ĐềThi học sinh giỏi – năm học 2007 - 2008 môn toán 9 – thời gian 150 phút

1 Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích PDE khônh lớn hơn diện 4 tích ABC.. Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích PDE đạt giá trị lớn nhất..[r]

PGD KRÔNG BÚK TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG THI HS GIỎI – Năm học 07-08 Môn Toán – Thời gian 150 phút ĐỀ BÀI: Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức A  x  x   x  x  Bài (3đ) Cho biểu thức  2a  a  2a a  a  a  a  a B       a  a a   a 1 a/ Rút gọn B b/ Chứng minh B Bài 3: (3đ) Với a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a.b = c.d =1 Chứng minh bất đẳng thức:  a  b  c  d     a  b  c  d  Bài (3đ) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 C            2  2 2 3 2006 2007 2007 20082 là số hữu tỷ 2  x  y  z  Bài (3đ) Cho ba số x, y, z thỏa mãn  3  x  y  z  Hãy tính tổng x  y  z Bài (3đ) Cho ABC  AB AC  Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp ABC D a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp BIC b/ Gọi M, N là tiếp điểm đường tròn nội tiếp ABC với các cạnh AB, BC K là hình chiếu vuông góc C xuống đường thẳng AI Chứng minh M, N, K thẳng hàng Bài (3đ) Cho ABC Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB D và cắt AC E Chứng minh với điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích PDE khônh lớn diện tích ABC Đường thẳng DE vị trí nào thì diện tích PDE đạt giá trị lớn Lop6.net ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TOÁN – Năm học: 07 – 08 Bài (2đ) A  x 1 x 1   x 1 x 1 1 1,5 đ     x 1 1  x 1 1   x 1 1   x 1 1 ĐK: x  x 1 1 x 1 1 Với  x   A  x    x    Với x   A  x    x    x  Bài (3đ) a/ Rút gọn biểu thức M ngoặc (…) 2a  a   a  a  0,25đ 0,25đ     a  1  a 1  a   a a  1  a 1  a  a   a  1 a  1  2a a  a  a M  1  a 1  a  1  a 1  a  a  a 1 2a a  a  a   MTC 1  a 1   a 1  a 1  a  a   a  11  a  a    2a a  a  a  1  a 1  a  a  Ta có: 2đ   a a  a  2a  2a a   a  a  2a a  a  a 1  a 1  a 1 1  a 1   B  1 a a a a  a 1 1  a 1  a a     a 1 a  a 1  a 1 a  a  a 1 a   1 a  a 1 a  a 1 a  a (ĐKXĐ: a  0, a  1, a  )  1 b/ Vì   a    a   a 1 a 1 a  a 1  a     a  1 2  a 1  a  a  1đ Nên (1) Mặt khác: a  a   nên chia vế (1) cho a 1  và vì a  nên dấu “=” không xảy a  a 1 3 Vậy B  với a  0; a  1; a  Lop6.net   a  a  ta có: Bài (3đ) ta có:  a  b  c  d     a  b  c  d  1đ   a  b  c  d     a  b    c  d     a  b  c  d     c  d    1đ   c  d   a  b      c d  a b  0 1đ (luôn đúng với a , b, c, d  và ab=cd  ) Bài (3đ) Ta có: 1đ C  1   2    32  1   3 Mỗi số hạng C có dạng: M  1,5đ 0,5đ    42  1   2006    2007  1   2007   20082 1   Trong đó a  b  c  a b2 c2 2 abc  1 1 1 1 Mà M            (Vì a  b  c  ) abc a b c  a b c 1    là số hữu tỷ  C là số hữu tỷ a b c Bài (3đ) Theo đề ta có x  1; y  1; z  0,5đ Nên x3  x ; y  y ; z  z  x3  y  z  x  y  z 0,5đ 0,5đ  x3  x  x  x2  x  x     Đẳng thức xảy   y  y   y  y    y  y  z3  z z  z  z2 z     1đ Vậy x  y  z  x  y  z  0,5đ Bài (3đ) a/ AD  DC A  BD  DC (1) B A DA A (T/c góc ngoài tam giác) BI A B 1,5đ 0,5đ 0,25đ M I B  2 1   b/ 12 Mà A A A1  B A D  DBI A  DBI cân  BI  DB  DI A ;  DB  DI  DC  D là tâm đường tròn ngoại tiếp BIC A B A BI  MN  MNB   900 mà AA B A C A    900 2 AA B A   A  MNB   2 Chứng minh điểm I, N, K, C cùng nằm trên đường tròn Lop6.net C N K D 0,5đ 0,25đ A A A ) (cùng chắn KC  CNK  CIK A A A  A  B (T/c góc ngoài tam giác) Mà CIK 2 AA C A   A  CNK   2 A A Từ (3), và (4)  MNB  CNK  M, N, K thẳng hàng B, N, C thẳng hàng M, K hai nửa mặt phẳng bờ BC Bài (3đ) Kẻ AH  BC AH cắt DE K Đặt AH = h, AK = k 1đ S DE h  k P  PDE  S ABC BC h  0,75đ 1đ 0,25đ A k D k h  k  k2 Áp dụng bất đẳng thức ab  a  b K E  a, b   Dấu “=” xảy a  b  Tổng không đổi thì tích lớn a  b Ta có k + h – k = h không đổi k  0, h  k  h  tích k(h – k) lớn k  h  k  k  A B A B B h2 1  p  42   S PDE  S ABC h 4 h S PDE lớn k  tức DE là đường trung bình ABC Lop6.net H P C