Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán Đề số 5027182

TR S  GD& T Ngh  An  NG THPT QU NH L U 3  K  THI TH  THPT QU C GIA N M 2015 –  Mơn Tốn. Th i gian 180 phút  Ngày thi: 21/3/2015  Câu I.(2 đi m) Cho hàm s   y = x − 3x 2  − 1  ( C ).  1.  Kh o sát s  bi n thiên và v  đ  th  ( C ).  2.  Tìm m đ  đ ng th ng d: y = mx – 1 c t đ  th  (C ) t i ba đi m phân bi t.  Câu II.(1,5 đi m) Gi i các ph ng trình sau:  1.  sin x − cos x = 4sin x − 1 .  2  ( log 2  x )  − 3log 2  x − = 0 .  Câu III.(1 đi m) Tính di n tích hình ph ng đ y = ln x; y = 0; x = e   c gi i h n b i các đ ng :  Câu IV.(1 đi m) Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB đ u c nh a, tam giác ABC cân  t i C. Hình chi u c a S trên m t ph ng (ABC) là trung đi m  c a c nh AB; góc h p b i  c nh SC và m t đáy là 30 0 .  1.  Tính th  tích kh i chóp S.ABC theo a.  2.  Tính kho ng cách c a hai đ ng th ng SA và BC.  Câu V. (1 đi m) Trong khơng gian v i h  t a đ  Oxyz, cho m t ph ng (P): x+ y+z+1=0.  1.  Vi t ph ng trình m t c u có tâm I(1;1;0) và ti p xúc v i mp(P).  2.  Vi t ph ng trình m t ph ng ch a tr c Ox và vng góc v i mp(P).  Câu VI.(1 đi m) Trong m t ph ng Oxy, cho hình ch  nh t ABCD có AB=2BC. G i H là  hình chi u c a A lên đ ng th ng BD; E,F l n l t là trung đi m đo n CD và BH. Bi t  A(1;1), ph ng trình đ ng th ng EF là 3x – y – 10 = 0 và đi m E có tung đ  âm.  Tìm t a đ  các đ nh B, C, D.  Câu VII. ( 1,5 đi m )  2 x + y + = 1 − y  1.  Gi i h  ph ng trình   2   9 + x + xy + y = 0  2.  M t h p đ ng 10 viên bi đ , 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. L y ng u nhiên 4 viên  bi. Tính xác su t đ  các viên bi l y đ c đ  c  3 màu.  Câu VIII.( 1 đi m ) Cho các s  th c d Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c  P = ng a, b, c th a mãn  ab ≥ 1 ; c ( a + b + c ) ≥ 3 .  b + 2c a + 2 c  + + 6ln( a + b + 2c ) .  1+ a 1 + b ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­/ H t /­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  H  và tên thí sinh SBD:   C m n th y Nguy n Thành Hi n https://www.facebook.com/HIEN.0905112810  ã chia s  đên www.laisac.page.tl ThuVienDeThi.com T 1  Câu  ý  ÁP ÁN  N i dung  1/ T p xác đ nh:  ℝ  2/ S  bi n thiên  +) Chi u bi n thiên: y’=3x 2  – 6x = 3x(x – 2); y’ = 0 ⇔ x = 0 ho c x = 2  y’>0 ⇔ x2; y’0 ( log x ) − 3log 2  0.25  x − = 0  2  2  0.25  x − = ⇔ ( + log x )  − 6log 2  x − = 0  1   log 2  x = −1   x = ⇔ log x − 2log 2  x − = 0 ⇔  ⇔ 2   log 2  x = 3   x = 8  0.25  2  1  2  i chi u đi u ki n ta có các nghi m  x =  ; x = 8 .  