HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Bài 4: Hàm số nhiều biến số BÀI HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Hướng dẫn học Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:  Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn  Đọc tài liệu: BỘ MƠN TỐN CƠ BẢN, 2009, Bài tập toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUYỄN HỒ QUỲNH, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục ALPHA C CHIANG, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw-Hill, Inc MICHAEL HOY, JOHN LIVERNOIS, CHRIS MC KENNA, RAY REES, THANASIS STENGOS, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England  Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email  Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung Trong số “Hàm số nhiều biến số” xem xét khái niệm hàm số biến số n biến số, tìm hiểu quy luật quan hệ biến số, miền biến số mà quy luật áp dụng, giá trị tương ứng biến số bị phụ thuộc biết giá trị biến số phụ thuộc… Một số quy luật hàm số thường gặp kinh tế giới thiệu để sinh viên làm quen xem xét số ứng dụng minh họa Khi phân tích thay đổi giá trị hàm số phát biểu khái niệm đạo hàm riêng, xem xét thay đổi hàm số biến số thay đổi Tiếp theo, thay đổi hàm số biến số thay đổi tính xấp xỉ thông qua khái niệm vi phân hàm số Hai ứng dụng đạo hàm phân tích kinh tế nhắc tới giá trị cận biên quy luật lợi ích cận biên giảm dần TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 43 Bài 4: Hàm số nhiều biến số Mục tiêu Sau học xong học, sinh viên phải thực yêu cầu sau:  Phát biểu khái niệm hàm số n biến số;  Tìm biểu diễn miền xác định đường mức hàm số biến số mặt phẳng;  Tìm đạo hàm riêng hàm số điểm theo định nghĩa;  Tìm đạo hàm riêng cách sử dụng quy tắc tìm đạo hàm;  Lập biểu thức vi phần toàn phần hàm biến số;  Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số biến số;  Tìm phát biểu ý nghĩa giá trị cận biên;  Nêu biểu toán học quy luật lợi ích cận biên giảm dần 44 TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 Bài 4: Hàm số nhiều biến số Tình dẫn nhập Một doanh nghiệp sử dụng hệ thống máy để sản xuất sản phẩm Các yếu tố đầu vào chia thành hai yếu tố lao động tư Theo thiết kế, ứng với lượng kết hợp lao động tư doanh nghiệp nhận sản lượng sản phẩm tương ứng Mơ hình tốn học mơ tả quan hệ yếu tố nào? Khi yếu tố thay đổi lượng nhỏ (yếu tố lại giữ ngun) ta tìm thay đổi xấp xỉ sản lượng nào? Khi yếu tố sản xuất thay đổi lượng nhỏ ta tìm thay đổi xấp xỉ sản lượng nào? Nếu ta tăng yếu tố sản xuất thay đổi sản lượng nào? TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 45 Bài 4: Hàm số nhiều biến số 4.1 Hàm số hai biến số Khái niệm hàm số biến số phản ánh phụ thuộc hàm số đại lượng vào đại lượng khác, chẳng hạn diện tích hình vng phụ thuộc vào độ dài cạnh hình vng đó: S = x2 Trong thực tế, đại lượng phụ thuộc đồng thời vào nhiều đại lượng khác Chẳng hạn, diện tích hình chữ nhật phụ thuộc vào chiều dài chiều rộng hình chữ nhật đó: S = x.y Một ví dụ khác: người bán loại