Toán 12 Ôn luyện hình học không gian24552

Bài Vi t Tốn H c Ọn Luy n Hình H c Không Gian Part B i D ng HSG Tốn THPT THPT Lê Qu ng Chí-Tx K Anh-T Hà T nh ThuVienDeThi.com Bài Tốn 1: Cho góc tam di n vuông Oxyz G i a , b, c l n l t kho ng cách t m t m I bên góc tam di n theo th t đ n ba m t ph ng  Oyz ,  Ozx  Oxy Qua I v m t ph ng  P  c t Ox, Oy, Oz l n l t t i A, B, C Ph i ch n m t ph ng  P  nh th đ th tích t di n OABC nh nh t ? ( ngh Olympic 30-4) Bài Gi i: Ta có: VIOAB VIOBC VIOCA   1 VOABC VOABC VOABC  Do đó: c a b   1 OC OA OB 1 abc abc  VOABC  OAOB OC  6 a b c 6 a b c  OA  OB  OC OA OB OC    OA  3a a b c      OB  3b D u “=” x y khi: OA OB OC OC  3c        abc Nh v y ta c n ch n m t ph ng  P  qua I cho OA  3a , OB  3b, OC  3c ỌN LUY N HÌNH H C KHỌNG GIAN ThuVienDeThi.com GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Bài Toán 2: Cho góc tam di n vng Oxyz G i S m c đ nh tia Oz A, B hai m l n l t di đ ng tia Ox, Oy cho OA OB  OS  a Xác đ nh theo a giá tr l n nh t c a th tích kh i t di n SOAB Nêu cách d ng tâm I c a m t c u ngo i ti p t di n SOAB tính theo a bán kính R c a m t c u y th tích kh i t di n SOAB đ t giá tr l n nh t Khi A, B di đ ng, ch ng minh r ng t ng góc ph ng t i đ nh S c a t di n SOAB b ng  ( ngh Olympic 30-4) Bài Gi i: 1 OS OS  OA OB OS3 a Ta có: VSOAB  OAOBOS  OAOB    6 24 24 a D u “=” x y OA  OB  a a V y MaxVSOAB  t đ c OA  OB  24 Cách d ng tâm I:  G i M trung m AB Qua M d ng đ ng th ng Mt vng góc v i m t ph ng  OAB  Trong m t ph ng  Oz, Mt  d ng đ ng th ng  qua trung m N c a SO song song v i OM  V y I giao c a c a đ ng th ng Mt v i đ cách d ng ta có IA  IB  IS  IO Bán kính R đ c tính b i: ng th ng  theo 2 a  OS  AB  OS  OA  OB R  OI  MN  ON  OM          4     2 ỌN LUY N 2 HÌNH H C KHỌNG GIAN ThuVienDeThi.com GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Ta đ t góc ph ng t i đ nh S nh sau: ASB   , OSA   , OSB       ,  ,   2  Khi ta có: SA2  SB2  AB2 SO  OA2  SO  OB2  OA2  OB2 cos    2SASB 2SASB SO  OA OB OA SO SO OB SO      sin  cos   cos  sin   cos      SASB SASB SA SB SA SB        dpcm Bài Tốn 3: Cho hình l p ph ng ABCD A' B ' C ' D ' , c nh a Trên c nh AA' kéo dài v phía A' l y m t m M , c nh BC kéo dài v phía C l y m t m N cho MN c t c nh C ' D ' Tìm giá tr nh nh t c a đo n MN ( ngh Olympic 30-4) Bài Gi i: G i MN  C ' D '  I ', AN  CD  I  AMN    CDD ' C '  II '  Vì  AMN    ABB ' A'  AM  II ' AM   CDD ' C '  ABB ' A' t AM  x  0, BN  y  Theo đ nh lý Thales ta có: A' M MI ' AI BC x a a 1         AM MN AN BN x y x y a Ta có: MN  AM  AN  AM  BN  AB2  x2  y2  a Áp d ng B T Cauchy-Schwarz ta có : 1     x  y  4a * a x y x y L i có :  x  y  Do (*)  4a  1   8a  x2  y2  a  9a  x2  y2  a  3a   2 T (1) (2) suy ra: MN  3a D u “=” x y x  y  2a V y giá tr nh nh t c a MN 3a đ t đ c AM  BN  2a x y 2 ỌN LUY N HÌNH H C KHỌNG GIAN ThuVienDeThi.com GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Bài Toán 4: Cho hai n a đ ng th ng Ax, By chéo Hai m C , D thay đ i l n l t Ax By cho:   AC BD AB Ch ng minh r ng: M t ph ng   ch a CD song song v i AB qua m t m c đ nh I m t ph ng    ch a Ax    song song v i By Tìm v trí c a C D cho th tích t di n ABCD nh nh t ( ngh Olympic 30-4) Bài Gi i: D ng Ay ' song song v i By Trên Ay ' l y D ' cho AD '  BD Khi     DCD ' ,      