SỞ GD - ĐT HỊA BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2010-2011 Mơn: Tốn Ngày thi: 23/12/2010 (Thêi gian lµm bµi 180' không kể thời gian giao đề) CHNH THC Cõu (5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: y sin x cos x sin x Cho hàm số y x x 1 (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thỏa mãn OA = 4OB Câu (6 điểm) Giải phương trình: 2sin ( x ) 2sin x – tan x Giải phương trình: log log 2 x x 5 x y x y Giải hệ phương trình: 2 x x y y Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A Gọi G trọng tâm tam giác đó, biết BC BG có phương trình là: x y ; x y ,và đường thẳng CG qua điểm E (4;1) Viết phương trình đường cao AH Câu (2 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 2mx x Câu (4 điểm) Cho hình chóp S ABCD có SA x tất cạnh cịn lại có độ dài a Chứng minh đường thẳng BD vng góc với mặt phẳng ( SAC ) Tìm x theo a để thể tích khối chóp S ABCD a3 Câu (1 điểm) Tính góc tam giác ABC biết: 2sin A sin B(1 cos C ) HẾT ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Câu (5đ) Ý Nội dung Ta có: y sin x (1 2sin x) sin x Điểm y sin x 2sin x sin x Đặt t sin x điều kiện t 0,5 Bài tốn trở thành tìm GTLN-GTNN hàm số y t 2t 7t đoạn 1;1 0,5 Ta có: y ' 3t 4t 0, x 1;1 max y t 1 sin x 1 x y 3 t sin x x 0,5 0,5 k 2 0,5 k 2 Cách 1: Giả sử tiếp tuyến d (C) điểm M ( x0 ; y0 ) cắt Ox A Oy B cho OA=4OB Do OAB vuông O nên tan A số góc d 1 4 Hệ số góc d M y '( x0 ) OB Hệ OA 1 1 1 y '( x0 ) 2 ( x0 1) ( x0 1) x0 1 y (1) x y (3) Khi có hai tiếp tuyến (C) thỏa mãn toán là: 1 ( x 1) x 4y x y 13 1 ( x 3) Cách 2: Gọi tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) (C ) có dạng 2x 1 1 y ( x x0 ) (d) ( x0 1) x0 y y 1,0 0,5 1,0 0,5 (d) cắt Ox A cho y=0 tìm x suy A(2 x02 x0 1;0) (d) cắt Oy B cho x=0 tìm y suy B 0; 2x 02 2x ( x0 1) 1,0 x Theo giả thiết OA=4OB suy tìm Từ ta có kết x0 1 ThuVienDeThi.com 1,0 C©u (6đ) ĐK: x k Phương trình đà cho tương đương với phng trỡnh sinx sinx cos(2 x ) 2sin x sin x 2sin x cosx cosx (1 sin x )cosx sin 2xsinx sinx (1 sin x )(cosx+sinx) x k sin x x k tan x 1 x k K x Phương trình ®· cho t¬ng ®¬ng víi 0,5 0,5 1,0 0,5 log x log x 2 0,5 x log x x log x 24 1,0 KL: t t 3 Ph¬ng tr×nh thứ đặt t x y ta t t 1,0 x y y x thay vo phương trình thứ hai ta phương trình: x3 x x ( x 1)( x x 5) x 21 x 0,5 + x 1 y + x + x C©u (2đ) 21 21 y 2 0,5 21 21 y 2 Tọa độ đỉnh B nghiệm hệ x 2y x B 0; 2 7x 4y y 2 Kẻ EF song song với BC F BG Vì tam giác ABC cân A nên đường cao AH trung trực EF Phương trình đường thẳng EF: x y 1 x 2y Tọa độ điểm F nghiệm hệ x 2y x F 4;5 7x 4y y ThuVienDeThi.com 1,0 Tọa độ trung điểm I EF: I 0;3 Phương trình đường trung trực EF: x y 3 2x y 1,0 KL: C©u (2đ) C©u (4đ) ĐK: x Phương trình đà cho tương đương với 0,5 1,0 0,5 x 2mx x x 2mx x x Chia hai vế cho x ( x ) 2m x 2 (do x 2) x x m 1 KL: Cách 1: Do B D cách S,A,C nên BD ( SAC ) Cỏch 2: Gọi O tâm ®¸y ABCD Ta có BD AC (tính chất hình thoi) BD SO (do SBD cân) 1,0 0,5 BD ( SAC ) S 0,5 B C O A D Các tam giác ABD, BCD,SBD tam giác cân có đáy BD chung nên OA=OC=OS Do ASC vuông S Ta có: 1 a2 x2 VS ABCD 2VS ABC SC.SA.SO ax a ax 3a x 6 1,0 Theo giả thiết ta có phương trình: x a a3 ax 3a x 6 x a ThuVienDeThi.com 1,0 C©u (1đ) 2sin A sin B(1 cos C ) cos( A B) cos( A B) (1 cos C ) cos( A B) cos C (1 cos C ) (*) Do cos( A B) cos( A B) cos C cos C 0,5 VT (*) (1 cos C )(1 cos C ) sin C VP(*) cos( A B) C 90 Vậy đẳng thức xảy sin C A B 45 Mọi lời giải xem xét cho điểm tương ứng HẾT ThuVienDeThi.com 0,5 ... x=0 tìm y suy B 0; 2x 02 2x ( x0 1) 1,0 x Theo giả thi? ??t OA=4OB suy tìm Từ ta có kết x0 1 ThuVienDeThi.com 1,0 C©u (6đ) ĐK: x k Phương trình đà cho tương đương với... ABCD 2VS ABC SC.SA.SO ax a ax 3a x 6 1,0 Theo giả thi? ??t ta có phương trình: x a a3 ax 3a x 6 x a ThuVienDeThi.com 1,0 C©u (1đ) 2sin A sin B(1 cos C ) cos( A B)... x 2y Tọa độ điểm F nghiệm hệ x 2y x F 4;5 7x 4y y ThuVienDeThi.com 1,0 Tọa độ trung điểm I EF: I 0;3 Phương trình đường trung trực EF: x y 3