Chuyên đề Hình giải tích lớp 1223713

Trịnh Thị Hồng Hạnh Hình giải tích lớp 12: Phương pháp toạ độ không gian Phần I: Hệ toạ độ không gian I Kiến thức bản: Hệ trục tọa độ không gian: Hệ gồm trục 0x, 0y, 0z đôi vuông góc gọi hệ trục tọa độ vuông góc không gian Nếu ta lấy vectơ đơn vị i, j , k nằm 0x, 0y, 0z th×: 2         i  j  k , i j  j.k  k i  To¹ độ vectơ điểm:  u  ( x; y; z )  u  xi  y j  zk     M  ( x; y; z )  OM  xi  y j  zk  NÕu A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) th×: AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A ) Vectơ Tọa độ vect¬ tỉng, vect¬ hiƯu: Cho u  ( x1 ; y1 ; z1 ), v  ( x2 ; y2 ; z2 ) Khi ®ã:   u  v  x1  x2 , y1  y2 , z1  z2   u  v  ( x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2 )  ku  (kx1 ; ky1 ; kz1 ), k  ฀   mu  nv  (mx1  nx2 ; my1  ny2 ; mz1  nz2 ); m, n  ฀ Hai vect¬ cïng ph­¬ng:    Hai vect¬ u  ( x1 ; y1 ; z1 ) vµ v  ( x2 ; y2 ; z2 ) cïng ph­¬ng ( u  )  x2  kx1   x y z   k  ฀ : v  ku   y2  ky1    x1 y1 z1  z  kz  Tích vô hướng hai vectơ: Cho hai vect¬ u  ( x1 ; y1 ; z1 ), v  ( x2 ; y2 ; z2 ) Khi ®ã:      u.v  u v cos(u , v)  x1 x2  y1 y2  z1 z2  2 u  u  x12  y12  z12  2 AB  AB  xB  x A    yB  y A   z B  z A    cos u , v    x1 x2  y1 y2  z1 z2 x12  y12  z12 x22  y22  z22   u  v  x1 x2  y1 y2  z1 z2  Cè g¾ng hÕt søc mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh Tích có hướng hai vectơ: Trong không gian cho hai vectơ u ( x1 ; y1 ; z1 ), v  ( x2 ; y2 ; z2 ) TÝch cã h­íng cđa hai     vect¬ u , v , kÝ hiệu là: u, v , xác định bởi: VA 'CMN    y u , v       y2 z1 z1 ; z2 z2 x1 x1 ; x2 x2 y1   y2  TÝnh chÊt:       u , v   u , u , v   v           u , v   u v sin u , v          u , v cïng ph­¬ng  u , v       u , v, w đồng phẳng u , v  w  C¸c øng dơng cđa tÝch cã h­íng:     AB, AC  2    TÝnh thÓ tÝch khèi hép: VABCD A ' B 'C ' D '   AB AD  AA '    ThĨ tÝch tø diƯn: VABCD   AB, AC  AD TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c: SABC II Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.ABCD biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C(4;5;-5) Tìm toạ độ đỉnh lại hình hộp Ví dơ 2: TÝnh tÝch cã h­íng u, v  , biÕt:   u  (1; 2;  3), v  (4;1; 2) a,   b, u  (0;1; 2), v  (3; 0; 4)    VÝ dụ 3: Xét đồng phẳng ba vectơ u, v, w trường hợp sau: a, u  (1; 1;1), v  (0;1; 2), w  (4; 2;3)    u  (  3;1;  2), v  (1;1;1), w  (2; 2;1) b, Ví dụ 4: Trong không gian cho điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1) a, Chøng minh ®iĨm ®ã không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD b, Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC, trọng tâm tứ diện ABCD c, Tính diện tích mặt tứ diện d, Tính độ dài đường cao tứ diện e, Tính góc hai đường thẳng AB CD Ví dụ 5: Trong không gian 0xyz cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1) a, Chøng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b, TÝnh chu vi, diƯn tÝch cđa tam gi¸c ABC c, Tìm toạ độ điểm D để ABCD hình bình hành Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh d, Tính độ dài đường cao hA tam giác ABC kẻ từ A e, TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c ABC f, Xác định toạ độ trực tâm tam giác ABC Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a a, Chứng minh AC(ABD) b, Gọi M trung điểm cđa AD, N trung ®iĨm cđa BB’ Chøng minh r»ng: A’CMN   c, TÝnh cosin cđa gãc gi÷a