Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Hòa Bình lớp 12 THPT, năm học 2009 2010 môn: Toán22991

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010 SỞ GD&ĐT HỒ BÌNH Mơn: TỐN Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 23/12/2009 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f x   x3  x  x  với x  0; 4 Cho hàm số y  x  x   m2 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, x 1 điểm cực tiểu gốc toạ độ O lập thành tam giác vuông O Câu (6 điểm) Giải phương trình x  x  20  x  10  Giải phương trình 4sin( x  ) cos x    x  y  xy  x  y  Giải hệ phương trình  2  x  y  y   Câu (4 điểm) Cho hình chóp S.ABC có góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tam giác ABC SBC tam giác cạnh a Tính độ dài SA theo a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) Câu (2 điểm) Tìm tâm đường trịn qua hai điểm A 2;5  B 4;1 tiếp xúc với đường thẳng  : 3x  y   Câu (4 điểm) Giải phương trình: An3  8Cn2  Cn1  49 a  a2  a3  a4 2,Có số tự nhiên có chữ số khác dạng a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 cho  a a a a    Cõu (1điểm ) Tìm giá trị tham số m để phương trình m x  2x   1 x  2x  2 cã nghiÖm x  0;1   Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi: Giám thị Giám thị ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN - LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010 Câu Nội dung ý f ' x   3x  6x   x  1 f ' x     , f 0   1; f 3  26; f 4   19 x  điểm Vậy giá trị lớn hàm số f x  đoạn 0; 4 f 0   Vậy giá trị nhỏ hàm số f x  đoạn 0; 4 f 3  26 Tập xác định : D  R \  , y '  1 m2 x  12 Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu phương trình ( x  1)  m 1 có hai nghiệm khác  m  x  m 1 x  1 m Khi phương trình 1   Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A 1  m;  2m  ; B 1  m;  2m   85 ( thoả mãn ĐK) OAB vuông O  OA.OB   5m  17  m   1 Đặt t  x  10 , điều kiện t  x t  10 thay vào phương trình ta t  7t  18t  10     t  1 t  2t  10   t  2 Với t=1 ta có Viết lại pt: x  10  , Vậy nghiệm phương trình (1) x = -3         sin  x    sin        sin  x    6 6         x   k   x  5  k  12 1 k  Z   x  y  xy  x  y  1 Giải hệ  2  x  y  y   2  1  x  y x  y  1   x  y  x  y 1  ThuVienDeThi.com   29 x  10 Với x  y thay vào phương trình (2) ta x  x       29 x  10   y  Với x = 2y-1 thay vào phương trình (2) ta được: y  y    y  Kết luận hệ có nghiệm là:    29  29    29  29  ;  ; ;   10   10 10     10 1;0  Giả sử đường trịn (C) cần tìm có tâm I a; b  Từ giả thiết : IA  IB  a  2b  (1) Do (C) tiếp xúc với  ta có : d I ,   = IA  3a  b  10  a  2  b  52 (2) b  Thế ( 1) vào (2) ta b  12b  20    b  10 Với b   a   I 1;  Với b  10  a  17  I 17;10  , KL : a, Gọi K trung điểm BC S Chỉ góc AKS  600 , AK  a Chứng minh AKS nên SA  b, S SAK  a A 3a 16 K a3 VSABC  BK SSAK  16 SSAC C B a 39 3VSABC 3a   16 , Vậy d B, SAC   S 13 SAC n  Z n  Giải phương trình : An3  8Cn2  Cn1  49 (1), Điều kiện  (1)  n  n  n  49   n  , Kết luận n  ThuVienDeThi.com 2 Xét trường hợp sau; TH : Chọn chữ số khơng có chữ số có C97 cách Sau xếp chữ số vào vị trí a1a2 a3a4 a5 a6 a7 Ví trí a4 có cách xếp a4 lớn Có C63 cách xếp vị trí a1a2 a3 Cịn cách xếp chữ số cịn lại vào vị trí a5 a6 a7 Vậy có C97 C63 số thoả mãn yêu cầu toán TH TH : Chọn chữ số phải có chữ số có C96 cách Tương tự TH : Có C96 C53 số thoả mãn u cầu tốn Vậy có C97C63  C96C53  1560 (số) Tập xác định : D  R Đặt t  x  x  , Do x  0;1    t  1; 2 Khi vào phương trình ban đầu ta : m t2  với t  1; 2 (*) t 1 Xét hàm số f t   t2  t  2t  1; 2 có f ' t   t 1 (t  1) 2  2 Từ phương trình (*) có nghiệm m    ;   3 Hàm số đồng biến 1; 2, f 1   ; f 2   Xét trường hợp sau; Câu ý 2: TH : Chọn chữ số chữ số có C97 cách Sau xếp chữ số vào vị trí a1a2 a3a4 a5 a6 a7 Ví trí a4 có cách xếp a4 lớn Có C63 cách xếp vị trí a1a2 a3 Cịn cách xếp chữ số cịn lại vào vị trí a5 a6 a7 Vậy có C97 C63 số thoả mãn yêu cầu toán TH TH : Chọn chữ số phải có chữ số có C96 cách Tương tự TH : Có C96 C53 số thoả mãn u cầu tốn Vậy có C97C63  C96C53  1560 (số) ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN - LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010 Câu Nội dung ý f ' x   3x  6x   x  1 f ' x   ... x   k   x  5  k  12 1 k  Z   x  y  xy  x  y  1 Giải hệ  2  x  y  y   2  1  x  y x  y  1   x  y  x  y 1  ThuVienDeThi.com   29 x  10 Với x... có tâm I a; b  Từ giả thi? ??t : IA  IB  a  2b  (1) Do (C) tiếp xúc với  ta có : d I ,   = IA  3a  b  10  a  2  b  52 (2) b  Thế ( 1) vào (2) ta b  12b  20    b  10