Các bài toán hình không gian cho thi đại học23776

CÁC BÀI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC - Khối chóp Bài 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác S AB S AD = 900 J trung điểm SD Tính theo a thể tích khối tứ diện ACD J khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( AC J ) Giải: S J I B A C D + AD ⊥ S A AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (S AB) + Gọi I trung điểm AB AD ⊥ SI (1) Mà ∆S AB nên SI ⊥ AB (2) 2 Từ (1) (2) suy SI ⊥ ( ABCD ) Do d ( J, ( ACD )) = d (S, ( ABCD )) = SI = a a3 = 24 a2 ∆BCI vuông B nên CI = CB2 + BI = ∆SIC vuông I nên SC = SI + IC = 2a2 a 1 Từ suy VACD J = a2 Tương tự SD = SC = 2a2 SC + CD SD ∆SCD có C J đường trung tuyến nên C J = − = a2 a ; AC = a 2; C J = a nên tính cosA = Xét ∆ J AC có J A = 7 a2 a Từ sin J AC = nên dt( J AC ) = = 2 a3 3 a 21 Vậy d (D, ( J AC )) = 24 = a Nhận xét: Có thể tính diện tích tam giác JAC cách lấy hình chiếu J mặt đáy (là trung điểm H DI) Trong mặt đáy, kẻ HK vng góc với AC (hay HK song song với BD) với K thuộc AC JK vng góc với AC tính JK đường cao tam giác JAC Bài 1.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi ; hai đường chéo AC = 3a, BD = 2a cắt O ; hai mặt phẳng (S AC ) (SBD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) theo a http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com a , tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải: S I A D O H K C B Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a AC, BD vng góc với trung điểm O đường chéo Ta có tam giác ABO vuông O AO = a 3; BO = a, ABD = 60o hay tam giác ABD Từ giả thiết hai mặt phẳng (S AC ) (SBD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) nên giao tuyến chúng SO ⊥ ( ABCD ) Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có DH ⊥ AB a ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK ) Gọi I hình chiếu 2 O lên SK ta có OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (S AB), hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng 1 a (S AB) Tam giác SOK vuông O, OI đường cao ⇒ = + ⇒ SO = Diện tích 2 2 OI OK SO a đáy S ABCD = 4S∆ ABO = 2.O A.OB = 3a2 ; đường cao hình chóp SO = a3 Thể tích khối chóp S.ABCD : VS.ABCD = S ABCD SO = 3 DH = a 3; OK //DH OK = DH = Bài 1.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh cm , cạnh S A = SB = SC = cm Tam giác SBD có diện tích cm2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải: S A D H O C B Gọi H hình chiếu S ( ABCD ) suy H nằm BD (Vì S A = SB == SC, BD trung trực AC ) Do SH đường cao hình chóp đường cao tam giác SBD ; Gọi O giao điểm AC BD Vì S A = SC = D A = DC nên SO = DO suy tam giác SBD tam 12 5 11 11 ABCD hình thoi có AD = 3, DO = nên AO = suy dt( ABCD ) = 2 giác vng S Vì dt(SBD ) = SB = nên SD = 4; suy BD = 5, SH = http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com VS.ABCD = SH.dt( ABCD ) = 11 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD 11( cm3 ) Bài 1.4 Cho hình chóp S.ABC có S A = 3a (với a > 0); S A tạo với đáy ( ABC ) góc 600 Tam giác ABC vng B, ACB = 300 G trọng tâm tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB) (SGC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a Giải: S A C G K B Gọi K trung điểm BC Ta có SG ⊥ ( ABC ); S AG = 600 , AG = 3a 9a 3a ; SG = Trong tam giác ABC đặt AB = x ⇒ AC = x; BC = x 9a Ta có AK = AB2 + BK nên x = 14 243 a Vậy VS.ABC = SG.dt( ABC ) = 112 Từ AK = Bài 1.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tam giác S AB tam giác cân đỉnh S Góc đường thẳng S A mặt phẳng đáy 450 , góc mặt phẳng (S AB) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết khoảng cách hai đường thẳng CD S A a Giải: S P D A M N H C B Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt đáy, M trung điểm AB tam giác S AB cân S nên SM vng góc với AB kết hợp với SH vng góc với đáy suy AB vng góc với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: (S A, ( ABCD )) = S AH = 450 ⇒ S A = SH ((S AB), ( ABCD )) = (SM, MH ) = SMH = 600 ⇒ SM = SH http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com Từ điểm N kẻ NP vng góc với SM dễ thấy NP khoảng cách hai đường thẳng S A CD suy NP = a Ta có SH.MN = NP.SM ⇐⇒ SH.AB = a 6.SH ⇐⇒ AB = 2a Trong tam giác S AM ta có S A = AM + SM ⇐⇒ 2.SH = Vậy VS.ABCD = SH.dt( ABCD ) = a a a = 3 4SH + 2a2 ⇐⇒ SH = a 3 Bài 1.