Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp cụm năm học 2016 2017 môn thi: Toán lớp 1222512

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP CỤM CỤM THPT LẠNG GIANG NĂM HỌC 2016 - 2017 ––––––––––––––––––––– MÔN THI: TỐN LỚP 12 PHỔ THƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 19/02/2017 (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề) ––––––––––––––––––––––– x2 Câu (2 điểm) Tìm m để hàm số f x   đồng biến khoảng (0;1) mx  2x  Câu (2 điểm) Cho hàm số y  có đồ thị đường cong C  đường thẳng d  : y  2 x  m x2 Tìm m để đường thẳng d  cắt đường cong C  hai điểm phân biệt A, B cho biểu thức P  k12017  k22017 đạt giá trị nhỏ với k1  y ' xA , k2  y ' xB  Câu (2 điểm) Giải phương trình 3.sin x  (cos x  1)(6 cos x  9)  3sin x.sin x   Câu (2 điểm ) Cho a  log196 , b  log 56 Tính log 0.175 theo a, b Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình  x  xy  y   x  xy  y  14 x  20 y  25  x 5 y 1  log (5 x  y  5)  7 Câu (2 điểm) 3   1   14  x  dx x  x  Câu (1 điểm) Một hộp đựng 50 cầu đánh số theo thứ tự từ đến 50 Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Tính xác suất để tích số ghi cầu lấy số chia hết cho Tính tích phân I   Câu (4 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc hạ từ A ' xuống  ABC  trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng BCC ' B ' hợp với mặt phẳng đáy góc 45o a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' b) Gọi I , J trung điểm đoạn thẳng AB CC ' Tính khoảng cách hai đường thẳng AA ' IJ Câu ( điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a Điểm H nằm cạnh AB thỏa mãn HB  HA , SH vng góc với AB Mặt phẳng SAB  vng góc với mặt phẳng chứa đáy, SA hợp với đáy góc 60o a) Xác định tâm bán kính mặt cầu S  ngoại tiếp hình chóp S ABCD b) Mặt phẳng P  qua trung điểm SA song song với mặt phẳng  ABCD  , mặt phẳng P  cắt mặt cầu S  theo giao tuyến đường tròn C  Tính bán kính đường trịn C  Câu 10 (1 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn y  z  x y  z .Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x  1   y  1  z  1  x  1 y  1z  1 ––––––––– HẾT––––––––– Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh………………………………………… ……Số báo danh…………………… Giám thị (Họ tên chữ kí)………….…………………….……………………………………… Giám thị (Họ tên chữ kí)………………….…………….……………………………………… ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM Câu NỘI DUNG x2 đồng biến khoảng (0;1) mx  + Điều kiện xác định hàm số f ( x) mx  + Xét m  khơng thỏa mãn tốn x2 +Xét m  hàm số trở thành f ( x)  m x m  2 2  2m  f '( x)  m 2 m  2   m2  x   x  m m    2   (0;1) + Để thỏa mãn tốn ta có điều kiện  m 2  2m  Tìm m để hàm số f x   +Rút điều kiện  m  2x  Cho hàm số y  có đồ thị đường cong C  đường thẳng d  : y  2 x  m x2 Tìm m để đường thẳng d  cắt C  hai điểm phân biệt A, B cho biểu thức Điểm điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 điểm P  k12017  k22017 đạt giá trị nhỏ với k1  y ' xA , k2  y ' xB  + Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C) d:  x  2 2x   2 x  m   x2 2 x  (6  m) x   2m  (1) +Điều kiện để có hai giao điểm phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 2 hay 0.25 m  4m  12   1    m  ฀  1  2 2   6  m  2    2m  1 + Giả sử hoành độ giao điểm x1 , x2 Ta có k1  , k2  ( x1  1) ( x2  1) 1 Ta có k1.k2    2 x1   x2   x1 x2  x1  x2   0.5 + P  k1  0.5 2017  k2  2017  + Dấu xảy  0.25 k1k2  2017  22018 1   ( x1  2)  ( x2  2)  m  2 2 ( x1  2) ( x2  2) Giải phương trình 3.sin x  (cos x  1)(6 cos x  9)  3sin x.sin x   Phương trình tương đương  3.sin x  3(2 cos3 x  cos x  cos x  1)  0.5 điểm 0.5  3.sin x.