Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh môn Toán29373

http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN - LỚP 12 Ngày thi: 21 / / 2017 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm 180 phút, khơng kể thời gian giao đề Câu ( 4, điểm) 1) Tìm m để hàm số y = cos x + 6m cos x − 21cos x + 2m − đồng biến khoảng ( 0; π ) 2) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số f (x ) = x + (m2 − 3) x + m2 + m − có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng y = x − 2 Câu ( 4, điểm) 1) Giải phương trình tan x − tan x + tan x + cot x − cot x + cot x = 3 ( ) 2) Giải phương trình log x + x − = log (x 2 ) ( x ∈ ℝ) + 7x − , 3) Một nhóm học sinh gồm có bạn nam, có bạn Hải bạn nữ có bạn Minh xếp vào 13 ghế hàng ngang Tính xác suất để hai bạn nữ ngồi gần có ba bạn nam, đồng thời bạn Hải bạn Minh nêu không ngồi cạnh Câu ( 4, điểm) 1) Giải phương trình π 2) Tính tích phân I = ∫ x + + x + = x + x + + x + x + 2, log ( sin x + cos x ) + cos x ( x ∈ ℝ) dx Câu ( 6, điểm) 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x − y + − = hai ( C1 ) : x + y + x − y + = ; ( C2 ) : x + ( y + 3) = Viết phương trình đường trịn ( C ) tiếp xúc với đường thẳng d , tiếp xúc ngồi với đường trịn ( C1 ) , đồng thời ( C ) cắt ( C2 ) hai điểm đường tròn A, B phân biệt mà AB ⊥ d 2) Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi, ABC > 90o Góc A ' C mặt đáy ( ABCD ) 30o ; góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) ( ABCD ) 45o ; khoảng cách từ điểm C ' đến mặt phẳng ( A ' CD ) a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính thể tích khối hộp cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA ' DE 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng qua hai điểm A(0;9;0) , M (4;3;25) cắt hai tia Ox ,Oz hai điểm B,C khác O cho OB + OC nhỏ Câu ( 1, điểm) Cho số thực x, y, z khơng âm đơi phân biệt Tìm giá trị nhỏ biểu  1  thức P = x + y + z  + +  2  ( x − y ) ( y − z ) ( z − x )  HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) ( ) ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HDC ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Câu http://toanhocmuonmau.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA CẤP TỈNH NGÀY THI 21/3/2017 MƠN THI: TỐN LỚP 12 PHỔ THƠNG (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) Điểm 4.5đ Hướng dẫn giải y = cos x + 6m cos x − 21cos x + 2m − = cos3 x − cos x + 6m (2 cos2 x − 1) − 21cos x + 2m − = (cos x + 3m cos2 x − cos x − m − 2) Đặt t = cos x , hàm số cho đồng biến khoảng ( 0; π ) hàm số f (t ) = t + 3mt − 6t − m − nghịch biến (−1;1) 1.1 (2.5 điểm) ( 0.5 ) f ' (t ) = 3t + 6mt − = t + 2mt − Hàm số f (t ) = t + 3mt − 6t − m − nghịch biến (−1;1) 0.5 ⇔ t + 2mt − ≤ 0, ∀t ∈ (−1;1) △' = m + >  ⇔  f ' (−1) ≤   f ' (1) ≤  −1 − 2m ≤ 1 ⇔  ⇔ − ≤m ≤ − 2  + 2m ≤ Kết luận 0.5 0.5 Ta có y ' = x + m − Để hàm số có cực đại cực tiểu m − < ⇔ m < 2 0.5 Giả sử A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị 1.2 (2.0 điểm) Tính hệ số góc đường thẳng AB k = f ( x1 ) − f ( x2 ) = (m x1 − x2 Hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng y = x − suy 1 k = −1 ⇔ m − = −1 ⇔ m = Thử lại m = thỏa mãn ( ) Câu 2 ) −3 0.5 0.5 0.5 4.5đ tan x − tan x + tan x + cot x − cot x + cot x = 2.1 (1.5 điểm) Điều kiện: sin x.cos x ≠ ⇔ x ≠ k π ,k ∈ ℤ Phương trình tương đương (tan x + cot x ) − (tan x + cot x ) + (tan x + cot x ) − = Đặt t = tan x + cot x, | t |≥ , phương tình (1) trở thành t −t +t −6 =0 ThuVienDeThi.com 0.5 (1) 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Giải t = Suy tan x + cot x = ⇔ sin x = ⇔ x = Vậy x = π ( π + kπ (thỏa mãn) 0.5 + kπ , k ∈ ℤ nghiệm phương trình cho ) log x + x − = log (x ) + 7x −  x + x − > Điều kiện:   x + x − > Viết lại phương trình dạng ⇔ log ( x + x − 3) = log ( x + x − ) (1) Đặt y = log ( x + x − 4) Từ phương trình (1) ta có hệ: 2.2 (1.5 điểm y y  x + x − = y  4 1 y y ⇒ + = ⇔   +   = (2)  y  5 5  x + x − = y 0.5 y 4 1 Hàm số f ( y ) =   +   hàm nghịch biến 5 5 Do phương trình (2) có nghiệm nghiệm Nhận thấy y=1 nghiệm x = Với y = ⇒ x + x − = ⇔ x + x − = ⇔   x = −8 Vậy phương trình có nghiệm x = −8 x = 0.5 Ω = 13! 2.3 (1.5 điểm) Đánh số ghế hàng ngang theo thứ tự từ đến 13 Các bạn nữ phải ngồi vào ghế số 1,5,9,13 Gọi A biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần có ba bạn nam, đồng thời bạn Hải bạn Minh không ngồi cạnh nhau” Xét trường hợp - Bạn Minh ngồi ghế + Số cách xếp bạn nữ cịn lại 3! + Có cách xếp vị trí Hải + Có 8! cách xếp tám bạn nam vào vị trí cịn lại Suy số cách xếp 3!.8.8! - Bạn Minh ngồi ghế 13 có số cách xếp 3!.8.8! - Bạn Minh ngồi ghế (ghế làm tương tự) Có 3! cách xếp bạn nữ, có cách xếp vị trí Hải, có 8! cách xếp bạn nam lại Suy số cách xếp 3!.7.8! ΩA = 2.3!.7.8 !+ 2.3!.8.8 ! = 2.15.3 ! ! P (A) = 0.5 0.5 0.25 2.15.3! ! = ⋅ 13! 858 Câu 3.1 (2.0 điểm) 0.25 4đ x + + x + = 2x + 4x + + 2x + 4x + 3 Đặt u = x + 2; v = x + x + Phương trình cho trở thành u + + u = v3 + + v ThuVienDeThi.com http://toanhocmuonmau.violet.vn t2 Xát hàm số f (t ) = t + + t Có f '(t ) = + > 0, ∀t ≠ −1 t3 +1 ( ) Suy hàm số f (t ) đồng biến Nên f (u ) = f (v) ⇔ u = v −3 Ta có x + = x + x + ⇔ x + x = ⇔ x = 0; x = −3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0; x = π I= ∫ 3.2 (2.0 điểm) log ( 2sin x + cos x ) + cos x dx = ln π ∫ ln ( sin x + cos x ) cos x dx u = ln (2 sin x + cos x ) Đặt  dv = dx cos2 x   2cosx − sin x  2cosx − sin x du = du = dx dx sin x + cos x sin x + cos x   ⇒ ⇒   sin x + cosx v = tan x + v = 2 cos x   π   π 4  1 cos x − sin x 2sin x + cosx  I= ⋅ dx   tan x +  ⋅ ln ( sin x + cos x ) − ln  2 sin x + cos x cos x    0.5 0.5 0.5 0.5 ∫ π   3 sin x    = − 1 −  ln dx  ln  2 cos x      π   3  4 ln = −  x + ln ( cos x )  ln  2  0    0.5 ∫ = Câu 0.5  27 π  −   ln ln  2  ( C1 ) có tâm I (−1; 3) , bán kính R1 = ; ( C2 ) có tâm I (0; −3) , bán kính R2 = Khẳng định tâm I đường tròn ( C ) nằm đường thẳng l qua I song song 6đ 0.5 với d , l có phương trình x − y − = 4.1 (2.0 điểm) Tính đường trịn ( C ) có bán kính R = Gọi I (t + 3; t ) ∈ l Sử dụng II = R + R1 = t = t = −1 I (3; 0) I (2; −1) Kiểm tra ( C ) cắt ( C2 ) hai điểm phân biệt, ta có I (2; −1) KL: Đường trịn ( C ) : ( x − ) + ( y + 1) = 2 ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn B' C' A' D' G H I B C F O E A D J ( ) Hạ AI ⊥ BC suy góc (A ' BC ); (ABCD ) = góc (A ' I , AI ) = A ' IA = 45o (1) ( ) Góc A 'C ; (ABCD ) = A 'CA = 30o (2) 0.5 Hạ AJ ⊥ CD , AH ⊥ A ' J Khẳng định khoảng cách từ điểm C ' đến mặt phẳng ( A ' CD ) AH = a 4.2 (2.0 điểm) Từ (1) suy AI = AA ' Đáy ABCD hình thoi nên AJ = AI Xét tam giác vuông A ' AJ , từ AH = a AJ = a 0.25 Đặt AB = x , (x > 0) ⇒ BC = x Từ (2) suy AC = a Xét tam giác vuông AIC : IC = AC − AI = 2a IB = IC − BC = 2a − x Xét tam giác vuông AIB : AB = AI + IB ⇔ x2 = (a 2) +(2a −x) ⇔ x = 3a ⋅ a 3a 2 ; S ABCD = ⇒ VABCD A ' B 'C ' D ' = 3a 2 Gọi F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đường thẳng d qua F vng góc với (ABCD ) AC ∩ BD = {O } ⇒ BO = 0.5 0.25 0.25 Mặt phẳng trung trực AA ' cắt d G G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA ' DE a Bán kính cầu ngoại tiếp tứ diện AA ' DE GA = GF + FA2 với GF = ⋅ 3a 3a a 57 ⋅ ⋅ a 57 AD.DE AE 4 = 3a 114 ⋅ Tính AE = ; FA = = 4S ADE 32 3a 2 0.25 2  3a 114  a a a 1538  + FA = +  Vậy GA =  =  32  2 32 4.3 (2.0 điểm) Giả sử B (a; 0;0), C (0;0; b) ( a, b > ) Phương trình mặt phằng (P) qua điểm A(0;9; 0), B (a; 0;0), C (0; 0; b) có dạng x y z + + = a b 25 Điểm M(4;3;25) ∈ (P) nên + = Ta có OB + OC = a + b a b ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn 147  25  87  4b 25a  87 Mà a + b = ( a + b )  +  = +  + + 30 = ≥ 2 b  a b  2 a 105 Dấu ‘=’ đạt a = 21; b = x y 2z Vậy phương trình mặt phẳng cần lập + + = 21 105 0.5 0.5 Câu 1đ Khơng tính tổng qt, giả sử ≤ x < y < z Đặt a = y − x ; b = z − y a > 0, b > 1 1  P = x + (x + a )2 + (x + a + b )   + + a b (a + b )   0.25 ≥ (2a + 2ab + b ) ⋅ 2 (a + ab + b ) (1) a 2b (a + b ) Đẳng thức xảy ⇔ x = (2a + 2ab + b ) ⋅ (a + ab + b ) ≥ a 2b (a + b )  a 2  b () a  (2t + 1)(t + 1) a Đặt t =   + , t > P ≥  b  b t2 (1.0 điểm)  a a  a + 1  + + 1   b  b b a a +1 b b () ( )( ) +2 0.25 Xét hàm số f (t ) = ( (2t + 1)(t + 1) t ); t − 2t − = t+ + 4t + , t ∈ (0; +∞) t2 1+ ⋅ t   11 + 5  +  11 + 5 Lập bảng biến thiên ta f (t ) ≥ f  ⋅ Do P ≥ ⋅ =   2 f ' (t ) = f ' (t ) = ⇔ t = 1+ a −1 + + ⋅ Suy = ⋅ b x =  Kết hợp với (1), P nhỏ  y −1 + +  =  z − y  0.25 Đẳng thức xảy t = Vậy giá trị nhỏ P 0.25 11 + 5 ⋅ 20 điểm Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà điểm theo thang điểm tương ứng - Với tốn hình học học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng cho điểm phần tương ứng ThuVienDeThi.com ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HDC ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Câu http://toanhocmuonmau.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NGÀY THI 21/3/2017 MƠN THI: TỐN LỚP 12 PHỔ THƠNG (Bản... sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà điểm theo thang điểm tương ứng - Với toán hình học học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình... + 2x + 4x + 3 Đặt u = x + 2; v = x + x + Phương trình cho trở thành u + + u = v3 + + v ThuVienDeThi.com http://toanhocmuonmau.violet.vn t2 Xát hàm số f (t ) = t + + t Có f '(t ) = + > 0, ∀t ≠