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, BC = 2a Cạnh bên S A vng góc với mặt đáy, S A = a Gọi H hình chiếu A SB Tính thể tích khối chóp H.ACD theo a cơsin góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD ) Giải: S K H D A E C B Kẻ HE //S A (E ∈ AB) ⇒ HE ⊥ ( ABCD ) BH AB2 HE a Trong tam giác SAB có AB = BH.SB ⇒ = = = ⇒ HE = SB SB SA Diện tích ∆ ACD S∆ ACD = 21 AD.CD = a2 ⇒ thể tích H.ACD VH.ACD = 13 HE.S∆ ACD = a3 S A ⊥ ( ABCD ) ⇒ S A ⊥ BC mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (S AB) ⇒ BC ⊥ H A mà H A ⊥ SB nên H A ⊥ (SBC ) tương tự gọi K hình chiếu A SD AK ⊥ (SCD ) góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD ) góc AH AK tam giác vng SAB có tương tự AK = 2a , SK = a a 1 a , S A = SH.SB ⇒ SH = = + ⇒ AH = 2 2 AH AB SA 5 a2 SB2 + SD − BD SH + SK − HK = ⇒ HK = cos BSD = 2.SB.SD 2.SH.SK 10 10 AH + AK − HK Trong ∆ AHK có cos AHK = = > ⇒ cos((SBC ), (SCD )) = 2.AH.AK 5 Bài 1.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên S AB tam giác cân S , mặt phẳng (S AB) vng góc với đáy, mặt phẳng (SCD ) tạo với đáy góc 600 cách đường thẳng AB khoảng a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải: http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com S K D A H I C B Gọi H, I trung điểm AB CD Do S AB cân S nên SH ⊥ AB mà (S AB) ⊥ ( ABCD ) SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ CD, H I ⊥ CD nên CD ⊥ (SH I ), kẻ HK ⊥ SI, CD ⊥ HK nên HK ⊥ (SCD ) ⇒ HK = d ( H, (SCD )) = d ( AB, (SCD  )) = a  H I ⊥CD   ⇒ ((SCD ), ( ABCD ) = ( H I, SI ) = SI H = 600 CD ⊥ (SH I ) ⇒ SI ⊥CD   CD = (SCD ) ∩ ( ABCD )  HK 2a = BC Trong ∆ HSI có SH = H I.tan600 = 2a = sin60 a2 diện tích ABCD S ABCD = BC = a3 Thể tích S.ABCD VS.ABCD = SH.S ABCD = Trong ∆HK I có H I = Bài 1.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành thỏa mãn AB = 2a, BC = a 2, BD = a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) trọng tâm tam giác BCD Tính theo α thể tích khối chóp S.ABCD , biết khoảng cách hai đường thẳng AC SB a Giải: S K M D O H A C B Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ), M trung điểm CD O tâm đáy ABCD Do AO trung tuyến tam giác ABD nên AO = AB2 + AD BD 3a2 − = ⇒ AO 2a a ⇒ AH = AO + = 3 2 2 BD + BC 2a CD a + a2 a2 BM = − = − = 3a2 ⇒ BM = a ⇒ BH = 4 AO = http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com Ta có AH +BH = 4a2 = AB2 ⇒ AH ⊥BH , kết hợp với AH vng góc với SH ta AH ⊥ (SHB) Kẻ HK vng góc với SB, theo chứng minh ta AH ⊥ (SHB) suy AH ⊥ HK ⇒ HK đoạn vuông góc chung AC SB suy HK = a 1 = + ⇒ SH = 2a 2 HK SH HB2 1 4 a3 Ta có VS.ABCD = SH.S ABCD = SH.4.SO AB = SH O A.BH = 3 3 Trong tam giác vng SHB ta có - Khối lăng trụ Bài 2.1 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B1 C1 có đáy tam giác cạnh 2a, điểm A cách ba điểm A, B, C Cạnh bên A A tạo với mặt phẳng đáy góc α Hãy tìm α , biết thể tích khối lăng trụ ABC.A B1 C1 3a3 Giải: A1 B1 C1 A B I G H C Ta có tam giác ABC cạnh 2a nên S ABC = a2 Mặt khác A A = A B = A C ⇒ A ABC hình chóp tam giác đỉnh A Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có A G đường cao Trong tam giác ABC có AG = AH = 2a 3 2a tanα 3 ⇒ α = 60 o Trong tam giác vuông A AG có: A AG = α; A G = AG.tanα = Thể tích khối lăng trụ V = A G.S ABC = 3a3 ⇒ tanα = Bài 2.2 Cho lăng trụ đứng ABC.A ′ B′ C ′ có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC = 1200 , cạnh bên BB′ = a Gọi I trung điểm CC ′ Chứng minh tam giác AB′ I vng A tính cosin góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB′ I ) Giải: http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com A′ B′ C′ A B I C Ta có BC = a Áp dụng định lí Pitago tam giác vng ACI, ABB′ , B′ C ′ I 13 a, AB′ = 2a, B′ I = a 2 Do AI + AB′2 = B′ I Vậy tam giác AB′ I vuông A 10 S AB′ I = AI.AB′ = a , S ABC = a Gọi α góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB′ I ) Tam 4 giác ABC hình chiếu vng góc tam giác AB′ I 10 3 suy S A ′ BI cos α = S ABC ⇔ cos α = ⇔ cos α = 4 10 Suy AI = Bài 2.3 (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A B1 C1 có AB = a, AC = 2a, A A = 2a BAC = 1200 Gọi M trung điểm cạnh CC Chứng minh MB ⊥ M A tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( A BM ) Giải: A1 C1 B1 M A C B + Ta có A M = A C12 + C1 M = 9a2 , BC = AB2 + AC − AB.AC cos 1200 = 7a2 ; BM = BC + CM = 12a2 ; A B2 = A A + AB2 = 21a2 = A M + MB2 ⇒ MB vng góc với M A + Hình chóp M ABA C ABA có chung đáy tam giác ABA đường cao nên thể tích 1 A A S ABC = a3 15 3 a 6V = = MB.M A ⇒ V = VM ABA = VC ABA = ⇒ d (a, ( MBA ) ) = 3V S MBA http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com Bài 2.4 Cho lăng trụ tam giác ABC.A B1 C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt đáy 300 Hình chiếu vng góc H đỉnh A mặt phẳng ( A B1 C1 ) thuộc đường thẳng B1 C1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B1 C1 tính khoảng cách hai đường thẳng A A B1 C1 theo a Giải: B A D C B1 A1 H C1 a A A H = 300 , AH = A A sin 300 = Thể tích khối lăng trụ ABC.A B1 C1 : V = AH.dt( A B1 C1 ) = ∆ A A H vuông, A H = a.cos300 = a3 a a Do ∆ A B1 C1 cạnh a, H thuộc B1 C1 A H = 2 nên A H ⊥B1 C1 Có AH ⊥B1 C1 B1 C1 ⊥( A A H ) Kẻ đường cao HK ∆ A A H HK khoảng cách A A B1 C1 Ta có A A HK = AH.A H , ⇒ HK = A H.AH a = A A1 Bài 2.5 Cho hình lăng trụ ABC.A ′ B′ C ′ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A ′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P ) chứa BC vng góc với A A ′ , cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích thể tích khối lăng trụ ABC.A ′ B′ C ′ theo a a2 Tính Giải: C′ A′ B′ H A C O M B Gọi M trung điểm BC, gọi H hình chiếu vng góc M lên A A ′ , Khi (P ) ≡ (BCH ) Do góc A ′ AM nhọn nên H nằm A A ′ Thiết diện lăng trụ cắt (P ) tam giác BCH http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com a a , AO = AM = 3 a2 a a2 ⇒ HM.BC = ⇒ HM = , Theo S BCH = 8 a2 a2 a AH = AM − HM = − = 16 A ′ O HM Do hai tam giác A ′ AO M AH đồng dạng nên = AO AH AO.HM 3 a a a = = suy A ′ O = AH 3a 1aa a3 Thể tích khối lăng trụ: V = A ′ O.S ABC = A ′ O.AM.BC = a= 23 12 Do tam giác ABC cạnh a nên AM = - Khối tròn xoay Bài 3.1 Cho hình trụ có bán kính đáy a đường cao a a) M N hai điểm lưu động hai đáy cho góc MN đáy α Tính khoảng cách từ trục đến MN b) Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ tam giác ngọai tiếp hình trụ Giải: C′ N O′ B′ A′ C N′ O H B M A a) Kẻ đường sinh N N ′ ta có N MN ′ = α, kẻ OH ⊥ MN ′ OH khỏang cách trục OO ′ MN Ta có: MN ′ = N N ′ cotα = a cot α ∆OMH vuông : OH = OM − MH = a2 − ⇒ OH = a a2 a2 cot2 α = (2 − cot2 α) 2 − cot2 α b) Gọi x cạnh tam giác ngọai tiếp đường tròn đáy hình trụ 1x x 6R 6a = = ⇒x= 3 3 x2 36 a VABC.A ′ B′ C ′ = OO ′ = a = 3a2 12 Ta có: O ′ N = R = AN = http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com S xq = x.OO ′ = 18a a = 6a2 Bài 3.2 Cho hình nón đỉnh S có đường sinh a, góc đường sinh đáy α a) Tính thể tích diện tích xung quanh hình nón b) Một mặt phẳng hợp với đáy góc 600 cắt hình nón theo hai đường sinh S A SB Tính diện tích tam giác S AB khoảng cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng Giải: S K B O H A a) Tính V S xq ∆S AO vng : SO = a.sinα, AO = a.cosα 1 V = π.AO SO = π.a3 cos2 α sin α 3 Sxq = π.AO.S A = π.a2 cos α b) + Tính S S AB Kẻ OH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ AB, SOH = 600 ∆SOH vuông :OH = SO.cot.600 = a sin α AOH vuông : AH = AO − OH = a2 cos2 α − ⇒ AH = a 3a2 sin α cos2 α − sin2 α 2a2 sin α cos2 α − sin2 α Vậy S S AB = AB.SH = + Tính d (O, (S AB)) Kẻ OK ⊥SH ⇒ OK ⊥(S AB) OKH vuông : OK = OH.sin600 = a sin α a sin α = 2 Bài 3.