Một số bài Toán có liên quan đến góc và khoảng cách28696

MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN ĐẾN GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH I LIÊN QUAN ĐẾN GÓC (5 BÀI ) Bµi ( KA-2006) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;1; 0), A'(0; 0;1) Gọi M N trung điểm AB, CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A'C MN Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C tạo với mặt phẳng Oxy góc α biÕt cos  GIẢI a/ Tính h( A’C,MN) Z     D’  - Ta có : A ' C  1;1;1, MN  0;1;0 , MA '    ;0;1 A’   B’ C’ - Do :    1 1 11  A ' C , MN  MA '          0 21 A    D  A ' C , MN  MA ' M   N ’ - Vậy : h  A ' C , MN       B 1 1 2  A ' C , MN  C   b/ Lập mặt phẳng (P) chứa A’C - Gọi (P) : ax+by+cz+d=0 (1) - Do qua (A’C) : Qua A’(0;0;1) suy : c+d=0 (2) Suy c=-d = a+b (P) qua C(1;1;0) : a+b+d  =0 (3) suy : (P) : ax+by+(a+b)z-(a+b)=0 (*)  - Mặt phẳng (P) có : n  a; b; c , mặt phẳng (Oxy) có véc tơ pháp tuyến k  0;0;1 Do ta có :  n.k ab  a  2b    a  b   a  b  c   cos   (4) n.k a  b2  c2 b  2a - Với : a=-2b, chọn b=-1, ta (P) : 2x-y+z-1=0 - Với b=-2a , chọn a=1 , ta (P) : x-2y-z+1=0 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 6) mp(P): x + 2y + z 3= Viết phương trình mp(Q) chứa AB tạo với mp(P) góc  thỏa mãn: cos   GIẢI Gọi (Q) có dạng : ax+by+cz+d=0 (Q) qua A(-1;2;-3) ta có : -a+2b-3c+d=0 (1) (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 (2) - Mặt phẳng (P) có n  1; 2;1 Suy   nP n Q a  2b  c cos       a  2b  c   a  b  c (3) 2 nP n Q a  b  c 1 1 a  2b  3c  d  c  a  b - Từ (1) (2) ta có :   2a  b  6c  d  d  4a  b Trang ThuVienDeThi.com - Thay vào (3) :  a  4b  c  3b, d  15b 2  2a  3b    a  b  a  b    3a  11ab  8b       a  b  c  0, d  3b - Vậy có hai mặt phẳng : (Q): -4x+y-3z-15=0 (Q’): -x+y-3=0 Bài Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) đường thẳng (d): x y  z 1   Viết phương trình đường thẳng () qua giao điểm đường thẳng (d) với mặt phẳng 1 (OAB), nằm mặt phẳng (OAB) hợp với đường thẳng (d) góc  cho cos   GIẢI      1 1 2 1   ; ;  1; 4;  n - Ta có : OA  2; 1;1, OB  0;1; 2   OA, OB        2 2 0  - Do : mp(OAB): x+4y+2z=0 (1) Gọi M giao d với (OAB) tọa độ M nghiệm hệ :  x  y  2z x  t   t  4(3  t )  2(2t  1)   t  10  M  10;13; 21  y   t   z  1  2t   - Vì   OAB     d ,  , nP u   a  4b  2c  2  u  a; b; c    ud nP   a  b  2c a  b  2c   4  - Do : cos ud , nP     ud nP a  b2  c2   a  b2  c2      b c 2 2 2   - Suy :  5b   25 4b  2c   b  c  11b  16bc  5c   11    b  c  x  10  2t   5    - Với b  c  a   c  ud    c; c; c  / / u  2; 5; 11   :  y  13  5t 11 11  11 11   z  21  11t   x  10  6t    - Với b=c, thay vào (2) ta có a=-6c  u  6c; c; c  / / u '  6; 1; 1   :  y  13  t  z  21  t  Bài Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  qua điểm A(0;1;2), vng góc x+ y- z với đường thẳng (d ) : = = tạo với mặt phẳng (P): 2x + y  z +5 = góc 300 - 1 GIẢI   * Đường thẳng d có véc tơ phương u  1; 1;1 , đường thẳng  có véc tơ phương u  a; b; c     Mặt phẳng (P) có n  2;1; 1 Gọi   d ; P   u , ud   u , n 2a  b  c 2a  b  c   cos300  - Do : cos     2 2 2 u n a  b  c 11 a b c    2a  b  c  a  b  c  2a  b  c   a  b  c  Trang ThuVienDeThi.com 2    - Vì : d    ud u   a  b  c   b  a  c 3 - Thay (3) vào (2) ta : c   18a   a  c  a  c    2a  2a  c  2ac  c c  2a       c  2a x  t    - Với c-0, thay vào (3) ta có b=a suy u  b; b;0  / / u  1;1;0    :  y   t  z  2  x  t    - Với : c=-2a , thay vịa (3) ta có b=-a  u  a; a; 2a  / / u '  1; 1; 2    :  y   t  z  2  2t  Bài Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng : x y z x 1 y 1 z 1  , 1 :  2 :   2 1 1 a/Chứng minh hai đường thẳng 1 2 chéo b/Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 tạo với đường thẳng 1 góc 300 GIẢI a/Chứng minh hai đường thẳng 1 2  chéo nhau: * Đường thẳng 1 có véc tơ phương u1  1; 2;1 qua O(0;0;0),  qua B(1;-1;1)     2 1 1 2  