CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC

Bài 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác S AB đều vàS AD ƒ= 900. J là trung điểm SD. Tính theo a thể tích khối tứ diện ACDJ và khoảng cách từ Dđến mặt phẳng (ACJ).Giải:ABDCISJ+(AD ⊥ S AAD ⊥ AB⇒ AD ⊥ (S AB)+ Gọi I là trung điểm AB thì AD ⊥ SI (1). Mà ∆S AB đều nên SI ⊥ AB(2)Từ (1) và (2) suy ra SI ⊥ (ABCD). Do đó d(J,(ACD)) =12d(S,(ABCD)) =12SI =ap34Từ đó suy ra VACDJ =13.12.a2.ap34=a3p324.∆BCI vuông tại B nên CI2 = CB2 +BI2 =5a24∆SIC vuông tại I nên SC2 = SI2 + IC2 = 2a2Tương tự SD2 = SC2 = 2a2∆SCD có CJ là đường trung tuyến nên CJ2 =SC2 +CD22−SD44= a2Xét ∆J AC có J A =ap2; AC = ap2;CJ = a nên tính được cosA =34Từ đó sinƒJ AC =p74nên dt(J AC) =12.ap2.p74=a2p78Vậy d(D,(J AC)) =3.a3p324a2p78=ap217Nhận xét: Có thể tính diện tích tam giác JAC bằng cách lấy hình chiếu của J trên mặt đáy (làtrung điểm H của DI). Trong mặt đáy, kẻ HK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) vớiK thuộc AC thì chỉ ra được JK vuông góc với AC và tính được JK là đường cao tam giác JAC.Bài 1.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2p3a,BD =2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng ap34, tính thể tích khối chóp S.ABCDtheo a.http:boxmath.vn 1http:boxtailieu.netTuyensinh247.comGiải:D AC BOSHKITừ giả thiết AC = 2ap3;BD = 2a và AC,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗiđường chéo. Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ap3;BO = a, do đó ƒABD = 60o hay tamgiác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng(ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD).Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB,K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ ABvà DH = ap3;OKDH và OK =12DH =ap32⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) Gọi I là hình chiếu củaO lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (S AB), hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng(S AB). Tam giác SOK vuông tại O,OI là đường cao ⇒1OI2=1OK2+1SO2 ⇒ SO =a2Diện tíchđáy SABCD = 4S∆ABO = 2.OA.OB = 2p3a2; đường cao của hình chóp SO =a2.Thể tích khối chóp S.ABCD : VS.ABCD =13SABCD.SO =p3a33Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi

CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC

+ Gọi I là trung điểm ABthìAD ⊥ SI (1) Mà∆S ABđều nênS I ⊥ AB (2)

Từ (1) và (2) suy raS I ⊥ (ABCD).Do đó d(J, (ACD)) =1

2d(S, (ABCD)) =1

2S I =a

p34

4 =a

3p3

4 nêndt(J AC) =1

2.

ap

2.

p7

4 =a

2p78

Vậy d(D, (J AC)) =

3.a

3p324

a2p78

=a

p21

Nhận xét: Có thể tính diện tích tam giác JAC bằng cách lấy hình chiếu của J trên mặt đáy (là

trung điểm H của DI) Trong mặt đáy, kẻ HK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) với

K thuộc AC thì chỉ ra được JK vuông góc với AC và tính được JK là đường cao tam giác JAC

Bài 1.2. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình thoi ; hai đường chéo AC = 2p3a, BD =2avà cắt nhau tạiO;hai mặt phẳng(S AC)và(SBD)cùng vuông góc với mặt phẳng(ABCD)

Biết khoảng cách từ điểmOđến mặt phẳng(S AB)bằng a

p3

4 , tính thể tích khối chópS.ABCD

theoa.

Tuyensinh247.com

Từ giả thiết AC = 2ap3; BD = 2a và AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗiđường chéo Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ap3; BO = a, do đó ƒABD = 60o hay tamgiác ABD đều Từ giả thiết hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng

(ABCD)nên giao tuyến của chúng làSO ⊥ (ABCD)

Do tam giácABD đều nên vớiH là trung điểm của AB, K là trung điểm củaHBta cóDH ⊥ AB

và DH = ap3; OK //DH vàOK =1

2DH = a

p3

2 ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)Gọi I là hình chiếu của

O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (S AB),hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng

(S AB) Tam giác SOK vuông tạiO, OI là đường cao ⇒ 1

Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng3cm , các cạnh S A =

SB = SC = 3cm Tam giácSBD có diện tích bằng6cm2 .Tính thể tích của khối chópS.ABCD.

p11

suy radt(ABCD) =5

p11

.Tuyensinh247.com

3SH.dt(ABCD) = 2p11

Vậy thể tích khối chópS.ABCD bằng2p

Bài 1.4. Cho hình chópS.ABC cóS A = 3a(vớia > 0);S Atạo với đáy(ABC)một góc bằng600

Tam giác ABC vuông tại B, ƒACB = 300.G là trọng tâm tam giác ABC.Hai mặt phẳng(SGB)

và(SGC)cùng vuông góc với mặt phẳng(ABC).Tính thể tích hình chópS.ABCtheoa

GọiK là trung điểmBC.Ta cóSG ⊥ (ABC); ƒS AG = 600, AG =3a

2 .

Từ đó AK =9a

4 ; SG =3a

p3

2 .

Trong tam giác ABC đặt AB = x ⇒ AC = 2x; BC = xp3

Ta có AK2= AB2+ BK2 nênx = 9a

p714

S

P

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác S AB

cân tạiS nênSM vuông góc với ABvà kết hợp vớiSH vuông góc với đáy suy ra ABvuông gócvới mặt phẳng SM Nnên theo giả thiết ta được: (S Aá, (ABCD)) = ƒS AH = 450⇒ S A = SHp2.á

((S AB), (ABCD)) = á(SM, MH) = ƒSMH = 600⇒ SM = SH.p2

3.

Tuyensinh247.com

Từ điểm Nkẻ N P vuông góc vớiSM thì dễ thấy N P là khoảng cách giữa hai đường thẳng S A

3 =8

p3a3

Bài 1.6. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a.Cạnh bên

S A vuông góc với mặt đáy, S A = a Gọi H là hình chiếu của A trên SB Tính thể tích khối chópH.ACD theo avà côsin của góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và(SCD).

KẻHE//S A(E ∈ AB) ⇒ HE ⊥ (ABCD)

Trong tam giác SAB có AB2= BH.SB ⇒BH

trong tam giác vuông SAB có 1

AH2 = 1

AB2+ 1

S A2 ⇒ AH =a

p2

2 , S A

2= SH.SB ⇒ SH = a

p22

tương tự AK =p2a

5, SK =pa

5cos ƒBSD =SB

2+ SD2− BD22.SB.SD =SH

2+ SK2− HK22.SH.SK ⇒ HK2=a

5 > 0 ⇒ cos((SBC)á, (SCD)) =

p10

Bài 1.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông Mặt bên S AB là tam giác cân tạiS, mặt phẳng(S AB)vuông góc với đáy, mặt phẳng(SCD)tạo với đáy góc 600 và cách đường thẳng ABmột khoảng làa Tính thể tích khối chópS.ABCD theoa.

