Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Hòa Bình lớp 12 THPT, năm học 2010 2011 môn: Toán23293

SỞ GD - ĐT HỊA BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2010-2011 Mơn: Tốn Ngày thi: 23/12/2010 (Thêi gian lµm bµi 180' không kể thời gian giao đề) CHNH THC Cõu (5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: y  sin x  cos x  sin x  Cho hàm số y  x  x 1 (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thỏa mãn OA = 4OB Câu (6 điểm)  Giải phương trình: 2sin ( x  )  2sin x – tan x  Giải phương trình: log   log 2 x x 5  x  y  x  y  Giải hệ phương trình:  2  x  x  y  y   Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A Gọi G trọng tâm tam giác đó, biết BC BG có phương trình là: x  y   ; x  y   ,và đường thẳng CG qua điểm E (4;1) Viết phương trình đường cao AH Câu (2 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x  2mx   x  Câu (4 điểm) Cho hình chóp S ABCD có SA  x tất cạnh cịn lại có độ dài a Chứng minh đường thẳng BD vng góc với mặt phẳng ( SAC ) Tìm x theo a để thể tích khối chóp S ABCD a3 Câu (1 điểm) Tính góc tam giác ABC biết: 2sin A sin B(1  cos C )  HẾT  ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Câu (5đ) Ý Nội dung Ta có: y  sin x  (1  2sin x)  sin x  Điểm  y  sin x  2sin x  sin x  Đặt t  sin x điều kiện t  0,5 Bài tốn trở thành tìm GTLN-GTNN hàm số y  t  2t  7t  đoạn 1;1 0,5 Ta có: y '  3t  4t   0, x  1;1  max y  t  1  sin x  1  x    y  3 t   sin x   x    0,5 0,5  k 2 0,5  k 2 Cách 1: Giả sử tiếp tuyến d (C) điểm M ( x0 ; y0 ) cắt Ox A Oy B cho OA=4OB Do OAB vuông O nên tan A  số góc d 1 4 Hệ số góc d M y '( x0 )  OB   Hệ OA 1 1 1   y '( x0 )   2 ( x0  1) ( x0  1)   x0  1  y (1)    x   y (3)   Khi có hai tiếp tuyến (C) thỏa mãn toán là: 1 ( x  1)   x  4y    x  y  13  1  ( x  3)  Cách 2: Gọi tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) có dạng 2x 1 1 y ( x  x0 )  (d) ( x0  1) x0   y   y   1,0 0,5 1,0 0,5 (d) cắt Ox A cho y=0 tìm x suy A(2 x02  x0  1;0)  (d) cắt Oy B cho x=0 tìm y suy B  0;  2x 02  2x    ( x0  1)  1,0 x  Theo giả thiết OA=4OB suy tìm  Từ ta có kết  x0  1 ThuVienDeThi.com 1,0 C©u (6đ) ĐK: x    k Phương trình đà cho tương đương với phng trỡnh sinx sinx  cos(2 x  )  2sin x    sin x  2sin x  cosx cosx  (1  sin x )cosx  sin 2xsinx  sinx  (1  sin x )(cosx+sinx)    x   k  sin x       x k  tan x  1  x    k K x Phương trình ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi 0,5 0,5 1,0 0,5 log x  log x   2 0,5 x  log x     x  log x    24  1,0 KL: t  t  3 Ph­¬ng tr×nh thứ đặt t  x  y  ta t  t     1,0  x  y  y x thay vo phương trình thứ hai ta phương trình: x3  x  x    ( x  1)( x  x  5)  x     21 x   0,5 + x 1 y  + x + x C©u (2đ)  21  21 y 2 0,5  21  21 y 2 Tọa độ đỉnh B nghiệm hệ  x  2y   x    B 0; 2   7x  4y    y  2 Kẻ EF song song với BC F  BG  Vì tam giác ABC cân A nên đường cao AH trung trực EF Phương trình đường thẳng EF: x    y  1   x  2y   Tọa độ điểm F nghiệm hệ  x  2y   x    F 4;5   7x  4y   y  ThuVienDeThi.com 1,0 Tọa độ trung điểm I EF: I 0;3 Phương trình đường trung trực EF: x    y  3   2x  y   1,0 KL: C©u (2đ) C©u (4đ) ĐK: x Phương trình đà cho tương đương với 0,5 1,0 0,5 x  2mx   x  x   2mx  x  x  Chia hai vế cho x  ( x  )  2m  x    2 (do x   2) x x  m  1 KL: Cách 1: Do B D cách S,A,C nên BD ( SAC ) Cỏch 2: Gọi O tâm ®¸y ABCD Ta có BD  AC (tính chất hình thoi) BD  SO (do SBD cân) 1,0 0,5  BD  ( SAC ) S 0,5 B C O A D Các tam giác ABD, BCD,SBD tam giác cân có đáy BD chung nên OA=OC=OS Do ASC vuông S Ta có: 1 a2  x2 VS ABCD  2VS ABC  SC.SA.SO  ax a   ax 3a  x 6 1,0 Theo giả thiết ta có phương trình: x  a a3 ax 3a  x   6 x  a ThuVienDeThi.com 1,0 C©u (1đ) 2sin A sin B(1  cos C )   cos( A  B)  cos( A  B) (1  cos C )   cos( A  B)  cos C (1  cos C )  (*) Do cos( A  B)   cos( A  B)  cos C   cos C 0,5  VT (*)  (1  cos C )(1  cos C )  sin C   VP(*) cos( A  B)  C  90 Vậy đẳng thức xảy   sin C   A  B  45 Mọi lời giải xem xét cho điểm tương ứng HẾT  ThuVienDeThi.com 0,5 ... x=0 tìm y suy B  0;  2x 02  2x    ( x0  1)  1,0 x  Theo giả thi? ??t OA=4OB suy tìm  Từ ta có kết  x0  1 ThuVienDeThi.com 1,0 C©u (6đ) ĐK: x k Phương trình đà cho tương đương với... ABCD  2VS ABC  SC.SA.SO  ax a   ax 3a  x 6 1,0 Theo giả thi? ??t ta có phương trình: x  a a3 ax 3a  x   6 x  a ThuVienDeThi.com 1,0 C©u (1đ) 2sin A sin B(1  cos C )   cos( A  B)... x  2y   Tọa độ điểm F nghiệm hệ  x  2y   x    F 4;5   7x  4y   y  ThuVienDeThi.com 1,0 Tọa độ trung điểm I EF: I 0;3 Phương trình đường trung trực EF: x    y  3 