Công thức Toán học THPT26137

Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 CĂN BẬC HAI A  A A B  A B (B 0) A B  A B 10)  A  B AB  A B (A0, B0) A B (B>0) B A  B B A B (A0, B0) A B (A 0, B>0) A B   A B (A0: A   x  A A A = vaø B  : vô nghiệm  A = B < : vô số nghiệm (x  R)   NHỚ : ax  by  c 1/ Daïng :  / / / a x  b y  c  ab /  a / b ; Dx  c b   x  D  : hệ có nghiệm  y   Dx D Dy 2/ Cách giải : D   a b HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI AÅN SOÁ / ab / / cb /  cb /  c / b ; D y  D ThuVienDeThi.com a c / ac /  ac /  a / c Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970  D = vaø Dx  Hệ vô nghiệm D = Dy   D = Dx = Dy = : Heä vô số nghiệm tùy thuộc a, b, c, a/, b/, c/  >0 NHỚ : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN ax + bx + c = ( a  0)  = b – 4ac b  b  , x2  2a 2a b =0 Nghiệm kép x1  x   2a   b /  /  b /  / , x2  x1  a a /  =0 b/ Nghiệm kép x1  x   a / < Vô nghiệm c c Chú ý:  a + b + c = : Nghieäm x1 = 1, x2 =  a – b + c = : Nghieäm x1 = –1, x2 =  a a x1  Cho tam th c f(x) = ax2 + bx + c (a  0) có   b2  4ac f(x) = có hai nghi m    ;f(x) = có nghi m kép    ; f(x) = vô nghi m    a  a  f(x) = có hai nghi m trái d u   f(x) = có hai nghi m d u   P  P  a     f(x) = có hai nghi m âm   S   P  a     f(x) = có hai nghi m d ng   S   P  a  a  f(x)  x   f(x) > x       a  a  f(x) < x   f(x)  x       a  f(x) > vô nghi m  f(x)  0x     a  f(x) < vô nghi m  f(x)  0x     a  f(x)  vô nghi m  f(x)  0x     a  f(x)  vô nghi m  f(x)  0x     ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 NHỚ : DẤU NHỊ THỨC f(x) = ax + b ( a  0) b x  + – a f(x) Trái dấu a dấu a NHỚ : DẤU TAM THỨC f(x) = ax + bx + c ( a  0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG) Thì f(x) > 0, x Neáu    a     a     a  f(x) < 0, x    a  >0 f(x) > 0, x   b 2a f(x) < 0, x   b 2a x2 x – x1 f(x) dấu a trái dấu a + dấu a Hoặc : 0 f(x) = ax  bx  c (a  0) a.f(x) > 0, x  R  b a.f(x) > 0, x  R \    2a  a.f(x) > 0, x  (–∞ ; x1)  (x2; +∞ ) a.f(x) < 0, x  (x1; x2) NHỚ : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SOÁ Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a  0) ,  hai số thực(    )     1/ x1 <  < x2  af(x) < 2/ x2 > x1 >   af ( )  3/ x1 < x2 <   S    2 af ( )  af ( )  5/ x1<  < x2   P  3/ x1 < x2 <   P  S  S    NHỚ : 1/ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN B  2/ AB 2K A  B  g( x )  f ( x )  g( x )    f ( x )   g( x ) 2K NHỚ : 1/ 2K 2K A  B A  2K B    A  0(hayB  0)  f ( x )  (hoaëc g( x )  0) f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x ) BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN A   A  B  B  2/  2K A  B 2K  B   A  A  B   3/ B    A  B K PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI  A  B  A  B B  1/ A  B   Chú ý: 2/ A  B    A   B A  B    B  NHỚ 10 :  B  A  B 1/ A  B   B  A  B  A  B K 1   g( x )   f ( x )   f ( x )  g( x )    g( x )     f ( x )   g( x )2    f ( x)  f ( x )  g( x )   g( x )   f ( x )   g( x )2  NHỚ : K 1  f ( x)  g ( x)  x  f ( x )  g ( x)    f (  x)  g ( x)   x  BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI   B   A  B 2/ A  B     B    A   B    B   A neáu A  A  ; A  A , A  A neáu A  ThuVienDeThi.com 3/ A  B  A  B Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC 1/ ĐỊNH NGHĨA : Dạng : A > B, A  B , A < B, A  B 2/ TÍNH CHẤT : ac  bc, c  a  b a) a  b  b  a ; b)   a  c ; c) a  b  a  c  b  c ;d) a  b   b  c ac  bc, c  1 a  b a  b a  b  e)   a  c  b  d ;f)   ac  bd ;g) a  b   1  c  d c  d   a b ; ab ; ab 3/ BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3, , an a  a  a   a n  n a a a a n n n  a  a  a   a n  Hay a1a a .a n    n   Dấu đẳng thức xảy  a1 = a2 = a3 = = an Cô si cho s không âm: a, b  : a  b  ab D u “=” x y a  b Tính ch t: Cho s khơng âm a, b   N u a  b  h ng s a.b đ t giá tr l n nh t a  b N u a.b  h ng s (a  b) đ t giá tr nh nh t a  b 4/ BĐT Bunhia Côp ski : Cho a1, a2, a3, , an, b1, b2, b3, , bn số tực đó: 2 2 2 ( a1b1  a b2   a n bn )  ( a1  a   a n )(b1  b2   bn ) Dấu đẳng thức xảy  = k.bi , i = , , 3, , n 5/ BÑT BecnuLi : a  Cho : a > –1, n  N.Ta coù : (1 + a)n  + na Đẳng thức xảy   n  6/ BĐT tam giác : A  B  A  B Đẳng thức xảy  AB  NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC A HỆ THỨC CƠ BẢN ( công thức ) sinx cosx 2/ tanx  3/ cotx  1/ sin x  cos x  cosx sinx 1 4/ tanx.cotx  5/  tan x  6/  cot x  cos x sin x Điều kiện tồn :  tanx laø(x  / + k , k  Z)  cotx laø (x  k , k  Z)  sinx laø –  Sinx   cosx laø –  Cosx  Chú ý :  a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab  a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b) B CÔNG THỨC CỘNG ( công thức ): ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 7/ cos(a  b)  cos a.cosb  sin a.sinb 8/ cos (a  b)  cos a.cosb  sin a.sinb 9/ sin(a  b)  sin a.cosb  cos a.sinb 10/ sin(a  b)  sin a.cosb  cosa.sinb tana  tanb tana  tanb 12/ tan ( a  b)  11/ tan ( a  b)   tan a.tanb  tana.tanb cot a.cotb  cot acotb  13/ cot ( a  b)  14/ cot ( a  b)  cota  cotb cota  cotb C CÔNG THỨC NHÂN: I NHÂN ĐÔI : ( công thức) 15/ sin 2a  sin a.cosa 16/ cos 2a  2cos a    sin a  cos a  sin 2a 2tana 17/ tan 2a   tan a II NHAÂN BA : ( công thức) 18/ Cos3a  4Cos a  3Cosa 19/ Sin3a  3Sina  Sin a 20/ Tan3a  3Tana  Tan a  3Tan a III HẠ BẬC : ( công thức)  Cos 2a 21/ Sin a    Cos 2a  Sin a  Cos 2a 22/ Cos a    Cos 2a  2Cos a 3Sina  Sin3a 3Cosa  Cos3a 23/ Sin a  24/ Cos a  4 x IV GÓC CHIA ĐÔI : ( công thức) với t  Tan 2 2t 1 t 2t 25/ Sinx  , 27/ Tanx  26/ Cosx  2 1 t 1 t 1 t2 D TỔNG THÀNH TÍCH : ( công thức) ab a b ab ab 28/ Cosa  Cosb  2Cos Cos 29/ Cosa  Cosb  2 Sin Sin 2 2 ab ab ab ab 30/ Sina  Sinb  Sin Cos 31/ Sina  Sinb  2Cos Sin 2 2 Sin( a  b) Sin( a  b ) 32/ Tana  Tanb  33/ Tana Tanb  CosaCosb CosaCosb Sin(a  b)  Sin(a  b ) 34/ Cota  Cotb  35/ Cota  Cotb  SinaSinb SinaSinb E TÍCH THÀNH TỔNG : ( công thức) 1 36/ CosaCosb  Cosa  b   Cos (a  b) 37/ SinaSinb  Cos (a  b)  Cos ( a  b)  2 38/ SinaCosb  Sin( a  b )  Sin( a  b)  ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 CHÚ Ý: x x x x   cos ) ;1  sin x   sin  cos  2 2  x x  cos x  2sin