Giải:

Tuyensinh247.com

GọiH, Ilần lượt là trung điểm ABvàCDDoS ABcân tạiS nênSH ⊥ ABmà(S AB) ⊥ (ABCD)

do đó SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CD, H I ⊥ CD nên CD ⊥ (SH I), kẻ HK ⊥ SI, CD ⊥ HK nên HK ⊥(SCD) ⇒ HK = d(H,(SCD)) = d(AB,(SCD)) = a

Tuyensinh247.com

Ta cóAH2+BH2= 4a2= AB2⇒ AH⊥BH, kết hợp vớiAHvuông góc vớiSHta đượcAH ⊥ (SHB).

Kẻ HK vuông góc vớiSB, theo chứng minh trên ta được AH ⊥ (SHB)suy ra AH ⊥ HK ⇒ HK

là đoạn vuông góc chung của ACvà SBsuy raHK = a

Trong tam giác vuông SHB ta có 1

2 - Khối lăng trụ

Bài 2.1. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh2a,điểm A1

cách đều ba điểm A, B, C Cạnh bên A1A tạo với mặt phẳng đáy một góc α Hãy tìm α , biết thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1bằng2p

A1

B1

C1

Ta có tam giác ABC đều cạnh2a nênSABC= a2p3

Mặt khác A1A = A1B = A1C ⇒ A1.ABC là hình chóp tam giác đều đỉnh A1

GọiG là trọng tâm tam giác ABC,ta có A1G là đường cao

Trong tam giác ABC có AG =2

3AH =2a

p33

Trong tam giác vuông A1AG có: àA1AG = α; A1G = AG.tanα =2a

p3

3 .tanα.

Thể tích khối lăng trụV = A1G.SABC= 2p3a3⇒ tanα =p3 ⇒ α = 60o 

Bài 2.2. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc

ƒ

B AC = 1200 , cạnh bên BB0= a Gọi I là trung điểm của CC0 Chứng minh tam giác AB0I

vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng(ABC)và(AB0I).

Giải:

Tuyensinh247.com

2 a, AB

0=p2a, B0I =

p13

4 a

2,SABC=

p3

4 cosα =

p3

⇒ d(a, (MBA1) ) = 3V

SMB A1 = 6V

MB.M A1 =a

p5

Tuyensinh247.com

Bài 2.4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằnga, góc tạo bởi cạnh bên

và mặt đáy bằng 300 Hình chiếu vuông góc H của đỉnh A trên mặt phẳng (A1B1C1)thuộc đường thẳng B1C1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A A1 vàB1C1 theoa

∆A A1H vuông, A1H = a.cos300= a

p3

2 Do ∆A1B1C1 đều cạnh a, H thuộc B1C1 và A1H = a

p32

8 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 theoa.

A 0

B0

C 0

H

GọiMlà trung điểm củaBC,gọiHlà hình chiếu vuông góc củaMlênA A0, Khi đó(P) ≡ (BCH)

Do góc Aà0AM nhọn nênHnằm giữa A A0 Thiết diện của lăng trụ cắt bởi(P)là tam giácBCH

Tuyensinh247.com

Do tam giác ABC đều cạnhanên AM =a

p3

2 , AO =2

3AM =a

p33

Theo bài raSBCH=a

2p3

8 ⇒1

2H M.BC =a

2p3

8 ⇒ HM =a

p3

4 ,

AH =pAM2− HM2=

s3a2

4 −3a

2

16 =3a4

Do hai tam giác A0AO và M AHđồng dạng nên A

ap34

43a=a3

Thể tích khối lăng trụ:V = A0O.SABC=1

2A

0O.AM.BC =1

2

a3

ap3

2 a =a

3p3

3 - Khối tròn xoay

Bài 3.1. Cho hình trụ có bán kính đáy bằngavà đường cao bằngap

2 a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của M N và đáy bằng α Tính khoảng cách từ trục đếnM N.

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ

Giải:

C

A

B O

2 = x

p3

6 ⇒ x =6Rp

3 =p6a3

VABC.A0 B 0 C 0=x

2p3

4 .OO

0=36a

2p3

12 .a

p

2 = 3a2.p

6.Tuyensinh247.com

Sxq= 3x.OO0=18ap

3.a

p

Bài 3.2. Cho hình nón đỉnhS có đường sinh là a,góc giữa đường sinh và đáy là α

a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.

b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh S A và SB Tính diện tích tam giác S ABvà khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này.

Giải:

O S

A

B

H K

a) Tính V vàSxq

∆S AOvuông : SO = a.sinα, AO = a.cosα

V =1

3π.AO2.SO =1

3π.a3 cos2α.sinα

Sxq = π.AO.S A = π.a2 cosα

b) + TínhSS AB

KẻOH⊥AB ⇒ SH⊥AB, do đó SOH = 60ƒ 0

∆SOH vuông :OH = SO.cot.600=a

2 =a sinα

Bài 3.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh bên S A vuông góc với đáy.

a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chópS ABCD.

b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt AB, SC, SD lần lượt tại B0, C0, D0 Chứng tỏ rằng bảy điểm A, B, C, D, B0, C0, D0cùng nằm trên một mặt cầu.

Giải:

Tuyensinh247.com

Vậy các điểmB0, C0, D0, D, Bcùng nhìn đọanACdưới một góc vuông, do đó bảy điểmA, B, C, D, B0, C0, D0

4 - Bài tập tự luyện có đáp số

1 (CĐ 2012) Cho khối chópS.ABCcó đáy ABClà tam giác vuông cân tại A, AB = ap2, S A =

SB = SC Góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích khốichópS.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABC theoa

* Đáp số:V =

p3a3

3 , R =2a

p33

2 (D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0có đáy là hình vuông, tam giác A0ACvuôngcân, A0C = a Tính thể tích của khối tứ diện ABB0C0 và khoảng cách từ điểm A đến mặtphẳng(BCD0)theoa

* Đáp số:V =a

3p2

48 , d =a

p66

3 (B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với S A = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếuvuông góc của A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH).Tínhthể tích của khối chópS.ABH theoa

* Đáp số:V =7

p11a396

4 (A 2012)Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu vuông góc của

S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho H A = 2HB Góc giữa đườngthẳngSC và mặt phẳng(ABC)bằng600 Tính thể tích khối chópS.ABCvà tính khoảngcách giữa hai đường thẳngS Avà BCtheoa

* Đáp số:V =a

3p7

12 , g = a

p428

Tuyensinh247.com

5 (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, S A

vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và (ABC) bằng300 Gọi

M là trung điểm của cạnhSC Tính thể tích của khối chópS.ABM theoa

* Đáp số:V =a

3p336

6 (A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a;

hai mặt phẳng (S AB) và (S AC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trungđiểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa haimặt phẳng(SBC) và(ABC) bằng600 Tính thể tích khối chóp S.BCN M và khoảng cáchgiữa hai đường thẳng ABvà SN theoa