sản phẩm với giá tương ứng $3, $5 $6 Số tiền người thu phụ thuộc vào số lượng sản phẩm bán Nếu số lượng sản phẩm người bán tương ứng x, y z số tiền thu người là: t = 3x + 5y + 6z Khái niệm hàm số n biến số phản ánh phụ thuộc hàm số biến số vào n biến số khác 4.1.1 Khái niệm hàm số biến số Cho cặp biến số có thứ tự (x, y) Ta đồng cặp số thực có thứ tự (x0, y0) với điểm M0(x0, y0) mặt phẳng Mặt phẳng toạ độ gọi không gian hai chiều ký hiệu R2 Theo cách vậy, cặp biến số (x, y) xem biến điểm M(x, y) với miền biến thiên tập hợp D không gian R2 Định nghĩa: Một hàm số f biến điểm M(x, y), với miền biến thiên D  R2, quy tắc (quy luật) đặt tương ứng điểm M(x, y)D với số thực w Miền D gọi miền xác định hàm số f, số thực w tương ứng với điểm M(x, y) gọi giá trị hàm số f điểm M(x, y) ký hiệu f(M), f(x, y) Một hàm số biến điểm hai chiều M(x, y) gọi hàm số hai biến số x y Khi nghiên cứu phụ thuộc biến số vào biến số khác, để nói biến số w hàm số hai biến x y ta dùng ký hiệu w = f(x, y), f quy tắc cho phép ta xác định giá trị tương ứng w biết giá trị x y Trong trường hợp người ta cịn nói biến số w phụ thuộc hàm số vào biến số x, y Các biến số x, y gọi biến số độc lập, hay đối số hàm số Trong toán học, ký hiệu biến số mang ý nghĩa hình thức Khi nói đến hàm số khác người ta dùng ký hiệu biến số nhau, phân biệt ký hiệu biểu diễn quy luật hàm số: w = f(x, y), w = g(x, y), w = h(x, y) Khi cho hàm hai biến, cách diễn đạt sau có nghĩa nhau:  Hàm số f xác định miền D  R2;  Hàm số f(M), M  D;  Hàm số f(x, y), (x, y)  D;  Hàm số w = f(x, y), (x, y) D 4.1.2 Miền xác định hàm số cho dạng biểu thức Theo định nghĩa, miền xác định (MXĐ) hàm hai biến w = f(x, y) miền biến thiên biến điểm M(x, y) Nếu biểu diễn hình học tập hợp điểm 46 TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 Bài 4: Hàm số nhiều biến số mặt phẳng toạ độ Về nguyên tắc, cho hàm số ta phải cho trước miền xác định D rõ quy tắc f đặt tương ứng điểm M(x, y) D với số thực w định Quy tắc f gán cặp giá trị (x, y) với giá trị w = f(x, y) thường cho dạng biểu thức Hàm số cho dạng biểu thức hai biến f(x, y) đặt tương ứng điểm M0(x0, y0) với giá trị tính tốn biểu thức gán x = x0, y = y0 Người ta gọi tập hợp tất cặp số thực (x0, y0) mà biểu thức có nghĩa ta gán x = x0 y = y0 miền xác định tự nhiên biểu thức Nói chung MXĐ hàm hai biến cho dạng biểu thức tập D MXĐ tự nhiên biểu thức (tuỳ theo ý nghĩa biến số) Tuy nhiên, toán học người ta thường xét biểu thức hàm số tồn MXĐ tự nhiên Ví dụ 4.1: Cho hàm số w  f (x, y)  x  3xy  2y Miền xác định hàm số  Theo cách tính giá trị biểu thức, giá trị hàm số điểm (2, 1) là: f (2,1)  22  3.2.1  2.12  Ví dụ 4.2: Cho hàm số w  f (x, y)   x  y Miền xác định hàm số (x, y) :  x  y  0  (x, y) : x  y  9 Giá trị hàm số điểm (2, 2) f(2, 2) = 4.1.3  22  22  Miền giá trị Ứng với điểm M(x, y) thuộc MXĐ ta tìm giá trị hàm số Ta quan tâm tới giá trị hàm số M(x, y) thay đổi MXĐ Định nghĩa: Miền giá trị (MGT) hàm số w = f(x, y) tập hợp tất giá trị hàm số điểm M(x,y) thay đổi miền