Có véc tơ phương u2  1; 1;3  u1 , u2    ; ;   5; 2; 1 (1)  1 3 1 3     Mặt khác : u1 , u2  OB  5   12   1   Kết hợp với (1) suy hai đường thẳng 1 2 chéo b/ Viết phương trình (P)  x 1 y 1   1 x  y  Đường thẳng  :   3x  z    x 1  z 1  * Vì (P) chứa   P  thuộc chùm : m x  y   n 3x  z     m  3n  x  my  nz  2n  Mặt khác (P) tạo với đường thẳng 1 góc 300 :   , u1 n      300  900  n, u1   n, u1  600  cos60        n u1      2m  10n  6mn  2n  m  2 m * m  3n  2m  n m  3n   m2  n2   11  m n   2m  13mn  11n     m  n  n2   3 - Thay (3) vào (*) ta có : 11 11 - Với m   n  P  :  x  y  z    P  : 5x  11 y  2z   2 Với m=-n (P): 2nx-ny-nz-2n=0 , Hay (P): 2x-y-z-2 =0 Trang ThuVienDeThi.com Bài Trong kh«ng gian víi hƯ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d d có phương trình : d : y2 x2 z5 hoctoancapba.com x  z vµ d’ :  y Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d tạo với d góc 300 GIẢI Tương tự 4, ta chuyển d sang dạng giao hai mặt phẳng : x-z=0 x+y-2=0 Do (P) thuộc chùm (1)  : m(x-z)+n(x+y-2)=0 ; hay : (m+n)x+ny-mz-2n=0 Đường thẳng d’ có u  2;1; 1 Vì (P) tạo với d’ góc 30   ,u ' n     m  n   n  m  300  900  n, u1   n, u1  600  cos60        n u' m  n   n2  m2        m  2n  m  2n  m  n  mn  m  n   2m  5mn  2n     n m    n  2m  - Với m=-2n thay vào (1) (P): -nx+ny+2nz-2n=0 ; hay (P):-x+2y+2z-2=0 - Với n=-2m thay vào (1) (P): -mx-2my-mz+4m=0 ; hay (P): -x-2y-z+4=0 2 2 3 II LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH ( 32 BÀI ) Bài 1.(ĐH_KD-2009) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A(1;2;1),B(-2;1;3), C(2;-1;1),D(0;3;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (P) GIẢI - Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0 - (P) qua A(1;2;1) : a+2b+c+d=0 (1) (P) qua B(-2;1;3) : -2a+b+3c+d=0 (2) 2a  b  c  d 3b  c  d - Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P)    2a  b  c  d  3b  c  d a  b2  c2 a  b2  c2  2a  b  c  d  3b  c  d a  b    2a  b  c  d  3b  c  d a  b  c  d  3b  c  d  b    ( P) : cz  c   ( P) : z    Nếu a=b thay vào (1) (2) :  b  c  d   d  c  Nếu : a+b+c+d=0 thay vào (1) (2) : a  2b  c  d  2b    a  b  3c  d   c  a  P  : ax  az  2a   P  : x  z   a  b  c  d  d  2a   Bài Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) đường thẳng d có phương trình : (P): 2x-y-2z-2=0 (d): x y 1 z  Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc   1 (d), I cách (P) khoảng (P) cắt (S) theo đường trịn giao tuyến có bán kính GIẢI Gọi (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R Theo giả thiết : Trang ThuVienDeThi.com - I thuộc d I( -t;2t-1;t+2) (1) h(I,P)=2  2a  b  2c    2a  b  2c   1 - (P) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn (C ) tâm H bán kính r=3 : h I , P   IH   3 2  R  IH  r    13 2    10  t    I1   ;  ;    6  2t  2t   2t    6t  6   - Thay (1) vào (2) :     5  2t  2t   2t   6  6t  5 t   I    ; ;   6  2  7  10   7  S : x   y   z           13 6       - Vậy có mặt cầu (S) :  2  S  :  x     y     z    13 6  3  6   Bài Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d): x y  z 1   hai điểm 1 A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) cho tam giác ABM có diện tích nhỏ GIẢI - Nếu M thuộc d M có tọ độ M=(t;3-t;2t-1) - Ta có :   AM  t  2;  t ; 2t       t 2t  2t  t  t   t    AM , BM    ; ;     t  8; t  2; 4      t t t t t t 2 2    BM t t t ; ;        1 2 - Do : S   AM , BM   t  8  t    16  t  5  34  34 2 2 34 - Vậy : S = t=-5 M=( -5;8;-11) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng  : x 1 y 1 z   Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng () để tam giác MAB có diện tích nhỏ 1 2 GIẢI Cách giải tương tự - Nếu M thuộc d M có tọ độ M=(2t-1;1-t;2t) - Ta có :   AM  2t  2; 4  t ; 2t     4  t   AM , BM       2  t  BM  2t  4; 2  t ; 2t    2t  24;8t  12; 2t  12  - Do : S  - Vậy : S =    AM , BM     2t 2t 2t  2t  4  t  ; ;  2t  2t  2t  2t  2  t  