* Đáp số:V = a3p3, d =2a

p3913

7 (B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =

a, AD = ap3.Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng(ABCD)trùng với giaođiểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD)bằng600 Tính thểtích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểmB1đến mặt phẳng(A1BD) theoa

* Đáp số:V =3a

3

2 , d =a

p32

8 (D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, B A = 3a, BC = 4a;

mặt phẳng (SBC)vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2ap3 và SBC = 30 0.Tínhthể tích khối chópS.ABC và khoảng cách từ điểmBđến mặt phẳng(S AC)theoa

* Đáp số:V = 2p3a3, d =6a

p77

9 (A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lầnlượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với D M Biết SH

vuông góc với mặt phẳng(ABCD)vàSH = ap3.Tính thể tích khối chópS.CD N Mvà tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳngD M và SCtheo a

* Đáp số:V =5

p3a3

24 , d =2

p3ap19

10 (D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnha, cạnh bên S A = a;hình chiếu vuông góc của đỉnhStrên mặt phẳng(ABCD)là điểmHthuộc đoạnAC, AH =AC

4 Gọi CM là đường cao của tam giácS AC. Chứng minh M là trung điểm của S A và

tính thể tích khối tứ diệnSMBCtheo a

* Đáp số:V =a

3p1448

11 (CĐ 2010) Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt

phẳng(S AB)vuông góc với mặt phẳng đáy,S A = SB, góc giữa đường thẳng

SC và mặt phẳng đáy bằng450 Tính theoathể tích khối chóp S.ABCD

* Đáp số: a

3p56

12 (B 2010) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0có AB = a, góc giữa hai mặt

phẳng(A0BC)và(ABC) bằng600 GọiG là trọng tâm tam giác A0BC Tính

thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnG ABC theoa

3a3p

Tuyensinh247.com

13 (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, S A = ap2 Gọi M, N và P lầnlượt là trung điểm của các cạnhS A, SB vàCD Chứng minh đường thẳngM N vuông gócvới đường thẳngSP.Tính theoathể tích khối tứ diện AM N P.

* Đáp số:V =a

3p648

14 (A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB =

AD = 2a, CD = a;góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và(ABCD)bằng600 Gọi Ilà trung điểmcủa cạnh AD.Biết hai mặt phẳng(SBI)và(CS I)cùng vuông góc với mặt phẳng(ABCD),

tính thể tích khối chópS.ABCD theoa

* Đáp số:V =3

p15a35

15 (B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0cóBB0= a,góc giữa đường thẳngBB0vàmặt phẳng(ABC)bằng600; tam giác ABC vuông tạiC và ƒB AC = 600 Hình chiếu vuônggóc của điểm B0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thểtích khối tứ diện A0ABC theoa

* Đáp số:V =9a

3

208

16 (D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

AB = a, A A0= 2a, A0C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A0C0, I là giao điểm của

AM và A0C Tính theo athể tích khối tứ diện I ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặtphẳng(IBC)

* Đáp số:V =4a

3

9 , d =2a

p55

17 (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, B AD = ƒƒ ABC = 900, AB =

BC = a, AD = 2a, S A vuông góc với đáy và S A = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểmcủa S A, SD Chứng minh rằng BCN M là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp

19 (B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, SB = ap3

và mặt phẳng(S AB)vuông góc với mặt phẳng đáy GọiM, N lần lượt là trung điểm củacác cạnh AB, BC Tính theoathể tích khối chóp S.BMD N và tính cosin của góc giữa haiđường thẳngSM, D N

* Đáp số:V =a

3p3

3 , cosϕ =

p55

20 (D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,

cạnh bên A A0= ap2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khốiTuyensinh247.com

lăng trụ ABC.A0B0C0và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B0C.

* Đáp số:V =a

3p2

2 , d =

p7a7

21 (A 2007) Cho hình chópS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giácđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm củacác cạnhSB, BC, CD.Chứng minh AMvuông góc vớiBP và tính thể tích của khối tứ diện

CM N P

* Đáp số:V =

p3a396

22 (B 2007) Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCD có đáy là hình vuông cạnha GọiE là điểmđối xứng của D qua trung điểm của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của

BC Chứng minh M Nvuông góc vớiBDvà tính theoakhoảng cách giữa hai đường thẳng

M N và AC

* Đáp số: d =a

p24

23 (D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ƒABC = ƒB AD = 900, B A = BC =

a, AD = 2a Cạnh bênS A vuông góc với đáy và S A = ap2 GọiH là hình chiếu vuông góccủa A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo akhoảng cách từ H đếnmặt phẳng(SCD)

* Đáp số: d =a

3

24 (A 2006) Cho hình trụ có đáy là hai hình tròn tâmO vàO0, bán kính đáy bằng

chiều cao và bằnga Trên đường tròn đáy tâmO lấy điểm A,trên đường tròn

đáy tâmO0 lấy điểmB sao cho AB = 2a Tính thể tích của khối tứ diệnOO0AB

* Đáp số:V =

p3a312

25 (B 2006) cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,

AD = ap2, S A = avà S Avuông góc với mặt phẳng(ABCD) GọiM và N lần

lượt là trung điểm của ADvà SC; I là giao điểm củaBMvà AC Chứng minh

mặt phẳng(S AC)vuông góc với mặt phẳng(SMB) Tính thể tích của khối tứ diện AN IB

* Đáp số:V =

p2a336

26 (D 2006) Cho hình chóp tam giácS.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2avà

S A vuông góc với mặt phẳng(ABC).GọiM và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A

trên các đường thẳngSBvà SC Tính thể tích của khối chóp A.BCN M

* Đáp số:V =3

p3a350

27 (B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằnga, góc giữa cạnh bên vàmặt đáy bằngϕ((00< ϕ < 900) Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng(S AB) và (ABCD)

theoϕ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theoavà ϕ.

