Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Hà Nam năm học 2011 2012 môn: Toán27833

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Mơn: TỐN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) x  2m với m tham số Chứng minh m  , đồ thị hàm số mx  cắt đường thẳng d : y  x  3m điểm phân biệt A, B Xác định m để đường thẳng d cắt trục Ox, Oy C , D cho diện tích OAB lần diện tích OCD x2 Cho hàm số y  có đồ thị (C) Chứng minh điểm mặt phẳng tọa x 1 độ mà qua kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vng góc với nằm đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình sau tập số thực: 15 x.5 x  x 1  27 x  23 2x   2x2  6x  2 Giải bất phương trình sau tập số thực: log 2 x  2x  Câu 3: (6 điểm) a Cho tứ diện SABC có AB  AC  a, BC  , SA  a (a  0) Biết góc SAB  300 góc SAC  30 Tính thể tích khối tứ diện theo a Chứng minh tứ diện có độ dài cạnh lớn 1, độ dài cạnh cịn lại khơng lớn thể tích khối tứ diện khơng lớn Câu 4: (4 điểm) Tính tích phân: Cho hàm số y   I   x2 2 J   dx   x x Câu 5: (2 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P  a  b  c  (a  1)(b  1)(c  1) cosx  1 ln sinx 1 sin x  dx …………Hết………… Họ tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:…………………… Họ tên giám thị số 1:…………………………………………………………………………… Họ tên giám thị số 2:…………………………………………………………………………… ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012 Hướng dẫn chấm biểu điểm Mơn: Tốn (Hướng dẫn chấm biểu điểm gồm có trang) - Lưu ý: Nếu thí sinh trình bày lời giải khác so với hướng dẫn chấm mà cho điểm phần biểu điểm Câu Nội dung Điểm 1.(2 Phương trình hồnh độ giao điểm d đồ thị: điểm) 0.25 1 3mx  3m x  m  0, x  m Vì m  nên phương trình  x  3mx   (*) Ta có  1    9m  12  0, m  f      0, m  (ở f x  m m vế trái (*)) nên d cắt đồ thị điểm A, B phân biệt 0,5 m  Ta có A x1 ;3 x1  3m , B x2 ;3 x2  3m  với x1 , x2 nghiệm (*) Kẻ đường cao OH OAB ta có OH  d 0; d   AB  x2  x1   3x2  3x1  2 10 40 (Định lý Viet (*)) Mặt khác ta có C m;0 , D 0; 3m  (để ý m  C , D, O phân biệt) Ta tìm m để S OAB  S OCD hay 10m  2.(2 điểm) 0,25  10 x2  x1   10 x1  x2   40 x1 x2  10m  3m 40 3m  m 3m  m   3 10 Gọi M (x , y ) Đường thẳng d qua M, có hệ số góc k có phương trình y  k(x  x )  y d tiếp xúc (C ) hệ sau có nghiệm x  1:   x   x   k(x  x )  y (1)  1   k (2)  (x  1) (1)  x    k(x  1)  k  kx  y (3) Thay k (2) vào vị x 1 ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 1  x 1   k  kx  y x 1 x 1 k(1  x )  y   Suy x 1 2  k(1  x )  y   Thay vào (2)     k   (x  1) k  (1  x )(y  2)  2.k  (y  2)   (*) Nếu từ M kẻ đến (C ) hai tiếp tuyến vng góc pt (*) có hai (y  2)  nghiệm k1 , k thỏa mãn k1.k  1   1 (x  1) trí (3) : x    (x  1)  (y  2)   M nằm đường trịn có tâm I(1,2), có bán kính R=2 (đpcm) Câu 1.(2 điểm) 2.(2 điểm) Nội dung Phương trình cho  15 x    27 x  23 0,25 0,5 0,5 Điểm x 27 x  23 15 x  27 x  23 Hàm số f x   x đồng biến R hàm số g x   có 15 x  480 1   nên nghịch biến khoảng  ;  g ' x   3  15 x  5 Ta phải có 15 x   phương trình trở thành x  0,5 1   ;   3  Vậy phương trình có tối đa nghiệm khoảng Mặt khác f 1  g 1  f 1  g 1  Nên phương trình cho có nghiệm x  1 0,5 0,25 0,5 0,25 2x   2x  6x  x  2x  1 Điều kiện: x  x>  (*) Với đk BPT Bất phương trình: log 2 2x  2x    2x  6x   log 2  2x  6x  x  2x  2x  4x  2  log (2x  1)  log (2x  4x  2)  (2x  4x  2)  (2x  1)  log 2  (2x  1)  log (2x  1)  (2x  4x  2)  log (2x  4x  2) ThuVienDeThi.com 0,5 Câu 1.