2t  14   8t  12   2t  12  2 2  23  1547  18  t     1547 36  18  1547 23  14 23  t   M   ; ;  18  18  Trang ThuVienDeThi.com Bài Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;9;9), B(10;13;1) mặt phẳng (P): x + 5y  7z  = Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ GIẢI Gọi M (x;y;z) thuộc (P) ta có : x+5y-7z-5=0 (1)   AM  x  4; y  9; z    AM  x  2   y  2  z  2 Khi :   2 2  BM  x  10; y  13; z  1  BM  x  10    y  13  z  1 Do MA2  MB  x     y    z    x  10    y  13  z  1 2 2 2 2 Hay : MA2  MB  x  3   y  11  z     156 (2)   Từ (1) -75=1(x+3)+5(y-11)-7(z+4) Theo bất đẳng thức Bu nhe cốp ski suy : 2 2 75  1x  3  y  11  z    1  25  49 x  3   y  11  z    752 2 Do : x  3   y  11  z      75   75 2 Và : MA2  MB  x  3   y  11  z     156  2.75  156  306   50  x   17  x  y  11  y  5x+26 5x  y  26     192   Dấu đẳng thức xảy :   7x  z  25   z  7x  25   y   17 x3  z 4  x  y  7z     50   75 x    7 17   z  17   Ta cách khác , sử dụng hệ thức trung tuyến : Gọi I trung điểm AB AB Ta có : MA2  MB  MI  *   Với : AB  14; 4;10   AB  196  16  100  312 Và I(-3;11;-4) suy MI  x  3; y  11; z   2 Do : MI  x  3   y  11  z    Vậy (*)   312 2 2 2  MA2  MB  x  3   y  11  z      x  3   y  11  z     156     ( Kết ) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; 11), B(3; 5; 4), C(2; 1; 6) đường thẳng thẳng (d):    MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ x 1 y  z 1   Xác định toạ độ điểm M thuộc (d) cho 1 GIẢI Điểm M thuộc d M(2t+1;2+2t;1+t) , :   MA  2t  4; 2t  6; t  12            MB t t t MA  MB  MC  2t  1; 2t  4; t  2; 3;        MC  2t  1; 2t  1; t   Trang ThuVienDeThi.com     MA  MB  MC  10 53 53 2t  1  2t    t  9t  20t  17   t     9  11  x    10   11  Dấu đẳng thức xảy : t    M   y    M    ;  ;   9  9 9   z    Bài Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1; 2), B(1; 3; 0), C(3; 4; 1) D(1; 2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) GIẢI Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0 Nếu (P) qua A(1;-1;2) ta có phương trình : a-b+2c+d=0 (1) Nếu (P) qua B(1;3;0) ta có phương trình : a+3b+d=0 (2) Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P) ta có : 3a  4b  c  d a  2b  c  d  3a  4b  c  d  a  2b  c  d b  2a     a  b2  c2 a  b2  c2  3a  4b  c  d  a  2b  c  d  a  3b  c  d  Kết hợp với hai phương trình (1) (2) ta có hai hệ xét cho hai trường hợp : b  2a b  2a    Trường hợp 1:  a  2c  d   c  4a  P  : x  y  4z   7a  d  d  7a    2 2 a  3b  c  d  a  3b  d  c  2a    Trường hợp 2:  a  b  2c  d   2a  4b  c   a  b  P  : x  y  2z   a  3b  d  2a  c  d  4a    Bài 7.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x  y  z  37  điểm A(4;1;5), B(3;0;1), C(1;2; 0) Tìm toạ độ điểm M thuộc () để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:       MA.MB  MB.MC  MC.MA GIẢI Gọi ta có phương trình : 3x-3y+2z+37=0 (1) Khi ta có :  M(x;y;z) thuộc (P)   MA  x  4; y  1; z  , MB  x  3; y; z  1, MC  x  1; y  2; z  :   MA.MB  x  3x    y  y  1  z  1z    x  y  z  7x  y  6z  17 2    MB.MC  x  3x  1  y  y    z z  1  x  y  z  2x  y  z-3 3   MC.MA  x  1x     y   y  1  z z    x  y  z  3x  y  5z  4  Lấy (2)+(3)+(4) vế với vế ta :       2 MA.MB  MB.MC  MC.MA  x  y  z  4x  y  4z   x     y  1  z    5   Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski cho phương trình (1) : 2 2  44   3 x     y  1  z    9    x     y  1  z      44.44 2 Suy : x     y  1  z     88 22 Trang ThuVienDeThi.com       Hay : x     y  1  z     15  3.88  15  249 Vậy : MA.MB  MB.MC  MC.MA  249 Dấu đẳng thức xảy :  x  y 1   3 y  3 x  x  4   2x  x2 z 2      z    y   M  4;7; 2     z  2  3x  y  2z  37  22x  88    Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A 0;1;2 , B 1;1;0  mặt phẳng (P): x  y  z  Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho tam giác MAB vuông cân B GIẢI Gọi M=(x;y;z) Nếu M thuộc (P) : x-y+z=0 (1)   Ta có : BA  1;0; , MB  x  