* Đáp số: tanα =p2tanϕ,V =

p2a3tanϕ

6

28 (D 2003) Cho hai mặt phẳng(P)và(Q)vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng

∆ Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặtTuyensinh247.com

phẳng(Q)lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB Tính bánkính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng(BCD)

theoa

* Đáp số:R = a

p3

2 , d =a

p22

29 (B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a a) Tính theo akhoảngcách giữa hai đường thẳng A1Bvà B1D.b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của cáccạnhBB1, CD, A1D1.Tính góc giữa hai đường thẳng MP vàC1N

31 (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, A A1= 2ap5 và ƒB AC =

1200 Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ M A1 và tính khoảng cách

từ điểm Atới mặt phẳng(A1BM)

* Đáp số: d =a

p53

32 (DB2 A 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

600,hai tam giác ABC và SBClà các tam giác đều cạnha Tính theoakhoảng cách từB

34 (DB2 B 2007) Trong mặt phẳng(P)cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểmC

thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P)tại A lấyđiểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (SBC) bằng 600 Gọi H, K lần lượt làhình chiếu vuông góc của Atrên SB, SC Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thểtích khối tứ diệnS ABC theo R

* Đáp số:V =R

3p612

35 (DB1 D 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC =

a, A A1= ap2.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A A1, BC1 Chứng minh MN là đườngvuông góc chung của các đường thẳng A A1 vàBC1.Tính thể tích khối tứ diệnM A1BC1

* Đáp số:V =a

3p212

36 (DB2 D 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a M là trungđiểm của A A1 Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM

Tuyensinh247.com

* Đáp số: d =a

p3010

37 (DB1 A 2008) Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tạiB,B A = BC =2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy(ABC) là trung điểm E của AB và

SE = 2a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC; M là điểm di động trên tia đối củatiaB A sao cho góc ECM = α(α < 90ƒ 0)và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC Tínhthể tích khối tứ diệnEH I J theo a,αvà tìmαđể thể tích đó lớn nhất

* Đáp số:V =5a

3sin2α

8

38 (DB2 A 2008) Cho hình chópS.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông,

S A = SB = SC = a.Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC,

BC; D là điểm đối xứng của SquaE; I là giao điểm của đường thẳng AD với

mặt phẳng(SM N) Chứng minh AD ⊥ SIvà tính theoathể tích của khối tứ

diệnMBS I

* Đáp số:V =a

3

36

39 (DB1 B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnha, S A = ap3 và

S A vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theoathể tích khối tứ diện S ACD và tính cosincủa góc giữa hai đường thẳngSB và AC

* Đáp số:V =a

3p3

6 , cosα =

p24

40 (DB2 B 2008) Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a,các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau Hãy tính theo athể tích khối tứ diện ABCD

và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC

* Đáp số: ĐSV =a

3p2

12 , g = 600

5 - Các bài toán về khoảng cách

Phạm vi những bài tập này tôi sẽ đề cập một phương pháp xuyên suốt để giải các bài toán vềkhoảng cách trong không gian đó là quy về bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đườngcao đến một mặt của hình chóp

Trước hết ta cần nắm chắc bài toán: Cho hình chóp S ABC có S A vuông góc với đáy ABC Tính khoảng cách từ điểm Ađến mặt phẳng(SBC)

•Việc tính khoảng cách này là rất đơn giản nhưng nó là chìa khóa để giải quyết mọi bài toánliên quan đến khoảng cách:

Trong tam giác vuôngS AM ta có

- Nếu−−→

AM = k−−→BM thìdA/(P)= |k|dB/(P)trong đó(P)là mặt phẳng đi quaM

- Nếua, blà hai đường thẳng chéo nhau

Gọi(P)là mặt phẳng chứa bvà(P)ka thìda/b= da/(P)= dM∈a/(P)

Trên cơ sở các tính chất trên Khi cần tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ,hay tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta luôn quy được về bài toán cơ bản

Ta xét các bài toán sau:

Bài 5.1.

Cho hình chópS ABCD có đáy ABCD là hình thangƒABC = ƒB AD = 90o,B A = BC = a, AD = 2a Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = ap2, góc tạo bởi SC và (S AD) bằng 30o Gọi G là trọng tâm tam giác(S AB) Tính khoảng cách từG đến mặt phẳng(SCD)

Giải:

KẻCE vuông góc vớiAD thìE là trung điểm của AD vàCE⊥(S AD)

⇒ C ˆSE = 300⇒ SE = CE tan 60 = ap3 ⇒ S A = ap2

Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AE Ta có BE song song với (SCD), M N

cũng song song với(SCD) Ta có N D =3

Vì tam giác ACDvuông cân tạiC nênCD vuông góc với(S AC)

Hạ AH vuông góc vớiSCthì AH⊥(SCD) ⇒ dA/(SCD)= AH =p S A.SC

S A2+ SC2 = a

(Ta cũng có thể lập luận tam giácS AC vuông cân suy ra AH = a) 

Bài 5.2.

Cho hình lăng trụ ABC A0B0C0có đáy ABC là tam giác vuông cân tạiAcạnh huyền BC = ap2

cạnh bên A A0= 2a, biết A0 cách đều các đỉnh A, B, C Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

ap14

2 =a

p144

Suy ra:VM ANB=1

3.

ap14

4 .

a2

4 =

p14a3

48 VậyVC0M NB=

p14a316

Ta thấy rằng việc tính trực tiếp khoảng cách từ điểm C0 đến mặt phẳng (BM N)là tương đốikhó Để khắc phục khó khăn này ta sẽ tạo ra bài toán cơ bản tính khoảng cách từ chân đườngcao đến mặt phẳng(BM N)bằng cách dựng đường caoME của khối chóp ABM N

- Tính khoảng cách:dC0 /(BM N)= 3dA/(BM N) GọiF là trọng tâm tam giác ABC

Hạ EP⊥BN

EQ⊥MP ⇒ EQ⊥(MNB) ⇒ dE/(M NB)= EQ =

EP.EMp

12 ;BF =a

p53

Suy ra:EP = a

p5

20 ⇒ EQ =p EP.EM

EP2+ EM2 =

p994a284

Vậy dC0 /(BM N)= 12dE/(BM N)= 12

p994a

284 =3

p994a

VìSH⊥(ABCD)nên HClà hình chiếu vuông góc của SClên mặt phẳng (ABCD)

Góc tạo bởiSC và mặt phẳng(ABCD)làƒSCH = 60o

Xét tam giácBHC theo định lý hàm số cosin ta có

3 ⇒ SH = HC tan ƒSCH =a

p7

3 .

p

3 =a

p213

3SH.S∆ABC=1

3

ap21

12 ( ĐVTT)

- Tính khoảng cách:

GọiElà trung điểm của BC,D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD

Ta có AD//BCnêndS A/BC= dBC/(S AD)= dB/(S AD)=3

2dH/(S AD)

Kẻ

(HF⊥AD

2 =

p3a

3 .

HS2+ HF2 =

p3a

3 .

ap213

12 a

Vậy dS A/BC=3

2.

p42

12 a =

p42

• Bước 1: Chọn hệ trục tọaOx yz.Xác định một góc tam diện vuông trên cơ sở có sẵn củahình (như tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác đều ), hoặc dựa trên cácmặt phẳng vuông góc dựng thêm đường phụ.