x;1  cos x  cos x;1  cos x  cos ;1  cos x  2sin 2         sin x  cos x  sin  x    cos  x   ;sin x  cos x  sin  x   ; cos x  sin x  cos  x   4 4 4 4             sin x  cos x  cos  x    2sin  x   ; sin x  cos x  2sin  x    cos  x   6 3 6 3     sin x  cos x   sin 2 x sin x  cos x   sin 2 x  sin x   sin x  cos x  ;1  sin x  (sin x  cos x) ;1  sin x  (sin F CUNG LIÊN KẾT : Góc đ i Góc bù cos( )  cos sin(   )  sin  sin( )   sin  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot  Góc h n  Góc ph   sin      cos  2    cos      sin  2    tan      cot  2    cot      tan  2  Góc h n  sin(   )   sin    sin      cos 2  cos(   )   cos    cos       sin  2  tan(   )  tan    tan       cot  2  cot(   )  cot    cot       tan  2  ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 G Giá tr l ng giác c a góc có liên quan đ c bi t:     2 3  3 2 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin 2 3 2 –1 cos 2 2 –1 tan 3 3 3 cot NHỚ 13 :  2   –1 3 –1  0 PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A CƠ BẢN : u  v  k 2 kZ  u    v  k 2 Cosu = Cosv  u   v  k 2 Tanu = Tanv  u  v  k Cotu = Cotv  u  v  k Sinu =  u  k Sinu =  u   /  k 2 Sinu = –1  u   /  k 2 Cosu =  u   /  k Cosu =  u  k 2 Cosu = –  u    k 2 B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin Cos Dạng: aSinx + bCosx = c (1) ( a2 + b2  ) Phương pháp : a b ;  Cos  Sin Caùch 1: Chia hai vế cho a  b Đặt : a2  b2 a2  b2 Sinu = Sinv (1)  Sin( x   )  c a b 2 (*) (*) Có nghiệm : (*) Vô nghiệm ThuVienDeThi.com c 1  a  b2  c2 a b  a2  b2  c2 2 Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 Cách 2:  Kiểm chứng x = (2k + 1) có phải nghiệm phương trình hay không? 2t 1 t2 x Xét x  (2k + 1) Đặt : t  Tan Thế Sinx  ; Cosx  1 t2 1 t Vào phương trình (1)  t ?  x ? C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1/ Đối với hàm số lượng giác: Giả sử a aSin x  bSinx  c  ( đặt t  Sinx , t  )  aCos x  bCosx  c  (đặt t  Cosx , t  )   k )  aCot x  bCotx  c  ( đặt t  Cotx , x  k )  aTan x  bTanx  c  ( đặt t  Tanx , x  2/ Phương trình đẳng cấp Sinx, Cosx  aSin x  bSinxCosx  cCos x  (1) Daïng:  aSin x  bSin xCosx  cSinxCos x  dCos x  (2) Phương pháp : Cách 1:  Kiểm x = / + k có phải nghiệm phương trình ?  Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình cho dạng phương trình bậc hai, bậc ba Tanx Cách 2: Sin 2x vào Dạng (1) sử dụng công thức hạ bậc SinxCosx  3/ Phương trình đối xứng Sinx, Cosx: Daïng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = (*)  Phương pháp: Đặt : t  Sinx  Cosx  Sin( x  ), t  t 1 (*)  at  b  c   t ( có) x Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = (*) giải tương tự :  Ñaët : t  Sinx  Cosx  Sin( x  ), t  1 t2  t ? ( có)  x ? (*)  at  b c0 D PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : 1/ Tổng bình phương :  A2 + B2 + + Z2 =  A = B = = Z =  A  0, B  0, , Z  Ta coù : A + B + + Z =  A = B = .