xác định Ví dụ 4.3: Miền giá trị hàm số f(x, y) = x  y , (x, y)R2, khoảng [0; +) 4.1.4 Đồ thị hàm hai biến Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số w = f(x, y), w không gian ba chiều ta dùng hệ toạ độ vng góc với trục hoành 0x biểu diễn biến số x, trục tung 0y biểu diễn biến số y trục cao 0w biểu diễn biến phụ thuộc w Miền xác định D hàm số w = f(x, y) y tập hợp điểm mặt phẳng (0xy) Theo quy tắc tương ứng f, điểm M(x, y) cho tương ứng số w giá trị hàm số điểm x M(x, y), theo ta có tương ứng điểm P(x, y, w) không gian với cao độ w Định nghĩa: Đồ thị hàm số w = f(x, y) tập hợp tất điểm P(x, y, z) không gian, M(x, y) điểm thuộc miền xác định D w giá trị hàm số điểm TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 47 Bài 4: Hàm số nhiều biến số Thông thường đồ thị hàm hai biến mặt khơng gian chiều Ví dụ: Đồ thị hàm số w =  x  y nửa mặt cầu có tâm gốc toạ độ bán kính R = 4.1.5 Đường mức Cho w = f(x, y) hàm số xác định miền D w0 giá trị cố định hàm số Định nghĩa: Đường mức hàm số w = f(x, y) ta xét tập hợp tất điểm M(x,y) thoả mãn điều kiện: f(x, y) = w0 Nói cách khác, đường mức hàm hai biến w= f(x, y) tập hợp tất điểm mặt phẳng (0xy) mà điểm M(x, y) biến thiên tập hợp đó, hàm số nhận giá trị w0 cố định Thông thường đường mức hàm hai biến y đường mặt phẳng Mỗi giá trị w0 cố định cho tương ứng đường mức Ví dụ 4.4: x Các đường mức hàm số w = 2x + 3y đường thẳng 2x + 3y = w0, với w0 số 4.2 Hàm số n biến số  Không gian điểm n chiều Định nghĩa: Mỗi n số thực có thứ tự (x1, x2, , xn) gọi điểm n chiều Để gán tên cho điểm n chiều (x1, x2, , xn) ta dùng chữ in hoa Nếu gọi tên điểm X ta viết: X = (x1, x2, , xn), X(x1, x2, , xn) Không gian n chiều ký hiệu Rn  Khái niệm hàm số n biến số Ta xem n biến số có thứ tự (x1, x2, , xn) biến điểm X(x1, x2, , xn) không gian n chiều Khái niệm hàm số n biến số định nghĩa tương tự hàm số hai biến số Định nghĩa: Một hàm số f biến điểm n chiều X(x1, x2, , xn), với miền biến thiên D  Rn, quy tắc (quy luật) đặt tương ứng điểm X(x1, x2, , xn)  D với số thực w Miền gọi miền xác định hàm số f số w gọi giá trị hàm số f điểm X(x1, x2, , xn) ký hiệu f(x1, x2, , xn), f(X) Hàm số f biến điểm n chiều X(x1, x2, , xn) gọi hàm số n biến số x1, x2, , xn Khi dùng quan hệ hàm số f để biểu diễn phụ thuộc biến số w vào n biến số x1, x2, , xn ta dùng ký hiệu: w = f(x1, x2, , xn) Thông thường hàm n biến cho dạng biểu thức n biến f(x1, x2, , xn) Các khái niệm MXĐ, MGT hàm số n biến số hiểu theo nghĩa tương 48 TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 Bài 4: Hàm số nhiều biến số tự định nghĩa cho hàm số hai biến số Tập hợp tất điểm n chiều X(x1, x2, , xn) mà hàm số f(x1, x2, , xn) nhận giá trị w0 cố định gọi tập mức hàm số Phương trình tập mức tương ứng với giá trị w0 cho trước có dạng: f(x1, x2, , xn) = w0 4.3 Một số hàm số phân tích kinh tế Để tiếp cận với phương pháp phân tích định lượng kinh tế học, ta làm quen với số hàm số mà nhà kinh tế hay sử dụng phân tích hoạt động kinh tế Các ký hiệu biến