• Bước 2: Tọa độ hóa các điểm của hình không gian Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếpđến giả thiết và kết luận của bài toán Cơ sở tính toán chủ yếu dựa vào quan hệ song song,vuông góc cùng các dữ liệu của bài toán

• Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích Lập các phương trình đường, mặt liênquan Xác định tọa độ các điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận

• Bước 4: Giải quyết bài toán Sử dụng các kiến thức hình học giải tích để giải quyết yêucầu của bài toán hình không gian

Chú ý các công thức về góc, khoảng cách, diện tích và thể tích

J Cách chọn hệ tọa độ một số hình không gian

H Tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

• Xét tam diện vuôngS.ABC có S A = a, SB = b, SC = c.Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho

A A0 lần lượt cùng hướng với các tia

Ox, O y, Oz.Tọa độ các điểm khi đó là

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A0(0; 0; c),C(a; b; 0), B0(a; 0; c), D0(0; b; c), C0(a; b; c)

H Hình chóp tứ giác đều, tam giác đều

• Hình chóp tứ giác đềuS.ABCD cóOlà giao của hai đường chéo vàSO = h, AC = 2a, BD =2b.Chọn hệ trục tọa độOx yz sao cho−−→

O A,−−→

OB,−−→

OS lần lượt cùng hướng với các tiaOx, O y, Oz

Tọa độ các điểm khi đó là

O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(−a; 0; 0), D(0; −b; 0)

• Hình chóp tam giác đềuS.ABC có O là tâm của tam giác ABC và SO = h, BC = a.Chọn

hệ trục tọa độ Ox yz sao cho −−→

3 ; 0; 0

!, B

Ã

−a

p6

3 ;

a

2; 0

!, C

Ã

−a

p6

3 ; −a

2; 0

!

J Tùy vào từng bài toán mà có thể thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ Trong nhiều trườnghợp, phải biết kết hợp kiến thức hình không gian tổng hợp và kiến thức hình giải tích nhằmthu gọn lời giải

B CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA

Bài 6.1.

Cho hình chóp S.ABC, trong đóS A vuông góc với mặt đáy ABC Đáy là tam giác cân tại A,

đồ dài trung tuyên AD = a,; cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc α và tạo với mặt phẳng

(S AD)góc β Tìm thể tích hình chópS.ABC.

Giải:

Tuyensinh247.com

Chọn hệ trục tọa độOx yznhư hình vẽ Tọa độ các đỉnh

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A0(0; 0; a),C(a; a; 0), D0(0; a; a), B0(a; 0; a), C0(a; a; a)

2; a; 0

´, P³0; a

2; a

´

´,−−−→

´,−−−→

MC0³0; a; a

2

´,−−−→

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (S AD) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

SB, BC, CD.Chứng minh AM vuông góc vớiBP và tính thể tích của khối tứ diệnCM N P

Giải:

Vì tam giác S AD là tam giác đều và (S AD)⊥(ABCD) nên gọi O là trung điểm của AD thì

SO⊥(ABCD) Chọn hệ trục tọa độOx yznhư hình vẽ (O ysong song với AB) Tọa độ các đỉnh

O(0; 0; 0), S

Ã0; 0; a

p34

!, D³a

2; 0; 0

´, A³−a

2; 0; 0

´, C³a

2; a; 0

´, B³−a

2; a; 0

´

Nên các trung điểmP³a

2;

a

2; 0

´, N (0; a; 0) , M

!

!,−−→

!,−−→

NC³a

2; 0; 0

´,−−→

2p3

8 ;

a24

!

Tuyensinh247.com

Bài 6.3.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, A A0= ap2

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn A A0và BC0.Chứng minh M N là đường vuông góc chung của A A0vàBC0.Tính thể tích khối tứ diệnM A0BC0

Giải:

Chọn hệ trục tọa độOx yznhư hình vẽ Tọa độ các điểm là

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0)A0(0; 0; a), B0(a; 0; a), C0(0; a; a), M³0; 0;a

2

´, N³a

2;

a

2;

a2

´

p22

!,−−→

MB

Ã0; a; −a

p22

!,−−−→

MC0

Ãa; 0; a

p22

2 ; 0; 0

!,

nên thể tích khối tứ diệnM A0BC0làVM A0 BC 0=1

Bài 6.4.

S A⊥(ABCD), S A = ap3 Điểm M chia đoạn SB theo tỷ số −3, điểm I chia đoạn DS theo

tỷ số−4

3.Mặt phẳng(AM I)cắtSC tạiN

a) Chứng minh N là trung điểm củaSC

b) Chứng minhSD⊥(AM I)và AM N I thuộc một đường tròn.

c) Tính khoảng cách từ trung điểm của AD đến mặt phẳng(AM N I)

2 ; −a

2; 0

!, D(0; a; 0), C

Ã

ap3

2 ;

a

2; 0

!, S³0; −a; ap3´

8 ; −5a

8 ;

p3a4

!, I

Ã0; −a

7;

4p3a7

!

a) Ta có−−→

AM

Ã

3p3a

8 ;

3a

8 ;

2p3a8

!,−→

A I

Ã0; 6a

7 ;

4p3a7

!

Nên mặt phẳng(AM I) có phương trình2 y −p3z + 2a = 0

Trung điểm củaSC làN

Ãp3a

4 ; −a

4;

p3a2

!

thuộc mặt phẳng(AM I)

Vậy mặt phẳng(AM I)cắtSC tại trung điểm củaSC

Vậy các điểm tứ giác AM N I nội tiếp trong đường tròn đường kính A I.

c) Khoảng cách cần tìm làd(O, (AM I)) = q |2a|

02+ 22+ (−p3)2

=2

p7

Bài 6.5.

Cho hình chóp S.ABCcóƒASC = 90o, CSB = 60o, BS A = 120o, S A = SB = SC = a

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng(S AC)và(SBC)

b) GọiM, N lần lượt chia đoạnSB, CStheo tỷ số−3.Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng AN, CM

Giải:

Ta cóC A = ap2, CB = a, AB = ap3nên tam giác ABC vuông tạiC

Mặt khác S A = SB = SCnên hình chiếu của điểm Strên mặt đáy là trung điểm Ocủa AB

Chọn hệ trục tọa độOx yz(hình vẽ),Ox//BC, O y//AC

Tọa độ các đỉnh của hình chóp là

S³0; 0; a

2

´, A

Ãa

2; −a

p2

2 ; 0

!, B

Ã

−a

2;

ap2

2 ; 0

!, C

Ãa

2;

ap2

2 ; 0

!

2

2 ; −a

2p22

Gọiϕlà góc giữa hai mặt phẳng(S AC)và (SBC)

Khi đócosϕ = ¯¯cos(~n(S AB),~n(SBC))¯¯=1

8 ;

a8

!, N

Ãa

8;

ap2

8 ;

3a8

!

8 ;

3a8

!,−−→

8 ;

a8

!,−−→

AC

³0; ap2; 0

8 ; −9a

2

32 ;

19p2.a232

!

Khoảng cách giữa hai đường thẳngd(AN, CM) =

1768 ⇒ ϕ = arccos7

p221

Tuyensinh247.com

b) Tính góc giữa hai đường thẳng AE và SF.

c) Mặt phẳng(α) chứaADvà vuông góc với(SBC)cắt hình chópS.ABCD theo một thiết diện Tính diện tích thiết diện đó.

2 ; 0; 0

!, D³0; −a

2; 0

´, C

Ã

−a

p3

2 ; 0; 0

!, B³0; a

2; 0

´, S

µ0; 0;3a4

¶

¶,−−→

SC

Ã

−a

p3

4 ;

a

2; 0

!, F

Ã

−a

p3

8 ;

a

2; 0

!