= Z = 2/ Đối lập : A  K A  K Giả sử giải phương trình A = B(*) Nếu ta chứng minh  (*)   B  K B  K A  l  3/  B  k A  B  l  k  A  l  B  k ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 A   A  1 4/ A  1, B  hay  AB    B   B  1 NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIAC 1.TAM GIÁC THƯỜNG ( định lý)  a  b  c  2bcCosA Hàm số Cosin b2  c2  a2  CosA  2bc a b c    2R  SinA SinB SinC Haøm soá Sin a  a  RSinA, SinA  2R A B Tan  ab  Hàm số Tan A B ab Tan  a  bCosC  cCosB Các chiếu 2(b  c )  a A 2bc.Cos bc 1 aha  bhb  chc 2 1 bcSinA  acSinB  abSinC 2 pr abc 4R p ( p  a )( p  b )( p  c) Trung tuyeán  ma  Phân giác  la   S  S  S  S  S Diện tích Chú yù: A B C S  ( p  a )Tan  ( p  b)Tan  ( p  c)Tan p 2 abc a b c  R    S SinA SinB SinC  a, b, c : cạnh tam giác  A, B, C: góc tam giác  ha: Đường cao tương ứng với cạnh a  ma: Đường trung tuyến vẽ từ A  R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác abc Nữa chu vi tam giác  p 2.HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: AH  BH CH A  AH BC  AB AC 1 B   C 2 H AH AB AC  r 10 ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970  AB  BH BC  AC  CH CB  BC  AB  AC NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ CHO TAM GIAÙC ABC : A B C 1/ SinA  SinB  SinC  4Cos Cos Cos 2 A B C 2/ CosA  CosB  CosC   Sin Sin Sin 2 3/ TanA  TanB  TanC  TanA.TanB.TanC ( tam giác ABC không vuông) A B C A B C 4/ Cot  Cot  Cot  Cot Cot Cot 2 2 2 A B B C C A 5/ Tan Tan  Tan Tan  Tan Tan  2 2 2 2 6/ Sin A  Sin B  Sin C   CosA CosB CosC 7/ Cos A  Cos B  Cos C   2CosA.CosB.CosC A B C Sin  Cos ; 8/ Sin( A  B)  SinC ; Cos ( A  B)  CosC ; 2 A B C A B C Cos  Sin Tan  Cot 2 2 3 A B C 3 9/ SinA.SinB.SinC  10/ CosA.CosB.CosC  11/ Cos Cos Cos  8 2 A B C 12/ Sin Sin Sin  13/ Cos A  Cos B  Cos C  2 4 2 2 2 14/ Sin A  Sin B  Sin C  15/ Tan A  Tan B  Tan C  9 A B C A B C 16/  Sin  Sin  Sin  17/  Cos  Cos  Cos  2 2 2 A B C A B C 18/ Tan  Tan  Tan  19/ Cot  Cot  Cot  2 2 2 3 21/ Cos A  Cos B  Cos 2C   20/ Sin A  Sin2 B  Sin2C  2 1.a)ĐỊNH NGHĨA 1: NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC Hàm số y  f (x) gọi liên tục điểm x = a : 1/ f (x) xác định điểm x = a 2/ lim f ( x)  f (a) xa b)ĐỊNH NGHĨA 2: f (x) liên tục điểm x = a  lim f ( x )  lim f ( x)  f ( a ) x a x a ĐỊNH LÝù : Nếu f (x) liên tục [a, b] f (a ) f (b)  tồn điểm c (a, b) cho f (c)  NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ 11 ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 1/ ĐỊNH NGHĨA : Cho a > 0, a  ( cố định) Hàm số mũ hàm số xác định công thức : y = ax ( x  R) 2/ TÍNH CHẤT : a) Hàm số mũ liên tục R b) y = ax > moïi x  R c) a > : Hàm số đồng biến : a x1  a x2  x1  x2 d) < a < : Hàm số nghịch biến: a x1  a x2  x1  x 3/ ĐỒ THỊ : (a> 1) y y ( < a < 1) 1 4.CÔNG THỨC: 1) a a   a   ; 2) 6) n a n b  n a.b ; 7) n n a  a    a a na  8) b b 11) a  a n  n a   a n m  n a m ; n k a m k  a a ; 5)     b b a ,  n a m 9) n a n   ;10) n m a  n.m a  a , ; 3)( a )   a  ; 4)( ab)  a b m 12) a n  n a m (**)( n a  b  b n  a ) 5.PHƯƠNG TRÌNH MŨ:  a  : a f ( x )  a g ( x)  f ( x)  g ( x) 6.BAÁT PHƯƠNG TRÌNH MŨ: a 1 : a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)  a  : a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT 1/ Định nghóa : a V i s  a  1, b  log a b    a   b b) Hàm số logarit theo soá a ( a > 0, a  ) đối số x hàm số cho công thức: y = logax ( với x > 0, a > 0, a  1) 2/ TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ logarit : b 2) log a (b.c)  log a b  log a c 3) log a    log a b  log a c ; c  4) log a b    log a b 6) log a  b  log a b 5) log a b  log a b   log a c 1 6) log a   log a b;log a n b  log a b 7) log b c   log a b log b c  log a c ; b n log a b 1) log a  ; log a a  8) log a b  log b a 9) a loga b  b ; 10) a logb c  c logb a 12 ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 a  : log a b  log a c  b  c  11)  a  : log a b  log a c   b  c ex 1 1 ; x 0 x GI I H N: lim 4/ ĐỒ THỊ : (a> 1) y ln(1  x) 1 x0 x lim y ( < a < 1) 1 x x 4/ PHƯƠNG TRÌNH Logarit : log a f ( x)  log a g ( x )  f ( x)  g ( x) ( f(x) hoaëc g(x) > , < a  ) 5/ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Logarit :  log a f ( x)  log a g ( x) (*)  f ( x)  a 1  (*)    f ( x)  g ( x)  g ( x)  0 a 1  (*)   f ( x)  g ( x) NHỚ 19 : ĐẠO HÀM I/ ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM :  Cho hàm số y = f(x) , xác định treân ( a, b) , x0  ( a, b) Ta nói f(x) có đạo hàm x0 y giới hạn x  tồn x f ( x  x)  f ( x0 ) y f ' ( x0 )  lim  lim x  x x  x  y   Đạo hàm bên trái : f ' ( x0 )  lim ( tồn ) x x y  ( tồn )  Đạo hàm bên phải : f ' ( x0 )  lim x  x  Cho y = f(x) xaùc định (a, b).y = f(x) có đạo hàm x0  (a, b)  f ‘(x0+) = f ’(x0–) II/ QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM : Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) Là hàm số có đạo hàm, đó: 1)(u + u - w)' = u' + v' - w'; u u' v  v'u 4) ( )'  v v2 2) (uv)' = u'v + v'u; v' 5) ( )'   v v 3) (k.u)' = k.u' ( k  R ) III/ BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN : 13 ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 Đạo hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = (x)' = x-1(  R, x > 0) (u)' = u-1.u'(  R, u > 0) u' ( x )'  (x > 0) ( u )'  (u > 0) x u 1 u' ( )'   (x  0) ( )'   (u  0) x u x u (sinu)' = cosu.u' (sinx)' = cosx (cosu)' = -sinu.u' (cosx)' = -sinx  u'  (tanu)' = (tanx)' = (x   k , k  Z) (u   k , k  Z) 2 cos x 2 cos u u' (cotx)' = - (x  k, k  Z) (cotu)' = - (u  k, k  Z) sin x sin u Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x)) x x (e )' = e (eu)' = eu.u' (au)' = aulna.u' (ax)' = axlna u' (ln x )'  (ln u )'  x u u' (log a x )'  (log a u )'  x ln a u ln a MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ĐẶC BIỆT: ax  b ad  bc ax  bx  c adx  2aex  be  dc )' =   ( )' ( cx  d dx  e (cx  d ) (dx  e) ( ax  bx  c (ae  bd ) x  2(af  dc ) x  bf  ec  ) ' (dx  ex  f ) dx  ex  f NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG Nếu f(x) liên tục [a, b] có đạo hàm khoảng (a, b) tồn điểm x = c , c  (a, b): f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a) NHỚ 21 : 1/ CÔNG THỨC NewTon _ Leibnitz : b  f ( x)dx  F ( x) b a BAÛNG TÍCH PHÂN  F (b)  F ( a ) (với F(x) nguyên hàm f(x)  a , b  ) a 