ACD ' Ta có: AB AB      1 AC BD AB AC AD ' Gi a hai m C , D th a gi thi t, t n t i m I thu c CD ' cho: D'I AB  D ' C AC V i m I trên, g i M  Ay ', N  Ax cho MI Ax, NI Ay ' Khi đó, áp d ng đ nh lý Thales ta có: AN D ' I AB AB    AN  * AC D ' C AC AM CI D'I AB Do 1 AB AB   1  1   AM  ** AD ' CD ' D 'C AC AD ' T (*) (**) suy M , N c đ nh hay I c đ nh Do   ln qua m I c đ nh    Vì ABD  DD ' A nên VABCD  VC ABD  VC DD ' A  VD AD 'C Do VABCD nh nh t VD AD 'C nh nh t ỌN LUY N HÌNH H C KHỌNG GIAN ThuVienDeThi.com GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM   D  By Vì   d ( D,   )  d  D,  AD ' C    const By      Suy ra: VD AD 'C nh nh t di n tích SAD 'C nh nh t 1 Ta có: SAD 'C  AC AD 'sin A  AC.BD sin A 2 Nh n th y SAD 'C nh nh t AC.BD nh nh t Áp d ng B T Cauchy ta có: 2   2  AC.BD  AB2 AB AC BD AC BD AB  AC   AB  D u “=” x y    AB AC BD  BD   AB AB V y VABCD nh nh t hai m C , D th a mãn AC  ; BD  3 Bài Tốn 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a , có SA  a vng góc v i đáy M N m di đ ng BC, CD t ng ng cho  NAM  450 Xác đ nh v trí c a M , N đ hình chóp S AMN có th tích đ t giá tr l n nh t Tìm giá tr y Bài Gi i: t MAB   ; NAD   a b Khi ta có: AM  ; AN  ;     900  MAN  450 cos  cos Ta có: 1 VS AMN  SAS AMN  a AM AN.sin 450 3 a 2 a2 a3 a3    cos  cos  cos  cos  cos      cos      ỌN LUY N HÌNH H C KHỌNG GIAN ThuVienDeThi.com GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM  a3  3cos     max cos         0    45 Vì   450      450    min cos       0    45  T suy ra:   450 ;   00 a3 t đ c  max VS AMN  0   ;   45 VS AMN   a3   tđ c     22030' Bài Tốn 6: Cho hình chóp t giác đ u S ABCD có kho ng cách t A t i m t ph ng  SBC  b ng 2a G i  góc gi a m t bên đáy c a hình chóp V i giá tr c a  th tích c a hình chóp nh nh t Tìm giá tr nh nh t Bài Gi i: G i M , N l n l t trung m c a AD BC Khi ta có: SNM   Vì DA BC nên DA  SBC   d  A,  SBC    d  M ,  SBC   1 Ta có: BC   SMN    SBC    SMN  Do n u k MH  SN  H  SN  MH   SBC  V y d  M ,  SBC    MH  2 T (1) (2) ta suy MH  2a T ta có: 2a MH MN a tan   MN    SO  ON tan   sin  sin  cos  1  2a  a 4a V y VS ABCD  SABCD SO  MN SO     3  sin   cos  3sin  cos  ỌN LUY N HÌNH H C KHỌNG GIAN ThuVienDeThi.com * GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM T (*) suy ra, đ VS ABCD nh nh t A  sin  cos   ph i đ t giá tr l n nh t Ta có:  A  sin  sin   2sin   A2  2  sin    sin    2sin   27  27  A 27 D u “=” x y khi:  6    arcsin      6 4a Suy ra: VS ABCD   3a D u “=” x y   arcsin     V y MinVS ABCD  3a sin    2sin   3sin    sin   Bài Tốn 7: Hình chóp ABCD có ACB  ADB  900 , AB  2a áy BCD tam giác cân t i B, có CBD  2 CD  a Tính th tích kh i chóp ABCD theo a  (HSG T nh Toán 12 Hà T nh n m h c 2010-2011) Bài Gi i: AB  a G i H hình chi u c a I  BCD  , M trung m CD , ta có ngay: G i I trung m AB D dàng nh n th y IB  IC  ID   H  BM   HB  HC  HD ỌN LUY N HÌNH H C KHỌNG GIAN ThuVienDeThi.com GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Theo đ nh lí hàm sin ta có: BH  CD a  2sin CBD 2sin 2 a2 a Suy ra: d  I ,  BCD    IH  IB  BH  a   4sin 2  4sin 2 2sin 2 a  d  A,  BCD    2d  I ,  BCD    4sin 2  sin 2 a T tam giác BMC vng t i M ta có: BM  DM tan   cot  V y 2 1 a a a 4sin 2  VA.BCD  d  A,  BCD   SBCD  4sin 2  .cot  a  3 sin 2 2 24 sin  Bài Toán 