số kinh tế đưa ký hiệu thông dụng tài liệu kinh tế học, thường lấy chữ đầu từ tiếng Anh tương ứng 4.3.1 Hàm sản xuất Hàm sản xuất hàm số biểu diễn phụ thuộc mức sản lượng tiềm doanh nghiệp vào mức sử dụng yếu tố sản xuất Khi phân tích hoạt động sản xuất, nhà kinh tế thường lưu tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng tư (capital) lao động (labor) Gọi K lượng tư (vốn) L lượng lao động sử dụng Với trình độ cơng nghệ mình, sử dụng K đơn vị tư L đơn vị lao động, doanh nghiệp có khả sản xuất lượng sản phẩm tối đa ký hiệu Q (gọi sản lượng tiềm năng) Hàm sản xuất có dạng: Q = f(K, L) (4.1) Hàm số (4.1) cho biết số lượng sản phẩm mà doanh nghiệp có khả sản xuất mức sử dụng kết hợp vốn lao động Khi phân tích sản xuất người ta giả thiết doanh nghiệp khai thác hết khả công nghệ, tức Q luôn sản lượng tiềm năng, hàm sản xuất f cơng nghệ xác định Dạng hàm sản xuất mà nhà kinh tế học hay sử dụng hàm Cobb–Douglas: Q = aK L , , a số dương Đường mức hàm sản xuất có phương trình: f(K, L) = Q0 (Q0 = const > 0) Trong kinh tế học thuật ngữ "đường mức " hàm sản xuất có tên gọi đường đồng lượng, hay đường đẳng lượng (isoquant) Đường đồng lượng tập hợp tổ hợp yếu tố sản xuất (K, L) cho mức sản lượng Q0 cố định 4.3.2 Hàm chi phí hàm lợi nhuận theo yếu tố sản xuất Như ta biết, tổng chi phí sản xuất TC (Total cost) tính theo sản lượng gọi hàm chi phí, có dạng: TC = TC(Q) Nếu tính theo yếu tố sản xuất hàm chi phí hàm số yếu tố sản xuất TC = wKK + wLL + C0 wK giá thuê đơn vị tư (chẳng hạn thuê toàn xưởng máy giờ); wL giá thuê đơn vị lao động (chẳng hạn làm việc công nhân); C0 chi phí cố định TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 49 Bài 4: Hàm số nhiều biến số Nếu doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q = f(K, L) giá thị trường sản phẩm p tổng doanh thu doanh nghiệp phụ thuộc vào K L: TR = pQ = pf(K, L) Tổng lợi nhuận doanh nghiệp cạnh tranh hàm số yếu tố sản xuất:  = pf(K, L)  (wKK + wLL + C0) 4.3.3 Hàm chi phí kết hợp Trên thực tế có nhiều doanh nghiệp sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm Giả sử doanh nghiệp sản xuất n sản phẩm Với trình độ cơng nghệ định, để sản xuất Q1 đơn vị sản phẩm 1, Q2 đơn vị sản phẩm 2, , Qn đơn vị sản phẩm n, doanh nghiệp phải bỏ khoản chi phí TC Như TC hàm số n biến số: TC = TC(Q1, Q2, , Qn) (4.2) Hàm số (4.2) gọi hàm chi phí kết hợp 4.3.4 Hàm lợi ích Sở thích người tiêu dùng yếu tố quan trọng chi phối định mua sắm, tức ảnh hưởng tới phía cầu hoạt động kinh tế Các nhà kinh tế học dùng biến số lợi ích U (Utility) để biểu diễn mức độ ưa thích người tiêu dùng tổ hợp hàng hoá cấu tiêu dùng Ta gọi tổ hợp hàng hoá túi hàng Giả sử cấu tiêu dùng gồm có n mặt hàng Mỗi túi hàng n số thực X = (x1,x2, , xn), x1 lượng hàng hoá T1, x2 lượng hàng hoá T2, , xn lượng hàng hố Tn Hàm lợi ích hàm số đặt tương ứng túi hàng X = (x1,x2, , xn) với giá trị lợi ích U định theo quy tắc: túi hàng ưa chuộng gán giá trị lợi ích lớn Hàm lợi ích có dạng tổng qt sau: U = U(x1,x2, , xn) Một dạng hàm