Các dạng Toán cơ bản và nâng cao lớp 1028678

Biên so n: GV Nguy n Bá C 09644.23689 CÁC D NG TOÁN C B N VÀ NÂNG CAO L P 10 1.S bi n thiên c a hàm s y = f(x) kho ng (a;b) H ng gi i quy t:   x  (a;b) ; x1  x2 Tính f( x2) - f( x1 ) = ?  L pt s : f ( x2 )  f(x1 ) =k x2  x1  N u : + k  hàm s f(x) đ ng bi n kho ng (a;b) + k  hàm s f(x) ngh ch bi n kho ng (a;b) * Ví d : Kh o sát s bi n thiên c a hàm s y = x2 +2x- kho ng (-  ;-1) (-1; +  )  Bài gi i:  Xét (-  ;-1): 2  x  (a;b) ; x1  x2,ta có : f(x2)-f(x1) = x2 + x2 – – ( x1 + 2x1 -2) = ( x2 – x1)(x2+ x1+ 2) Suy : f ( x2 )  f(x1 ) = (x2+ x1+ ) x2  x1 Vì x1, x2  ( -  ;-1) nên : x1  -1; x2  -1  x1+ x2  -2 hay x2+ x1+  V y hàm s ngh ch bi n kho ng (-  ;-1)  Xét (-1; +  ): T ng t ******************************************* V Parabol :y = ax2 + bx + c ( a  ) H ng gi i quy t:  Cho t p xác đ nh D = R b   Tìm đ nh c a (P) : I   ;   2a 4a    b Tr c đ i x ng c a ( P) : x =  2a  L p b ng bi n thiên : V i a > ThuVienDeThi.com Biên so n: GV Nguy n Bá C x  y + 09644.23689  + +  * b 2a  4a Chú ý : + N u a  b lõm quay lên trên; n u a  b lõm quay xu ng d i + Hàm s đ ng bi n kho ng   ;   ngh ch bi n  2a  b kho ng  ;   2a b  * Ví  d : V đ th c a hàm s : y  x2  x   Bài gi i: th c a hàm s : y  x2  x  đ c v nh sau:  B ng bi n thiên: x y     -1  nh I(2; -1)  Tr c đ i x ng đ ng th ng: x =  Giao m c a đ th tr c tung: (0; 3)  Giao m c a đ th tr c hoành: (1; 0) (3; 0) y -2 -1 O  x th : Tìm (P) : ax2 + bx + c ( a  ) th a mãn u ki n cho tr ThuVienDeThi.com c Biên so n: GV Nguy n Bá C H  09644.23689 ng gi i quy t: b  nh c a (P) : I   ;   2a 4a    Tr c đ i x ng c a ( P) : x =  b 2a  b x =  ng 4a 2a  b x =  GTLN c a hàm s  4a 2a  N u a  GTNN c a hàm s  c l i n u a * Ví d : Cho hàm s (P) : y = ax2 + bx + c ( a  ) Bi t (P) qua g c O có đ nh I( -2;-2), tìm đ th c a hàm s  Bài gi i:  (P) qua g c O nên suy ra: c = nh I( -2;-2)    * Thay * b  = -2;  = -2  b = 4a (1) ; b2 – 4ac = 8a (2) 2a 4a c = vào (2) ta đ Th b = 4a vào (3) ta đ c : b2 = 8a (3) c : a =0 (L) or a = ( Th a mãn ) V i a =  b = 2 V y đ th c a hàm s : y= x + 2x ************************************* H 4.Gi i bi n lu n ph ng gi i quy t: ng trình b c hai : ax2 + bx + c ( a  )  Cho t p xác đ nh D = R  + Xét a = + Xét a  : Tính  = b2 – 4ac * N u   pt vơ nghi m * N u  = pt có nghi m kép : x1= x2 =  * N u   pt có nghi m phân bi t  ) : 2a x2 = (-b- ThuVienDeThi.com b 2a x1= (-b+  ) : 2a Biên so n: GV Nguy n Bá C * Ví d : Gia bi n lu n ph 09644.23689 ng trình sau: x2- 4x + m – =  Bài gi i:  Cho t p xác đ nh D = R  Ta có:  ’ = 7- m * N u  ’   7- m   m  Khi pt vô nghi m * N u  ’   7- m   m  Khi pt có nghi m phân bi t: x1 = 2+ (7-m) or x2 = 2- (7-m) * N u  ’=  7- m =  m =7 Khi pt có nghi m kép: x1 = x2= K t lu n: - m  7: S =  - m  7: S =   - m = 0: S =  2+ (7-m); 2- (7-m)  ****************************************** Cho ph ng trình: ax2 + bx + c ( a  ) V i x1, x2 nghi m c a ph ta ln có nh ng đ ng th c sau:  x1 + x2 =      ng trình, b c x1 x2 = (H th c vi-ét) 2a a x12 + x22 = (x1 + x2) 2- 2x1 x2 (x1 - x2) = (x1 + x2) 2- x1 x2 x14 + x24 =  ( x1 + x2) - x1x2  - x12x2 x13+ x23 = (x1 - x2)3 - x1x2(x1 + x2) p  s   x1 =  x2    x1   x2  x1   x2  x1   x2   p  s   x1   x2       x1  x2   s  ( Hai nghi m d ng phân bi t ) p       x1  x2    s  ( Hai nghi m âm phân bi t ) p   ThuVienDeThi.com Biên so n: GV Nguy n Bá C 09644.23689     x1  x2   s  p      x1  x2    s  p   * Chú ý: + Ph ng trình có nh t m t nghi m d + Hi u gi a nghi m l n nghi n nh   x1   x2 ng   x1   x2 0  x1  x2 x1 - x2 * Ví d : Cho ph ng trình x2 – 6x + m- = a Tìm m đ ph ng trình có hai nghi n d ng phân bi t b Tìm m đ ph ng trình có hai nghi n âm phân bi t  Bài gi i:  Ph ng trình có hai nghi m d ng phân bi t (0  x1  x2 )     s  p   (3)  1( m  2)   m  11 6  0   m  11   m   m   V y  m  11 ph  Ph ng phân bi t ng trình có hai nghi m âm phân bi t (x1  x2  0): T Gi i bi n lu n ph H ng trình có hai nghi m d ng trình : ax + b = cx + d ng t … (1) ng gi i quy t: ax + b = cx + d  ax + b = cx + d (2) or ax + b = -( cx + d ) (3)   Gia bi n lu n pt (2) (3) Khi nghi m c a pt (1) h p nghi m c a pt (2) (3) * Ví d : Gi i bi n lu n pt sau : mx – x + = x + (1)  Bài gi i:  D=R ThuVienDeThi.com Biên so n: GV Nguy n Bá C  Ph ng trình (1)  09644.23689 x  mx – x + =   ( x  2) (m  2) x  1(2)    mx  3(3)  Gia bi n lu n pt (2) : u m –   m  Khi pt (2) có nghi m nh t : x = : (m – 2) * N u m =  m = Khi pt (2) vơ nghi m  Gi i bi n lu n pt (3) : *N *N u m  0, pt (3) có nghi m nh t : x =  *N u m = 0, pt (3) vô nghi m m  Nh n xét :  V i m  0, pt(3)  2x = -3  x =  x=  V i m = 0, pt (2)  -2x =1  2  N u  3  m=  m m 2  S= N u m =  S =    2 N u m =  S =    m N u m =  S = { -2 } K t lu n : N u m  2, m  0, m  Gi i bi n lu n ph H ng trình : ng gi i quy t:    ;   m m 2 ax  b =e cx  d  a pt v d ng : ax = b  T gi i bi n lu n ph ng trình đ suy nghi m c a pt * Ví d : Gi i bi n lu n pt sau: 2a   (1) x 1 ThuVienDeThi.com Biên so n: GV Nguy n Bá C 09644.23689  Bài gi i:  i u ki n : x   Pt (1)  ( a – )x = 3a – (2)  Gi i bi n lu n pt (2) : * N u a  : Pt (2) có nghi m nh t : x = pt (1) có nghi m nh t : x = * 3a   1 a a 2 N u a = : Pt (2) vơ nghi m Do đó, pt (1) vơ nghi m : S = a = a = : S = K t lu n : * a  a  * Gi i ph H 3a  a 2  3a      a 2   ng trình b ng ph ng pháp đ t n ph : m f (x) + n f (x) + p = ng gi i quy t:  t t = f (x) ( i u ki n : t  )  f (x) = t2 (*)  Th (*) vào pt đ ta đ c m t pt m i toàn n t Gia bi n lu n pt new đ tìm đ c t, sau th t vào đ tìm đ c đ c x, gi i quy t v n đ mà tốn đ t * Ví d : Gi i pt sau : 4x2 - 12x – 5[ ( 4x2 – 12x + 11 ) ] + 15 = (1)  Bài gi i:  tt= ( 4x2 – 12x + 11 ) ( i u ki n t  ) 2 2  t = 4x – 12x + 11 nên t – 11 = 4x – 12x (*)  Th (*) vào pt (1), ta đ c : t2 – 11 – 5t + 15 =  t2 – 5t + = Gi i ta đ c : t = or t = ( 4x – 12x + 11 ) = ; Gi i ta đ c : pt vô nghi m * V i t = : ( 4x2 – 12x + 11 ) = ; Gia ta đ c : * V i t = : x = ( - 14 ) : or x = ( + 14 ) : K t lu n : V y S = {( - 14 ) : ; ( + 14 ) : 2} Gi i ph ng trình : A- B = C (1) ThuVienDeThi.com Biên so n: GV Nguy n Bá C H 09644.23689 ng gi i quy t:  i u ki n : ng th i c A, B, C đ u   a pt (1) v d ng : A = B + C (2)  Gi i pt (2) b ng cách bình ph ng c hai v c a pt : ( A )2 = ( B )2 + ( C )2 T gi i quy t v n đ mà toán yêu c u * Chú ý: A = B  B  A = B * Ví d : ( x2 – 3x ) = 2x + (1) Gi i pt sau :  Bài gi i:  i u ki n: x2 – 3x   x  x  2 x    Pt (1)   2  x  3x  (2 x  4) x    x  2   x  1     x  1 3x  19 x  16    x  16   K t lu n : V y nghi m c a pt x = -1 Gi i pt sau:  Bài gi i:  x    x  x  (1)  x  2 x    i u ki n: 6  x    x  x 1  x     1 x   Pt (1)  x 1   x  x 1  x     x  x    (6  x)(x  1)  x  x   x   x   x   ( x  1)(6  x)  x       ( x  1)(6  x)  ( x  3) 2 x  12 x  15    x  ( Loai )   V y : Nghi m c a pt là: x  x  10 Gi i h pt g m pt b c nh t hai n pt b c hai n H ng gi i quy t: S d ng ph ng pháp th ThuVienDeThi.com Biên so n: GV Nguy n Bá C * Ví 09644.23689  x  y  2(1) d : Gi i h pt sau:  2  x  y  164(2)  Bài gi i:  Pt (1)  y  x   Th vào pt (2)  x2  ( x  2)2  164  2x  4x 160   x  8  y  10   x  10  y   x  8  x  10 V y h pt có nghi m:  ;  y  10  y  11 H pt đ i x ng hai n x y H ng gi i quy t: Dùng ph ng pháp đ t n ph b ng cách bi n đ i h pt cho v h pt mà ch có đ i l ng x+y xy: s  x  y  p  xy t   s  x  y  p  xy  N u  i u ki n s  4s  Suy x,y nghi m c a pt t  st  p  * x3  y3  ( x  y)3  3xy( x  y) * x2  y2  ( x  y)2  2xy  x2  y2  x  y   Ví d : Gi i h pt sau:  (1)  xy  x  y   Bài gi i: H pt (1) ( x  y)2  xy  x  y   t s  x  y ; p  xy  xy  x  y   s  p  s  8(1)  T (2) suy p= – s ; th vào pt (1), ta đ Khi h pt  p  s  5(2) c:  s  6 s  2(5  s)  s   s  3s  18    s  ThuVienDeThi.com Biên so n: GV Nguy n Bá C 09644.23689 x  y   xy   V i s = suy p =   t  t  Suy