hai vect¬ MN , AC ' d, TÝnh VA 'CMN III Bài tập: Câu 1: Trong không gian 0xyz cho tam gi¸c ABC cã: A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-4;7;5) a, TÝnh độ dài đường cao AH tam giác kẻ từ đỉnh A b, Tính độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh B Câu 2: Cho tø diƯn ABCD cã: A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) vµ D thc 0y Biết VABCD=5 Tìm toạ độ đỉnh D Câu 3: Cho ®iĨm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-2;0), D(1;2;1) a, Chøng minh tam giác ABC tam giác vuông Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác b, Tính thể tích tứ diện ABCD Câu 4: Trong không gian cho ®iĨm A(2;-2;2), B(0;5;-3), C(3;0;1), D(1;2;3) a, Chøng minh điểm không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD b, Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC, träng t©m cđa tø diƯn ABCD c, TÝnh diƯn tích mặt tứ diện d, Tính độ dài đường cao tứ diện e, Tính góc hai đường thẳng AB CD Câu 5: Trong không gian 0xyz cho ba ®iĨm A(2;1;3), B(-1;3;4), C(-2;0;5) a, Chøng minh A, B, C ba đỉnh tam gi¸c b, TÝnh chu vi, diƯn tÝch cđa tam gi¸c ABC c, Tìm toạ độ điểm D để ABCD hình bình hành d, Tính độ dài đường cao hA tam giác ABC kẻ từ A e, Tính góc tam giác ABC f, Xác định toạ độ trực tâm tam giác ABC Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh Phần II: Phương trình mặt phẳng I Kiến thức bản: Vectơ pháp tuyến mặt phẳng: - Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng () giá n vuông góc với mặt phẳng (), viết tắt n  ( )   - NÕu hai vect¬ u  ( x1 ; y1 ; z1 ), v  ( x2 ; y2 ; z2 ) kh«ng cïng phương giá chúng song song với mp() (hoặc nằm ()) vectơ y n  u , v     y2 z1 z2 ; z1 x1 z2 x2 ; x1 x2 y1 y2 vectơ pháp tuyến () Mặt phẳng qua điểm M0(x0;y0;z0) với vectơ pháp tuyến n( A; B; C ) có phương trình tổng quát là: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Mỗi mặt phẳng có phương trình tổng quát dạng: Ax+By+Cz+D=0 (1) với A2+B2+C2>0 Ngược lại, phương trình có dạng phương trình mặt phẳng Nếu mặt phẳng () có phương trình (1) vectơ n( A; B; C ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng () Các trường hợp đặc biệt: Xét mặt phẳng () có phương trình Ax+By+Cz+D=0 Khi đó: - D=0 () qua gốc toạ độ - C=0, D≠0  () song song víi trơc 0z; C=D=0  () chøa trôc 0z - B=C=0, D≠0  () ss với mặt phẳng (0yz); B=C=D=0 () mp(0yz) - A=C=0, D0 () ss với mặt phẳng (0xz); A=C=D=0  () chÝnh lµ mp(0xz) - A=B=0, D≠0  () ss với mặt phẳng (0xy); A=B=D=0 () mp(0xy) Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (): Ax+By+Cz+D=0 (): Ax+By+Cz+D=0 A B C D    A' B ' C ' D ' A B C D - ()// (’)     A' B ' C ' D ' - () c¾t (’)  A : B : C  A ' : B ' : C ' - ()  (’)  AA ' BB ' CC '  - ()  (’)  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng () không qua gốc 0, cắt trục 0x điểm (a; 0; 0), cắt trục 0y tai điểm (0; b; 0), cắt trục 0z điểm (0; 0; c) có phương trình: x y z 1, abc a b c Phương trình gọi phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng () Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh Góc hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (): Ax+By+Cz+D=0 (): Ax+By+Cz+D=0 Gọi () góc hai mặt phẳng () (), ta cã: AA ' BB ' CC ' cos   A2  B  C A '2 B '2 C '2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho mặt phẳng (): Ax+By+Cz+D=0 điểm M0(x0;y0;z0), đó: Ax0 By0  Cz0  D d ( M , ( ))  