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng v i AB  2a , tam giác SAB vuông t i S M t ph ng  SAB vuông góc v i  ABCD  Bi t góc t o b i ng th ng SD  SBC  b ng  v i sin   Tính th tích kh i chóp S ABCD kho ng cách t C đ n  SBD  theo a đ Bài Gi i: Ta có: BC  AB  BC   SAB  SA  BC L i có SA  SB ,suy ra: SA   SBC  ng th ng SD  SBC  b ng  v i sin   nên ta có: SD SD  d  A,  SBC    AS  d  D,  SBC    SD.sin    Do AD  SBC  3 Xét tam giác SAD vuông t i A (do DA   SAB ) ta có: Vì góc t o b i đ SA2  AD  SD  SA2  4a  9SA2  SA  Áp d ng đ nh lý Py-ta-go ta đ ỌN LUY N c: SB  AB2  SA2  HÌNH H C KHỌNG GIAN ThuVienDeThi.com a a 14 GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Khi ta có: SH  SASB SA2  SB2  a a 14 2  a   a 14           a a3 1 a V y VS ABCD  SH SABCD  4a  3 a3 Ta có: VC SBD  VS ABCD  3a a 14 Tam giác SBD có SB  , SD  3SA  , BD  2a 2 D th y SB2  SD2  DB2 nên suy tam giác SBD vuông t i S a3 3V a 14 3a 3a  2a Do SSBD   Suy ra: d  C ,  SBD    C BCD  2 2 SBCD 3a Bài Toán 9: Cho t di n ABCD có đ dài c nh b ng a G i M , N l n l t trung m c a DB, AC Trên đ ng th ng AB l y m P , đ ng th ng DN l y m Q cho PQ CM Tính đ dài PQ th tích kh i AMNP Bài Gi i: G i F trung m AM , FN CM V y P  DF  AB Trên  DPN  d ng PQ  Q  DN  song song v i FN G i E trung m c a PB Khi ME || PF suy PF đ tam giác AME Ta có: 1 PF  ME  PD  DF  PD 4 CM a FN   ỌN LUY N HÌNH H C KHỌNG GIAN ThuVienDeThi.com ng trung bình c a GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM a FN DF 3 a Suy ra:      PQ  PQ DP PQ V V AP AN 1 Ta có: APMN     VAMNP  ABCD VABMC AB AC 12 L i có: VABCD  a3 12 1  2 T (1) (2) ta suy ra: VAMNP  a3 144 Bài Tốn 10: Cho hình chóp S ABC có m t ph ng  SBC   ABC  vng góc v i Các c nh AB  AC  SA  SB  a Tìm đ dài c nh SC cho kh i a3 chóp S ABC có th tích V  (HSG T nh Toán 12 Hà T nh n m h c 2012-2013) Bài Gi i: G i H hình chi u c a A BC Ta có tam giác vuông sau b ng AHB  AHC  AHS (ch-cgv) T suy ra: HB  HC  HS  SBC vuông t i S 3a  x2  BC  t SC  x  Khi đó: BC  a  x  AH  AC       2 2 ax 3a  x2 1 3a  x2 ax  V y VSABC  AH SSBC  3 2 12 a3 Ta c n tìm x cho VSABC  Hay: 2 ax 3a  x a a   x 3a  x2  3a  3a  x2  x   x  12 a V y đ dài SC c n tìm b ng  ỌN LUY N HÌNH H C KHỌNG GIAN ThuVienDeThi.com  GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Trong trình gõ vi t, khơng th tránh kh i nh ng sai sót R t mong đ c s đóng góp ý ki n t m i ng i đ Nguy n Minh c có th hồn thành t t vi t ph c v cho vi c hoàn thành part2 b sung c a vi t C m n! S ti p t c c p nh t… My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu “Tơi thích s truy n đ t” Nguy n Minh c ỌN LUY N HÌNH H C KHỌNG GIAN ThuVienDeThi.com GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM ... V  (HSG T nh Tốn 12 Hà T nh n m h c 2 012- 2013) Bài Gi i: G i H hình chi u c a A BC Ta có tam giác vng sau b ng AHB  AHC  AHS (ch-cgv) T suy ra: HB  HC  HS  SBC vuông t i S 3a  x2 ... 22030' Bài Tốn 6: Cho hình chóp t giác đ u S ABCD có kho ng cách t A t i m t ph ng  SBC  b ng 2a G i  góc gi a m t bên đáy c a hình chóp V i giá tr c a  th tích c a hình chóp nh nh t Tìm...  sin   Bài Tốn 7: Hình chóp ABCD có ACB  ADB  900 , AB  2a áy BCD tam giác cân t i B, có CBD  2 CD  a Tính th tích kh i chóp ABCD theo a  (HSG T nh Toán 12 Hà T nh n m h c 2010-2011)