1; y  1; z  Nếu tam giác MAB vuông cân B kết hợp với (1) ta 2 có hệ phương trình :   y  x  z  x   2z  x  2z   BA.MB          BA  MB   y  z     y=-z-1   y  z 1 y  x  z    2 2 2  5  x  1   y  1  z 5  5z   y  1 5z   z      2  10 2  10 z  z  6   1  10 4  10    x   x  3     4  10 2  10 y  y  6    x  2t  Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d):  y  t  z  1  2t  mặt phẳng (P): x  y  z   Gọi (d’) hình chiếu (d) lên mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc (d’) cho H cách điểm K(1; 1; 4) khoảng GIẢI Lập phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d (P) - Tìm tọa độ A giao d với (P) Tọa độ A nghiệm hệ :  x  2t y  t   2t  t   2t    t  2  A  4; 2;3  z    t   x  y  z       2 2 2 2  - Do hình chiếu vng góc nên ud '  ud , n    ; ;   1; 4; 3  1 1 1  x   t   - Vậy d’ qua A(4;-2;3)có véc tơ phương ud '  1; 4; 3  d ' :  y  2  4t  z   3t  Trang ThuVienDeThi.com Tìm tọa độ H  Nếu H thuộc d’ H=(t+4;-2-4t;3-3t) (*) ,suy KH  3  t ; 4t  3;3t  1 Do : KH  3  t   4t  3  1  3t   26t  36t  19  25  26t  36t   2 9  30 9  30 ; t2  , thay vào (*) ta tìm tọa độ H 13 13 Bài 10 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng Vậy : t1   x  1  2t x 1 y 1 z     1: ; 2:  y  1 1 z  t  Đường thẳng  qua điểm I(0;3;1), cắt 1 A, cắt 2 B Tính tỷ số IA =k IB GIẢI Do A thuộc 1  A  1  t '; 1  t ';3  t ' B thuộc   B  1  2t ;1; t    Ta có : IA  1  t '; t ' 4;  t ' ; IB  1  2t ; 2; t  1 4t'  k 1  t '  k 2t  1 t    IA  Theo giả thiết : 4  t '  2k 5 2k  k t  1  t '  6  IB 4  t '  k t   k    1  t '  k 2t  1    Bài 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1: 1: x 1 y z    ; 1 x 1 y 1 z    Đường vng góc chung 1 2 cắt 1 A, cắt 2 B Tính diện tích  1 OAB GIẢI *Do A thuộc 1  A  1  2t '; t '; 2  t ' B thuộc   B  1  t ;1  7t ;3  t   Ta có : AB  t  2t ' 2;7t  t ' 1;5  t  t ' ; - Nếu AB đường vng góc chung :hoctoancapba.com    AB.u1  t   B  1;1;3 2 t  2t '   7t  t ' 1  5  t  t '       t  2t '   7t  t ' 1  5  t  t '  t '   A  1;0; 2   AB.u2    - Gọi S diện tích tam giác OAB : S  OA, OB       3 1 1  - Do : OA  1;0; 2 , OB  1;1;3  OA, OB    ; ;   2;1; 1   1   - Và S    OA, OB   11    2 Bài 12 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x + y  2z + = 0, đường thẳng (d): x 1 y 1 z  Viết phương trình đường thẳng  vng góc với (P) thỏa mãn  cắt (d)   1 điểm M cách (P) khoảng Trang ThuVienDeThi.com GIẢI Tìm M d M=(t-1;7t+1;3-t) Khoảng cách từ M đến (P) h(M,P)=  t  1  7t   3  t   1   19 45 41  t    M   ; ;   11 11t   6  11 11 11   11t        39 29  11t   t   M    ; ;   11 11 11   11   Vì  cắt d  qua M   (P)  u  nP  2;1; 2  2 19 41 39 29 y z x y z 11  11  11 , Hoặc :  : 11  11  11 Vì  : 2 2 Chú ý : Ta cịn có cách khác sau - Lập mặt phẳng (Q) song song với (P) cách (P) khoảng - Do (Q) có dạng : 2x+y-2z+m=0 Ví h(P,Q) = suy : Trên (Q) chọn N(-2;-3;1) ta tính 2(2)  (3)  2(1)  m m    m  14   m 8     h(N,Q)= Như : có hai mặt 1  m   6  m  phẳng (Q) ; 2x+y-2z+14=0 2x+y-2z+2=0 - Bây ta tìm tọa độ M giao d với (Q), tọa độ M nghiệm : x  t 1  y  7t    2(t  1)  7t   2(3  t )  14   11t   t   11  z   2t 2x  y  2z+14  x  t 1  y  7t    2(t  1)  7t   2(3  t )    11t  5  t   - Hoặc :  11  z   2t 2x  y  2z+2  x x 1 y  z 1   1 hai điểm A(0;1:2), B(2;1;1) Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng  cho tam giác ABC có diện tích nhỏ GIẢI Nếu C thuộc  có tọa độ : C=(t+1 ;2-t ;1+2t) Ta có :   AC  t  1;1  t ; 2t  3     t 2t  2t  t  t  1  t    AC , AB    ; ;     t  9;3  t ; 4  2  3 2  2  AB  2; 2;3   2 Gọi S diện tích tam giác ABC : S   AC , AB   t    3  t   16 2  S  t  3  88  88  22 Dấu đẳng thức xảy t=-3 , C=( -2 ;5 ;-5 ) Bài 14 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;1), B(2;  1;0), C (2; 4; 2) Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : Trang 10 ThuVienDeThi.com mặt phẳng ( ) : x  y  z   Tìm tọa độ điểm M () cho biểu thức T  MA2  MB  MC đạt