A2  B  C * Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: a, Đi qua điểm M(1; 1; 2) có vectơ páhp tuyến n  (1; 2; 3)   b, §i qua điểm M(-2; -1; 4) có cặp vectơ phương lµ: u  (2;1; 2), v  (3; 1;5) c, §i qua ba ®iĨm A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6) d, Đi qua M(1; 3; -2) vuông góc với trục 0y e, Đi qua điểm M(1; 3; -2) vuông góc với đường thẳng BC với B(0; 2; -3), C(1; -4; 1) f, Đi qua điểm M(1; 3; -2) song song với mặt phẳng: 2x-y+3z+4=0 g, Đi qua hai điểm A(3; 1; -1), B(2; -1; 4) vuông góc với mặt phẳng: 2x-y+3z+4=0 h, Đi qua ®iĨm M(2; -1; 2), song song víi trơc 0y vuông góc với mặt phẳng: 2x-y+3z+4=0 i, Đi qua điểm M(-2; 3; 1) vuông góc với hai mặt phẳng: (): 2x+y+2z+5=0 (): 3x+y+z-3=0 Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng cho phương trình: a, x-y+2z-4=0 10x-10y+20z-40=0 a, 3x-2y-3z+5=0 vµ 9x-6y-9z-5=0 a, x+y+z-1=0 vµ 2x+2y-2z+3=0 a, x-2y+z+3=0 vµ 2x-y+4z-2=0 a, x+2y-z+5=0 2x+3y-7z-4=0 Ví dụ 3: a, Tìm a để hai mặt phẳng: x-1/4y-z+5=0 xsina+ycosa+zsin3a+2=0 vuông góc với b, Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x-my+3z-6+m-0 (m+3)x-2y+(5m+1)z-10=0 Với giá trị m hai mặt phẳng đó: - Song song với - Trùng - Cắt - Vuông góc với Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục 0z tạo với mặt phẳng 2x+y-z=0 góc 600 Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh * Bài tập: Câu 1: a, Bèn ®iĨm A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6), D(3; 2; 1) cã thc cïng mét mỈt phẳng không? b, Tìm a để điểm A(1; 2; 1), B(2; a; 0), C(4; -2; 5), D(6; 6; 6) thuộc mặt phẳng c, Cho điểm A(1; 1; 1), B(3; -1; 1), C(-1; 0; 2) §iĨm C có thuộc mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Câu 2: Trong trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: a, Đi qua điểm M(-2; 3; -2) có vectơ pháp tuyến n (5; 4;3) b, Đi qua điểm M(3; 2; -1) có cặp vectơ phương là: u (3;1; 2), v (4; 2;3) c, Đi qua ba điểm A(-5; 4; 6), B(1; -2; 3), C(1/2; 1; -2) d, §i qua M(1; 3; -2) vuông góc với trục 0z e, Đi qua điểm M(1; 3; -2) vuông góc với đường thẳng AB với A(1; 0; 2), C(2; -3; 1) f, Đi qua điểm M(1; 3; -2) song song với mặt phẳng: 3x+y-3z+5=0 g, Đi qua hai điểm A(2; -1; 1), B(-2; 1; -4) vuông góc với mặt phẳng: x-2y+3z-5=0 h, Đi qua điểm M(4; 5; 6), song song với trục 0x vuông góc với mặt phẳng: x-2y+3z-4=0 i, Đi qua điểm M(2; -3; 1) vuông góc với hai mặt phẳng: (): x+2y+3z-65=0 (): -3x+2y+2z-5=0 Câu3: Cho mặt phẳng: (P): x+y+z-6=0, (Q): mx-2y+z+m-1=0, (R): mx+(m-1)y-z+2m=0 Xác định giá trị m để ba mặt phẳng đôi vuông góc với nhau, tìm giao điểm chung ba mặt phẳng Câu 4: Viết phương trình mp(Q) qua A(3; 0; 0), C(0; 0;1) tạo với mặt phẳng (0xy) góc 600 Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b), với a, b số dương M trung điểm CC a, Tính thể tích tứ diện BDAM b, Tìm tỉ số a/b để mp(ABD) vuông góc với mp(MBD) Câu 6: Viết phương trình trung trực đoạn thẳng AB với A(2, 1, 4), B(-1, -3, 5) Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ trùc chn 0xyz, cho tø diƯn ABCD cã ®Ønh A(1, 1, 1), B(-2, 0, 2), C(5, 0, 4), D(4, 0, 6) a, Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) b, Tính chiều dài đường cao hạ từ ®Ønh D cđa tø diƯn, tõ ®ã suy thĨ tích tứ diện Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh II Các dạng toán bản: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng A, B, C cho trước QuaA :       n   AB, AC Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với đường thẳng d cho tr­íc QuaA   :     n ud Viết phương trình mặt phẳng qua A vµ song song d1, song song d2 (d1 chÐo d2) QuaA  :      n ud1 , ud2 Viết phương trình mặt phẳng qua d (có A ud ) vµ song song víi d1 QuaA  :       n  ud , ud1  Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với mf (1) (2) QuaA :      n  u1 , u Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song cắt d1, d2 +, Hai đường thẳng cắt nhau: QuaA d1 (ord )  :       n  u1 , u  +, Hai ®­êng th¼ng song song: QuaA  d1 (ord )  :      n   AB, u2  , B  d ViÕt ph­¬ng trình mặt phẳng qua d vuông góc với mặt phẳng () QuaA :  n  ud , u  Cè g¾ng hÕt sức mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh * Các ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng A(2; 1), B(-1; 3), C(0; 5) cho tr­íc ViÕt ph­¬ng trình mặt phẳng qua A(1; -2) vuông góc với đường thẳng d : x 3t  d : y  t  z  2t Viết phương trình mặt phẳng ®i qua A(1; -2) vµ song song d1, song song d2 x   t  d :  y  1 t  z  2t   x   2t  d ': y  z t Viết phương trình mặt phẳng qua d song song với d1 x   3t  d :  y  3  2t z   t   x   2t  d ': y  t z  1 t  ViÕt ph­¬ng trình mặt phẳng qua A(1; -2) vuông góc víi mf (1) vµ (2) (1): 2x+3y-z+5=0; (2): 3x-4y+5z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d vµ d’  x   3t  d :  y  3  2t z   t   x   3t  d ' :  y   2t  z  4  t  ViÕt ph­¬ng trình mặt phẳng qua d vuông góc với mặt phẳng () x 3t d :  y  3  2t vµ (): x-y+z+1=0 z   t  Cè g¾ng hÕt sức mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh * Bài tập: Câu 1: Trong không gian 0xyz cho điểm G(1; 1; 1) Viết phương trình mặt phẳng qua G vuông góc với đường thẳng OG Câu 2: Cho hai mặt phẳng: (): 3x-2y+2z+7=0 (): 5x-4y+3z+1=0 Viết phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ O, đồng thời vuông góc với () () Câu 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy qua điểm M(1; -1; 1) Câu 4: Viết phương trình mặt phẳng cách hai đường thẳng d1, d2 có phương trình là: x t  d1 :  y   t  z  2t   x   2t  d2 :  y  z  t Câu 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1 d2 x  2t  d1 :  y   t z   t   x   2t  d2 :  y  t  z  2  t  C©u 6: ViÕt phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () x 2t  d1 :  y   3t  z  2t  ( ) : x  y  z   Cè gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh Phần III: Phương trình đường thẳng I Các kiến thức bản: Đường thẳng ®i qua ®iĨm M0(x0; y0; z0) víi vect¬ chØ ph­¬ng u  (a; b; c) cã:  x  x0 at - Phương trình tham số là: y  y0  bt , (t  ฀ )  z  z  ct  x  x0 y  y0 z  z0   - Phương trình tắc là: a b c Vị trí tương đối hai đường thẳng d d:    - d vµ d’ cïng n»m mặt phẳng u, u ' M M '        u , u '  u , M M '      u , u '   - d song song víi d’        u , M M '      u , u '  - d vµ d’ c¾t        u , u ' M M '     - d vµ d’chÐo  u, u ' M M '  - d trïng d’ Gãc:   - Cho hai đường thẳng d, d có vectơ phương u (a; b; c), u ' (a '; b '; c ') Gãc  gi÷a hai đường thẳng tính theo công thức:  u.u ' cos     u u' aa ' bb ' cc ' a  b  c a '2  b '2 c '2 - Cho đườngthẳng d mặt phẳng () có vectơ phương vectơ pháp tuyến lµ  u  (a; b; c), n  ( A; B; C ) Gọi góc d () tính theo công thức:  u.n Aa  Bb  Cc sin      u.n a  b  c A2  B  C Khoảng cách: - Khoảng cách từ điểm M1 tới đường thẳng (đi qua M0 có