tổng hợp 30 đề thi chọn học sinh giỏi khối 8 môn toán cấp huyện

ĐỀ BÀI: Bài 1( điểm): Cho biểu thức: 2x − 2x −  21 + x − x  + − +1 P=  ÷: 2  x −12 x + 13 x − x − 20 x −1  x + x − a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P > Bài 2(3 điểm):Giải phương trình: a) b) c) 15 x   −1 =12  + ÷ x + 3x −  x + 3x −  148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19 x −2 +3 = Bài 3( điểm): Giải tốn cách lập phương trình: Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời Bài (7 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P a) Tứ giác AMDB hình gì? b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P PD = d) Giả sử CP ⊥ BD CP = 2,4 cm, Tính cạnh hình chữ PB 16 nhật ABCD Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1 + ≥ +x2 + y + xy Đáp án biểu điểm Bài 1: Phân tích: 4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) Điều kiện: 0,5đ −3 x ≠ ;x ≠ ;x ≠ ;x ≠ ;x ≠ 2 a) Rút gọn P = 0,5đ 2x − 2x − 2đ −1 x = ⇔ x = x = 2 b) 1 ⇒… P = 2 −1 ⇒ …P = +) x = 2 x −3 c) P = = 1+ x −5 x −5 +) x = Ta có: 1∈ Z Vậy P ∈ Z ∈ ⇒ 1đ ∈Z x −5 x–5 Ư(2) Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2} x – = -2 ⇒ x = (TMĐK) x – = -1 ⇒ x = (KTMĐK) x – = ⇒ x = (TMĐK) x – = ⇒ x = (TMĐK) KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên ∈ d) P= 1đ x −3 = 1+ x −5 x −5 0,25đ Ta có: > Để P > x −5 Với x > P > Bài 2: >0 ⇒ x–5>0 ⇔ x>5 0,5đ 0,25 a) 15 x   −1 =12  + ÷ x + 3x −  x + 3x −3   15 x ⇔ − = 12  +  x + ( x − 1) ( x + ) ( x − 1)  ⇔ – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4) 3.15x  ÷ ÷  ĐK: x ≠ −4; x ≠ … ⇔ + 4) = 3x.(x ⇔ = x + = 3x +) 3x = => x = (TMĐK) +) x + = => x = -4 (KTMĐK) S = { 0} b) 148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19 1đ  148 − x   169 − x   186 − x   199 − x  − ÷+  − ÷+  − ÷+  − ÷=  25   23   21   19  ⇔  1 1  ⇔ – x)  + + + ÷= (123  25 23 21 19  1 1  + + + ÷> Do   25 23 21 19  Nên 123 – x = => x = 123 S = {123} c) x −2 +3 = Ta có: nên 1đ x − ≥ 0∀x => x−2 +3 >0 x −2 +3 = x −2 +3 PT viết dạng: x−2 +3=5 ⇔−2 = – x ⇔ −2 =2 x +) x - = => x = +) x - = -2 => x = S = {0;4} 1đ Bài 3(2 đ) Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là: x 3x = (km / h) 10 3 (3h20’ = 0,25đ ( h) ) 0,25đ Vận tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h là: 3x + ( km / h ) 10 0,25đ Theo đề ta có phơng trình:  3x  + ÷.3 = x   10  0,5đ ⇔=150 x Vậy khoảng cách A B 150 (km) 3.150 = 45 ( km / h ) Vận tốc dự định là: 10 Bài 4(7đ) Vẽ hình, ghi GT, KL D 0,5đ 0,25đ 0,5đ C P M F I E A O B a) Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD  PO đường trung bình tsm giác CAM  AM//PO ⇒ tứ giác AMDB hình thang 1đ b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ c) ∆MAF : ∆DBA ( g − g ) nên d) Nếu MF AD = không đổi FA AB (1đ) PD PB PD = = = k ⇒ PD = 9k , PB = 16k PB 16 16 Nếu CP ⊥ BD ∆CBD : ∆DCP ( g − g ) ⇒ CP PB = PD CP 1đ CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 BC = (cm) CD = (cm) 0,5d 0,5đ 0,5đ Bài 5: a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) Vì 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hết cho 2010 (1) 2010 2011 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có đpcm b) 1 + ≥ (1) +x2 + y + xy  1   1  ⇔ − + − ÷ ÷≥ + x + xy   + y + xy   ⇔ x ( y − x) + y ( x − y) ( + x ) ( + xy ) ( + y ) ( + xy ) ( y − x ) ( xy − 1) ⇔ ( + x2 ) ( + y ) ( + xy ) 2 ≥ ( 2) Vì x ≥ 1; y ≥ => xy ≥ => xy − ≥ ≥0 1đ => BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y) 1đ Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết: a A = n − n + n − số nguyên tố n − 16 b C = có giá trị số nguyên n − 4n + 8n + 16 c D = n4 + 4n số nguyên tố Bài Cho a + b +c = 0; abc ≠ a Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0 b Tính giá trị biểu thức: Bài 3: c2 a2 b2 P= + a + b − c2 b + c2 − a