giá trị nhỏ GIẢI Nếu M thuộc mặt phẳng ( ) : x  y  z   (1) Khi ta có :  2 MA  x  1; y; z  1  MA2  x  1  y  z  1  x  y  z  2x  2z   2 MB  x  2; y  1; z   MB  x     y  1  z   x  y  z  4x+2y   2 MC  x  2; y  4; z    MC  x     y    z    x  y  z  4x  y  4z  24 Cộng vế ba đẳng thức ta : 2 T= MA2  MB  MC  x  y  z  2x  y  2z  31  x  1   y  1  z  1   22 2    Do M thuộc (P) : x+y+2z+2=0  x  1   y  1  z  1   Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski cho ba cặp số : (1;1;2) (x-1;y-1;z-1 ) ta có : 2 2  6   1x  1  1 y  1  z  1  1    x  1   y  1  z  1    62 2    T  x  1   y  1  z  1  22   22  40   Dấu đẳng thức xảy xảy trường hợp dấu bẳng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski:  x 1 y 1   y  x x     x 1 z 1      z  2x    y   M  0;0; 1   x  x  2x     z  1      x  y  2z     Bài 15 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;0;3); B(2;0;1) mặt phẳng (P): 3x  y  z +1 = Tìm tọa độ điểm C nằm (P) cho ABC tam giác GIẢI Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) suy ; 3x-y-z+1=0 (1) Khi ta tính :   2 MA  x; y; z  3  MA2  x  y  z  3 ; MB  x  2; y; z  1  MB  x    y  z  1 Nếu tam giác ABC tam giác ta có hệ phương trình :  x 2 2 2   x  y  z  3  x    y  z  1  MA  MB 4x  8z      2      x  y  z  3  22  22  6z    z    MA  AB 3x  y  z   3x  y  z   3x  y  z      10   y   2 1 Vậy điểm M cần tìm :  M   ; ;   3 6 2 Bài 16 Trong không gian Oxyz cho mp (P): 3x  8y + 7z + = hai điểm A(1; 1; 3), B(3; 1; 1) Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC GIẢI Nếu C thuộc (P) tọa độ C=(x;y;z) thỏa mãn : 3x-8y+7z+4=0 (1) Trang 11 ThuVienDeThi.com  Ta có : AB  2;0;   AB     2 MA  x  1; y  1; z  3  MA2  x  1   y  1  z  3  x  y  z  2x  y  6z  11  2 MB  x  3; y  1; z  1  MB  x  3   y  1  z  1  x  y  z  6x  y  2z  11 Nếu tam giác ABC tam giác ta có hệ phương trình : x   y x   y  MA2  MB    3 6 2  2  3  y    y  1  2 y  1     y   y  1  MA  AB 3 3x  y  z   z  y     z   x     6 6 6 6 Vậy có hai điểm C : C1    ;1  ; 2  ;1  ; 2   ; C2     3  3    Bài 17 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3; 1; 0), B nằm mặt phẳng Oxy C nằm trục Oz Tìm tọa độ điểm B, C cho H(2; 1; 1) trực tâm tam giác ABC GIẢI Nếu B nằm mp(Oxy) B( x;y;0), cịn C nằm trục Oz C(0;0;z) Gọi H trực tâm tam giác ABC giao ba đường cao hạ từ ba đỉnh tam giác có nghĩa    AH BC     ta có hệ ba phương trình : CH AB  (1)     BH AC     Ta có : AB  x  3; y  1;0 ; CH  2;1;1  z   ABCH  x  3  y   2x  y     Tương tự : AC  3; 1; z , BH  2  x;1  y;1  AC BH  x    y   z  3x  y  z     Và : BC   x;  y; z , AH  1;0;1  BC AH  x  z 2x  y    y   2x x  t    Do hệ (1)  3x  y  z     z   x   y   2t x  z  3x   2x  x    z  t    t  R  Vậy điểm C cần tìm có tọa độ C=( t;7-2t;-t ) ( Có vơ số điểm C) Bài 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x+ y- = z - điểm M(4 ; ; 6) Đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) tâm M hai điểm A, B cho AB = Viết phương trình mặt cầu (S) GIẢI  Đường thẳng d qua N(-5;7;0) vả có véc tơ phương u  2; 2;1  MN  9;6; 6  = A H  B 36   36 3 .3 d Trang 12  6   6 9   9           MN , U    2   2     Do : h M , d      1 u M ThuVienDeThi.com -Xét tam giác vuông MAH ( H chân đường vng góc M d ) , ta có : 2  AB  6 MA2  R  MH         18 Vậy mặt cầu (S) có tâm M(4;1;6) , bán kính R=   2 Có phương trình : S  : x     y  1  z    18 2 Bài 19 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – y + z + = x - y + z- x + y- z- hai đường thẳng (d1) : = = ;(d2 ); = = 3 Viết phương trình đường thẳng () song song với (P); vng góc với (d1) cắt (d2) E có hồnh độ GIẢI d2 Đường thẳng d1 qua điểm M(1;-2;3) có véc tơ phương    E u1  2;1;3 , đường thẳng d có véc tơ phương u2  2;3;  d1  Gọi  đường thẳng song song với (P) có u  a; b; c  thì:  P u  a; b; c        u nP  2a  b  c  1 -   nP  u nP  0;   nP  2; 1;1   -   d1  u u1  0;  2a  b  3c  2  3   2t t    -  qua E d với