(1  cos x)(1  cos x)  3(cos x  1)(2 cos x  1)   3(1  cos x)  2sin x(1  cos x)  3.cos x   cos x    2sin x  sin x  3.cos x  Với cos x   x  k 2 0.5 0.5 ThuVienDeThi.com   x    x  k 2   Với 2sin x  sin x  3.cos x   sin(2 x  )  sin( x)    x      x  k 2   2  x    k   x  2  k 2   2 2 Kết luận: phương trình có nghiệm x  k 2 ; x    k ;x   k 2 3 Cho a  log196 , b  log 56 Tính log 0.175 theo a, b 0.5 điểm 0.5 + Ta có log 0.175  log(175.103 )  log175  + Giả sử tồn ba số m, n, p cho 175  10m.196n.56 p  52.71  (2.5) m (22.7 ) n (23.7) p  20.52.71  2m  n 3 p.5m.7 n  p (*) + Vì 2, số nguyên tố nên  m  2n  p   (*)  m   m  2, n  , p    2n  p   0.5  5 + Do log175  log(102.196 56 )   log196  log 56   a  b 4 + Vậy log 0.175  a  b  Giải hệ phương trình  x  xy  y   x  xy  y  14 x  20 y  25 1  x 5 y 1  log (5 x  y  5)  2  7 Phương trình (1) tương đương x  y   x  y    Giả sử a  x  y; x  y , 0.5 0.5 điểm 0.5   x  y    x  y  3 *    b  4;3  a  b  x  y  4; x  y  3     Phương trình (*) có dạng a  b  a  b       Ta ln có a  b  a  b Do (*) xảy a  x  y; x  y , b  4;3 2 2 2 hướng x  y x  2y Khi   x  5 y Thay vào phương trình (2) ta x 1  log 6 x    Điều kiện: x  0.5 x 1 7  t  1  Đặt t   log 6 x   Khi ta có hệ phương trình  t 1 7  x  Trừ theo vế hai phương trình ta x 1  x  7t 1  6t * Xét hàm số f u   7u 1  6u ฀ Ta dễ dàng thấy f u  đồng biến ฀ 0.5 Khi ThuVienDeThi.com *  f x   f t   x  t  log 6 x  5  x   x   x 1  x 1  x   3 Xét hàm số g x   x 1  x  ฀ Ta có g ' x   x 1.ln  g '' x   x 1.ln  x  ฀ Do g '' x   x  ฀ nên g ' x  hàm số đồng biến ฀ Do g ' x   có tối đa nghiệm Như phương trình g x   có tối đa nghiệm Mặt khác g 1  g 2   , phương trình (3) có hai nghiệm x  1; x  0.5 1 2   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 1;    2;   5 5   3 Tính tích phân I   3 I  Đặt x    1   14  x  dx x  x  1  1  16   x   d  x   x  x  0.5       4sin t với t    ;  Đổi cận: x   t  , x    t  x  2   3   6 Ta có I   16  16sin t d 4sin t    16 cos t dt    8  8cos 2t dt  8t  4sin 2t   điểm 0.5 0.5    4 0.5 Một hộp đựng 50 cầu đánh số theo thứ tự từ đến 50 Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Tính xác suất để tích số ghi cầu lấy số chia hết cho điểm Có C50 cách lấy cầu từ hộp cho Chia 50 cầu hộp thành nhóm: 0.5 + Nhóm I: gồm 25 cầu mang số lẻ + Nhóm II: gồm 13 cầu mang số chia hết cho mà khơng chia hết cho + Nhóm III: gồm cầu mang số chia hết cho mà khơng chia hết cho + Nhóm IV: gồm cầu mang số chia hết cho Để tích số ghi cầu lấy số khơng chia hết cho có trường hợp sau xảy ra: 1) thuộc nhóm I, thuộc nhóm II: có C25 C132 cách lấy 0.5 2) thuộc nhóm I, thuộc nhóm II: có C252 C131 cách lấy 3) thuộc nhóm I, thuộc nhóm III: có C252 C61 cách lấy 4) thuộc nhóm I: có C25 cách lấy C25 C132  C252 C131  C252 C61  C25 193  Vậy xác suất cần tính  C50 392 Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc hạ từ A’ xuống  ABC  trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng BCC’B’ hợp với mặt phẳng đáy góc 45o a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ b) Gọi I , J trung điểm đoạn thẳng AB CC’ Tính khoảng cách hai đường thẳng AA’ IJ ThuVienDeThi.com điểm A' C' M' B' J K H A C I G M B a) Gọi M, M’ trung điểm BC, B’C’ 0,5 G trọng tâm tam giác ABC Ta chứng minh góc giũa hai mặt phẳng BCC’B’  ABC  góc hai đường thằng thẳng MM ’ AM góc AA’ AM ฀A ' AG  45o Tính A ' G  AG  S฀ ABC  0.5 a AM  3 0.5 a2 (đvdt) Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ a a a3 (đvtt) V  S฀ ABC A ' G   4 b) Kẻ Ax song song với CI Kẻ GH vng góc với Ax H Kẻ GK vng góc với A’H K Ta chứng minh  A ' AH  / / C ' CI  mà AA '   A ' AH ; IJ  C ' CI  0,5 Suy d  AA ', IJ   d  A ' AH , C ' CI   d G,  A ' AH   GK a a 1 ,  GK    GK A ' G GH a Vậy d  AA ', IJ   Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a Điểm H nằm cạnh AB thỏa mãn HB  HA , SH vng góc với AB Mặt phẳng SAB  vng góc với mặt điểm phẳng chứa đáy, SA hợp với đáy góc 60o a) Xác định tâm bán kính mặt cầu S  ngoại tiếp hình chóp S ABCD Tính GH  b) Mặt phẳng P  qua trung điểm SA song song với mặt phẳng  ABCD  , ThuVienDeThi.com mặt phẳng P  cắt S theo giao tuyến đường trịn C  Tính bán kính đường tròn C  S K J M B C I O H A D a) Gọi O giao điểm AC BD Gọi I trung điểm AB, K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Dựng   qua O vng góc với mặt phẳng (ABCD) 0.5 Dựng  ' qua K vng góc với (SAB)   cắt  ' J Suy J tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tính SH  a 3, S฀ SAB  0.5 3a (đvdt) AB.SH  2 SA  2a, SB  a Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB r  4a 21 SA.SB AB 4a 21  KA   S฀ ABC  4a 21   3a  421 IK  AK  AI        a 12     Bán kinh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 2  3a   421  R  JA  AO  JO  AO  IK      a  12     b) Gọi M trung điểm SA a Khoảng cách từ M đến (ABCD) SH  2 2 2 Khoảng cách từ J đến mặt phẳng (P) d  Bán kính đường tròn C  10 a 475 12  421 a 421 3 a  a    12   12 2 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn y  z  x y  z .Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  0.5 0.5 475  421 3 r1  R  d  a     12  12  2 x  1   y  1  z  1 Theo giả thiết y  z  x y  z   x  1 y  1z  1 2 x y  z   y  z  x ThuVienDeThi.com điểm 0.25 Ta có:  y  1   z  1 2   y  1z  1  y  z  2   x  1 y  1z  1 x  1 y  z  2 Suy P  1  x  Xét hàm số f x    2x2 1  x  x2  1  x  x3  x  x  1  x    2    2 x  2 1  x    x  2x  6x  x 1   2x2 x2 x  1 0.5 1  x  với x  tìm giá trị nhỏ f x  x  Vậy giá trị nhỏ P x  1 91 đạt x  , y  z  108 ThuVienDeThi.com 91 108 0.25 ... có k1.k2    2 x1   x2   x1 x2  x1  x2   0.5 + P  k1  0.5 2017  k2  2017  + Dấu xảy  0.25 k1k2  2017  22018 1   ( x1  2)  ( x2  2)  m  2 2 ( x1  2) ( x2  2)... thẳng d  cắt C  hai điểm phân biệt A, B cho biểu thức Điểm điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 điểm P  k 12017  k 22017 đạt giá trị nhỏ với k1  y ' xA , k2  y ' xB  + Xét phương trình hồnh độ giao điểm...  12  12  2 x  1   y  1  z  1 Theo giả thi? ??t y  z  x y  z   x  1 y  1z  1 2 x y  z   y  z  x ThuVienDeThi.com điểm 0.25 Ta có:  y  1   z  1 2  