2/ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN : b b a a b  udv  [u.v]a   vdu với u, v liên tục có đạo hàm liên tục [a, b] 3/ ĐỔI CƠ SOÁ: b  a  f ( x)dx   f  (t ). ' (t )dt  với x = (t) hàm số liên tục có đạo hàm ’(t) liên tục [a, b] ,   t   a = (), b = (), f[(t)] hàm số liên tục [, ] 4/ TÍNH CHAÁT : 14 ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 a) b  b c b a a c a c) e) a f ( x) dx    f ( x) dx b) b b a a  f ( x)dx  a  Kf ( x)dx  K  f ( x)dx b b b a a a d)  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx b a ,K R b f) Neáu m  f(x)  M m(b  a )   f ( x)dx  M (b  a ) a 5.BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN u hàm s theo bi n x, t c u  u ( x) *Tr ng h p đ c bi t u  ax  b, a  *Nguyên hàm c a hàm s đ n gi n  dx  x  C  k.dx  k x  C , k h ng s  1  dx  x x C   1  x dx  ln x  C 1  dx    C x x  x dx  x  C  du  u  C  k.du  k u  C  1  du  u u C   1  u du  ln u  C 1  dx    C u u  u du  u  C *Nguyên hàm c a hàm s m : x x u u  e dx  e  C  e du  e  C e  x dx  e x  C x  a dx  ax  C,  a  ln a e u du  eu  C u  a du  au C ln a  1  dx  (ax  b) ( ) ax  b C  a  1 1  (ax  b) dx  a ln ax  b  C  e 1 du  ax  b  C a ax  b axb dx  eaxb  C a mx n dx  a ng giác: a mxn  C, m  m ln a *Nguyên hàm c a hàm s l  cos x.dx  sin x  C  cos u.du  sin u  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin x.dx   cos x  C  sin u.du   cos u  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C 1  cos u du  tan u  C  sin u du   cot u  C  sin (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C  cos x dx  tan x  C  sin x dx   cot x  C 1 1 CHÚ Ý: 15 ThuVienDeThi.com  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 1  tan x  ;1  cot x  cos x sin x *Tr M t s ví d tr ng h p đ c bi t u  ax  b  cos x.dx  sin x  C , (k  2) 1  sin kx.dx   k cos kx  C  sin x.dx   cos x  C kx dx  e kx  C e k  1  dx  (ax  b) ( ) ax  b C  a  1 1  (ax  b) dx  a ln ax  b  C 1  ax  b du  a ax  b  C ax b dx  eax b  C e a mxn mx ndu  a  C, m  a  m ln a  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C 1  cos (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C Ví d  cos kx.dx  k sin kx  C e ng h p đ c bi t x dx  e2 x  C (2 x  1)21 x  dx   C  (2 x  1)3  C (2 1)  1  3x  dx  ln 3x   C   1 3x   C du  x   C  3 3x  e2 x1dx  e2 x 1  C 2 x1 x1 dx  5 C  ln  cos(2 x  1)dx  sin(2 x  1)  C  sin(3x  1)dx   cos(3x  1)  C 1  cos2 (2 x  1) dx  tan(2 x  1)  C 1  sin (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C  sin (3x  1) dx   cot(3x  1)  C *Chú ý: Nh ng công th c có th ch ng minh b ng cách l y đ o hàm v trái ho c tính b ng ph pháp đ i bi n s đ t u  ax  b  du  ?.dx  dx  ?.du  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C, a  Ví d : Ch ng minh Gi i: t u  ax  b  du  (ax  b) ' dx  a.dx  dx  a Suy  cos(ax  b)dx   cos u .du  x du a 1  cos u.du  sin u  C  sin(ax  b)  C a a a 1 xa dx  ln a 2a x  a 16 ThuVienDeThi.com ng Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 1/ HOÁN VỊ : NHỚ 22 : HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP Pn  n! 2/ TỔ HP : Cnk  n! k !