lợi ích hay sử dụng hàm Cobb–Douglas: U  ax1α1 x α2 x αn n (a, 1, 2, , n số dương) Tập mức hàm lợi ích có phương trình: U(x1, x2, , xn) = U0 (U0 = const) Trong kinh tế học tập mức hàm lợi ích gọi tập bàng quan (Indifferent set) Tập bàng quan tập hợp tất túi hàng đem lại mức lợi ích cho người tiêu dùng (tập hợp túi hàng ưa chuộng nhau) Trường hợp n = tập bàng quan gọi đường bàng quan (Indifferent curve) Phương trình đường bàng quan phương trình hai biến số: U(x1, x2) = U0 4.3.5 Hàm cung hàm cầu thị trường (n) hàng hoá liên quan Hàm cung (hàm cầu) biểu diễn lượng hàng hố mà người bán lịng bán (người mua lòng mua) mức giá lượng cung lượng cầu loại hàng hoá thị trường khơng phụ thuộc vào giá hàng hố mà cịn bị chi phối giá hàng hoá liên quan thu nhập người tiêu dùng Trên thị trường n hàng hoá liên quan hàm cung hàng hoá i hàm cầu hàng hố i có dạng (với giả thiết thu nhập khơng thay đổi): 50 TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 Bài 4: Hàm số nhiều biến số Qsi = Si(p1, p2 , pn) Qdi = Di(p1, p2, , pn) Qsi lượng cung hàng hoá i, Qdi lượng cầu hàng hoá i, pi giá hàng hoá i (i =1, 2, , n) Mơ hình cân thị trường n hàng hố liên quan có dạng: Qsi  Qdi Q  S (p , p ,  , p )  si i n  Qdi  Di (p1 , p ,  , p n ) i  1, 2, , n 4.4 Đạo hàm riêng 4.4.1 Đạo hàm riêng điểm Xét hàm số w = f(x, y) xác định miền D điểm M0(x0, y0) thuộc D  Gán y = y0, w = f(x, y0) = g(x) hàm số biến số x Nếu hàm số g(x) có đạo hàm điểm x0 giá trị đạo hàm g’(x0) gọi đạo hàm riêng theo biến x hàm số f điểm M0(x0, y0) Ta sử dụng ký hiệu sau để ký hiệu cho giá trị đạo hàm riêng: f x (x , y0 ); w x (x , y0 ) hay f w (x , y0 ); (x , y0 ) x x  Tương tự, gán x = x0: hàm số w = f(x0, y) = h(y) hàm số biến số y Nếu hàm số h(y) có đạo hàm điểm y0 giá trị đạo hàm h’(y0) gọi đạo hàm riêng theo biến y hàm số f điểm M0(x0, y0) Ta sử dụng ký hiệu sau để ký hiệu cho giá trị đạo hàm riêng: f y (x , y0 ); w y (x , y ) hay f w (x , y0 ); (x , y ) y y Ví dụ 4.5: Hàm số w = f(x, y) = x3 + 2x2y + y2, điểm M0(1, –2)  Ta có f(x, –2) = x3 – 4x2 + = g(x); g’(x) = 3x2 – 8x; g’(1) = – = –5 Hàm số f(x, y) có đạo hàm riêng theo biến x điểm M0(1,–2) f’x(1,–2) = –5  f(1, y) = + 2y + y2 = h(y); h’(y) = 2y + 2; h’(–2) = –4 + = –2 Hàm số f(x, y) có đạo hàm riêng theo biến y điểm M0(1,–2) f’y(1,–2) = –2 Ví dụ 4.6: Tìm đạo hàm hàm số f(x, y) điểm M0(0,0) ì x - 2xy - 3y3 ï ïï x + 2y ¹ f (x, y) = í x + 2y ï ï ï x = y = ï ỵ Giải: f (x, 0)  f (0, 0) (x / x )  x3  lim  lim   f x' (0, 0)  lim x 0 x x 0 x  x0 x f (0, y)  f (0, 0) (3y3 / 2y )  3y3 3  lim  lim   f y' (0, 0)   y 0 y 0 y  2y y0 y 2 lim TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 51 Bài 4: Hàm số nhiều biến số 4.4.2 Đạo hàm riêng miền Nếu hàm số w = f(x, y) có đạo hàm riêng điểm thuộc miền X ta có hàm số đạo hàm riêng xác định miền X: w x ; w y Chú ý: Đạo hàm riêng theo biến thực chất đạo hàm theo quan điểm biến số, ta coi biến độc lập đối số, biến lại cố định giá trị (xem số hay tham số) Ví dụ 4.7: w = x3 + 2x2y + y2 Xem w hàm