ≤ R + Rr + 6r ⇔ a + b + c ≤ R + 4r ThuVienDeThi.com L i có a + b + c + 16 Rr + 4r = ( ab + bc + bc ) ⇒ 8R + 16 Rr + 8r ≥ ( ab + bc + bc ) ⇒ ( R + r ) ≥ ab + bc + ca nh lý 4: p ≥ R + 8Rr + 3r m i tam giác nh n Các b t đ ng th c t ng đ ng: a + b + c ≥ ( R + r ) ab + bc + ca ≥ R + 12 Rr + 4r Nh ng b t đ ng th c g p nhi u sách nên xin đ ch ng minh c không đ a nh lý 2: N u tam giác ABC có: Hai góc ≥ 60° p ≥ ( R + r ) Hai góc ≤ 60° p ≤ ( R + r ) M t góc b ng 60° p = ( R + r ) Ch ng minh: Ta có: ( p − (R + r) a + b + c = − 1+ r R 2R 4R ) 3( cos A + cos B + cos C ) = sin A + sin B + sin C − 2 ) ( ( ) ( = sin A − π + sin B − π + sin C − π 3 ) (1) t x = A − π , y = B − π , z = C = π ta có x + y + z = 3 Khơng m t tính t ng quát ta gi s : x ≥ y ≥ z (1) = sin x + sin y + sin z = sin x + sin y − sin ( x + y ) = 2sin x + y cos x − y − 2sin x + y cos x + y 2 2 = sin x+ y⎛ x− y x+ − cos ⎜ cos 2 ⎝ y y⎞ x+ y sin x sin ⎟ = sin 2 ⎠ Do x + y + z = x ≥ y ≥ z nên x + y ≥ x ≥ 0, x < π, x + y < π suy sin x+ y sin x ≥ 2 p − (R + r) x+ y y y = sin sin x sin ≥ − N u y ≥ ⇔ B ≥ π sin ≥ 2R 2 ThuVienDeThi.com T c p ≥ ( R + r ) ∆ABC có góc ≥ π − N u y ≤ sin p − (R + r) x+ y y y sin x sin ≤ = sin ≤ , đó: 2R 2 T c p ≤ ( R + r ) ∆ABC có góc ≤ π − N u y = p = ( R + r ) sin y =0 2 ( ) nh lý 6: p ≥ 16 Rr − 5r + r R − 2r (*) R CM: Ta ln có: IG ≥ IO − OG ⇔ IG ≥ R ( R − 2r ) − R − ( a + b + c ) ⇔3.IG ≥ R( R − 2r ) − 9R2 − ( a2 + b2 + c2 ) ⇔3.IG ≥ a2 + b2 + c2 −18Rr (1) R( R − 2r ) + 9R2 − ( a2 + b2 + c2 ) Do 9.IG = p − 16 Rr + 5r nên p ≥ 16 Rr − 5r ⇒ a + b + c = p − 8Rr − 2r ≥ 24 Rr − 12r (2) T (1), (2) ⇒ 3.IG ≥ ⇒ 9.IG ≥ Comment: Rr − 12r = Rr − 12r = r R − 2r R R ( R − 2r ) + R − 24 R + 12r R ( R − 2r ) r ( R − 2r ) V y (*) đ R2 c ch ng minh ng th c x y ⇔ ∆ABC đ u nh lý ch ch t h n B T quen thu c p ≥ 16 Rr − 5r chút xíu nh ng đ c bi t quan tr ng “đ ng đ u” v i nh ng B T ch t Nh b n bi t B T p ≤ R + Rr + 3r m t B T t ng đ i ch t nh ng v n ch a đ đ m nh đ khu t ph c nh ng “c ng đ u” Tuy nhiên ch c n làm ch t h n m t chút xíu: (**) p ≤ R + 10 Rr − r + ( R − 2r ) R ( R − 2r ) l i gi i quy t nh ng tốn cách “ngon lành” nh lý có t m quan tr ng khơng so v i (**) Th c v n có th làm ch t h n n a B T (*) thành: p ≥ R + 10 Rr − r − ( R − 2r ) RR − 2r (***) có u hình th c c a (***) c ng k nh nên r t khó áp d ng ThuVienDeThi.com Tóm l i ta có B T k p: r ( R − 2r ) ≤ p ≤ R + 10 Rr − r + ( R − 2r ) R ( R − 2r ) 16 