E(3;y;z)   y  2  t   y  1  E  3; 1;6   z   3t z     2a  b  c  a  c  - Từ (1) (2) ta có hệ :    u  c; c; c  / / u  1;1; 1 2a  2c  b  c x   t   - Vậy  qua E(3;-1;6) có u  1;1; 1   :  y  1  t z   t  Bài 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đường thẳng d x y z có phương trình Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lµ lín nhÊt GIẢI  Gọi (P) mặt phẳng qua A(10;2;-1) có véc tơ pháp tuyến n  a; b; c  Do (P) có phương trình : a(x-10)+b(y-2)+c(z+1)=0 ; Hay (P): ax+by+cz-10a-2b+c=0 (*)  Đường thẳng d qua B(1;0;1) có véc tơ phương u  2;1;3    - Nếu (P) song song với d n  u  nu   2a  b  3c  1 - Khoảng cách từ d đến (P) khoảng cách từ M thuộc d đến (P) , với M=(2t+1;t;3t+1) ta a  c  10a  c  2b 2c  2b  9a  cho t=0 M=(1;0;1) : h(M,P)= (2) Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe a  b2  c2 a  b2  c2 cốp ski cho tử số : 2c  2b  9a 2c  2b  9a   2 2 2 2c  2b  9a   2   c  b  a  2  89  2  89 c  b  a  a b c Trang 13 ThuVienDeThi.com - Vậy: h(M;P) đạt GTNN 89 trường hợp xảy dấu bất đẳng thức : b  c c b a      2 9 a   c Bài 21 Cho điểm A(1 ; ; 3), B(1 ; ; 2) hai mp : (P): 2x – 6y + 4z + = (Q): x – y + z + = Tìm tọa độ giao điểm K đường thẳng AB với mp(P) Tìm tọa độ điểm C nằm mp(Q) cho tam giác ABC tam giác GIẢI  - Đường thẳng (AB) qua A(1;2;3) có véc tơ phương AB  2; 2; 1 (AB) có phương trình  x   2t  :  y   2t Đường thẳng (AB) cắt mặt phẳng (P) K , tọ độ K nghiệm hệ : z   t   x   2t  y   2t   23 57   2t   2  2t   3  t     20t    t   K  ; ;   20  10 10 20  z   t 2x  y  4z   Nếu C nằm mặt phẳng (Q) C(x;y;z) thỏa mãn : x-y+z+1=0 (1)  AB  AC  AB  AC     AB  BC Tam giác ABC :  AB  BC 2  x  y  z 1  x  y  z 1     Từ (1) (2) ta có : AB  2; 2; 1  AB      2 AC  x  1; y  2; z  3  AC  x  1   y    z  3  2 BC  x  1; y  4; z    BC  x  1   y    z   x  12   y  2  z  32  x  12   y  2  z  32   2 2 2    (2)  x  1   y    z  3  x  1   y    z   4x  y  2z  7    x  y  z    x  y  z      11  11  5  y y   x  y  x  y   4 2      1 3 1     z   z   x   x  2     2 19     7 3  z   y     y        2 y  11 y   z   2 2     Bài 22 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(9; 1; 1) cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ hoctoancapba.com GIẢI Gọi A(a;0;0) tuộc Ox,B(0;b;0) thuộc Oy C(0;0;c) thuộc Oz ( a,b,c khác ) Trang 14 ThuVienDeThi.com x y z      bcx  acy  abz  abc  a b c 1 Nếu (P) qua M(9;1;1) ta có :    2  a b c Do thể tích tứ diện VOABC  abc 3 Ta áp dụng bất đẳng thức si : Khi mặt phẳng (P) có dạng : Từ (2) abc=9bc+ac+ab  3 abc   abc   27.9 abc   abc  243 1 3   9bc  ac a  9b b    x y z  Dấu đẳng thức xảy : ac  ab  c  b  c   P  :    27 3 9 1 1 1 a  27     1    1 a b c b b b Bài 23 Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d x  y z 1   6 8 hai điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I đường thẳng d cho IA +IB đạt giá trị nhỏ GIẢI Nhận xét : A B Đường thẳng d cóvéc tơ phương    u  4; 6; 8  / / u '  2; 3; 4   AB  AM  1;1; 3 Cho nên đường H thẳng d song song với (AB) Do (AB) d thuộc mặt phẳng Từ , theo kết hình học phẳng , ta làm sau : I d - Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Lập đường thẳng d’ qua A’ B A’ - Tìm tọa độ I giao (A’B) với d Theo cách làm , rõ ràng dường thẳng d trung trực AA’ IA=IA’ , : IA+IB=IA’+IB=A’B Nếu có I’ thuộc d I’A+I’B>A’B Vậy I điểm - Cũng theo nhận xét IH đường trung bình tam giác A’BA AB=2IH Hay IA’=IB=IA (*) Do : Nếu I nằm d điểm I có tọa độ I=(2+4t;-6t;-8t-1) Từ ta có :  2  AI  4t  1;1  6t ; 8t  3  AI  4t  1  1  6t   8t  3  2 Tương tự :  BI  4t  1;  6t ;1  8t   BI  4t  1  4  6t   1  8t  Từ (*) : IA=IB  4t  1  1  6t   8t  3 2 = 4t  1  4  6t   1  8t  2 Hay :  116t  44t  11  116t  72t  18  44t  72t  18  11  116t   t  58 45   64 Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu : I   ;  ;    29 29 29  Chú ý : Năm 1998 ĐH Thái nguyên K-A+B dạng tập * Đề thi : Cho điểm