vectơ phương u ) là: M 1M , u    d ( M , ) u - Khoảng cách hai đường thẳng chéo (đi qua M0 có vectơ ph­¬ng    u , u ' M M '     u ) vµ (đi qua M0 có vectơ phương v ) lµ: d (,  ')    u , u ' Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh * Các ví dụ: Câu 1: Viết phương trình đường thẳng trường hợp sau đây: a, Đi qua A(2; 0; -1) song song với trục Oz b, Đi qua A(-2; 1; 2) B(1; 2; 4) c, Đi qua A(4; 3; 1) song song với đường thẳng  x   2t   :  y  3t  z   2t  d, Đi qua A(1; 2; -1) song song với đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (): x+y-z+3=0 (): 2x-y+5z-4=0 e, Đi qua A(-2; 1; 0) vuông góc với mặt phẳng (): x+2y-2z+1=0 f, Đi qua A(2; -1; 1) vuông góc với hai đường thẳng có vectơ phương u1  (1;1; 2); u2  (1; 2;0) C©u 2: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d, d cho phương trình sau: x y  z  x  y 1 z  ;   d ':   2  x  9t  b, d :  y  5t vµ d’ lµ giao tun cđa hai mf (): 2x-3y-3z-9=0 vµ (): x-2y+z+3=0  z  3  t  a, d : Câu 3: Tính khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng d trường hợp sau: x  y 1 z 1 d:   a, M (2;3;1), 2 b, M0(2; 3; -1), d giao tuyến hai mặt phẳng (): x+y-2z-1=0; (): x+3y+2z+3=0 Câu 4: Tính góc cặp đường th¼ng sau:  x   2t  a, d :  y  1  t ;  z   4t  x   t '  d ' :  y  1  3t '  z   2t '  x 1 y  z   , d giao tuyến hai mặt phẳng (): x+2y-z+1=0 (): 2x+3z-2=0 Câu 5: Tính góc đường thẳng mặt phẳng () trường hợp sau: b, d : x   2t  a,  :  y  1  3t ; z   t  b,  : ( ) : x  y  z   x  y 1 z  ;   2 ( ) : x  y  z Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh * Bài tập: Câu 1: Viết phương trình đường thẳng trường hợp sau đây: a, Đi qua A(3; 2; 1) song song với trục Ox b, Đi qua A(5; -2; 0) B(-2; 1; -4) c, Đi qua A(3; 1; 2) song song với đường thẳng x   t   :  y  1  3t  z  4t  d, §i qua A(3; 1; -3) song song với đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (): 2x+y-2z+1=0 (): x-2y+3z-4=0 e, Đi qua A(-3; -1; 2) vuông góc với mặt phẳng (): 4x+3y-2z+1=0 f, Đi qua A(3; -1;1) vuông góc với hai đường thẳng có vectơ phương u1 (1; 1;3); u2 (2; 1;3) Câu 2: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d, d cho phương trình sau: x y z x y 8 z 4   ; d ':   2 2  x  9t  b, d :  y  5t vµ d’ lµ giao tun cđa hai mf (): x-y-3z+4=0 vµ (): 2x-y+z+3=0  z  3  t a, d : Câu 3: Tính khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng d trường hợp sau: a, M (1;2;1), x y 1 z  d:   b, M0(4; 2; -1), d giao tuyến hai mặt phẳng ():3x+2y-z-1=0; (): 2x+y-2z+3=0 Câu 4: Tính góc cặp đường th¼ng sau: x   t x   t '   d ' :  y  1  3t ' a, d :  y   2t ;  z   4t  z  2t '   x  y 1 z    , d’ giao tuyến hai mặt phẳng (): 2x-y-z+3=0 (): 2x+3y-2=0 Câu 5: Tính góc đường thẳng mặt phẳng () trường hỵp sau:  x   3t  a,  :  y   2t ; ( ) : x  y  3z    z  2  t  b, d : b,  : x  y 1 z  ;   1 ( ) : x  y  z  Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh II Các dạng toán bản: Viết phương trình đường thẳng qua điểm có vectơ phương lµ u  QuaA  d : u  vtcp Viết phương trình đường thẳng qua hai ®iĨm ph©n biƯt A, B cho tr­íc QuaA d : ud AB Viết phương trình đường thẳng qua điểm vuông góc với mf() cho tr­íc  QuaA d :    ud n Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với hai mặt phẳng cắt (1) (2) QuaA d :       ud   n , n ' Viết phương trình đường thẳng qua điểm cắt hai đường thẳng chéo d1 vµ d2 cho tr­íc QuaA             ; n1   