Đề thi học sinh giỏi Toán 9 (thời gian 150 phút) năm học 2015 – 201627651

Trường THCS ĐỖ ĐỘNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN: (Thời gian 150 phút) Năm học 2015 – 2016 Câu 1: (6 điểm)  x  3  x2 x  :    Cho A   x    x  x  x    x 1 a Rút gọn A b Tìm giá trị x A  x  c Tính giá trị A x    125 125  3 9 27 27 Cho n  N * chứng minh A  n  11n  2 n  n chia hết cho 14 Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình x  x  1000  8000 x  1000 Cho x  0, y  0, Z  x  y  3z  20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x yz   x 2y z Câu 3: (4 điểm) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn y  x  y   x  y  xy Cho a, b, c > chứng minh a b c a b c      ab bc ca bc ca ab Câu 4: (5 điểm) Cho BC dây cung (o) bán kính R ( ( BC  R) Một điểm A di động cung lớn BC cho tâm O nằm ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt H a, Chứng minh AEF đồng dạng với ABC ? b, Gọi A’ trung điểm BC Chứng minh AH = A’O? c, A1 trung điểm EF Chứng minh RAA1 = AA’ OA’? d, Tìm vị trí điểm A để chu vi DEF có giá trị lớn nhất? Câu 5: (1 điểm) Hai đội cờ thi đấu với đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đấu lần tổng số đấu thủ dội biết số đấu thủ đội số lẻ Hỏi đội có đấu thủ? ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Nội dung a, Rút gọn A: A b, Tìm x / A = x 1  x x 1 x Điểm điểm x 1  x 1  x 1  x  x   điểm c, Tính x  A 6đ 2 điểm A  n  11n  2 n  n  n  n  11n  n  11n  n  (9 n  n )  (11  4).B  (9  2).C  (7.B  7.C ) :  A A số chẵn  A14 điểm điểm 1.Giải phương trình x  x  1000  8000 x  1000 Đặt  8000 x   y   8000 x  y    8000 x  y  y  y  y  8000 x  y  y  2000 x Ta có x  x  2000 y y  y  2000 x  x  y x  y   2000   x  y x  y  1999  Từ hệ phương trình suy x  y  x  y   2000x  y  2001x  y   x  y   x y 0  x  y  1999   x y 0 x y Ta x  x  2000 x  xx  2001  (Loại) x0 x  2001 Vậy phương trình có nghiệm x  2001 ThuVienDeThi.com   x 2y z  1   x y 3z  3  1    z           x    y  2y   z 4  x  2 P  x yz Áp dụng BĐT cô si điểm 3x  3 x y 3 2y z 2 z x y 3z    x  y  z   4  P  13 Min P = 13 x=0 y=3 z=4 1.Tìm nghiệm nguyên y x  x  y  1  x  y  xy điểm  x  y  xy  y x  x  y  x  1 y  y  x   x 1   2y2  y  x   x; y   2;1; 0;1 x   1  y  x  y  1 2.Áp dụng BĐT cô si a  b  c   ab  c   2    abc ab  c   1điểm a ab  c   2a abc a 2a  bc abc b 2b  ca abc Tương tự c 2c  ab abc  a b c    21 bc ca ab ThuVienDeThi.com a ac  bc   0 a  b a  b  c a  b a  b  c  Có a ac   ab abc b ab Tương tự  bc abc c bc  ab abc a b c    2 ab bc ab a b c a b c Từ (1)(2)       ab bc ab bc ca ab Câu (5 đ) 1điểm A E C’ A1 F B’ 0.5điểm O H D B C K Cos A  AE AF AE AF , cos A    AB AC AB AC điểm A chung  AEF ABC (cgc) 2.Kẻ đường kính AOK  AC  KC BH  AC BH // KC BHCK hình bình hành BK  AB BK // CH CH  AB Nên BC HK trung điểm đường Có A’ trung điểm BC  A’ trung điểm HK Vậy điểm H, A’, K thẳng hàng ThuVienDeThi.com 0.5 điểm Xét  AHK có O trung điểm AK A’ trung điểm HK  OA’ đường trung bình => AH=ZOA’ 1điểm điểm A, E, H, F 1điểm => Bán kính đường trịn đường kính AH AH = OA’ = r  AEF  ABC r AA => = => R.AA1 = AA’ r R AA' R AA1 = AA’ OA’  ABC  AEF r EF => = => R EF = BC OA’ = SBOC R BC 1điểm Chứng minh tương tự  BDF  BAC OB' DF  => R DF = AC OB’ = 2SOAC R AC  CDE  CAB OC' DE  => R DE = OC’ AB = 2SBOA R AB SABC = SBOC + SAOB + SAOC SABC = REF + R OF + R DE => SABC = R ( EF + DF DE) SABC = R Chu vi  DEF AD BC = R Chu vi DEF Chu vi  DEF có giá trị lớn  AD lớn ( BC, R cố định)  AD lớn  A trung điểm cung lớn AB 1đ Gọi x, y số đấu thủ Có xy = ( x+ y)  ( x - 4) (y – ) = 16 = 1.16 = = 4.4  x–4=1 x=5 y – = 16 y = 20 x – = 16 x = 20 y–4=1 y=5 Người đề XÁC NHẬN CỦA BGH ThuVienDeThi.com 1điểm ... số đấu thủ Có xy = ( x+ y)  ( x - 4) (y – ) = 16 = 1.16 = = 4.4  x–4=1 x=5 y – = 16 y = 20 x – = 16 x = 20 y–4=1 y=5 Người đề XÁC NHẬN CỦA BGH ThuVienDeThi.com 1điểm ... y x  y   2000   x  y x  y  199 9  Từ hệ phương trình suy x  y  x  y   2000x  y  2001x  y   x  y   x y 0  x  y  199 9   x y 0 x y Ta x  x  2000 x  xx... điểm c, Tính x  A 6đ 2 điểm A  n  11n  2 n  n  n  n  11n  n  11n  n  (9 n  n )  (11  4).B  (9  2).C  (7.B  7.C ) :  A A số chẵn  A14 điểm điểm 1.Giải phương trình x  x