Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm điều kiện để A xác định.[r]
(1)UBND huyện A Lưới KỲ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THCS NĂM HỌC 2008 - 2009
Phịng GD & ĐT A Lưới Mơn: TỐN - Lớp 9
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC:
Câu 1: ( điểm ) Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa:
√−7x2+6x+1
x2 Câu 2: ( điểm ) Cho biểu thức:
A = [(
√x+
√y )
√x+√y+ x+
1
y ] : √
x3+y√x+x√y+√y3
√x3y+√xy3
a Tìm điều kiện để A xác định b Rút gọn A
c Cho xy = Xác định x, y để A có giá trị nhỏ
Câu 3: ( điểm ) Giải phương trình:
√x+3+4√x −1 + √x+8 - 6√x −1 = Câu 4: ( điểm ) Giải toán cổ:
Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba bó Tính số trâu loại
Câu 5: ( điểm ) Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có MD = MC (M € DC); MBC = CAB AB = BD Hãy tính góc hình thang
Câu 6: ( điểm ) Chứng minh x = sin α (0 < α < 900) thì: x2
√1− x2=
cosα −cosα
………Hết………
Cán coi thi khơng giải thích thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM
(2)Câu 1
Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: - 7x2 + 6x + (1) x (2)
Để giải (1) ta có: - 7x2 + 6x + = -(x - 1)(7x + 1)
Ta có bảng xét dấu:
x - 71 1
x - - - +
7x + - + +
(x - 1)(7x + 1) + - +
- 7x2 +6x + +
-Như - 7x2 +6x + ⇒ - 7≤ x ≤1 , kết hợp với (2) ta có: - 71≤ x < < x 1 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 a x > 0; y > b * ( √x+ √y ) √x+√y = √xy= 2√xy xy * (
√x+ √y ) √x+√y + x+ y= 2√xy xy + x+ y= x+2√xy+y xy = (√x+√y)2 xy * √x
3
+y√x+x√y+√y3
√x3y+√xy3
=x√x+y√x+x√y+y√y x√xy+y√xy
= √x(x+y)+√y(x+y)
√xy(x+y) =
(x+y)(√x+√y)
√xy(x+y) =
√x+√y
√xy
Vậy A = (√x+√y)
xy :
√x+√y
√xy =
(√x+√y)2
xy
√xy
√x+√y=
√x+√y
√xy
c Vì xy = 16 ⇒√xy=4⇒√x√y=4
Hai số dương √x , √y có tích √x√y = khơng đổi nên tổng
√x+√y
Có giá trị nhỏ √x=√y=2 ⇒A=2+2 =1
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3
Ta viết x + + √x −1=¿ x - + √x −1+4
Với nhận xét ( √x −1 )2 = x - 1
Ta có: x - + √x −1+4 = ( √x −1 )2 + 2.2
√x −1 + 22
⇒ x + + √x −1 = ( √x −1 + 2)2
Tương tự ta có: x + - √x −1 = ( √x −1 - 3)2
Phương trình trở thành:
√(√x −1+2)2+√(√x −1−3)2=5, x ≥1 ⇒√x −1+2+|√x −1−3|=5, x ≥1
- Với √x −1−3≥0⇒x −1≥9⇒x ≥10
Phương trình trở thành: √x −1+2+√x −1−3=5
0,25 0,25 0,5
(3)⇒√x −1=3⇒x=10 (1)
- Với √x −1−3 < ⇒x −1 < ⇒ x < 10 Phương trình trở thàmh: √x −1+2−√x −1+3=5
⇒ Đẳng thức nghiệm với x (2)
Từ (1) (2) điều kiện x ta có nghiệm cuủa phương trình cho x 10
0,25 0,25 0,25
Câu 4
Gọi x, y, z theo thứ tự số trâu đứng, số trâu nằm, số trâu già với điều kiện x ; y ; z ≤100 x, y,z Z, ta có hệ:
{ ⇔ {
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế với vế, ta phương trình 14x + 8y = 200 ⇔ 7x + 4y = 100 (3)
Đặt x = 4t ta tính y = 25 - 7t; t Z
Đem giá trị x, y theo t vào phương trình (2) ta tính z = 3t + 75
Rõ ràng cho t giá trị nguyên x, y z nhận giá trị nguyên thỏa mãn hệ cho
Vậy nghiệm nguyên hệ cho là: { t Z
Ta xét điều kiện: { ⇔ {
Kết hợp điều kiện ta có: 0≤ t ≤ 257 ⇒ t = 0; 1; 2; Từ ta có kết quả:
t
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5.x + 3y + 3z=100 x + y +z = 100
15x + 9y + z = 300 (1) x + y + z = 100 (2)
x = 4t
y = 25 - 7t; z = 3t +75
−75 ≤ t ≤
(4)x 12 y 25 18 11 z 75 78 81 84 Vậy ta có đáp số:
(I) (II) (III) (IV)
Trâu đứng 12
Trâu nằm 25 18 11
Trâu già 75 78 81 84
0,25
Câu 5 Gọi K trung điểm AD , AB = BD nên BK AD K Ta lại có: DAB❑ = CBA❑ ( ABCD hình thang cân) mà CAB❑ = CBM❑ ⇒ MBA ❑ = DAC❑ ;
mà KM // AC nên DKM❑ = DAC❑ (đồng vị)
⇒ DKM❑ = MBA❑
⇒ ABMK nội tiếp
⇒ AKB❑ = AMB❑ = 900 ⇒ MBA❑ = 450 (1)
ABCD hình thang cân có MC = MD ⇒ MA = MB ABM
vuông cân M Kẻ MI AB ⇒ MI = 12 AB = 12 AC, lại kẻ CH AB
⇒ CH = MI = 12 AC
ACH vuông H có CH = 12 AC nên nửa tam giác cạnh AC
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
Loại
D M C
K
A B
(5)⇒ CAB❑ = CBM❑ = 300 (2)
Từ (1) (2) ⇒ CBA❑ = DAB❑ = 750
Vậy ADC❑ = BCD❑ = 1050 0,25
0,25 0,25
Câu 6
Ta có x
√1− x2= sin2α
√1−sin2α= sin2α √cos2α = sin2α
|cosα|=
1−cos2α
cosα ( < α < 900 nên cos α > 0)
= cos1α −cosα (đpcm)