III.  1 đ  Xét ph ng trình  ln x = ⇔ x = 1  Di n tích hình ph ng là  e e  e  1  S = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ x.  dx  1  1  x  e  = e − ∫ dx = e − x 1  IV  1 đ  0.25  0.25  0.5  e  = 1  1  0.25  G i H là trung đi m c nh AB ta có  SH là đ ng cao c a hình chóp  S.ABC và CH là đ ng cao tam giác  ABC. T  gi  thi t ta đ c  ·  = 30 0 . Tam giác SHC vuông t i  SCH H nên  1.  3 a  SH = tan 300  ⇒ CH = SH  3 =  V  0.5 đ  2  CH ây, th  tích kh i chóp S.ABC là:  1 a 3  3  V = SH AB. CH =  (đvtt)  8  S  D  0.25  K G  A  C  H  0.25  B  D ng hình bình hành ABCD, khi đó d ( BC , SA ) = d ( BC ,( SAD ) ) = d ( B , ( SAD ) ) = 2d ( H , ( SAD ) )  G i G, K l n l t là hình chi u c a H trên các đ ng th ng AD và SG ta có:  AD ⊥ HG  2.   ⇒ AD ⊥ ( SHG ) ⇒ HK ⊥ AD  0.5 đ  AD ⊥ SH   mà  HK ⊥ SG nên  HK ⊥ ( SAD ) hay d ( H , ( SAD ) ) = HK Tam giác SHG vuông t i H nên  ThuVienDeThi.com 0.25  V 1 đ  1 1 1 52 3 a  = + = + + = 2  ⇒ HK  =  2 2 2 HK HG HS HB HC HS 9 a 13  3 a  V y, d ( BC , SA ) =  13  Vì m t c u (S) có tâm I(1;1;0) và ti p xúc v i mp(P) nên bán kính c a m t c u  + + + 1  1  là  r = d ( I , ( P )) = =  3  3  0.5 đ  2  V y, ph ng trình m t c u (S) là: ( x − 1) + ( y − 1)  + z 2  = 3  r  G i  mp (α ) là m t ph ng c n tìm. Tr c Ox ch a đi m O và véct   i = (1;0;0) ,  r  mp(P) có vtpt  n = (1;1;1) .  mp (α )  ch a tr c Ox và vng góc v i m t ph ng (P)  2  r r r  0.5 đ  nên nó qua đi m O và nh n u =  n, i  = ( 0;1; −1 ) là véct     V y, ph ng trình  mp (α ) : y – z  = 0  G i E,F,G l n l t là trung đi m các  A  đo n th ng CD, BH AB. Ta ch ng  minh  AF ⊥ EF   Ta th y các t  giác ADEG và ADFG  n i ti p nên t  giác ADEF c ng n i  ti p, do đó  AF ⊥ EF   H ng th ng AF có pt: x+3y­4=0.  D  T a đ  đi m F là nghi m c a h   VI  1 đ  17   x  = 3 x − y  = 10    17  5  ⇔ → F  ;   → AF  =   5  x + y  =  y = 1   5  2  DAFE ∼ DDCB → EF = AF  = ;  5  0.25  0.25  0.25  0.25  0.25  G  B  F  0.25  E  C  32  5  2  51  8   17   E ( t ;3t − 10 ) → EF = ⇔  t −  +  3 t −  = 5  5 5   19  19 7  ⇔ 5t 2  − 34t + 57 = ⇔ t = ∨ t =  hay E ( 3; −1) ∨ E  ;    5  Theo gi  thi t ta đ c E ( 3; − 1 ) , pt AE: x+y­2=0. G i D(x;y), tam giác ADE  vuông cân t i D nên 2 2   AD = DE  ( x − 1) + ( y − 1) = ( x − 3) + ( y + 1 ) ⇔   AD ⊥ DE  ( x − 1)( x − 3) = ( y − 1)( y + 1 ) x =  x = 3   y = x − 2  ⇔ ⇔ ∨ hay D(1;­1) ∨ D(3;1)  ( x − 1)( x − 3) = 0   y = −1  y = 1    Vì D và F n m v  hai phía so v i đ ng th ng  AE nên D(1;­1).  Khi đó, C(5;­1); B(1;5). V y B(1;5); C(5;­1) và D(1;­1).  