c + a − b a Giải phương trình: ( x − a ) ( x − c) + ( x − b) ( x − c) ( b − a ) ( b − c) ( a − b) ( a − c) =1 b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 - y2 + 2x - 4y -10 = Bài Cho hình thang ABCD (AB//CD), O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E; cắt BC F a Chứng minh : S ∆AOD = S ∆BOC b Chứng minh: OE = OF c Chứng minh: 1 + = AB CD EF d Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đơi diện tích tam giác DEF Câu 1: Xác định hệ số a cho: a) 27x2 + a chia hết cho 3x + b) 3x2 + ax + 27 chia hết cho x + có số dư Câu2: Cho số a, b, c thỏa mãn abc = 1999 Rút gọn biểu thức: 1999a b c + + ab + 1999a + 1999 bc + b + 1999 ac + c + Câu 3: Cho abc ≠ a + b+ c ≠ giải phương trình: a +b−x a +c−x b+c−x 4x + + + =1 c b a a+b+c Câu 4: Gọi M điểm đoạn thẳng AB Vẽ nửa mặt phẳng có bờ AB hình vng AMCD, BMEF a Chứng minh AE vng góc với BC b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng c Những minh đoạn thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn thẳng nối tâm hai hình vng điểm M chuyển động đoạn thẳng AB cố định Câu 1: ( điểm) Cho biểu thức: a2 b2 a + b2 P= + − ab ab + b2 ab − a a Rút gọn P b Có giá trị a, b để P = 0? c Tính giá trị P biết a, b thỏa mãn điều kiện: 3a2 + 3b2 = 10ab a > b > Câu 2: ( 3,5 điểm) Chứng minh rằng: a (n2 + n -1)2 – chia hết cho 24 với số nguyên n b Tổng lập phương số nguyên liên tiếp chia hết cho Câu 3: ( điểm) Giải phương trình: x4 + x2 + 6x – = Câu 4: ( điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3) Câu 5: (7,5 điểm) Cho tam giác ABC, O giao điểm đường trung tực tam giác, H trực tâm tam giác Gọi P, R, M theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC, BC Gọi Q trung điểm đoạn thẳng AH a Xác định dạng tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện để OPQR hình thoi? b Chứng minh AQ = OM c Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng d Vẽ ngồi tam giác ABC hình vng ABDE, ACFL Gọi I trung điểm EL Nếu diện tích tam giác ABC khơng đổi BC cố định I di chuyển đường nào? Câu 1: Cho a + b = Tính giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) Câu 2: Chứng minh rằng: a b c + + = biết abc = ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1 n2 + n + 2, (n ∈ N* ) không phân số tối giản n + n +1 1, Câu 3: Cho biểu thức: P= 1 1 + + + + a − a a − 3a + a − 5a + a − 7a + 12 a − 9a + 20 a Tìm điều kiện để P xác định b Rút gọn P c Tính giá trị P biết a3 - a2 + = Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức: A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2 + x + Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ đường thẳng qua C vng góc với AB E Gọi M trung điểm AD a Chứng minh: tam giác EMC cân b Chứng minh: Góc BAD = góc AEM c Gọi P điểm thuộc đoạn thẳng EC Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến Me đến MC không phụ thuộc vào vị trí P EC Câu 1: Cho x = a − (b − c)2 b2 + c − a ;y= (b + c) − a 2bc Tính giá trị P = x + y + xy Câu 2: Giải phương trình: 1 1 a, = +b+ a+b− x a x b, (x ẩn số) (b − c)(1 + a ) (c − a )(1 + b) (a − b)(1 + c) + + =0 x + a2 x + b2 x + c2 (a,b,c số đôi khác nhau) Câu 3: Xác định số a, b biết: (3 x + 1) a b = + 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Câu 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm nguyên Câu 5: Cho ∆ ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 Câu 2: Cho A =  + x3 x(1 − x )  − x + x)( − x)  : ( 1+ x 1+ x  1− x  a, Rút gọn A b, Tìm A x= - c, Tìm x để 2A = Câu 3: a, Cho x+y+z = Tìm giá trị nhỏ M = x2 + y2 + z2 b, Tìm giá trị lớn P = x ( x + 10) Câu 4: a b c + + 0, CMR: 1< b, Cho x,y ≠ CMR: x y x2 y ≥ + + y x y x Câu 5: Cho VABC có độ dài cạnh a, kéo dài BC đoạn CM =a a, Tính số đo góc VACM b, CMR: AM ⊥ AB c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a