Rr − 5r + R nh lý 7: Cho tam giác ABC th a mãn a ≥ b ≥ c a + b ≥ 3c CMR: r ≤ R ( a + b − c ) (b + c − a ) (c + a − b) Ch ng minh: Ta có: r = R 2abc ( a + b − c ) (b + c − a ) ( c + a − b) t f (c) = 2abc ⇒ f ′ (c) = ( a + b ) c − 2c + ( a + b ) ( a − b ) ( a + b − 2c ) c ≥ ≥0 2 2abc 2abc Do ƒ(c) đ ng bi n theo c Thay c = a + b vào ƒ(c) ta đ ( ) ( 2b − a ) ( 2a − b ) ( a − b ) = − ≤4 f (c) ≤ f a + b = 9ab 9ab V y r ≤ R ng th c x y ⇔ a = b = c ThuVienDeThi.com c: C Xây d ng đ ng th c ây ph n “x ng s ng” c a ph ng pháp Ch c n n m v ng đ ng th c ph n nhi u t p m c dù r t khó ph n sau c ng tr nên đ n gi n Xét a, b, c > Nh nói ph n A, sau đ t: x = b + c, y = c + a, z = a + b x, y, z tr thành đ dài c nh c a tam giác Ta s chuy n m t s đ i l ng đ i s v hình h c thơng qua p, R, r l n l chu vi, bán kính đ ng tròn ngo i ti p n i ti p tam giác XYZ t n a Tính a + b + c ab + bc + ca Ta có: x + y + z = ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) = ( a + b + c + ab + bc + ca ) (1) 2 xy + yz + zx = ( a + b ) ( b + c ) + ( b + c ) ( c + a ) + ( c + a ) ( a + b ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) ( 2) T (1) (2) suy ra: ( a + b + c ) = ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) ⇔ ( a + b + c ) = ( x + y + z ) − ⎡⎣ ( xy + yz + zx ) − ( x + y + z ) ⎤⎦ ⇔ ( a + b + c ) = p − (16 Rr + 4r ) ⇔ a + b + c = p − 8Rr − 2r ( ab + bc + ca ) = ( xy + yz + zx ) − ( x + y + z ) ( ab + bc + ca ) = 16 Rr + 4r ⇔ ab + bc + ca = Rr + r 2 p2 a + b + c = p − Rr − 2r = −2 ab + bc + ca Rr + r Rr + r 2 Tính Ta có: = abc ( a + b ) (b + c ) ( c + a ) ( x + y − z )( y + z − x )( z + x − y ) abc = ( a + b ) (b + c ) ( c + a ) xyz ( p − x )( p − y )( p − z ) xyz = pr = r Rrp R ThuVienDeThi.com Tính a + b + b + c + c + a c a b ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) = a +b+c + a +b+c + a +b+c −3= −3 c a b abc = p ( Rr + r ) p ( Rr + r ) ( 2R − r ) −3= − = 4R + r − = r r ( p − x )( p − y )( p − z ) pr a + b + c = ( a + b + c ) ⎡⎣( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) ⎤⎦ + 3abc = p ( p − Rr − 2r − Rr − r ) + pr = p ( p − 12 Rr ) a + b + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) + 4abc ( a + b + c ) 2 = ( p − 8Rr − 2r ) − ( 4Rr + r ) + p r 2 = p − ( 4Rr + r ) p + ( 4Rr + r ) − ( 4Rr + r ) + p r = p − 16Rrp + ( 4Rr + r ) a 3+ b + c = abc p pr =3 2 p2 r2 G i S di n tích c a tam giác XYZ có đ dài c nh x , y , z Ta có: 16S = ( x + y + z )( x + y − z )( y + z − x )( z + x − y ) 2 2 = ⎣⎡( x + y ) − z ⎦⎤ ⎣⎡ z − ( x − y ) ⎦⎤ = ( x + y ) z − z − ( x − y ) + z ( x − y ) = ( x + y + xy ) z − z − x − y + x y + z x − xyz + z y = 2(x2 y2 + y2z2 + z2x2 ) − (x4 + y4 + z4 ) Trong m t s toán tr ng h p x ≥ y + z (x max c a { x, y, z} ) ta nh n th y tốn Do ch c n xét thêm tr toán đ ng h p x < y + z c gi i quy t hoàn toàn t m = x , n = y , p = z ta l i có m, n, p đ dài c nh c a tam giác N u g i R1 , r1 l n l t bán kính đ ng trịn ngo i ti p n i ti p tam giác MNP có đ dài c nh m, n, p thì: 16 S = ( mn + np + pm ) − ( m + n + p ) = 16 R1 r1 + 4r12 ⇒ 4S = R1 r1 + r12 ThuVienDeThi.com V y nhi u toán bi n qua l n đ t n ta qui đ c v tốn bi n Do toán ta nghien c u b t đ ng th c đ i x ng nên sau chu n hóa tốn ch cịn bi n Mà tốn bi n th ng gi i đ c m t cách d dàng ) ( a + b + c = (a + b + c) + + − = p ⎛ + + ⎞ − ⎜x y z⎟ b+c c+a a+b a+b b+c c+a ⎝ ⎠ p ( xy + yz + zx ) p ( p + Rr + r ) p + Rr + r p − 8Rr + r = −3= −3= −3= xyz Rrp Rr Rr + + = ab + bc + ca = Rr +2 r = R + r a b c abc pr pr p 10 + + = a + b + c = = 12 ab bc ca abc pr r 2 2 2 ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) 11 12 + 12 + 12 = a b + b2 c2 2+ c a = a b c a b c a 2b 2c 2 r ( 4R + r ) − p r ( 4R + r ) − p = p 2r p 2r 2 = 12 2 + + = + + = xy + yz + zx = p + Rr + r a+b b+c c+a x y z Rrp xyz x y + y z + z x ( xy + yz + zx ) − xyz ( x + y + z ) 13 12 + 12 + 12 = = x y z x2 y2z2 x2 y2z2 = ( p + Rr + r ) − 16 Rrp 16 R r p = ( p + Rr + r ) − Rr 16 R r p 14 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = xyz = Rrp abc = ( p − x )( p − y )( p − z ) = S = pr p 2 2 2 15 ab + ac + bc = a b + b c + c a c b a abc ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) r ( R + r ) − p r ( R + r ) − p = = = 2 abc pr ThuVienDeThi.com p 16 a b + b c + c a = ( ab + bc + ca ) − 3abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = r ( R + r ) − 12 p r R 17 = + 21 + 2 a +b b +c c +a ( a + b )( a + c ) + ( b + c )( b + a ) + ( c + a )( c + b ) ( a + b )( b + c )( c + a ) ( a + b + c ) + a 2b + b 2c + c a = ( a + b + c )( a b + b c + c a ) − a b c 2 ( p2 − 8Rr − 2r ) + ( 4Rr + r ) − 2p2r = p4 − 8( 2R + r) rp2 + 5r ( 4R + r ) = ( p2 − 8Rr − 2r ) ⎡⎣( 4Rr + r ) − 2p2r ⎤⎦ − p2r 4r ( 4R2 + 6Rr + r ) p2 − 2p4r − 2r ( 4R + r) 2 18 ( a 2b + b c + c a)( a c + b a + c 2b) = a 3b + b 3c + c a + 3a 2b c + abc ( a + b3 + c ) = r ( R + r ) − 12 R r p + p r + p