AA1 , ud1  ; n2   AA2 , ud2  d :   ud n1 , n2 Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo Gọi đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 Cách 1: A=d1 B=d2     d1  ud AB     , Suy täa ®é A, B từ viết ptđt d  ud2 AB    Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng () qua d1 vµ  (víi u  ud , ud  ) Tìm B=d2() Suy phương trình đường thẳng : quaB   :      u u    d1 , ud2  Cè gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh Các ví dụ: Ví dụ 1: a, Tìm toạ độ hình chiếu (vuông góc) điểm M0(1; -1; 2) mặt phẳng (): 2x-y+2z+12=0 b, Cho ®iĨm A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1; 1; 1) Tìm toạ độ hình chiếu d mặt phẳng (ABC) c, Cho điểm A(1; 1; 2), B(-2; 1; -1), C(2; -2; -1) T×m toạ độ hình chiếu gốc mặt phẳng (ABC) Ví dụ 2: Tìm toạ độ điểm đối xứng M(2; 3; 5) qua mặt phẳng (): 2x+3y+z-17=0 Ví dơ 3: a, Cho ®iĨm A(-1; 3; 2), B(4; 0; -3), C(5; -1; 4) Tìm toạ độ hình chiếu H điểm A đường thẳng d b, Cho đường thẳng d: x2 y2 z điểm M0(4; -3; 2) Tìm toạ độ hình chiếu H M0 đường thẳng d Ví dụ 4: Tìm toạ độ điểm đối xứng M0(-3; 1; -1) qua đường thẳng: x 2t  d :  y  1  t  z 2t Ví dụ 5: Viết phương trình đường vuông góc chung cặp đường thẳng sau: x2 y 3 z x 1 y  z  a, d :   ;d ' :   1 2 1 3 x   t  x   2t   b, d :  y   t ; d ' :  y   z  2t z  t   VÝ dô 6: Trong không gian toạ độ 0xyz cho đường thẳng:  x   2t x   t  d:  y  1  t  :  y  1  2t z   t z    Gäi d’ lµ giao tuyến hai mặt phẳng: (): 3x-y-7=0 (): 3x+3y-2z-17=0 a, Chứng minh d, d chéo vuông góc với b, Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d vuông góc với d Tìm toạ ®é giao ®iĨm H cđa d vµ (P) VÝ dơ 7: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB, CD AD a, Tính khoảng cách cặp đường thẳng AB, BD cặp đường thẳng PI, AC (I tâm đáy) b, Tính góc hai đường thẳng MP CN c, Tính góc hai mặt phẳng (PAI) (DCCD) Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh Bài tập: Câu 1: Trong không gian toạ độ 0xyz cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có phương trình: x 12 y z    d: ( P) : 3x  y  z   a, Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P) b, Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M0(1; 2; -1) vuông góc với đường thẳng d c, Viết phương trình hình chiếu vuông góc d d lên mặt phẳng (P) d, Cho điểm B(1; 0; -1), hÃy tìm toạ độ điểm B cho (P) mặt phẳng trung trực đoạn thẳng BB e, Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P), vuông góc cắt đường thẳng d Câu 2: Trong không gian 0xyz cho hai mặt phẳng: (): 2x-y+3z+1=0 (): x-y+z+5=0 ®iĨm M(1; 0; 5) a, Chøng minh () vµ (’) cắt Tính góc () () b, Viết phương trình tham số giao tuyến hai mặt phẳng () () c, Gọi H hình chiếu M mp(), K hình chiếu M mp() Tính độ dài đoạn HK d, Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng e, Viết phương trình đường thẳng qua M, vuông góc với cắt g, Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng (),() vuông góc với mặt phẳng (P): 3x-y+1=0 Câu 3: Trong không gian 0xyz cho đường thẳng : x  t   :  y  1  2t z   Gäi ’ lµ giao tuyÕn hai mặt phẳng: (): x-3y+z=0 (): x+y-z+4=0 điểm M0(1; 1; 2) a, Xét vị trí tương đối hai đường thẳng b, Viết phương trình mặt phẳng chứa song song với c, Viết phương trình mặt phẳng qua M0 vuông góc với d, Viết phương trình đường thẳng qua M0, cắt e, Tính khoảng cách f, Viết phương trình đường vuông góc