Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Hòa Bình lớp 12 THPT, năm học 2013 2014 môn: Toán27948

UBND TỈNH HỊA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: Tốn Ngày thi: 25/12/2013 Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) Cho hàm số y  2x 1 có đồ thị (C) x 1 1/ Tìm khoảng đơn điệu đồ thị hàm số (C) 2/ Tìm k để đường thẳng y  kx  2k  cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho A, B cách trục hoành Câu (6 điểm) 1/ Tìm nghiệm x  0;  của phương trình sin x  cos x  3sin x  cos x   2/ Giải phương trình log x    log 2 x   log16 x  3x  4 3/ Giải hệ phương trình:  y 1 ( y  1) 2 x  x  16   x  y  3x    Câu (4 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang ( AD / / BC ), H trung điểm AB Biết tam giác SAB cạnh 2a nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SC  a khoảng cách từ D tới mặt phẳng SHC  2a 1/ Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng ( ABCD ) 2/ Tính thể tích khối chóp S ABCD Câu (4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC Gọi E; F chân đường cao hạ từ B C Biết đỉnh A(3; -7); trung điểm BC M(-2; 3); đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có phương trình là: ( x  3)2  ( y  4)2  1/ Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC 2/ Xác định tọa độ đỉnh B; C Câu (2điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x  20 x  30  m 2 x   x  - HẾT Cán coi thi không giải thích thêm Hä, tªn thÝ sinh: ., SBD Họ, tên giám thị 1: ; Họ, tên giám thị 2: ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu Câu Ý Tập xác định D  ฀ \ 1 y,  Nội dung Điểm  0, x  D ( x  1) 1,0 Vậy hàm số đồng biến khoảng (;  1) ; (1;  ) 2x 1  kx  2k  x 1 Biến đổi về: kx  x(3k  1)  2k  (1) Xét pt hoành độ giao điểm Để pt (1) có hai nghiệm phân biệt k  6k   (*) 1,0 Các giao điểm A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ) , với y1  kx1  2k  ; y2  kx2  2k  Để A, B cách Ox y1  y2  y1   y2 (Loại trường hợp y1  y2 x1  x2 , mà A, B phân biệt) y1   y2  y1  y2   k ( x1  x2 )  4k   Sử dụng định lý Viet cho pt (1) ta k  3 (Thỏa mãn (*)) KL… Câu log x    log x   log16 x  3x  0, 0,5 0,5 Điều kiện xác định x  6; x  0; x  3 Biến đổi tương đương chuyển về: 1,0 0,5 log x    log 2 x  Giải tìm x  4 , thỏa mãn điều kiện KL… 1,0 Giải phương trình: sin x  cos x  3sin x  cos x   Thay cos x   2sin x , đưa về: 2sin x  sin x(2 cos x  3)  cos x    s inx     s inx = - cos x  + Với s inx   s inx     s inx + cos x  2 1,0  5 có nghiệm khoảng cần tìm ; 6  + s inx+ cos x  2 , vơ nghiệm s inx+ cos x  cos( x  )  ĐK: y  (1)  4(2 x3  x)  y  1.( y  1)  x(4 x  2)  y  1.( y  1) (3) Xét hàm số f (t )  t (t  2) R, f(t) đồng biến R PT (3)  f (2 x)  f ( y  1)  x  y   y  x  , vào (2) ta  x   y  1(TM )  x   y  5(TM ) pt 3x  3x    Vậy hệ có nghiệm (0;1) (1;5) ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 1,0 1,0 Câu Tìm tâm đt ngoại tiếp tam giác AEF: I(3; -4); bán kính R = Chỉ tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH Từ H đối xứng với A qua tâm I, tìm H(3; -1) Đường thẳng BC qua M, vng góc với AH, có pt: y = Gọi B(b; 3) suy C(- – b; 3) Do H trực tâm tam giác nên ta có:   1,0 1,0 1,0 0,5 HB CA   (b  7)(b  3)  40  Giải tìm b  2  65 , từ tọa độ điểm B, C cần tìm là: B1 (2  65;3); C1 (2  65;3) B2 (2  65;3); C2 (2  65;3) Câu 0,5 S A D H C B Kẻ SH vng góc với AB, suy H trung điểm BC Tính SH  a Theo gt ( SAB)  ( ABCD)  SH  ( ABCD) , từ d ( S , ( ABCD))  SH KL… 2 Mặt khác VS HCD  VD.SHC  d ( D; SHC ) S SHC Xét tam giác SHC vuông H, SC  a 5; SH  a suy HC  a Chứng minh S HCD  S ABCD , suy VS ABCD  2VS HCD a2 3.a  (ĐVTT) 1,0 1,0 0,5 0,5 Tính S SHC  SH HC  0,5 Thay số tính VS ABCD 0,5 ThuVienDeThi.com Câu Biến đổi pt: 2 x    x   m 2 x   x  (1) Nhận thấy x   2 x  5 (2)  không nghiệm pt, chia hai vế cho 0,5 x2  2x   x2  m 2x  x2  2x  2x   t ; Xét f x   Đặt x 5 x2   2x    2x   2 lim  lim     2 2 x  x   x 5  x 5 10  x f ' x   Xét f ' x    x  x 5   0,5 Lập bảng bt f(x) t  2;3 \ 0 Xét g x   t  t ( với t  (2;3 \ 0) ); g ' x    t2 t  t  1 Xét g ' x   o  t    t f ' x  -2 -1 + - f x  - -2   0,5 +  0,5 Vậy m cần tìm m  ;  2 2;   Mọi lời giải xem xét cho điểm tương ứng HẾT  ThuVienDeThi.com ... ta  x   y  1(TM )  x   y  5(TM ) pt 3x  3x    Vậy hệ có nghiệm (0;1) (1;5) ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 1,0 1,0 Câu Tìm tâm đt ngoại tiếp tam giác AEF: I(3; -4); bán kính R = Chỉ tứ giác... HCD a2 3.a  (ĐVTT) 1,0 1,0 0,5 0,5 Tính S SHC  SH HC  0,5 Thay số tính VS ABCD 0,5 ThuVienDeThi.com Câu Biến đổi pt: 2 x    x   m 2 x   x  (1) Nhận thấy x   2 x  5 (2)  không... cần tìm m  ;  2 2;   Mọi lời giải xem xét cho điểm tương ứng HẾT  ThuVienDeThi.com