4 ;

a

2; 0

!,−−→

BF

Ã

−a

p3

8 ; 0; 0

!,nên

31 ⇒ ϕ = arccos3

p93

4;

3a8

¶, (α) ∩ SC = N

Ã

−a

p3

4 ; 0;

3a8

!

Thiết diện là hình thang AD N Mcó chiều cao bằng khoảng cách từ Ađến(SBC)

nên diện tích của thiết diện là SAD N M=1

2(AD + MN).d(A, (SBC)) =9a

2

Bài 6.7.

Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = BS = a, BS⊥(ABC).Gọi M, N

lần lượt là trung điểm các cạnhS Avà BC

a) Tính độ dài đoạn thẳngM N

b) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, M N

Giải:

Tuyensinh247.com

Chọn hệ trục tọa độOx yz(hình vẽ), với O ≡ B,trụcOzchứaBS,trụcO y chứaBC.

4;

a

4;

a2

´, N³0; a

2; 0

´

´

Nên M N =a

p6

¶

¶

Ta có−−−→

M N(−a; b; h),−−→I M

µa; 0; h2

Khoảng cách từ điểmI đến đường thẳng M N là

s2ab3+ 2ba3+ 4a2b24(a2+ b2+ h2) =

sab

Bài 6.9.

Trên các tia Ox, O y, Oz của góc tam diện vuông Ox yz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho

O A = a, OB = ap2, OC = c, (a, c > 0) Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD

và M là trung điểm của đoạn BC Mặt phẳng (α) qua A, M cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM

a) GọiE là giao điểm của(α) với đường thẳngOC Tính độ dài đoạn thẳngOE

b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chópC.AOBDbởi mặt phẳng(α).

p2

2 ;

c2

!

Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng(OCD)là~n(OCD)(−p2; 1; 0)

GọiF = (α) ∩ CD thìEF là giao tuyến của(α)với(OCD),ta cóEF⊥AM

2 ;

c2

do đó một véc tơ chỉ phương củaEF là~uEF(1;p

p2cx − c y + 3p2az − acp2 = 0

3 ;

2p2a

3 ;

c3

¶

=13

Do đó tỷ số thể tích hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chópC.AODBbởi mặt phẳng

2c2+ c2+ 18a2=

2p6ac

3p

c2+ 6a2

Chú ý:

+) Nếu để ýEF//ODthì việc tìm véc tơ chỉ phương của EF sẽ gọn hơn

+) Hoàn toàn có thể tính tỷ số của câu b bằng phương pháp hình giải tích nhưng sẽ dài và

2 ,hayF

Ã

ap6

2 ;

ap2

2 ; 0

!, E

Ã

ap6

2 ;

ap2

2 ; a

!

a) Mặt phẳng(α)chứa ACvà song song vớiBF có phương trìnhp

4 ;

3ap2

4 ; 0

!

MàHKlà đường vuông góc chung nên

Giải hệ phương trình ta cóm =a

3, n =a

p2

6 ⇒−−→HK

Ã

ap6

6 ; −a

p2

6 ;

a3

!

Vậy độ dài đoạnHK làHK =a

p3

p2

3 ;

a3

!,−−→

AK

Ã

ap6

6 ;

ap2

6 ;

2a3

!,

−−→

HK

Ã

ap6

6 ; −a

p2

6 ;

a3

!,−−→

BH

Ã0; a

p2

3 ; −2a

3

!

Thể tích khối tứ diện ABHK làVABHK=1

6 , SABK=a

2p2

+

µ

y −12

¶2

+

µ

z −12

¶2

=1

4.

Tứ diện A A0M N có góc tam diện đỉnh A0 vuông

nên tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp A A0M N là I

¶

Mặt phẳng(AM N)tiếp xúc với mặt cầu(S)khi và chỉ khi

2− 1

¯

¯

¯r

m+1

n−12

2; 0;

12

¶

; I2

µ0; 1

2;

12

2 ;

p2

2 ;

p22

!.Suy ra−−→

S A

Ãp2

2 ; −

p2

2 ; −

p22

!, −−→

SB

Ã

−

p2

2 ;

p2

2 ; −

p22

!,

!,−−→

SD

Ã

−

p2

2 ; −

p2

2 ; −

p22

!

Gọi~e(x; y; z)là véc tơ đơn vị của đường thẳng∆.Khi đó

3 .

Vậy giá trị lớn nhất củaT là 7

3 đạt được khi∆ là các đường thẳng đi qua các đỉnh của tứ diện

C BÀI TẬP

Bài 6.13.

Cho hình chópO.ABC cóO A, OB, OCđôi một vuông góc vàO A = a, OB = b, OC = c

a) Chứng minh rằngOH⊥(ABC), H ∈ (ABC)khi và chỉ khi Hlà trực tâm của tam giác ABC

b) Tính khoảng cách từOđến mặt phẳng(ABC)

c) Tính khoảng cách từOđến tâm đường tròn ngoại tiếp Icủa tam giác ABC

d) Cho M là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng(ABC),không trùng với A, B, C, H (H trực tâm tam giác ABC) Chứng minh rằng AM

b) Khi Mlà trung điểm AD Tính diện tích thiết diện cắt hình hộp bởi mặt phẳng(B0CK )

c) Khi M là trung điểm AD.Chứng minh rằng đường thẳng B0Mtiếp xúc với mặt cầu đường kính A A0

Giải:

Bài 6.15.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AB = a, AC = 2a, A A0= 2ap5 và ƒB AC = 120o Gọi M

là trung điểm củaCC0.Chứng minh MB⊥M A0và tính khoảng cách từ điểm Atới mặt phẳng

(A0BM)

Giải:

Tuyensinh247.com

Kết luận: 

Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình thang,B A = BC = a, AD = 2a, ƒABC = ƒB AD = 900.Cạnh bênS Avuông góc với đáy vàS A = ap2.GọiH là hình chiếu vuông góc của A trênSB.Chứng minh tam giácSCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng(SCD)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0có đáy ABClà tam giác vuông, AB = BC = a, A A0= ap2

Gọi Mlà trung điểm của cạnh BC.Tính theoathể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B0C

Giải:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, A A0=2a, A0C = 3a.Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A0C0, I là giao điểm của AM và A0C Tính theoathể tích khối tứ diện I ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(IBC)

Giải:

Bài 6.21.