r ( p − 12 Rr ) 3 = r ⎡⎣ r ( R + r ) + p r + p − 24 Rrp ⎤⎦ Ph n xây d ng nh ng công th c c b n xin đ c d ng l i Trong trình làm t p n u c n nh ng cơng th c khác b n đ c c ng có th d dàng t xây d ng Do m i đa th c đ i x ng đ u qui đ a + b + c, ab + bc + ca, abc nên đ u qui đ c v t ng tích c a đ i l cv p , R, r ThuVienDeThi.com ng D M T S BÀI TOÁN S U T M Ph n g m nh ng toán r t n i ti ng có nhi u cách gi i Tuy nhiên vi t ta s dùng ph ng pháp GLA đ gi i Bài (Iran 1996) Cho a, b, c > Ch ng minh r ng: 1 + + ≥ 2 ( + ab bc + ca ) ( a + b) (b + c) (c + a) Gi i Áp d ng công th c 13 ph n C ta c n ph i ch ng minh: ( p + Rr + r ) 16 R r p Xét A = ( p + Rr + r ) 9 − ≥ ⇔ − ≥ 2 ( Rr ( Rr + r ) R 4R + r ) 16 R rp ( p + Rr + r ) 16 R rp Ta s ch ng minh A đ ng bi n theo p C1: Tính đ o hàm p2 + C2: A = ( Rr + r ) p + ( Rr + r ) 16 R r p + ( Rr + r ) + ( Rr + r ) ≥9 16 R r n ta nh n th y A đ ng bi n theo p Mà p − 16 Rr + 5r = 9.IG ≥ ⇒ p ≥ 16 Rr − 5r Do 2 (16Rr − 5r + Rr + r ) ( 20Rr − 4r ) ( 5R − r ) = = = 25R −3 10 Rr 2+ r A≥ 2 2 ( 2) 16 R r (16 R − 5r ) R (16 R − 5r ) 16 R − 5R r 16 R r 16 Rr − 5r Cơng vi c cịn l i c a ta ch ch ng minh: 2 25 R − 10 Rr + r − ≥ 9 ⇔ R −3 5Rr +2 r ≥ ( ) ( R 4 4 R r R + + r) 16 R − R r 16 R − 5R r ⇔ ( R + r ) ( R − 5Rr + r ) ≥ (16 R − 5R r ) ⇔ ( 36 R + R r − 20 R r − Rr + Rr + r ) ≥ (16 R − 5R r ) ⇔ ( 36 R − 11R r − Rr + r ) − (16 R − R r ) ≥ ⇔ r ( R − 2r ) ≥ ThuVienDeThi.com ⎡ a = b, c = ( hoán vị ) r = ng th c x y ⇔ ⎢ ⇔⎢ ⎢⎣ a = b = c ⎢⎣ R = 2r Comment: L i gi i toán c ng nh l i gi i c a toán ti p theo sau s đ c trình bày m t cách r t t m đ b n ti n theo dõi Tuy nhiên, nh th y, l i gi i r t sáng s a g n gàng B n yêu thích b t đ ng th c hình ch c s c m nh n đ c v đ p c a l i gi i b n ch a quan tâm th c s đ n b t đ ng th c hình cho r ng khơng cịn đ ng sau bi t đâu sau đ c vi t b n s thay đ i nhìn v b t đ ng th c hình Bài Cho a, b, c ≥ ab + bc + ca = CMR: + + ≥5 a+b b+c c+a Gi i Áp d ng đ ng th c 12 ph n C ta có toán sau: Cho x, y, z > Rr + r = CMR: Xét ph p + Rr + r ≥ ⇔ p − 10 Rrp + ≥ (1) Rrp ng trình: f ( x ) = x − 10 Rrx + = ; ∆ ′ = 25 R r − ⇒ x1 = 5Rr − 25R r − ; x = Rr + 25 R r − ch ng minh (1) ta ch ph i ch ng minh p ≥ x = 5Rr + 25R r − Ta có: 25R r − = 25R r − ( Rr + r ) = r R − 8Rr − r ≤ r ( 3R − r ) = r ( 3R − r ) ⇒ 5Rr + 25R r − ≤ 5Rr + r ( 3R − r ) = − 3r L i có p − 16 Rr + 5r = 9.IG ≥ ⇒ p ≥ 16 Rr − 5r = − 9r − 9r ≥ − 3r ⇔ − 9r ≥ ( − 3r ) ⇔ − 9r ≥ − 12r + 9r Mà ⇔r V y (1 − 3r ) ≥ ⎧r = ⎪ ⇔ x = 2, y = z = ng th c x y ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪ p = 16 Rr − 5r + + ≥5 a+b b+c c+a ng th c x y ⇔ a = b = 1, c = hoán v ThuVienDeThi.com M r ng: Cho a, b, c ≥ th a mãn ab + bc + ca = b + c ≥ a ≥ b ≥ c CMR: + + ≥ a + b b + c c + a a + b + c + abc Gi i: Tr c tiên ta nh n th y toán ch t h n toán ban đ u b i l : = ab + bc + ca ≥ a ( b + c ) ≥ a ⇒ a ≤ ⇒ (1 − a ) (1 − b ) (1 − c ) ≥ ⇔ − a − b − c + ab + bc + ca − abc ≥ ⇔ ≥ a + b + c + abc V i toán ban đ u ta có th ch ng minh b ng nhi u cách đ i s mà l i gi i g n gàng nh ng v i toán m r ng l i gi i b ng đ i s ph c t p Ta s dùng G.L.A đ ch ng minh toán này.Ta nh n th y v i u ki n c a tốn a, b, c đ dài c nh tam giác (Tr ng h p b + c = a tam giác suy bi n thành đ ng th ng) Áp d ng công th c ph n C ta c n ph i CM: ∑ ( a + c ) (b + c ) ( a + b) (b + c) (c + a ) ≥ a + b + c + abc ⇔ a + b + c + ( ab + bc + ca ) ≥ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) − abc a + b + c + abc ⇔ − 16Rr − 4r ≥ ⇔ ⎣⎡5 − (16Rr + 4r ) ⎦⎤ (1 + 2Rr ) ≥ (1 − 2Rr ) ( a + b + c ) (1 − 2Rr ) ( a + b + c ) (1 + 2Rr ) ⇔ + 10 Rr − (1 + Rr ) (16 Rr + 4r ) ≥ − 10 Rr ⇔ 20 Rr ≥ (1 + Rr ) (16 Rr + 4r ) (1) Ta nh n th y: (1 + Rr ) (16 Rr + 4r ) ≤ 18 (1 + Rr ) Rr = 18Rr + Rr.18Rr ≤ ≤ 18 Rr + Rr ( ab + bc + ca ) = 20 Rr Do (1) đ V y + + ≥ a + b b + c c + a a + b + c + abc c ch ng minh ng th c x y ⇔ a = b = 1, c = Bài Cho x, y, z > Tìm u ki n đ b t đ ng th c sau ∑ x ( x + y)( x + z) ≥ xyz ⎛ ⎞ ⎜ + ( x + y )( y + z ) ( z + x ) ⎟ 3( x + y + z) ⎝ ⎠ Gi i ng tr c toán này, ph ng pháp đ i s không bi t nên b t đ u t đâu b i đ xu t hi n nh ng c n th c r t khó h u u ki n đ tốn theo nh d đốn không đ n gi n Nh ng d ng ch c ch n dùng G.L.A đ gi i Có u ta th xem đ ph c t p c a toán đ n đâu ThuVienDeThi.com ... A PH NG PHÁP Xin nói tr c tơi s trình bày vi t c a khơng gi ng nh s trình bày nh ng ph ng pháp khác c a h đ u tiên xây d ng lý thuy t r i vào gi i quy t t p xem th s c m nh c a ph ng pháp ch... − ( b + c − 3a ) ( c + a − 3b ) ( a + b − 3c ) 32 p Ch ng minh: Ta d dàng nh n th y đ ng th c c n ch ng minh t v i nên ch c n ch ng minh cho đ ng th c a) đ ng đ ng Ta có: p − a = r cotg A a... ng minh l n đ u tiên b i nhà toán h c P Nuesch vào n m 1971 t p chí “Elementary Math”, No 26, 1971 trang 19 ây m t h th c ph c t p R t ti c ch a đ c đ c m t cách ch ng minh c nên đành ch ng minh