A(1;2;-1) điểm B(7;-2;3) , đường thẳng d giao hai mặt phẳng có phương trình : 2x+3y-4=0 y+z-4=0 a/ Chứng tỏ d đường thẳng (AB) thuộc mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng b/ Tìm tọa độ giao điểm d với mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Trang 15 ThuVienDeThi.com c/ Tìm điểm I thuộc d cho chu vi tam giác ABI có giá trị nhỏ ? Tính chu vi tam giác ABI với điểm I tìm Bài 24 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) đường thẳng d có phương trình A B nhỏ  x   3t   y  2t (t  R)  z   2t  Tìm d điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến GIẢI A Nhận xét : Đường thẳng d  cóvéc tơ phương   u  3; 2;  / / AB  6; 4;   AN  1; 2;5  Cho nên đường thẳng d B H song song với (AB) Do (AB) d thuộc mặt phẳng Từ , theo kết hình học phẳng , ta làm sau : M d - Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Lập đường thẳng d’ qua A’ B A’ - Tìm tọa độ M giao (A’B) với d Theo cách làm , rõ ràng dường thẳng d trung trực AA’ MA=MA’ , : MA+MB=MA’+MB=A’B Nếu có M’ thuộc d M’A+M’B>A’B Vậy M điểm - Cũng theo nhận xét MH đường trung bình tam giác A’BA AB=2MH Hay MA’=MB=MA (*) Do : Nếu M nằm d điểm I có tọa độ M=(2+3t;-2t;4+2t) Từ ta có :  2  AM  3t  1; 2  2t ; 2t    AM  3t  1  2  2t   2t    2 Tương tự :  BM  3t  5;  2t ; 2t  1  BM  3t    2  2t   2t  1 Từ (*) : MA=MB = 3t  1  2  2t   2t  5 2 = 3t  5  2  2t   2t  1 2 Hay :  17t  34t  30  17t  36t  30  34t  36t   11  70t   t  Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu : M=(2;0;4 ) Bài 25 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho P : x  y  z   đường thẳng x3 (d ) :  y   z  , điểm A( -2; 3; 4) Gọi  đường thẳng nằm (P) qua giao điểm ( d) (P) đồng thời vuông góc với d Tìm  điểm M cho khoảng cách AM ngắn GIẢI Gọi B(x;y;z) giao d với (P) tọa độ B nghiệm hệ :  x  2t  d  y  t 1   2t   t  1  3  t     3t   z   t M  x  y  z   B A  t   B  1;0;  P Trang 16 ThuVienDeThi.com  - Do  nằm (P) suy   nP ,    1 1 1   ; ;   d   / /  nP , ud      3; 3; 3 / / u  1; 1; 1 1 1 2 1  x  1  t   - Vậy  qua B(-1;0;4) có véc tơ phương u  1; 1; 1   :  y  t z   t  - Nếu M thuộc  M=(-1+t;-t;4-t)   AM  t  2; 2  t ;1  t   AM  Do AM đạt GTNN= 26 26 2 t    t    t  1  3t  2t    t     3  3 26  11  t   M    ;  ;  3  3 3 x  t  Bài 26 Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng  :  y  2t z   điểm A(1, ,  1) Tìm tọa độ điểm E F thuộc đường thẳng  để tam giác AEF tam giác GIẢI  - Nếu E,F thuộc   E  t1 ; 2t1 ;1, F  t2 ; 2t2 ;1  EF  t2  t1 ; 2t2  2t1 ;0  (1)  - Ta lại có : AE  t1  1; 2t1 ;   AE  t1  1  4t12   5t12  2t1   Tương tự : AE  t2  1; 2t2 ;   AE  t2  1  4t22   5t22  2t2  - Nếu tam giác AEF tam giác ta có hệ : 2 2 2  AE  EF t2  t1   t2  t1   5t1  2t1  5t2  2t2 5t1  1      2  AE  AF 5t1  2t1   5t2  2t2  t2  t1  5 t2  t1       t1  t2 t1  t2 t t  1     76  76  2       t2   t2  5t2  2t2 5   t2   1    t1   t2 15 15    5     15t2  2t2     76  76  t1  t1   t2 t1  15 15   Thay hai cặp t tìm vào tọa độ M , ta tìm hai cặp E,F    76 10  76    76  76  E1   ; ;1 , F1   ; ;1 15 15  15   15    76 10  76    76  76  E2   ; ;1 , F2   ; ;1 15 15  15   15  Bài 27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho M(2; 1; 2) đường thẳng (d): x y  z 1   Tìm 1 (d) hai điểm A, B cho tam giác MAB hoctoancapba.com GiẢI Nếu A,B thuộc d ta có :  2  A  t1 ; t1  2; t1  1  AM  t1  2; t1  3; t1  1  MA2  t1    t1  3  t1  1  3t12  12t1  14 Trang 17 ThuVienDeThi.com  2  B  t2 ; t2  2; t2  1  MB  t2  2; t2  3; t2  1  MB  t2    t2  3  t2  1  3t22  12t2  14   AB  t2  t1 ; t2  t1 ; t2  t1   AB  t2  t1   3t12  3t22  6t1.t2 Nếu tam giác AMB tam giác ta có hệ : 2  MA2  MB 3t1  12t1  3t2  12t2 t2  t1 t2  t1    t1   t2        2 2 2  MA  AB 3t2  4  t2 t2    14  3t1  12t1  14  3t1  3t2  6t1.t2 3t2  6t1 t2    14   6  6 t  t    2 t1   t2 t1   t2   3     9t2  36t2  34  9t2  36t2  34  t   t     3 Vậy thay hai cặp t tìm vào