số biến x y số ta dễ dàng tính đạo hàm riêng theo x: w = 3x2 + 4xy x Tương tự, xem w hàm số biến y x số ta có: w x = w y = 4.4.3 w = 2x2 + 2y y Đạo hàm riêng hàm số n biến số Xét hàm số w = f(x1 , x2, , xn) xác định miền D điểm M (x1 , x , , x n ) thuộc D Tương tự hàm số biến số, để xét đạo hàm riêng theo biến x i hàm số điểm M0 ta gán biến số lại giá trị tương ứng M0: x k  x k , k  i , hàm số w  f (x1 , x , , x i 1 , x i , x i 1 , , x n ) phụ thuộc vào biến x i Xét hàm số biến số có đạo hàm điểm x i hay khơng, hàm số có đạo hàm ta gọi giá trị đạo hàm đạo hàm riêng theo biến x i hàm số w điểm M0, ký hiệu sử dụng là: w 'x i (x1 , x , , x n ) Tương tự vậy, ta có hàm số đạo hàm riêng hàm n biến số Ví dụ 4.8: Hàm số w = f(x, y, z) = 2x2y – 5y2.z3  Tại M0(1, –1, 2): để tìm đạo hàm riêng hàm số theo biến x ta gán y = –1, z = 0: f(x, –1, 2) = –2x2 – 40 = g(x) Hàm g(x) có đạo hàm g’(x) = –4x g’(1) = –4 từ ta kết luận đạo hàm riêng hàm số w theo biến x điểm M0 là: w 'x  4  Đạo hàm riêng hàm số theo biến z: w 'z  15y z (coi x, y số) 4.5 Vi phân Giả sử hàm số w = f(x, y) xác định miền D có đạo hàm riêng liên tục điểm M0(x0, y0) thuộc miền D Xét số gia toàn phần hàm số: f(x0, y0) = f(x0 + x, y0 + y)  f(x0, y0) Khi x, y có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ ta có f(x0, y0)  f x (x0, y0).x + f y (x0, y0).y (4.3) Định nghĩa: Nếu hàm số w = f(x, y) xác định miền D có đạo hàm riêng liên tục điểm M0(x0, y0)  D biểu thức vế phải công thức gần (4.3) gọi vi phân toàn phần hàm số w = f(x, y) điểm M0(x0, y0) ký hiệu dw df(x0, y0) 52 TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 Bài 4: Hàm số nhiều biến số Theo định nghĩa: df(x0, y0) = f x (x0, y0).x + f y (x0, y0).y (4.4) Với x y biến số độc lập, ta có dx = x, dy = y Biểu thức vi phân toàn phần (4.4) viết dạng: df = f x dx + f y dy hoặc: w w dy dx + x y Ví dụ 4.9: Vi phân toàn phần hàm số w = x3y4 điểm (x, y) tính sau: w w dx + dy = 3x2y4dx + 4x3y3dy dw = y x dw = 4.6 Đạo hàm riêng cấp Giả sử hàm số w = f(x, y) có đạo hàm riêng theo biến điểm thuộc miền D  Rn Khi đạo hàm riêng w’x, w’y hàm số hai biến số x, y xác định miền D Đạo hàm riêng đạo hàm hàm số w = f(x, y) (nếu tồn tại) gọi đạo hàm riêng cấp hai hàm số Hàm số biến w = f(x, y) có đạo hàm riêng cấp 2:  Đạo hàm riêng (w’x)’x ký hiệu w”xx 2w ; xx  Đạo hàm riêng (w’x)’y ký hiệu w”xy 2w ; xy  Đạo hàm riêng (w’y)’x ký hiệu w”yx 2w ; yx  Đạo hàm riêng (w’y)’y ký hiệu w”yy 2w yy Ví dụ 4.10: Với w = x3y4, ta có: w w = 4x3y3; = 3x2y4, y x 2w  w , = 12x2y3, = 6xy xy x 2w 2w = 12x2y3, = 12x3y2 y yx Chú ý: Các đạo hàm riêng cấp 2: w xy w xy gọi đạo hàm hỗn hợp Nói chung hai đạo hàm hỗn hợp cấp hai không Tuy nhiên, người ta chứng minh hai đạo hàm hỗn hợp tồn liên tục chúng TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 53 Bài 4: Hàm số nhiều biến số 4.7 Ứng dụng đạo hàm riêng kinh tế học 4.7.1 Đạo hàm riêng giá trị cận biên Xét hàm số w = f(x1, x2, ,xn) biểu diễn phụ thuộc biến số kinh tế w vào n biến số kinh tế x1, x2, ,xn