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh bên S A vng góc với đáy a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S ABCD b) Gọi (P ) mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt AB, SC, SD B′ , C ′ , D ′ Chứng tỏ bảy điểm A, B, C, D, B′ , C ′ , D ′ nằm mặt cầu Giải: http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com 10 S D′ C′ I B′ D A O C B a) Ta có : BC ⊥ AB BC ⊥S A Tương tự CD ⊥SD ⇒ BC ⊥SB Vậy điểm A, B, D nhìn đọan SC góc vng, tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm I SC b)Ta có : AC ′ ⊥SC C ′ AB′ ⊥SC AB′ ⊥BC ( BC ⊥(S AB)) nên AB′ ⊥(SBC ) ⇒ AB′ ⊥B′ C Tương tự AD ′ ⊥D ′ C Vậy điểm B′ , C ′ , D ′ , D, B nhìn đọan AC góc vng, bảy điểm A, B, C, D, B′ , C ′ , D ′ nằm mặt cầu đường kính AC - Bài tập tự luyện có đáp số (CĐ 2012) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , AB = a 2, S A = SB = SC Góc đường thẳng S A mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a * Đáp số: V = a3 2a ,R = 3 (D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A ′ B′ C ′ D ′ có đáy hình vng, tam giác A ′ AC vng cân, A ′ C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB′ C ′ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD ′ ) theo a * Đáp số: V = a3 a ,d = 48 (B 2012) Cho hình chóp tam giác S.ABC với S A = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng ( ABH ) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a * Đáp số: V = 11a3 96 (A 2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc cạnh AB cho H A = HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng S A BC theo a * Đáp số: V = http://boxmath.vn/ a 42 a3 ,g= 12 ThuVienDeThi.com 11 (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = a, S A vng góc với mặt phẳng ( ABC ), góc hai mặt phẳng (SBC ) ( ABC ) 300 Gọi M trung điểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a * Đáp số: V = a3 36 (A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (S AB) (S AC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC , cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC ) ( ABC ) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCN M khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a * Đáp số: V = a3 3, d = 2a 39 13 (B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A B1 C1 D có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng ( ABCD ) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng ( ADD A ) ( ABCD ) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A BD ) theo a * Đáp số: V = a3 a ,d = 2 (D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (S AC ) theo a * Đáp số: V = 3a3 , d = 6a 7 (A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD ; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDN M tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a * Đáp số: V = 3a a3 ,d = 24 19 10 (D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên S A = a; hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC Gọi CM đường cao tam giác S AC Chứng minh M trung điểm S A tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a a3 14 * Đáp số: V = 48 11 (CĐ 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt phẳng (S AB) vng góc với mặt phẳng đáy, S A = SB, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD * Đáp số: a3 12 (B 2010) Cho lăng trụ tam giác ABC.A ′ B′ C ′ có AB = a, góc hai mặt phẳng ( A ′ BC ) ( ABC ) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A ′ BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G ABC theo a * Đáp số: V = http://boxmath.vn/ a3 7a ,R = 12 ThuVienDeThi.com 12 13 (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, S A = a Gọi M, N P trung điểm cạnh S A, SB CD Chứng minh đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP * Đáp số: V = a3 48 14 (A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D ; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC ) ( ABCD ) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI ) (CSI ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a * Đáp số: V = 15a3 15 (B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ′ B′ C ′ có BB′ = a, góc đường thẳng BB′ mặt phẳng ( ABC ) 600 ; tam giác ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A ′ ABC theo a a3 * Đáp số: V = 208 16 (D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ′ B′ C ′ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, A A ′ = 2a, A ′ C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ′ C ′ , I giao điểm AM A ′ C Tính theo a thể tích khối tứ diện I ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( IBC ) * Đáp số: V = a3 2a ,d = 17 (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD = ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, S A vng góc với đáy S A = 2a Gọi M, N trung điểm S A, SD Chứng minh BCN M hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCN M theo a * Đáp số: V = a3 18 (A 2008) Cho lăng trụ ABC.A ′ B′ C ′ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A ′ mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ′ ABC tính cosin góc hai đường thẳng A A ′ , B′ C ′ * Đáp số: V = a3 , cosϕ = 19 (B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, S A = a, SB = a mặt phẳng (S AB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN * Đáp số: V = a3 , cosϕ = 20 (D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A ′ B′ C ′ có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên A A ′ = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com 13 lăng trụ ABC.A ′ B′ C ′ khoảng cách hai đường thẳng AM, B′ C * Đáp số: V = a3 ,d = 7a 21 (A 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên S AD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP a3 * Đáp số: V = 96 22 (B 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm S A, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MN AC * Đáp số: d = a 23 (D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên S A vng góc với đáy S A = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD ) a * Đáp số: d = 24 (A 2006) Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O ′ , bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O ′ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO ′ AB * Đáp số: V = a3 12 25 (B 2006) cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, S A = a S A vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M N trung điểm AD SC ; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (S AC ) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện AN IB * Đáp số: V = a3 36 26 (D 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, S A = 2a S A vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCN M * Đáp số: V = 3 a3 50 27 (B 2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy ϕ((00 < ϕ < 900 ) Tính tang góc hai mặt phẳng (S AB) ( ABCD ) theo ϕ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ϕ * Đáp số: tanα = tanϕ, V = 2a3 tanϕ 28 (D 2003) Cho hai mặt phẳng (P ) (Q ) vuông góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P ) lấy điểm C , mặt http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com 14 phẳng (Q ) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với ∆ AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD ) theo a * Đáp số: R = a a ,d = 2 29 (B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A B1 C1 D có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A B B1 D b) Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB1 , CD, A D Tính góc hai đường thẳng MP C1 N a , g = 900 * Đáp số: d = 30 (D 2002) Cho hình tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng ( ABC ); AC = AD = cm; AB = cm; BC = cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD ) * Đáp