tọa độ A,B ta có kết 6 2 9  6 2 9   A   ; ; ; ;  ; B    3 3 3     Bài 28 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho Cho mặt phẳng x 1 y  z x 5 y z 5   , d2 :   P : x  y  z   đường thẳng d1 : 3 5 Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường thẳng MN cách (P) khoảng GIẢI  13 t  12 M  d1  M  2t  1;3  3t ; 2t   h M , P     12t     1  t   12  11 t  12 6t   4t   5t   N  d  N  6t  5; 4t ; 5  5t   h N , P     12t     1  t    12 2t   3  3t   2t  1 Như ta tìm hai cặp M,N :  19 13   11   17 1   13  M   ;  ;  , M   ; ;  , N1   ; ;  , N   ; ;   6  6 6  6 6 6 Bài 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1 ) : x y z x 1 y z 1 (d ) :     1 2 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc (d1 ) N thuộc (d ) cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng P  : x – y  z  2010  độ dài đoạn MN GIẢI  - M thuộc d1  M t ; t ; 2t , N  d  N  1  2t '; t ';1  t '  MN  2t ' t  1; t ' t ; t ' 2t  1 - Theo giả thiết ta có hệ : Trang 18 ThuVienDeThi.com 2 t '  t  MN  42 2t ' t  1  t ' t   t ' 2t  1       2  MN n  3t  1  4t  t  1  2t ' t   t ' t   t ' 2t   t  t '  t   5    M  0;0;0 , N    ;  ;   7 7 14t  4t  t '   x  y  z 1   mặt phẳng (P): x + y + z + 2 1 = Gọi M giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng (P), vng góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới  42 GIẢI - Tìm tọa độ điểm M giao d với (P) , tọa độ M nghiệm hệ :  x   2t  y  2  t    2t    t  1;  M  1; 3;0  z    t   x  y  z   - Đường thẳng        d    P   u  nP ;   d  u  ud  u   nP , ud  Bài 30 Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d:     1 1 2  Do : u   nP , ud    ; ;   2; 3;1 P 1 1 1   -Gọi H (x;y;z) hình chiếu vng góc M  ta có : H thuộc (P) : x+y+z+2=0 (1)   u  MH  x  1   y  3  z   2x  y  z  11  2  M H Mặt khác theo giả thiết : MH  x  1   y  3  z  2  42   42 3  x  13  y  x  13  y  x  13  y      z  y  15   z  y  15   z  y  15    2 2 2 y  6y 8  x  1   y  3  z  42 12  y    y  3  3 y  15   42 Vậy : H=(29;-4;-27) H=(21;-2;-21) Do có hai đường thẳng  có véc tơ phương  x  29  2t  x  21  2t    u  2; 3;1 qua hai điểm H tìm : 1 :  y  4  3t ;  :  y  2  3t  z  27  t  z  21  t   Bài 31 (KB-08 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC GIẢI    - Lập mặt phẳng (ABC) qua A(0;1;2) có véc tơ pháp tuyến n   AB, AC       3 1 1 2 3  Với : AB  2; 3; 1, AC  2; 1; 1   AB, AC    ; ;   2; 4; 8   1 1 1 2 2 1  Do (ABC) có phương trình : x+2(y-1)-4(z-2)=0 , Hay (ABC): x+2y-4z+6=0 Trang 19 ThuVienDeThi.com - Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 (1) Ta có :  2  MA  x; y  1; z    MA2  x   y  1  z    x  y  z  y  4z   2  MB  x  2; y  2; z  1  MB  x     y    z  1  x  y  z  4x+4y  2z   2  MC  x  2; y; z  1  MC  x     y   z  1  x  y  z  4x  z  - Theo giả thiết , MA=MB=MC ta có hệ :  MA2  MB 2 y  4z  4x  y  2z  2x-3y  z   z  7      2 y  4z  4x  2z  2x  y  z    y   M 2;3; 7   MA  MC 2x  y  z   2x  y  z   2x  y  z   x      Bi 32 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) đường thẳng : x y z Tìm toạ độ ®iĨm M trªn  cho: MA2  MB  28 1 GIẢI Nếu M thuộc  M=(1-t;t-2;2t ) Khi ta có :  2  MA  t ; t  6; 2t    MA2  t  t    t    6t  20t  40  2  MB  2  t ; t  4; 2t    MB  t    t    2t    6t  28t  36 Theo giả thiết cho : MA2  MB  28  12t  48t  76  28,  t     t   M  1;0;  Trang 20 ThuVienDeThi.com ... m=-2n thay vào (1) (P): -nx+ny+2nz-2n=0 ; hay (P):-x+2y+2z-2=0 - Với n=-2m thay vào (1) (P): -mx-2my-mz+4m=0 ; hay (P): -x-2y-z+4=0 2 2 3 II LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH ( 32 BÀI ) Bài 1.(ĐH_KD-2009)... cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A(1;2;1),B(-2;1;3), C(2;-1;1),D(0;3;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (P)... đường vng góc M d ) , ta có : 2  AB  6 MA2  R  MH         18 Vậy mặt cầu (S) có tâm M(4;1;6) , bán kính R=   2 Có phương trình : S  : x     y  1  z    18 2 Bài 19