2  ThuVienDeThi.com 0.25  0.25  0.25  2 x + y + = − y           (1)  Gi i h  pt:  2   9 + x + xy + y = 0  (2)   x + y + ≥ 0  k:    x ≥ −1  +) N u  y ≥ 0 , đ  h  có nghi m thì 1 ≥ y ≥ 0 .  VT (1) = x + y + ≥ 5   ⇒ VT (1) > VP (1)  h  vô nghi m.  VP (1) = − y ≤ 1    +) N u y0 0.25  2     3   2  + + + = ⇔ + x xy y     = ( − y ) + ( − y )  (3)  1   x  x   0.75đ  + 2 t 2  Xét hàm s   f (t ) = t + t 2 , t > 0; f '(t ) = > 0∀t  > 0  9 + t 2  9    (3) ⇔ f  = − y ⇔ x = 2   = f (− y ) ⇔ y  x  x   VII  9  Th  vào pt(1) ta có ph ng trình  2  + y + = 1 − y  (4). Hàm s   y 2  9  + y + 6  đ ng bi n trên ( −∞ ;0 ) ; hàm s  h(y)=1­y ngh ch bi n trên y 2  ( −∞ ;0 )  và ph ng trình có ngi m y=­3 nên pt(4) có nghi m duy nh t y=­3.  V y, h  có nghi m duy nh t (1;­3).  T ng s  viên bi trong h p là 24. G i W  là không gian m u.  4  4    cách l y hay n( W )= C 24  L y ng u nhiên 4 viên trong h p ta có  C 24  G i A là bi n c  l y đ c các viên bi có đ  c  3 màu. Ta có các tr ng h p sau:  +) 2 bi đ , 1 bi vàng và 1 bi xanh: có  C102 C81C6 1  = 2160  cách  0.25  g ( y) = 2  +) 1 bi đ , 2 bi vàng và 1 bi xanh: có  C101 C82C6 1  = 1680  cách  0.75đ  +) 1 bi đ , 1 bi vàng và 2 bi xanh: có  C101 C81C6 2  = 1200  cách  Do đó, n(A)=5040  n( A ) 5040  V y, xác su t bi n c  A là  P ( A ) = = ≈ 47, 4%  n(W ) 10626  ThuVienDeThi.com 0.25  0.25  0.25  0.25 a + b + 2c + a + b + 2c + 1  + + 6ln(a + b + 2c )  1+ a 1 + b  1    = ( a + b + 2c + 1)  +  + 6ln(a + b + 2c )   + a 1 + b   Ta ch ng minh đ c các B T quen thu c sau:  1 2  (1)  +)  + ≥ + a 1 + b  1 +  ab ab + 1  (2)  +) ab ≤  2  Th t v y, 1 2  +) + ≥ ⇔ ( + a + b ) + ab ≥ (1 + a )(1 + b )  + a 1 + b  1 + ab P+2= ( ⇔ ( a− b )( 2  ) )  ab − ≥ 0  ln đúng vì  ab ≥ 1 . D u “=” khi a=b ho c ab=1 2  ab + 1  ⇔ ab − ≥ 0 . D u “=” khi ab=1.  2  2 4  VIII  Do đó,  + ≥ ≥ = + a + b 1 + ab 1 + ab + 1  3 + ab  1 đ 2  4 16  ≥ = ≥ 2  ab + bc + ca + c ( a + c )( b + c ) ( a + b + 2 c ) 2  +) ab ≤ 0.25  ( )  0.5  t  t = a + b + 2c, t > 0  ta có: 16 ( t + 1 ) + 6ln t , t  > 0;  P + ≥ f (t ) = t 2  16 ( t + ) 6t 2  − 16t − 32  ( t − )( 6t + 8 )  = =  f '(t ) = − t t3 t3 t 3  BBT  t  0  +∞  f’(t)  ­  0  +  f(t)  5+6ln4  V y, GTNN c a P là 3+6ln4 khi a=b=c=1.  Chú ý : H c sinh làm cách khác đúng v n cho đi m t i đa !!!  C m n th y Nguy n Thành Hi n https://www.facebook.com/HIEN.0905112810  ã chia s  đên www.laisac.page.tl ThuVienDeThi.com 0.25  ...Câu  ý  ÁP ÁN  N i dung  1/ T p xác đ nh:  ℝ  2/ S  bi n? ?thi? ?n  +) Chi u bi n? ?thi? ?n: y’=3x 2  – 6x = 3x(x – 2); y’ = 0 ⇔ x = 0 ho c x = 2  y’>0 ⇔ x2; y’