CMR VMNP Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x − 17 x − 21 x + + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + xz z + 2xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đơi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực HA' HB' HC' + + tâm a) Tính tổng AA' BB' CC' c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,25điểm) - ∆ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 ( AB + BC + CA) ⇔ ≥ (0,25điểm) AA'2 + BB'2 + CC'2 Đẳng thức xảy ⇔ = AC, AC = AB, AB = BC BC ⇔ = AC =BC ⇔ABC ∆ AB Kết luận (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu Bài (4 điểm)  − x3  − x2  − x : Cho biểu thức A =   − x − x + x với x khác -1  1− x  a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x = −1 c, Tìm giá trị x để A < Bài (3 điểm) 2 Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) 2 Chứng minh a = b = c Bài (3 điểm) Giải toán cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − 2a + 3a − 4a + Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1 + = AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Đáp án Bài 1( điểm ) a, ( điểm ) Với x khác -1 : A= 0,5đ 1− x − x + x (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − x + x ) − x(1 + x) (1 − x)(1 + x + x − x) (1 − x)(1 + x) : = 1− x (1 + x)(1 − x + x ) = (1 + x ) : (1 − x) = (1 + x )(1 − x) 0,5đ 0,5đ 0,5đ b, (1 điểm) = − A = 3 25 = (1 + )(1 + ) 34 272 = = = 10 27 27 Tại x = − 2    1 + (− )  − 1 − (− )      c, (1điểm) Với x khác -1 A với x nên (1) xảy − x < ⇔ x > KL Bài (3 điểm) 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ Biến đổi đẳng thức để 0,5đ a + b − 2ab + b + c − 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac − 4bc Biến đổi để có (a + b − 2ac) + (b + c − 2bc) + (a + c − 2ac) = 2 2 2 2 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Biến đổi để có (a − b) + (b − c) + (a − c) = (*) Vì (a − b) ≥ ; (b − c) ≥ ; (a − c) ≥ ; với a, b, c nên (*) xảy (a − b) = ; (b − c) = (a − c) = ; Từ suy a = b = c 2 Bài (3 điểm) Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm x (x số nguyên khác -11) x + 11 Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số (x khác -15) Theo ta có phương trình x−7 x + 15 0,5đ x x + 15 = x + 11 x − 0,5đ Giải phương trình tìm x= -5 (thoả mãn) Từ tìm phân số − 0,5đ 1đ 0,5đ Bài (2 điểm) 0,5đ Biến đổi để có A= a (a + 2) − 2a(a + 2) + (a + 2) + = (a + 2)(a − 2a + 1) + = (a + 2)(a − 1) + Vì a + > ∀a (a − 1) ≥ 0∀a nên (a + 2)(a − 1) ≥ 0∀a 0,5đ 0,5đ (a + 2)(a − 1) + ≥ 3∀a Dấu = xảy a − = ⇔ a = KL Bài (3 điểm) 0,25đ 0,25đ B N M A D I C a,(1 điểm) Chứng minh tứ giác AMNI hình thang Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân b,(2điểm) 0,5đ cm ; BD = 2AD = cm 3 cm AM = BD = Tính NI = AM = cm cm , MN = DC = cm DC = BC = 3 Tính AI = cm Tính AD = 0,5đ 0,5đ 0,5đ B A Bài (5 điểm) M a, (1,5 điểm) 0,5đ 0,5đ O D OM OD ON OC = = , AB BD AB AC OD OC = Lập luận để có DB AC OM ON ⇒ ⇒ OM = ON = AB AB Lập luận để có N C 0,5đ 0,5đ 0,5đ b, (1,5 điểm) OM DM OM AM = = (1), xét ∆ADC để có (2) AB AD DC AD 1 AM + DM AD + = =1 Từ (1) (2) ⇒ OM.( )= AB CD AD AD 1 ) =1 Chứng minh tương tự ON ( + AB CD 1 1 )=2 ⇒ + = từ có (OM + ON) ( + AB CD AB CD MN Xét ∆ABD để có b, (2 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ S AOB OB S BOC OB S S = = ⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB S DOC = S BOC S AOD , S S AOD OD OD S AOD S DOC DOC Chứng minh S AOD = S BOC ⇒ S AOB S DOC = ( S AOD ) Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) Bài 1: a − (b − c ) b2 + c2 − a Cho x = ;y= (b + c) − a 2bc Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: 1 1 a, = +b+ a+b− x a x b, (x ẩn số) (b − c)(1 + a) (c − a )(1 + b) (a − b)(1 + c) + + =0 x + a2 x + b2 x + c2 (a,b,c số đôi khác