x y nghi m c a pt: t  3t     x  y  Khi h pt có nghi m:  x  y 1   V i s = - suy p = 11 Ta có: s2 – 4p = 36-44 < (Lo i) x  y  K t lu n : V y h pt có nghi m  12 B t ph ng trình – Xét d u ng gi i quy t:  T p xác đ nh: D = R x  y 1  f(x) = ax+b (a  0) H  Cho ax+b = suy x=  B ng xét d u: x b a  Trái d u a ax+ b b a  Cùng d u a Ví d : Xét d u f(x) = - 4x +  Bài gi i:  D=R *  - 4x + = suy x=  B ng xét d u: x   -4x+ +  K t lu n: * f ( x) > x  (; ) * f ( x) < x  ( ; ) ThuVienDeThi.com 10 Biên so n: GV Nguy n Bá C Gi i b t pt sau:  Bài gi i: 09644.23689 (3  x)(2  x) 0 x 1  D = R \{-1}  Ta có: +  x   x  + 2 x  x + x    x  1  B ng xét d u: 1   x VT KX +   + K t lu n: V y S = (; 1)  2;3  Gi i b t pt sau: (2 x  1)( x2  x  30)   Bài gi i:  D=R  Ta có: * * 1 x  x2  x  30     x  6 2x 1   x   B ng xét d u: x VT  1 -6  +   + K t lu n: V y S = 6;    5;    2 13 Tìm tham s m đ f(x) = ax + bx + c  0;  0;  0;  x  R H ng gi i quy t:  Xét a =  Ta có: a    + f(x)  x  R   a    + f(x)  x  R   ThuVienDeThi.com 11 Biên so n: GV Nguy n Bá C 09644.23689 a    + f(x)  x  R   a    + f(x)  x  R   Ví d : Tìm m đ f(x) = (m - 4)x2 + (m + 1)x + 2m-1 không âm  Bài gi i:  Xét m – = suy m = Khi f(x) = (4  1) x  2.4 1  5x  (Không th a mãn đ bài) * m    Ta có: f ( x)    (m  1)  4(m  4)(2m  1)  m   7m  38  15  m     m   m     m  K t lu n: V y m  f(x) = (m - 4)x2 + (m + 1)x + 2m-1 không âm 14 Gi i bi n lu n b t ph ng trình: ax  b  (1)  H ng gi i quy t:  Tìm t p xác đ nh: D = R  Bi n đ i b t pt (1) v d ng: ax  b (2) b a b + N u a0: B t pt (2)  x    D=R  B t pt (1)  (m  3) x  m  m  m3 m  + N u m – < suy m < Khi b t pt (2)  x  m3 + N u m – = suy m = Khi b t pt (2)  x  5 ( Th a mãn x + N u m –  suy m > Khi b t pt (2)  x  ThuVienDeThi.com 12 Biên so n: GV Nguy n Bá C 09644.23689 m   K t lu n: + m > 3: S =  ;    m3  m   + m < 3: S =  ; m    + m = 3: S = R 15 Tìm m đ b t pt có nghi m H * ng gi i quy t: Áp d ng  x2  x   0(1)  mx   0(2) Ví d : Tìm m đ b t pt sau có nghi m:  Bài gi i: x   Ta có: x2  5x  =   Suy S1 = (2;3) x   Ta có: mx   mx  4 + N u m > suy x <  H + N H + N m Suy ra: S2   ;     M m  m  b t pt có nghi m  S1  S2       m    m 2     m   u m < x  S2    ;   m  m  m  m    b t pt có nghi m  S1  S2       m  m    m  u m =  x  4 (Vơ lí)  S2   D n đ n h pt vô nghi m K t lu n: V y nghi m c a h b t pt là:    16 Gi i b t pt d ng:     H  f ( x)  g ( x) m  f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x) ng gi i quy t: Ta ln có  g ( x)  f ( x)  g ( x)   2  f ( x)  g ( x) ThuVienDeThi.com 13 Biên so n: GV Nguy n Bá C  09644.23689  g ( x)  f ( x)  