(3 điểm) u  2x  Đặt  u,v>0 u  log u  v  log v (1)  v  2x  4x  Xét hàm số f (t)  log t  t, t  D  (0; ) Có f '(t)    0, t  D 0,5 t.ln Suy f(t) hàm đồng biến D Khi đó, (1) thành f (u)  f (v) u,v thuộc D f(t) đồng biến D 0,25 nên u  v 3 Tức 2x   2x  4x   2x  6x    x  0,5 3 x Kết hợp với điều kiện (*) tập nghiệm bpt cho 0,25    3   T   ;  ;         Nội dung Điểm S M C A N B Theo định lý cosin tam giác SAB ta có SB  SA2  AB  SA AB.cos300  3a  a  2a 3.a  a2 Vậy SB = a Tương tự ta có SC = a Gọi M trung điểm SA, hai tam giác SAB cân B SAC cân C nên MB  SA, MC  SA  SA  MBC  Ta có VSABC  VSBMC  VABMC  SA.S MBC Hai tam giác SAB SAC (c.c.c) nên MB = MC suy tam giác MBC cân M, MN  BC , ta có MN  SA (Ở N trung điểm BC) Từ ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 2  a   a  3a MN  AN  AM  AB  BN  AM  a        16 4   a Suy MN  1 a3 Vậy VSABC  SA MN BC  16 2 2 2 2.(3 điểm) 0,5 0,5 A D B H C K M Giả sử tứ diện ABCD có AB>1, cạnh cịn lại không lớn Đặt CD = x, x  0;1 Gọi M trung điểm BC, K hình chiếu B lên CD H hình 1 chiếu A lên mp( BCD) Khi VABCD  SBCD AH  x.BK.AH (1) 2 2 BC  BD CD x Có BM   x2     BM  4 Tương tự, có AM   x2 1  x (3) Mà BK  BM  BK   x (2), AH  AM  AH  2 x(4  x ) Từ (1), (2) (3) suy VABCD  24 Mặt khác hàm số f (x)  x(4  x ); x  0;1 đồng biến nên f(x) 24  f (1)  Nên VABCD  (đpcm) (Dấu xảy hai tam giác ACD BCD hai tam giác có ThuVienDeThi.com 1,0 0,25 0,25 0,5 0,75 0,25 cạnh H,K trùng với M Khi AB  Câu 1.(2 Ta có điểm) I  Nội dung x2 x  x2   x  x  x2  x  x   dx   3  1) Điểm dx 1 1   x x  2dx   x  x  4dx  I1  I 42 42 4 -Tính I1 : 3 3 0,5 I1   x    x  2dx   x   dx   x   dx  2 x    2 3 2 x    10 32  15 0,5 -Tính I : Viết I   x   x  2dx Đặt x   t ta có dx  2tdt I   t  t.2tdt Do I  Vậy I  2.(2 điểm) 2t  8t  46 15 0,5 1 25  39 I1  I  4 30 0,5  Có I   (1  sinx) ln(cos x  1)  ln(1  sinx dx    0 =  ln(1  cos x)dx   sinx.ln(1  cos x)dx   ln(1  sinx)dx  A  B  C 0,5  Xét A   ln(1  cos x)dx   Đặt x   t  A    ln(1  sin t)dt   ln(1  sinx)dx  C Vậy I = B  0,5  2 Xét B =  sinx.ln(1  cos x)dx Đặt u = 1+ cosx B =  ln udu ThuVienDeThi.com 0,5 Dùng phần B = u ln u 12   du  2ln  1 0,5 Vậy: I = 2ln2 - Câu Nội dung điểm Theo bđt Cơ-si ta có: 1 2 a  b  c   a  b   c  1  a  b  c  1 2  a bc 3 a  1b  1c  1      27 Do P   a  b  c  a  b  c  33 27 đặt t  a  b  c   t  Ta có P   t t  3 Điểm 1,0 0,5 27 Xét hàm số f t    , t  1;   Vẽ bảng biến thiên hàm t t  3 số 1;  ta có max f t   f 4   Từ P  dấu đẳng thức xảy a  b  c  ThuVienDeThi.com 0,5 ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011- 2 012 Hướng dẫn chấm biểu điểm Mơn: Tốn (Hướng dẫn chấm biểu điểm gồm có trang) - Lưu ý: Nếu thí sinh trình bày lời... Điểm 1,0 0,5 27 Xét hàm số f t    , t  1;   Vẽ bảng biến thi? ?n hàm t t  3 số 1;  ta có max f t   f 4   Từ P  dấu đẳng thức xảy a  b  c  ThuVienDeThi.com 0,5 ... ThuVienDeThi.com 0,5 Câu 1.(3 điểm) u  2x  Đặt  u,v>0 u  log u  v  log v (1)  v  2x  4x  Xét hàm số f (t)  log t  t, t  D  (0; ) Có f '(t)    0, t  D 0,5 t.ln Suy f(t) hàm đồng