Trong kinh tế học đạo hàm riêng w theo xi điểm X(x1, x2, , xn) gọi giá trị w – cận biên xi điểm Giá trị w – cận biên xi biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị biến phụ thuộc w biến xi tăng thêm đơn vị, biến độc lập lại không thay đổi giá trị Đối với hàm kinh tế người ta dùng thuật ngữ tương ứng tuỳ theo tên gọi biến số kinh tế  Đối với hàm sản xuất Q = f(K, L) đạo hàm riêng Q Q , QL = L K gọi tương ứng sản phẩm vật cận biên tư sản phẩm vật cận biên lao động điểm (K, L) Để cho gọn, người ta bỏ từ vật gọi tắt sản phẩm cận biên tư sản phẩm cận biên lao động Trong kinh tế học sản phẩm vật cận biên tư sản phẩm vật cận biên lao động ký hiệu MPPK (Marginal Physical Product of Capital) MPPL (Marginal Physical Product of Labor): QK = Q Q , MPPL = K L Tại điểm (K0, L0) giá trị MPPK biểu diễn xấp xỉ lượng sản phảm vật gia tăng sử dụng thêm đơn vị tư giữ nguyên mức sử dụng lao động; MPPL biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm gia tăng sử dụng thêm đơn vị lao động giữ nguyên mức sử dụng tư MPPK = 3 Ví dụ 4.11: Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng: Q = 30 K L , K, L, Q mức sử dụng lao động, mức sử dụng tư sản lượng hàng ngày Giả sử doanh nghiệp sử dụng 27 đơn vị tư 64 đơn vị lao động ngày, tức K = 27 L = 64 Sản lượng cận biên tư lao động Q MPPK = K Q MPPL = L 1  L 3  64  80  26,7; = 20    20    K  27  K  27  90 45   5,6 = 10    10    16 L  64  Điều có nghĩa doanh nghiệp tăng mức sử dụng tư lên 28 giữ nguyên mức sử dụng 64 lao động ngày sản lượng hàng ngày tăng thêm khoảng 26,7 đơn vị sản phẩm vật; doanh nghiệp nâng mức sử dụng lao động lên 65 đơn vị giữ nguyên mức sử dụng 27 đơn vị tư ngày sản lượng hàng ngày tăng thêm khoảng 5,6 đơn vị sản phẩm vật 54 TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 Bài 4: Hàm số nhiều biến số  Đối với hàm lợi ích U = U (x1, x2, , xn) U gọi lợi ích cận biên hàng hố thứ i người đạo hàm Ui = x i tiêu dùng ký hiệu MUi Con số MUi điểm X(x1 , x , , x n ) biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm người tiêu dùng có thêm đơn vị hàng hố thứ i lượng hàng hố khác khơng đổi 4.7.2 Đạo hàm riêng cấp hai quy luật lợi ích cận biên giảm dần Xét mơ hình hàm số: u = f(x, y), biến số u biểu diễn lợi ích kinh tế x, y yếu tố đem lại lợi ích u Quy luật lợi ích cận biên giảm dần (lợi ích tăng chậm dần) nói rằng, yếu tố cịn lại khơng thay đổi, giá trị u – cận biên biến số giảm dần biến số tăng Dưới giác độ tốn học, quy luật biểu dạng  2f  2f   yy xx Ví dụ 4.12: Đối với hàm lợi ích U = f(x, y), x lượng hàng hố thứ nhất, y lượng hàng hoá thứ hai U lợi ích người tiêu dùng túi hàng (x, y), quy luật lợi ích cận biên giảm dần kinh tế nói lợi ích cận biên hàng hoá thứ giảm dần x tăng y khơng đối lợi ích cận biên hàng hố thứ hai giảm dần y tăng x không đổi Quy luật lợi ích cận biên giảm dần biểu đạo hàm riêng cấp hai hàm lợi ích sau: Uxx   MUx = Ux giảm x tăng y không đổi; Uyy   MUy = Uy giảm y tăng x không đổi Đối với hàm sản xuất, quy luật lợi ích cận biên giảm dần