(n  k )!  C nK  C nn  K  C nn  C n0   C nK1  C nK11  C nK  C n0  C n1   C nn  n n! AnK  (0  K  n ) 3/ CHỈNH HP : (n  K )! NHỚ 23 : SỐ PHỨC KHÁI NI M S PH C:  T p h p s ph c: C  S ph c (d ng đ i s ) : z  a  bi (a, b  R , a ph n th c, b ph n o, i đ n v o, i2 = –1)  z s th c  ph n o c a z b ng (b = 0) z thu n o  ph n th c c a z b ng (a = 0) S v a s th c v a s o a  a ' a  bi  a’  b’i   (a, b, a ', b '  R) b  b ' BI U DI N HÌNH H C: S ph c z = a + bi (a, b  R) đ c bi u di n b i m M(a; b) hay b i  u  (a; b) mp(Oxy) (mp ph c)  Hai s ph c b ng nhau: C NG TR S PH C:   a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i   a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i  S đ i c a z = a + bi –z = –a – bi        u bi u di n z, u ' bi u di n z' u  u ' bi u di n z + z’ u  u ' bi u di n z – z’ NHÂN HAI S PH C :   a  bi  a ' b ' i     aa’– bb’   ab’  ba’ i  k (a  bi )  ka  kbi (k  R) S PH C LIÊN H P: c a s ph c z = a + bi z  a  bi z  z z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ';    ;  z2  z2  z s th c  z  z ; z s o  z   z  z  z; MÔ UN C A S  z  z.z  a  b2 PH C : z = a + bi  a  b  zz  OM 2  z  0, z  C , z 0z0  z.z '  z z '  CHIA HAI S PH C: z z  z' z'  z  z'  z  z'  z  z' 17 ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 z' z '.z z '.z z'  z1   z ' z1    z (z  0)   w  z '  wz 2 z z z z z z C N B C HAI C A S PH C:   z  x  yi Là c n b c hai c a s ph c w  a  bi  z2  w   x  y  a  xy  b  w = Có c n b c hai z =  w  Có hai c n b c hai đ i  Hai c n b c hai c a a >  a  Hai c n b c hai c a a <   a i PH NG TRÌNH B C HAI :Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C s ph c cho tr c, A  )   B  AC B   , (  c n b c hai c a ) 2A B    : (*) có nghi m kép: z1  z2   2A Chú ý: N u z0  C m t nghi m c a (*) z0 c ng m t nghi m c a (*)    : (*) có hai nghi m phân bi t z1,2  10 D NG L NG GIÁC C A S PH C:  z  r (cos   i sin ) (r > 0) d ng l ng giác c a z = a + bi (z  0)  r  a  b  a   cos   r  b sin    r   m t acgumen c a z,   (Ox, OM )  z   z  cos   i sin  (  R ) 11 NHÂN CHIA S PH C D I D NG L NG GIÁC: Cho z  r (cos   i sin ) , z '  r '(cos  ' i sin  ') :  z.z '  rr '. cos(   ')  i sin(   ')  12 CÔNG TH C Moa–vr :   r(cos   i sin )  r n (cos n  i sin n) , n z r   cos(   ')  i sin(   ') z' r ' ( n N*)   cos   i sin    cos n  i sin n 13 C n b c hai c a s ph c d i d ng l ng giác:  S ph c z  r (cos    i sin  ) (r > 0) có hai c n b c hai là: n    r  cos  i sin   2         vaø  r  cos  i sin   r  cos      i sin      2   2   2  M r ng: S ph c z  r (cos    i sin  ) (r > 0) có n c n b c n là: n    k 2   k 2 r  cos  i sin  n n   , k  0,1, , n   NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ : 18 ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 y M(x;y) M2 y   j M1 O   i O x   x    N u a =x i +y j c p s (x;y) to đ c a a Ký hi u a = (x ; y) ho c a (x ; y)   Trong m t ph ng t a đ Oxy, t a đ c a vect OM đ c g i t a đ c a m M Nh  v y, c p s (x ; y) t a đ c a M  OM =(x ; y)     M(x ; y) OM  xi  y j  OM =(x;y) a T a đ m: Cho A( xA, yA ) B( xB, yB ): x A  xB   x  3) Tọa độ trung điểm I AB :  y  y  A  yB   1) AB  ( x B  x A , y B  y A )  x  x  x y  yB  yC  2) AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A) 5) T a đ tr ng tâm G:  A B C ; A  3   x A  k x B   x   k 4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k  :   y  y A  k y B  1 k 5)Cho ABC v i đ ng phân giác AD phân giác AE (D, E  BC) ta có:  AB  DB   DC AC   AB  EB  EC AC b T a đ véct : Cho : a  (a1 , a )   a  b1 1) a  b   a  b2    b  (b1 , b2 ) :  2) a  b  (a1  b1 , a  b2 )    4) a b  a1b1  a b2 6) a  b  a1b1  a b2     a.b a1b1  a2b2   7) Cos  a , b        a b a1  a2 b12  b22 NH  3) k a  ( ka1 , ka2 ), ( k  R ) 5) a  a1  a 2   8) a  b  a1b2  a2b1 25: ĐƯỜNG THẲNG   x  x0  a1t Vectơ phương: a  (a1 , a ) 1/ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ:   y  y0  a2t VÉCT CH PH NG:Là véc t song song ho c n m đ ng th ng 2/ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT : Dạng 1:  Ax  By  C  0, ( A2  B  0) Pháp vectơ n  ( A, B) 19 ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970 D ng 2: A( x  x0 )  B ( y  y0 )  Khi bi t đ ng th ng qua m M ( x0 ; y0 ) VÉC T PHÁP TUY N:Là véc t có ph ng vng góc v i đ ng th ng CHÚ Ý:    Có VTPT: n  ( A; B )  VTCP: a  ( B, A) ( hay a  ( B, A) ),Và ngược lại A Hệ số góc: k   ( B  0) B 4/ Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc k : y  k ( x  x0 )  y0 5/ Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) B(xB, yB) : x  xA y  yA  (x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA) hay xB  xA yB  y A 6/ Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chaén): x  x0 y  y0  a b     M ( x0 , y ), a  (a , b)    x  x0 y  y x  x0 y  y   x  x0    y  y0  0 b a 7/ Phương trình tắc : * Quy ước : x y  1 a b 8/ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến (d):Ax + By + C = : d  M ,( d )  Ax0  By0  C A2  B 10/ Vị trí tương đối hai đường thẳng : d1: A1x + B1y + C1 = d2: A2x + B2y + C2 = A1 B1  C1 B1 A1  C1 ; Dx  ; D Dy  A2 B  C B2 A2  C D  D  d1 caét d2  D  ; d  d  D  D x  D y  ; d // d   hay   Dx  D y  Chuù yù :A2, B2, C2  A B A B C A B C d1 caét d2   ; d1 // d    ; d1  d    A2 B2 A2 B2 C A2 B2 C 11/ Góc hai đường thẳng d1 d2 : Xác định công thức : Cos  Cho ABC A1 A2  B1 B2 A  B12 A22  B22 tính góc A ABC, ta có th s d ng cơng th c:     AB AC cos A  cos  AB, AC     AB AC 12/ Phương trình đường phân giác góc tạo d1 d2 : 20 ThuVienDeThi.com ... cota  cotb C CÔNG THỨC NHÂN: I NHÂN ĐÔI : ( công thức) 15/ sin 2a  sin a.cosa 16/ cos 2a  2cos a    sin a  cos a  sin 2a 2tana 17/ tan 2a   tan a II NHÂN BA : ( công thức) 18/ Cos3a...   n  6/ BĐT tam giác : A  B  A  B Đẳng thức xảy  AB  NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC A HỆ THỨC CƠ BẢN ( công thức ) sinx cosx 2/ tanx  3/ cotx  1/ sin x  cos x  cosx sinx 1 4/ tanx.cotx... –  Cosx  Chú ý :  a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab  a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b) B CÔNG THỨC CỘNG ( công thức ): ThuVienDeThi.com Th y.Nguy n Quang S n T:0909.230.970