số: d = 34 17 31 (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A B1 C1 có AB = a, AC = 2a, A A = 2a BAC = 1200 Gọi M trung điểm cạnh CC Chứng minh MB ⊥ M A tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( A BM ) * Đáp số: d = a 32 (DB2 A 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc hai mặt phẳng (SBC ) ( ABC ) 600 , hai tam giác ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC ) * Đáp số: d = 3a 13 33 (DB1 B 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , S A vng góc với đáy Cho AB = a, S A = a Gọi H K hình chiếu A lên SB, SD Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) tính thể tích khối chóp O AHK * Đáp số: V = a3 27 34 (DB2 B 2007) Trong mặt phẳng (P ) cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R điểm C thuộc nửa đường tròn cho AC = R Trên đường thẳng vng góc với (P ) A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng (S AB) (SBC ) 600 Gọi H, K hình chiếu vng góc A SB, SC Chứng minh tam giác AHK vng tính thể tích khối tứ diện S ABC theo R * Đáp số: V = R3 12 35 (DB1 D 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A B1 C1 có đáy ABC tam giác vuông AB = AC = a, A A = a Gọi M, N trung điểm A A , BC Chứng minh MN đường vng góc chung đường thẳng A A BC1 Tính thể tích khối tứ diện M A BC1 * Đáp số: V = a3 12 36 (DB2 D 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A B1 C1 có tất cạnh a M trung điểm A A Chứng minh BM ⊥ B1 C tính khoảng cách hai đường thẳng BM http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com 15 B1 C * Đáp số: d = a 30 10 37 (DB1 A 2008) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân B, BA = BC = 2a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy ( ABC ) trung điểm E AB SE = 2a Gọi I, J trung điểm EC, SC ; M điểm di động tia đối tia BA cho góc ECM = α(α < 900 ) H hình chiếu vng góc S MC Tính thể tích khối tứ diện EH I J theo a, α tìm α để thể tích lớn * Đáp số: V = 5a3 sin2α 38 (DB2 A 2008) Cho hình chóp S.ABC mà mặt bên tam giác vuông, S A = SB = SC = a Gọi M, N, E trung điểm cạnh AB, AC, BC ; D điểm đối xứng S qua E ; I giao điểm đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN ) Chứng minh AD ⊥ SI tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI * Đáp số: V = a3 36 39 (DB1 B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, S A = a S A vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối tứ diện S ACD tính cosin góc hai đường thẳng SB AC * Đáp số: V = a3 , cosα = 40 (DB2 B 2008) Cho tứ diện ABCD có mặt ABC ABD tam giác cạnh a, mặt ACD BCD vng góc với Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD tính số đo góc hai đường thẳng AD, BC * Đáp số: ĐS V = a3 , g = 600 12 - Các toán khoảng cách Phạm vi tập đề cập phương pháp xuyên suốt để giải toán khoảng cách khơng gian quy tốn bản: Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt hình chóp Trước hết ta cần nắm tốn: Cho hình chóp S ABC có S A vng góc với đáy ABC Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) • Việc tính khoảng cách đơn giản chìa khóa để giải tốn liên quan đến khoảng cách: Ta kẻ AM ⊥BC, AH ⊥SM ⇒ AH ⊥(SBC ) ⇒ d A/(SBC) = AH Trong tam giác vng S AM ta có 1 = + ⇒ AH = AH AS AM AS.AM AS + AM • Tính chất quan trọng - Nếu đường thẳng (d ) song song với mặt phẳng (P ) khoảng cách từ điểm (d ) đến mặt phẳng (P ) http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com 16 −−→ −−→ - Nếu AM = kBM d A/(P) = |k| d B/(P) (P ) mặt phẳng qua M - Nếu a, b hai đường thẳng chéo Gọi (P ) mặt phẳng chứa b (P ) a d a/b = d a/(P) = d M ∈a/(P) Trên sở tính chất Khi cần tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , hay tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta ln quy tốn Ta xét tốn sau: Bài 5.