có nghĩa mức sử dụng yếu tố sản xuất lớn (trong lượng sử dụng yếu tố khác khơng thay đổi) sản lượng gia tăng sử dụng thêm đơn vị yếu tố sản xuất đem lại nhỏ Nói cách khác, sản phẩm vật cận biên yếu tố giảm dần lượng sử dụng yếu tố tăng (trong lượng sử dụng yếu tố khác không thay đổi) Quy luật biểu thông qua đạo hàm riêng cấp hai hàm sản xuất Q = f (K, L) sau:  2Q  2Q  0, (MPP )   0 L L K L2 Chẳng hạn, hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas (MPPK )K  Q = a KL (a, ,  > 0) ta có: (MPPK )K = a (  1)K  2K, (MPPL )L = a(  1)L K  Biểu quy luật lợi ích cận biên giảm dần là:     (để (MPPK )K  (MPPL )L  0) TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 55 Bài 4: Hàm số nhiều biến số Tóm lược cuối  Hàm số nhiều biến số mô tả phụ thuộc biến số vào biến số khác  Miền xác định tự nhiên biểu thức miền điểm mà thay giá trị biến số biểu thức giá trị tương ứng ta nhận giá trị xác định  Khi hàm số cho biểu thức, ta thường đồng miền xác định hàm số với miền xác định tự nhiên biểu thức  Đạo hàm riêng hàm số theo biến hiểu đạo hàm hàm số theo biến coi biến số lại số Các quy tắc cơng thức tìm đạo hàm áp dụng tìm đạo hàm riêng  Sau tính đạo hàm riêng hàm số theo biến ta nhận hàm số, hàm số lại có đạo hàm riêng đạo hàm riêng tính sau gọi đạo hàm riêng cấp hàm số ban đầu  Trong kinh tế học đạo hàm riêng hàm số theo biến gọi giá trị cận biên hàm số theo biến  Quy luật lợi ích cận biên khẳng định với biến số phụ thuộc biến lợi ích giá trị lợi ích cận biên theo biến giảm dần giá trị biến tăng 56 TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 Bài 4: Hàm số nhiều biến số Câu hỏi ôn tập Hàm số nhiều biến số quy luật nào? Hãy đưa ví dụ hàm số biểu diễn quan hệ đại lượng vào đại lượng khác Khi hàm số cho biểu thức, miền xác định tự nhiên hàm số gì? Khi hàm số cho biểu thức f(x, y), để tìm giá trị hàm số điểm (x0, y0) thuộc miền xác định hàm số ta làm gì? Hàm sản xuất sử dụng biểu diễn phụ thuộc sản lượng vào yếu tố sản xuất nào? Hàm số cho biểu thức f(x, y), để tìm biểu thức f(x, y0) ta làm nào? Hãy phát biểu khái niệm đạo hàm riêng hàm số biến số điểm (x0, y0) Đạo hàm riêng theo biến x tổng hai hàm số có tổng hai đạo hàm riêng theo biến x hai hàm số hay khơng? Đạo hàm riêng theo biến x tích hai hàm số có tích hai đạo hàm riêng theo biến x hai hàm số hay khơng? 10 Để tìm đạo hàm riêng hàm số theo biến số theo quy tắc, ta coi biến số số? 11 Hãy phát biểu công thức vi phân hàm số biến số điểm 12 Hãy phát biểu dạng tổng quát biểu thức vi phân hàm số biến số 13 Hàm số biến số có đạo hàm riêng cấp 2? Các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp đạo hàm nào? 14 Để tìm giá trị sản phẩm (hiện vật) cận biên lao động mức sử dụng kết hợp (K0, L0) ta phải tính giá trị nào? 15 Hàm lợi ích u = f(x, y) dạng Cobb – Douglas có dạng tổng quát nào? 16 Theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần, giá trị u – cận biên x tăng hay giảm x tăng? Biểu toán học quy luật lợi ích cận biên giảm dần gì? TXTOCB01_Bai4_v1.0014105205 57