Cho hình chóp đềuS.ABC có cạnh đáy bằnga Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S A, SC

Tính thể tích khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCbiết rằngBM⊥AN

Giải:

Tuyensinh247.com

Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1cóMlà trung điểm cạnh AB,BC = 2a, ƒACB = 90ovàƒABC =

60o,cạnh bênCC1tạo với mặt phẳng(ABC)một góc45o,hình chiếu vuông góc củaC1lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai mặt phẳng(ABC)và(ACC1A1)

Giải:

GọiH là trung điểmCM Từ giả thiết⇒ C1H⊥(ABC) ⇒ àC1CH =(CCá1; (ABC)) = 45o

Từ tam giác vuông ABC vớiBC = 2a, ƒABC = 60o⇒ AC = 2ap3, AM = 4a, CM =1

2AB = 2a

⇒ CH = a ⇒ C1H = CH tan45o= a VABC.A 1 B 1 C 1= C1H.SABC= a.2a2p3 = 2p3a3

KẻHK ⊥AC ⇒đường xiên C1K ⊥AC ⇒((ABC); (ACCá 1A1)) = àC1K H

Tam giácMC A cân tại M ⇒ ƒMC A = ƒM AC = 30o⇒ HK = HC sin 30o= a

2

⇒ tan( àC1K H) =CH

Bài 7.2.

Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD = DC, AB = 2AD,

mặt bênSBClà tam giác đều cạnh2avà thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng(ABCD)

Tính thể tích khối chópS.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳngBCvà S Atheoa.

Tuyensinh247.com

GọiM là trung điểm AB, H là trung điểmBC Ta có SH⊥BC ⇒ SH⊥(ABCD), SH = ap3

Tứ giác AMCD là hình vuông nên CM = AM = MB Suy ra4CMBvuông cân

Diện tíchSABCD=(AB + CD).CM

2 = 3a2 Thể tích VS.ABCD=1

3SH.SABCD=p3a3

Kẻ đường thẳng∆ đi qua A,∆//BC.HạH I⊥∆(I ∈∆)

Suy raBC//(S A I).Do đó d(BC, S A) = d(BC, (S AI)) = d(H, (S AI))

HạHK ⊥SI (K ∈ SI).Suy raHK ⊥(S AI).Do đód(H, (S A I)) = HK

Ta cóCM = AM = MB nên tam giác ACBvuông tạiC Suy ra H I = AC = 2a

Do đód(BC, S A) = HK =p H I.SH

H I2+ SH2=

2p21a

Bài 7.3.

Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABC là tam giác đều cạnha, hình chiếu vuông góc của đỉnh S

trên mặt phẳng(ABC) là trung điểm cạnh AB.Gọi M là trung điểm cạnh BC.Biết góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và(ABC)bằng45o.Tính thể tích khối chópS.ABCvà khoảng cách giữa hai đường thẳng ABvà SM theoa.

4 .

Diện tíchSABC=1

2AM.BC =a

2p3

4 . Thể tíchVS ABC=1

3SH.SABC= a

3

16.

GọiNlà trung điểmAC ⇒ MNkAB ⇒ ABk(SMN) ⇒ d(AB, SM) = d(AB, (SMN)) = d(H, (SMN))

GọiI là giao điểm củaCH làM N Suy ra I là trung điểm củaCH và M N⊥CH

HạH J⊥SI ⇒ H J⊥(SMN) ⇒ d(H, (SMN)) = H J Ta cóH I =1

2CH = a

p34

nênd(AB, SM) = H J =p H I.SH

H I2+ SH2=

ap6

Bài 7.4.

Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình thoi cạnh a, ƒB AD = α với cosα =3

4, cạnh bên A A0= 2a Gọi M là điểm thỏa mãn −−→D M = k.−−→D A và N là trung điểm của cạnh A0B0 Tính thể tích khối tứ diệnC0MD0N theoavà tìm k đểC0M⊥D0N

4= 0 ⇔ k = −2

Tuyensinh247.com

Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnhap

3,tam giácSBCvuông tạiS và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC)một góc bằng60o.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo avà tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và

(ABCD)

Giải:

Vì(SBC)⊥(ABCD), CD⊥BC, CD ⊂ (ABCD) nênCD⊥(SBC) ⇒ ƒDSC = (SD; (SBC)) = 60o

⇒ SC = CD cot 60o= a.Suy raSB = ap2.Kẻ SH⊥BC ⇒ SH⊥(ABCD)

Từ tam giácSBC vuông ta cóSH =a

p2p

3 .Suy raVS ABCD=1

3SH.SABCD=a

3p6

3 .

KẻSK ⊥BD.Khi đó hình chiếu HK ⊥BD.Suy ra(SBD, ABCD) = ƒSK H

Từ tam giác vuông SBCta cóBH =SB

2

BC =p2a

3⇒ HK = BH sin 45o=a

p2p

Giải:

GọiO = AC ∩BD.Từ giả thiết suy ra AC⊥(SBD)tại O nênƒASO = (S A; (SBD) = α. B AD = 120ƒ o

⇒ ƒADC = 60o⇒ 4ADCđều cạnha Suy raSABCD= 2SADC=a

2p3

2 vàDO = a

p3

4 .

KẻDH⊥SO.Vì AC⊥(SBD) nên AC⊥DH Suy raDH⊥(S AC) (1)

Ta có4SDO vuông tạiD nênDH = a

p2

2 (2)

VìO là trung điểmBD nênd(B; (S AC)) = d(D; (S AC)) (3)

Từ(1), (2)và(3) ta suy rad(B; (S AC)) = a

p2

Tuyensinh247.com

Bài 7.8.

Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình thang cân(ABkCD), AB = 2CD = 4a,BC = ap10

Gọi O là giao điểm củaACvàBD BiếtSOvuông góc với mặt phẳng(ABCD)và mặt bênS AB

là tam giác đều Tính thể tích khối chópS.ABCD và tính cosin góc giữa hai đường thẳngSD

vàBC.

Giải:

GọiH là hình chiếu củaC trên AB; M, N là trung điểm của AB, CD

Ta cóHB = AB − CD

2 = a ⇒ CH = 3a ⇒ OM = 2a, ON = anên∆O AB vuông cân

Suy raO A = OB = 2ap2 Do đó SO = OB = 2ap2.Suy raVS.ABCD=1

KẻCH⊥AB.Vì A A0⊥(ABC)nên A A0⊥CH ⇒ CH⊥(ABB0A0) ⇒ àC A0H = (A0C, (ABB0A0)) = 30o

Sử dụng định lí cosin và công thức diện tích cho∆ABCta có AB = Ap7,

2 =a

3p105

Bài 7.10.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = ap2,góc giữa hai mặt phẳng (S AC) và (ABCD)bằng 60o Gọi H là trung điểm của AB Biết mặt bên S AB là tam giác cân tại đỉnhS và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chópS.ABCD và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.AHC

2p

3.

Ta cóSH = HF.tan60o=a

p2

Suy raM NkA0I Do đó M Nk(D A0C0) VìM NkAI, B0CkA0D nên(M N, Bá0C) = á(A0I, A0D) (1)

Sử dụng giả thiết và định lí cosin cho các tam giác ta thu được A0D = a, DC0= A0C0= ap3.Suy ra A0I2= A

2 .

Trong4A0D I ta cócos ƒD A0I = A

0D2+ A0I2− D I22A0D.A0I = 3

Bài 7.12.

Cho hình chópS.ABC có mặt phẳng(S AC) vuông góc với mặt phẳng(ABC)và có S A = SB =

SC = 2a, AB = 3a, BC = ap3 (a > 0).Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theoa.