chung Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh Phần IV: Hình chiếu Tổng khoảng cách ngắn I Hình chiếu: Hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng: a, Tìm tọa độ hình chiếu điểm lên mặt phẳng: Cho điểm A(xA,yA,zA) mặt phẳng (P), để xác định hình chiếu vuông góc H A lên mặt phẳng (P), ta thực theo bước sau: Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d qua A vuông góc với mặt phẳng (P) Bước 2: Toạ độ giao điểm H d (P) hình chiếu vuông góc A lên (P) b, Tìm điểm đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P): Gọi A điểm đối xứng A qua (P) Để xác định toạ độ A, ta thực bước sau: Bước 1: Tìm toạ độ hình chiếu H A lên mặt phẳng (P) Bước 2: Với điều kiện H trung điểm AA, ta tìm A c, Xác định phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng cho trước qua mặt phẳng cho trước Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Gọi d1 đường thẳng đối xứng với d qua (P) Để xác định d1 ta thực bước sau: Bước 1: Lấy hai điểm phân biệt thuộc d Bước 2: Xác định toạ độ điểm A1, B1 đối xứng víi A, B qua (P) B­íc 3: d1 chÝnh lµ đường thẳng qua A1, B1 Xác định phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng lên mặt phẳng cho trước: +, Nếu d vuông góc với mặt phẳng (P): Hình chiếu vuông góc đường thẳng d lên mặt phẳng (P) giao điểm d vµ (P) +, NÕu d song song víi (P): LÊy điểm A d, tìm toạ độ hình chiếu A A lên (P) Đường thẳng qua A, song song với A hình chiếu d lên (P) +, Nếu d cắt (P) I Lấy điểm M thuộc d Tìm tọa độ hình chiếu M M lên (P) Đường thẳng qua I M hình chiếu d lên (P) Hình chiếu vuông góc điểm lên đường thẳng: a, Tìm toạ độ hình chiếu điểm lên đường thẳng Cho điểm A(xA,yB,zA) đường thẳng a ( A d ), để xác định hình chiếu vuông góc H A lên d, ta thực theo bước sau: Bước 1: Xác định vectơ phương đường thẳng d Bước 2: H d nên toạ độ H thoả mÃn phương trình tham số d Suy toạ độ AH Bước 3: H hình chiếu vuông góc A xuống d  AH ud  (1) B­íc 4: Tõ (1), ta xác định giá trị tham số, thay vào phương trình tham số d, ta toạ ®é ®iĨm H b, T×m ®iĨm ®èi xøng cđa ®iĨm A qua đường thẳng d Gọi A1 điểm đối xứng A qua d Để thực toạ độ A1, ta thực theo bước: Bước 1: Tìm toạ độ điểm H hình chiếu vuông góc A lên đường thẳng d Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh Bước 2: Với điều kiện H trung điểm AA1, ta xác định toạ độ A1 II Tổng khoảng cách ngắn nhất: Mặt phẳng: Cho hai điểm A(xA,yA,zA), B(xB,yB,zB) mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0 Tìm điểm M thuéc (P) cho MA+MB nhá nhÊt B­íc 1: Xác định vị trí tương đối hai điểm A, B mặt phẳng (P) cách tính tA=axA+byA+czA+d tB=axB+byB+czB+d Nếu tA.tB0  A, B cïng phÝa ®èi víi (P) Thùc hiƯn bước Bước 2: Viết phương trình tham số đường thẳng AB.Tìm toạ độ giao điểm AB (P) Thực bước Bước 3: Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (P) - Viết phương trình tham số đường thẳng A1B - Tìm toạ ®é giao ®iĨm N cđa A1B vµ (P) Thùc hiƯn b­íc B­íc 4: Ta chøng minh r»ng MA+MB nhá MN Thật vậy: Lấy điểm M  ( P ) , ta cã: MA+MBNA+NB DÊu xảy MN Bước 5: Ta chøng minh r»ng MA+MB nhá nhÊt vµ chØ MN ThËt vËy: LÊy ®iĨm M bÊt kú thc (P) ta có: MA+MB=MA1+MBA1B=NA1+NB=MA1+MB Dấu xảy MN Đường thẳng: Cho hai điểm A, B thuộc đường thẳng d Tìm điểm M d cho MA+MB nhỏ Bước 1: Tìm toạ độ điểm A1, B1 theo thứ tự hình chiếu vuông góc A, B lên d Bước 2: Tính độ dài AA1 BB1 Từ suy