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang ABC = BAD = 90o , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên S A vng góc với đáy S A = a 2, góc tạo SC (S AD ) 30o Gọi G trọng tâm tam giác (S AB) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD ) Giải: Kẻ CE vng góc với AD E trung điểm AD CE ⊥(S AD ) ˆ = 300 ⇒ SE = CE tan 60 = a ⇒ S A = a ⇒ C SE Gọi M trung điểm AB, N trung điểm AE Ta có BE song song với (SCD ), MN song song với (SCD ) Ta có ND = AD 2 2 GS = MS ⇒ dG/(SCD) = d M/(SCD) = d N/(SCD) = d A/(SCD) = d A/(SCD) 3 3 Vì tam giác ACD vng cân C nên CD vng góc với (S AC ) Hạ AH vng góc với SC AH ⊥(SCD ) ⇒ d A/(SCD) = AH = S A.SC S A + SC (Ta lập luận tam giác S AC vuông cân suy AH = a) =a Bài 5.2 Cho hình lăng trụ ABC A ′ B′ C ′ có đáy ABC tam giác vng cân A cạnh huyền BC = a cạnh bên A A ′ = 2a, biết A ′ cách đỉnh A, B, C Gọi M, N trung điểm A A ′ , AC Tính thể tích khối chóp C ′ MNB khoảng cách từ C ′ đến mặt phẳng ( MNB) Giải: - Tính thể tích: Vì A ′ cách A, B, C nên chân đường cao hạ từ A ′ lên mặt phẳng ( ABC ) tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi H trung điểm BC suy A ′ H ⊥( ABC ) Gọi K = MN ∩ AC ′ ⇒ AK = C ′ K ⇒ VC′ MNB = 3VAMNB Gọi E trung điểm AH ⇒ ME ⊥( ABC ) ⇒ VM ANB = ME.dt( ANB) a 14 a 14 = 2 a 14 a2 14a3 = Vậy VC′ MNB = Suy ra: VM ANB = 4 48 Tính được: ME = A ′ H = 14a3 16 Ta thấy việc tính trực tiếp khoảng cách từ điểm C ′ đến mặt phẳng (BMN ) tương đối khó Để khắc phục khó khăn ta tạo toán tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng (BMN ) cách dựng đường cao ME khối chóp ABMN - Tính khoảng cách: d C′ /(BMN) = 3d A/(BMN) Gọi F trọng tâm tam giác ABC 1 1 Ta có: AF = AH ; EH = AH ⇒ EF + AH = AH ⇒ EF = AH ⇒ d A/(BMN) = 4d E/(BMN) 3 Như d C′ /(BMN) = d A/(BMN) = 12d E/(BMN) http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com 17 Hạ EP ⊥BN EQ ⊥ MP ⇒ EQ ⊥( MNB) ⇒ d E/(MNB) = EQ = EP.EM EP + EM EP EF BH.EF Ta có ∆EPF đồng dạng với ∆BHF ⇒ = ⇒ EP = BH BF BF a 1 a a Tính BH = ; EF = AF = AH = AH = ; BF = 4 12 994a EP.EM a = ⇒ EQ = Suy ra: EP = 20 284 EP + EM 994a 994a Vậy d C′ /(BMN) = 12d E/(BMN ) = 12 = 284 71 Qua ví dụ ta thấy rõ tầm quan trọng tốn Bài 5.3 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Chân đường cao hạ từ S lên −−→ −−→ mặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc AB cho H A = −2HB Góc tạo SC mặt phẳng ( ABC ) 60 o Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách hai đường thẳng S A, BC theo a Giải: - Tính thể tích: Vì SH ⊥( ABCD ) nên HC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng ( ABCD ) Góc tạo SC mặt phẳng ( ABCD ) SCH = 60o Xét tam giác BHC theo định lý hàm số cosin ta có a a2 a2 + a2 − .a = 9 a a a 21 HC = ⇒ SH = HC tan SCH = 3= 3 3 a a 21 VS ABC = SH.S ∆ ABC = a.a sin 60 o = ( ĐVTT) 3 12 HC = HB2 + BC − HB.BC cos HBC = HB2 + BC − HB.BC cos 60 o = Suy Ta suy - Tính khoảng cách: Gọi E trung điểm BC , D đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD Ta có AD //BC nên d S A/BC = d BC/(S AD) = d B/(S AD) = d H/(S AD) HF ⊥ AD Kẻ ⇒ HK ⊥(S AD ) ⇒ d H/(S AD) = HK HK ⊥SF 1 HF.HS Trong tam giác vng SHF ta có = + ⇒ HK = 2 HK HF HS HS + HF 3a 2a Mặt khác HF = AE = = 3 3a a 21 42 HF.HS 3 = Suy HK = a = 12 21 HS + HF a + a 9 42 42 a= a Vậy d S A/BC = 12 - Giải tốn Hình khơng gian Phương pháp tọa độ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT ✪ Phương pháp http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com 18 • Bước 1: Chọn hệ trục tọa Ox yz Xác định góc tam diện vng sở có sẵn hình (như tam diện vng, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác ), dựa mặt phẳng vng góc dựng thêm đường phụ • Bước 2: Tọa độ hóa điểm hình khơng gian Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp đến giả thiết kết luận tốn Cơ sở tính tốn chủ yếu dựa vào quan hệ song song, vng góc liệu tốn • Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích Lập phương trình đường, mặt liên quan Xác định tọa độ điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận • Bước 4: Giải toán Sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải u cầu tốn