Giải:

KẻSH⊥AC DoS A = SC nênH là trung điểm AC (1)

Vì(S AC)⊥(ABC)nên SH⊥(ABC) ⇒ H A = HC = HB (2)

Từ(1)và (2)suy ra4ABC vuông tạiBcó Hlà tâm đường tròn nội tiếp

Do đó AC =pAB2+ BC2= 2p3a ⇒ SH =pS A2− AH2= a

SH là trục đường tròn ngoại tiếp4ABC, trong mặt phẳng(S AC)đường trung trực củaS Acắt

SH tạiO là tâm mặt cầu Gọi K là trung điểm S A Khi đó hai tam giác vuông SOK và S AH

bằng30o.Tính thể tích khối trụ theoa.

Giải:

GọiB0thuộc đường tròn (O0)sao choBB0kA A0; M là trung điểm của A0B0

Ta có4A0B0O0vuông cân tạiO0.Suy raO0M⊥A0B0 Do đóO0M⊥(A A0B).Suy raOà0AM = 30o

Ta có AO0= O

0Msin 30o = 2.O0M.MàO0M =

p2

2 O

0A0nên A0O =p2.O0A0.Trong tam giác A A0O ta cóAO02= A A02+ A0O02⇔ O0A0= a.VậyV = πa3 

Mặt phẳng(BB1C)chứaB1C và song song với A A1 nênd(A A1; B1C) = d(A ; BB1C) = 2a.

Giải:

GọiH, K là hình chiếu của C lênS A, SB Ta chứng minh được CK ⊥(S AB), S A⊥(CHK)

Suy ra4CHK vuông tạiK và S A⊥K H Do đóα =CHK ƒ

Tương tự, trong tam giác vuôngSBCta có CK2= 2a

2x22a2+ x2.

Do đó từ(1) ⇒2(3a

2+ x2)3(2a2+ x2)=13

19 ⇔ x = 6a, vì x > 0.Suy raVS ABC=1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, A = bb D = 90o, AB = AD = 2a,

CD = a, góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD) bằng 60o, mặt bên S AD là tam giác cân tạiS, mặt phẳng(S AD)vuông góc với mặt đáy Tính thể tích của khối chópS.ABCD

và khoảng cách từ điểmD đến mặt phẳng(SBC)theoa.

Giải:

Vì∆S AD cân tạiS, nên gọi H là trung điểm của AD thìSH⊥AD,

mặt khác(S AD) ⊥(ABCD)nên SH là đường cao hình chópS.ABCD

KẻHK ⊥BC thìSK ⊥BC, tứcSK Hƒ là góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và(ABCD)

Suy ra:SK H = 60ƒ o Ta có:SH = HK.tan60o= HKp3

Dễ thấyBC = ap5và doHK BC = 2SHBC, SHBC= SABCD− (SH AB− SHCD)nênHK =3a

p5

5 .

Suy ra:SH =3a

p15

5 Do đó :VS.ABCD=1

3.SABCD.SH =1

6(AB + CD).AD.SH =3a

3p155

KẻH I⊥SK(I ∈ SK), suy ra:H I⊥(SBC).GọiE là giao điểm củaAD và BC

10 Vậy d (D; (SBC)) =3a

p2

Bài 7.17.

Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình chữ nhật cóAB = 3, BC = 6,mặt phẳng (S AB)vuông góc với mặt phẳng đáy,các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với mặt phẳng (ABCD)các góc bằng nhau.Biết khoảng cách giữa hai đường thẳngS AvàBDbằngp6.Tính thể tích khối chóp

S.ABCD và côsin góc giữa hai đường thẳngS AvàBD.

Giải:

Tuyensinh247.com

HạSH⊥AB ⇒ SH⊥(ABCD)(do(S AB) ⊥(ABCD) = AB)

KẻHK ⊥CD ⇒tứ giác HBCK là hình chữ nhật

Ta thấyBC⊥(S AB) ⇒ ƒSBH = ((SBC),(ABCD)), CD⊥(SHK) ⇒ ƒSK H = ((SCD),(ABCD))

theo gt ƒSBH = ƒSK H ⇒∆SHB =∆SHK (gcg) ⇒ HB = HK = BC = 6do đó Alà trung điểm HB

Ta thấy ABDKlà hình bình hành⇒ BDkAK ⇒ BDk (S AK)

màS A ∈ (S AK) ⇒ d (BD, S A) = d (BD,(S AK)) = d (D,(S AK)) = d (H,(S AK))=p6 = h

Do tam diệnH.S AK vuông tạiH ⇒ 1

2.3p5.3p

5 =15

Suy ra thể tích khối chópS.ABD được tính bởi:

⇒ VS.ABCD= 2VS.ABD=a

3p2

6 (đvtt).

Trong4SBDdựngOH⊥SD tạiH (1), nênH là trung điểm củaSD

Theo chứng minh trên AO⊥(SBD) ⇒ AO⊥OH (2)

(1)và(2) chứng tỏOH là đoạn vuông góc chung của ACvàSD

Vậy d(AC, BD) = OH =1

2SB = a

Bài 7.19.

Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A

trên(A0B0C0)trùng với trọng tâmGcủa4A0B0C0.Mặt phẳng(BB0C0C)tạo với(A0B0C0)góc60o Tính thể tích lăng trụ ABC.A0B0C0theoa.

2 = A0M0, A0G =x

p3

3 .

Trong4A A0G vuông có AG = A A0sin 60o=a

p3

2 ; A

0G = A A0cos 60o=a

2= x

p3

3 ⇔ x =a

p3

2 .

Tuyensinh247.com

2AB.AC sin 60

o= x

2p3

4 =

p34

Ã

ap32

!2

=3a

2p3

16 .

VABC.A0 B 0 C 0= AG.S∆ABC=a

p32

3a2p3

D

I

S

M H

K

Gọi I là tâm hình thoi ABCD, khi đó (S AC) ∩ (SBD) = SI Vì hai mặt phẳng(S AC) và (SBD)

cùng vuông góc với đáy ABCD nên suy raS I ⊥ mp(ABCD)

4ABCcân đỉnhBvàƒABC = 600nên4ABC là tam giác đều cạnha Do đó gọi Mlà trung điểm

AB thìBI = CM =a

p3

2 .

Kẻ I H ⊥ ABtạiH, thì ta có SH ⊥ AB Bởi vậy:

á(m p(S AB); m p(ABCD)) = SH I = 300 và I H =1

2CM = a

p34

S I = IH tan SH I =a

p3

4 tan 30

0= a4

2 .

a

4=a

3p3

24 .

Kẻ I K ⊥ SHtạiK, khi đó I K ⊥ mp(S AB)

Trong tam giác vuôngS I H, ta có:

Suy ra:I K = a

p3

8 =a

p34

Kết luận:VS.ABCD=a

3p3

24 ;d(S A; CD) = a

p3

Tuyensinh247.com