Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Hòa Bình lớp 12 THPT, năm học 2012 2013 môn: Toán27857

Sở GD&ĐT Hoà Bình Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 tHPT Năm học 2012-2013 Đề thức Môn: Toỏn Ngày thi: 25/12/2012 (Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề) (Đề thi gåm cã 01 trang, 05 c©u) Câu (4 điểm) Cho hàm số: y   x  3mx  3(1  m ) x  m3  m ( Cm ), với m tham số Với m  , tìm cực trị đồ thị hàm số cho Tìm tất giá trị m để đồ thị ( Cm ) có hai điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng (d): x+ 2y - = Câu 2( điểm)    Tìm nghiệm x    ;  phương trình 2cos   x   3cos4 x  4cos x   2 4  Giải hệ phương trình: 6 x  xy  x  y   3 x  y  x  y  Đội niên tình nguyện quốc tế có 12 bạn gồm bạn quốc tịch Việt Nam, bạn quốc tịch Pháp bạn quốc tịch Thái Lan Hỏi có cách chọn bạn vào tổ cơng tác cho tổ có không quốc tịch? Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C) x  y  x  y   (C’): x  y  x   qua M(1;0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C) (C’) A, B cho MA = 2MB Câu ( điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, BA  BC  a; AD  2a Cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Gọi H hình chiếu vng góc A lên cạnh SB a Tìm giao điểm AH với mặt phẳng (SCD) b Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Câu (2điểm) Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức F  xy  yz  zx  xyz -HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm Hä, tªn thÝ sinh: ., SBD Họ, tên giám thị 1: ., ch÷ ký Họ, tên giám thị 2: ., ch÷ ký ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Câu Câu Ý Nội dung Với m  : y   x  3x C  Điểm y ,  3 x  x x  x  2 Xét y ,    1,0 Lập luận tìm điểm cực đại đồ thị C là A 2;  Điểm cực tiểu đồ thị C là B 0;0  0, 0, y ,  3 x  6mx  1  m   x  m 1 y,    x  m 1 Tìm hai điểm cực trị Cm  A m  1, m  3m   B m  1, m  3m   Đường thẳng qua hai điểm cực trị MN : y  x  m  m 0,5 0, Gọi I trung điểm MN ta có I m, m  3m  Đường thẳng d  : y   x   MN  d  Để M N đối xứng qua d    I  d  m  1  m  3m   m   2m  m     m  2    cos   x   3cos4 x  cos x   sin x  3cos4 x  cos x 4  Câu   x   k    12  cos  x    cos2 x   6   x    k  36     11 13 ; x Do x    ;  nên x  ; x  ; x  nghiệm 12 36 36 36  2 cần tìm phương trình ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 1,0 1,0 6 x  xy  x  y  11 Giải hệ phương trình : 3x  y  3x  y  2    x  1  3x  12 x  y  1    2 x  y  1 Với x= vào phương trình 2  ta 1  y   y0 y2 1  1 y   2  y 1  1 y  y 1,0 Với y = 2x+1 vào phương trình 2  ta có  x  x  x    5x    x   y 1 21x  17 x   1,0 KL: Hệ có hai nghiệm 0;1  ;0  3  Câu Chọn bạn cho tổ cơng tác gồm 12 bạn có : C124  495 (cách) Chọn bạn cho tổ công tác cho có quốc tịch có : C51C41C32  C51C42C31  C52C41C31  270 (cách) Vậy số cách chọn học sinh vào tổ công tác cho tổ không quốc tịch : 495  270  225 (cách) 1,0 1,0 C  có tâm I 1;1 , bán kính R  C , có tâm I , 2;0  , bán kính R,  Đường thẳng d  qua M 1;0 : a x  1  by  a  b   0,5  ax  by  a 0,5 0,5 Giả sử H , H , trung điểm AM BM Khi MA  MB IA2  IH  I ' B  I ' H '2   d I ;     d I ' ;   , rút gọn    a  36b  a  6b Vì a  b  chọn b   a  6 (Nhận IA > IH), từ có kết (d1): x  y   (d2): x  y   ThuVienDeThi.com 1,0 0,5 Câu S G H A D B C M a AB cắt CD M , AH cắt SM G Vậy G giao điểm AH SCD  2,0 VSBCD SB   VSHCD SH 1,0 Chỉ tam giác SCD vng C b Câu a2 Diện tích tam giác SSCD  a , S BCD  S ABCD  S ABD  a  VSHCD  d H , SCD .S SCD Thể tích tứ diện VSBCD  SA.SBCD  V a  d H , SCD   HSCD  S SCD 1,0 1,0 Từ gt, x; y; z 0;1 Ta có xy  yz  zx  3 ( xyz )2  3( xyz )  3xyz  xyz , suy F  Dấu có xảy ra, chẳng hạn x  y  0; z  ; KL …… Ta có ( x  y  z )( x  y  z )  x (1) ( x  y  z )( x  y  z )  y (2) ( x  y  z )( x  y  z )  z (3), vế (1); (2); (3) dương, nhân 0,5 0,5 ( x  y  z )( x  y  z )( x  y  z )  xyz  ( x  y  z )( x  y  z )( x  y  z )  xyz vế tương ứng ta  (1  z )(1  y )(1  x)  xyz  F  (1  xyz ) x yz Mặt khác, dễ có xyz  ( , từ ta có F  , dấu xảy )  27 27 x  y  z  , KL…… Mọi lời giải xem xét cho điểm tương ứng HẾT  ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 ...  k    12  cos  x    cos2 x   6   x    k  36     11 13 ; x Do x    ;  nên x  ; x  ; x  nghiệm 12 36 36 36  2 cần tìm phương trình ThuVienDeThi.com 0,5... bạn cho tổ cơng tác gồm 12 bạn có : C124  495 (cách) Chọn bạn cho tổ công tác cho có quốc tịch có : C51C41C32  C51C42C31  C52C41C31  270 (cách) Vậy số cách chọn học sinh vào tổ công tác cho... Vì a  b  chọn b   a  6 (Nhận IA > IH), từ có kết (d1): x  y   (d2): x  y   ThuVienDeThi.com 1,0 0,5 Câu S G H A D B C M a AB cắt CD M , AH cắt SM G Vậy G giao điểm AH SCD  2,0 VSBCD