hình khơng gian Chú ý cơng thức góc, khoảng cách, diện tích thể tích ✪ Cách chọn hệ tọa độ số hình khơng gian ★ Tam diện vng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương • Xét tam diện vng S.ABC có S A = a, SB = b, SC = c Chọn hệ trục tọa độ Ox yz cho −−→ −−→ −−→ S ≡ O, S A, SB, SC hướng với tia Ox, O y, Oz Tọa độ điểm S (0; 0; 0), A (a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) • Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A ′ B′ C ′ D ′ có độ dài cạnh AB = a, AD = b, A A ′ = −−→ −−→ −−→ c Chọn hệ trục tọa độ Ox yz cho A ≡ O, AB, AD, A A ′ hướng với tia Ox, O y, Oz Tọa độ điểm A (0; 0; 0), B(a; 0; 0), D (0; b; 0), A ′ (0; 0; c), C (a; b; 0), B′ (a; 0; c), D ′ (0; b; c), C ′ (a; b; c) ★ Hình chóp tứ giác đều, tam giác • Hình chóp tứ giác S.ABCD có O giao hai đường chéo SO = h, AC = 2a, BD = −−→ −−→ −−→ b Chọn hệ trục tọa độ Ox yz cho O A, OB, OS hướng với tia Ox, O y, Oz Tọa độ điểm O (0; 0; 0), S (0; 0; h), A (a; 0; 0), B(0; b; 0), C (−a; 0; 0), D (0; − b; 0) • Hình chóp tam giác S.ABC có O tâm tam giác ABC SO = h, BC = a Chọn −−→ −−→ −−→ hệ trục tọa độ Ox yz cho O A, CB, OS hướng với tia Ox, O y, Oz Tọa độ điểm O (0; 0; 0), S (0; 0; h), A a a a a a ; 0; , B − ; ;0 , C − ;− ;0 3 ✪ Tùy vào tốn mà thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ Trong nhiều trường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình khơng gian tổng hợp kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải B CÁC BÀI TỐN MINH HỌA Bài 6.1 Cho hình chóp S.ABC , S A vng góc với mặt đáy ABC Đáy tam giác cân A , đồ dài trung tuyên AD = a,; cạnh bên SB tạo với mặt đáy góc α tạo với mặt phẳng (S AD ) góc β Tìm thể tích hình chóp S.ABC Giải: http://boxmath.vn/ ThuVienDeThi.com 19 Chọn hệ trục tọa độ Ox yz hình vẽ Tọa độ đỉnh A (0; 0; 0), B(a; 0; 0), D (0; a; 0), A ′ (0; 0; a), C (a; a; 0), D ′ (0; a; a), B′ (a; 0; a), C ′ (a; a; a) a) Ta có −−→ −−→ −−′→ −−→ −−−→ A B(a; 0; −a), B′ D (−a; a; −a), A ′ B′ (a; 0; 0) ⇒ A ′ B, B′ D = (a2 ; 2a2 ; a2 ) Khoảng cách hai đường thẳng d ( A ′ B, B′ D ) = −−′→ −−′→ −−− → A B, B D A ′ B′ a = −−′→ −−′→ A B, B D b) Tọa độ điểm M, N, P M a; 0; Do a a a , N ; a; , P 0; ; a 2 a a −−−→′ a −−→ −−→ −−−→ MP −a; ; ; 0; a ⇒ MP NC ′ = , NC 2 Vậy góc hai đường thẳng 900 c) Ta có a2 a2 a −−−→ a a a a −−−→′ −−→ −−−→ −−→ , MC 0; a; , MN − ; a; − ⇒ MP, MC ′ = − ; ; − a2 MP −a; ; 2 2 Thể tích khối tứ diện C ′ MNP VC′ MNP = 3 −−→ −−−→′ −−−→ MP, MC MN = a 16 Bài 6.2 (Đề thi tuyển sinh đại học, khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên (S AD ) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Giải: Vì tam giác S AD tam giác (S AD )⊥( ABCD ) nên gọi O trung điểm AD SO ⊥( ABCD ) Chọn hệ trục tọa độ Ox yz hình vẽ (O y song song với AB) Tọa độ đỉnh O (0; 0; 0), S 0; 0; Nên trung điểm P a a a a a , D ; 0; , A − ; 0; , C ; a; , B − ; a; 2 2 a a a a a ; ; , N (0; a; 0) , M − ; ; 2 4 −−→ a a a −−→ −−→ −−→ a2 a2 a , BP a; − ; nên AM.BP = ; ; − + = 4 4 Vậy AM vng góc với BP Mặt khác Ta có AM a2 a2 a a −−→ a a −−−→ −−→ −−→ a −−−→ a , NC ; 0; , NP ; − ; ⇒ N M, NC = 0; ; NM − ; − ; 4 2 Do thể tích khối tứ diện CMNP VCMNP = http://boxmath.vn/ a3 −−−→ −−→ −−→ N M, NC NP = 96 ThuVienDeThi.com 20 ... hoạt cách chọn hệ tọa độ Trong nhiều trường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình khơng gian tổng hợp kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải B CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA Bài 6.1 Cho hình chóp... tích để giải u cầu tốn hình khơng gian Chú ý cơng thức góc, khoảng cách, diện tích thể tích ✪ Cách chọn hệ tọa độ số hình khơng gian ★ Tam diện vng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương • Xét... toán khoảng cách Phạm vi tập đề cập phương pháp xuyên suốt để giải tốn khoảng cách khơng gian quy tốn bản: Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt hình chóp Trước hết ta cần nắm tốn: Cho hình