nhau) Bài 3: Xác định số a, b biết: (3 x + 1) a b = + 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm ngun Bài 5: Cho ∆ ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C Bài 1: (2 điểm)  1    x − A= + 1÷+ + 1÷ : Cho biểu thức:    x  ( x + 1)  x  x + 2x +  x   a/ Thu gọn A b/ Tìm giá trị x để A 0, CMR: b, Cho a,b,c,d > CMR: Bài 4: 1 + ≥ a b a+b a −d d −b b −c c −a ≥ + + + d +b b+c c+a a+d x + xy + y a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > x − xy + y x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( x + 1995) với x > Bài 5: a, Tìm nghiệm ∈ Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm ∈ Z PT: x2 + x + = y2 Bài 6: Cho VABC M điểm ∈ miền VABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’ Đề SỐ 16: Câu : ( 2Đ ) Phân tích biểu thức sau thừa số M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu : ( 4Đ) Định a b để đa thức A = x4 – x3 + ax2 + bx + bình phương đa thức khác Câu : ( 4Đ) Cho biểu thức :  x2   10 − x   :x −2+  + + P=  x − x − 3x x +   x+2      a) Rút gọn p b) Tính giá trị biểu thức p /x / = c) Với giá trị x p = d) Tìm giá trị nguyên x để p có giá trị nguyên Câu : ( Đ ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ Câu : ( 3Đ) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm) Câu : ( 4Đ) Cho tam giác ABC M, N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM = CN xác định vị trí M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A M B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y ≠ Chứng minh 2( x − y) x y − + 2 =0 y −1 x −1 x y + 3 Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x+1 x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) (0,25đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 b) (0,75đ) Xét A 10x −7x −5 = =5x +4 + B 2x −3 2x −3 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) ∈ Z ⇒ M ( 2x – 3) 2x − Mà Ư(7) = { −1;1; −7;7} ⇒ x = 5; - 2; ; A M B Với x ∈ Z A M B x y c) (1,5đ) Biến đổi y3 − − x − = (x − y ) − (x − y) (0,25đ) (0,25đ) x −x−y +y (y3 − 1)(x − 1) 4 ( x + y = ⇒ y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) xy(y + y + 1)(x + x + 1) ( x − y ) ( x + y ) ( x + y ) − (x − y) = (0,25đ) xy(x y + y x + y + yx + xy + y + x + x + 1) = = = = = ( x − y ) (x + y − 1) xy  x y + xy(x + y) + x + y + xy +    ( x − y ) (x − x + y − y) xy  x y + (x + y) +    ( x − y ) [ x(− y) + y(−x)] xy(x y + 3) −2(x − y) x y2 + = = ( x − y ) [ x(x − 1) + y(y − 1) ] xy(x y + 3) ( x − y ) (−2xy) xy(x y + 3) Suy điều cần chứng minh Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) ⇔ (y + 6)(y - 2) = ⇔ y = - 6; y = 2 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) * x + x = - vô nghiệm x + x + > với x * x2 + x = ⇔ x2 + x - = ⇔ x2 + 2x - x - = ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 x +1 x + x + x + x + x + ⇔ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 b) (1,75đ) ⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + − − − =0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ ( x + 2009)( 1 1 1 + + − − − ) = (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) Vì 1 1 < < ; ; 2008 2005 2007 2004 1 < 2006 2003 1 1 1 Do : 2008 + 2007 + 2006 − 2005 − 2004 − 2003 < (0,25đ) Vậy x + 2009 = ⇔ x = E I -2009 Bài 3: (2 điểm) B C a) (1đ) Chứng minh ∆ EDF vng cân Ta có ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ ∆ EDF cân D O ˆ ˆ Mặt khác: ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ E1 = F2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Mà E1 + E + F1 = 900 ⇒ F2 + E + F1 = 900 A D ⇒ EDF = 900 Vậy ∆ EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng ⇒ CO trung trực BD 2 F Mà ∆ EDF vuông cân ⇒ DI = EF Tương tự BI = EF ⇒ DI = BI B ⇒ I thuộc dường trung trực DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng D Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) A C E Áp dụng định lý Pitago với ∆ ADE vng A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 = 2(x – a a a ≥ ) + 2 2 (0,25đ) Ta có DE nhỏ ⇔ DE2 nhỏ ⇔ x = ⇔ BD = AE = (0,25đ) a ⇔ D, E trung điểm AB, AC a (0,25đ) (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 2 2 2 AB AB AB2 AB AB AB2 ≤ = – (AD – AD + )+ = – (AD – ) + 2 4 8 2 AB AB Vậy SBDEC = SABC – SADE ≥ – = AB2 không đổi 8 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) (0,25đ) Do SBDEC = AB2 D, E trung im AB, AC Bài 1: Phân tích đa thức thành nh©n tư: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 5x Bài 2: Tìm đa thøc A, biÕt r»ng: x − 16 A = x x2 + Bài 3: Cho phân thức: 5x + 2x + 2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 4: a) Giải phơng trình : x+2 = x x x( x 2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: (0,25) (0,25) Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đà hoàn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch AHM ? Biểu điểm - Đáp án Biểu điểm Đáp án Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iĨm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 ®iĨm) A= x(4 x − 16 x[(2 x) − x(2 x − 4)(2 x + 4) x.2( x − 2).2( x + 2) = = = = 4( x − 2) = x − x( x + 2) x( x + 2) x + 2x x + 2x Bµi 3: (2 ®iÓm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) ≠ ⇔ 2x ≠ vµ x + ≠ ⇔ x ≠ vµ x ≠ -1 b) Rót gän: (1 ®iĨm) 5x + 5( x + 1) = = (0,5 ®iĨm) 2 x + x x ( x + 1) x 5 = ⇔ = 2x ⇔ x = (0,25 điểm) 2x 5 Vì thoả mÃn điều kiện hai tam giác nên x = 2 Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x (0,25 điểm) - Giải: x(x + 2) - (x - 2) = ⇔ x2 + 2x – x +2 = 2; x( x − 2) x( x 2) x= (loại) x = - VËy S = { − 1} b) ⇔ x2 – < x2 + 4x + ⇔ x2 – x2 – 4x < + ⇔ - 4x < 16 ⇔ x> - 1® 1đ Vậy nghiệm phơng trình x > - Bài 5: Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > Vậy số ngày tổ đà thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 ⇔ 57x – 57 – 50x = 13 ⇔ 7x = 70 ⇔ x = 10 (tho¶ m·n điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bài 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ⇒ ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc gãc) b) ¸p dơng pitago ∆ vu«ng ABC ta cã : BC = AB + AC = 15 + 20 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 = = hay = = v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn HB HA BA HB HA 15 20.05 ⇒ AH = = 12 (cm) 25 15.15 = (cm) BH = 25 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1® 1® 1® 1® 1® HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) BC 25 − BH = − = 3,5(cm) 2 1 SAHM = AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 c) HM = BM BH = - Vẽ hình: A 1® B H M C 1® ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (2điểm) 3x y − 4xy b) Nếu a, b, c số dương đôi khác giá trị đa thức sau số dương: A = a + b3 + c3 − 3abc Bài 2: (2 điểm) Chứng minh a + b + c = thì: a b   a − b b − c c − a  c A= + + + + ÷ ÷= a b  a − b b − c c − a   c Bài 3: (2 điểm) Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc vận tốc dự định km/h Tính thời gian ô tô quãng đường AB biết người đến B Bài 4: (3 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vng góc vơi AE cắt đường thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI N a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC Bài 5: (1 điểm) x + 3x + = y Tìm nghiệm nguyên phương trình: a) Cho x − 2xy + 2y − 2x + 6y + 13 = Tính N = 2 Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + ) ( a + ) + 15 Caâu 2( đ): Với giá trị a b đa thức: ( x − a ) ( x − 10 ) + phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x − 3x + ax + b chia hết cho đa thức B( x) = x − 3x + Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P= 1 1 + + + +