toạ độ điểm N chia vectơ A1 B1 theo tỉ sè  AA NA AA b»ng  (tøc lµ 1   ) BB1 BB1 NB1 B­íc 3: Ta chứng minh MA+MB nhỏ MN Gọi A2 điểm thuộc mặt phẳng xác định (B, d), khác phía B thoả mÃn: AA1 A1 A2 AA A A NA AA    1    A2 , B, N thẳng hàng BB1 BB1 BB1 NB1 A1 A2 d Vậy: MA+MA=MA2+MBA2B=NA+NB Dấu xảy chØ MN * C¸c vÝ dơ: VÝ dơ 1: Cho điểm A(2, 3, -1) mặt phẳng (P): 2x-y-z-5=0 Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng (P) Từ tìm toạ độ điểm A1 ®èi xøng víi A qua (P) VÝ dơ 2: Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có phương trình: Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh d: x y 1 z 1   ;( P) : x  y  z   a, Tìm giao điểm A d (P) b, Viết phương trình đường thẳng hình vuông góc d lên (P) Ví dụ 3: Cho điểm M(1, 2, -1) d có phương trình: x y  z    Gäi N 2 điểm đối xứng điểm M qua đường thẳng d Tính độ dài đoạn MN VÝ dơ 4: Cho hai ®iĨm A(1, 1, 2), B(2, 1, -3) mặt phẳng (P): 2x+y-3z-5=0 Tìm điểm M thuéc (P) cho AM+BM nhá nhÊt VÝ dô 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1, 1, 0), B(3, -1, 4) đường thẳng d có phương trình: x y z Tìm điểm M đường thẳng d 1 cho tổng độ dài MA+MB nhỏ * Bài tập: Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có phương trình: x  y  z   x y  z 1 d : d:   ;( P) : x  y  z   x  y   Viết phương trình hình chiếu vuông góc d lên (P) Câu 2: Cho điểm A(1, 2, -1) đường thẳng d có phương trình:  x   2t  d :  y   t ,t  R  z 3t Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc A lên đường thẳng d Từ tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua d Câu 3: Cho điểm A(2, 1, -3) ®­êng th¼ng d: x 1 y  z  Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc A lên đường thẳng d Từ tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua d Câu 4: Cho hai điểm A(-7, 4, 4), B(-6, 2, 3) mặt phẳng (P): 3x-y-2z+19=0 Tìm điểm M thuộc (P) cho AM+BM nhỏ Câu 5: Cho đường thẳng d có phương trình: x  y  z   d : x y Tìm điểm M thuéc d cho AM+BM nhá nhÊt khi: a, A(1, 2, -1) vµ B(8, 1, -2) b, A(1, 2, -1) B(0, 1, 2) Cố gắng mình, để hối tiếc! ThuVienDeThi.com Trịnh Thị Hồng Hạnh Phần V: Mặt cầu I Kiến thức bản: Định nghĩa: Tập hợp tất điểm không gian cách điểm I cố định khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R Phương trình tắc mặt cầu: Mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c), bán kính R có phương trình tắc là: ( S ) : ( x  a )  ( y  b)  ( z  c )  R Phương trình tổng quát mặt phẳng: Phương trình: x  y  z  2ax 2by 2cz d phương trình tổng quát mặt cầu có điều kiện a  b  c  d Khi I (a, b, c) tâm mặt cầu R a b c d bán kính mặt cầu Vị trí tương đối điểm mặt cầu: Cho mặt cầu (S) có phương trình: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  , cã I (a, b, c) tâm mặt cầu R  a  b  c  d bán kính mặt cầu Giả sử M ( x0 , y0 , z0 ) điểm kh«ng gian XÐt: PM /( I )  MI  R  x02  y02  z02  2ax0  2by0  2cz0  d +, NÕu PM /( I )   M n»m mặt cầu +, Nếu PM /( I ) M nằm mặt cầu +, Nếu PM /( I ) M nằm mặt cầu Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu: Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R đường thẳng d Gọi H hình chiếu vuông góc I lên d +, Nếu IH R d mặt cầu (S) ®iÓm chung +, NÕu IH  R  d tiÕp xúc với mặt cầu (S) H +, Nếu IH R d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vuông góc I lên (P), ta có: +, Nếu IH>R Mặt phẳng (P) mặt cầu (S) điểm chung +, Nếu IH