g ( x)   2  f ( x)  g ( x)  Hai l i ng cl it ng ng Ví d : Gi i b t pt sau;  x2  x   x  (1)  Bài gi i: * 2 x   B t pt (1)   ( x  x  10)  (2 x  5) 5   x   x     2 ( x2  x  1)  (2 x  5)  ( x2  3x  4)( x2  x  6)  0(2)   2 Gi i b t pt (2): Ta có:  x  1 x    x2  3x       x2  x    Pt vô nghi m  B ng xét d u:  x VT + Suy 1  x  ; h t -1  d u l i)  +  x  ng    1  x  1  x  1  x  K t lu n: V y nghi m c a b t pt là: * Chú ý:  f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x)   g ( x)  f ( x)  g ( x)   (Áp d ng v i c  f ( x)   g ( x) Ví d : Gi i b t pt sau: x2   x2  5x  (1)  Bài gi i: *  0 x   x   ( x  x  4) 2 x  5x    B t pt (1)   2 x  5 x   x   x  x   2 ThuVienDeThi.com  x 14 Biên so n: GV Nguy n Bá C 09644.23689 K t lu n: V y nghi m c a b t pt là: 17 Gi i b t pt d ng:  H   x0 f ( x)  g ( x); f (x)  g( x) ng gi i quy t:  f ( x)   f ( x)  g ( x)   g ( x)   f ( x)  g ( x)   f ( x)   f (x)  g ( x)   g ( x)   f (x)  g ( x)  Ví d : Gi i b t pt sau: x2  x  12   x (1)  Bài gi i: *   x  3    x2  x  12   x2  x  12   x  3  x     B t pt (1)  7  x   7  x   x      x  61  x2  x  12  (7  x) 13x  61   61 13    x  13  K t lu n: V y nghi m c a b t pt là: 18 Gi i b t pt d ng:  H   61 13 A  B; A  B ng gi i quy t:  A   B  A  B   B     A  B  A   B  A  B   B     A  B2 Ví d : Gi i b t pt sau:  Bài gi i: * x  3 ho c  x  x2  3x  10  x  ThuVienDeThi.com 15 Biên so n: GV Nguy n Bá C 09644.23689   x2  3x  10  (1)    x B t pt (1)    x    (2)   x2  3x  10  ( x  2)   x  2 x  Gi i h b t pt (1)    x   x  2 ,Gi i h b t pt (2)    x  14  x 14  x   K t lu n: V y nghi m c a b t pt là: x  2 ho c x  14 19 Gi i b t pt b ng cách đ t n ph H ng gi i quy t: Áp d ng x2  3x   x2  3x (1) * Ví d : Gi i b t pt sau:  Bài gi i:   x  3 , x  i u ki n: x2  3x    t t = x2  3x ; t   t  x2  3x B t pt (1)  t   t  t  t    3  t  K t h p v i u ki n:   x  3  3  t   x  3x      x    t  hay  x  3x     t     x  3x  4  x   4  x  3  0  x  K t lu n: V y nghi m c a b t pt là:  x  3 ho c  x  ThuVienDeThi.com 16 ... n : t  )  f (x) = t2 (*)  Th (*) vào pt đ ta đ c m t pt m i toàn n t Gia bi n lu n pt new đ tìm đ c t, sau th t vào đ tìm đ c đ c x, gi i quy t v n đ mà toán đ t * Ví d : Gi i pt sau : 4x2... I( -2;-2)    * Thay * b  = -2;  = -2  b = 4a (1) ; b2 – 4ac = 8a (2) 2a 4a c = vào (2) ta đ Th b = 4a vào (3) ta đ c : b2 = 8a (3) c : a =0 (L) or a = ( Th a mãn ) V i a =  b = 2 V y đ...   a pt (1) v d ng : A = B + C (2)  Gi i pt (2) b ng cách bình ph ng c hai v c a pt : ( A )2 = ( B )2 + ( C )2 T gi i quy t v n đ mà toán yêu c u * Chú ý: A = B  B  A = B * Ví d : ( x2 –