Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2007 2008 môn: Toán 88925

Phòng GD&ĐT o0o Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi Năm học 2007-2008 Môn: Toán (Thời gian: 150phút, không kể thời gian giao đề) đề thức Câu I(2đ) a/ Giả sử a b nguyên tố với số a + b chia hÕt cho Chøng minh r»ng: §a thøc xa + xb + chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + b/ Cho x + y + z = Chøng minh r»ng: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Câu II(2đ) a/ Giải biện luận phương trình: m(m  5) x m  14 6 x2 x2 b/ Cho c2 + 2(ab - bc - ca) = vµ b ≠ c; a + b ≠ c a  a  c  H·y so s¸nh b  b  c  2 vµ ac bc Câu III(2đ) a/ Cho a, b, c số tự nhiên thoả mÃn a b số nguyên tố 3c2 = c(a+b) + ab Chứng minh rằng: 8c + số phương b/ Cho x, y tho¶ m·n x2 + 4xy + 5y2 – 2008 = x.y Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc P = 2x2 + 6xy + 10y2 Câu IV(1đ) Tìm tất số tự nhiên x, y số nguyên tố z cho 1   z x y Câu V(3đ) a/ Cho hình bình hành ABCD, đường cao CE, CF (E thuéc AB, F thuéc AD) Chøng minh r»ng: AD.DF + AB.AE = AC2 b/ Cho tam giác ABC có đường phân giác BE, CF cắt ë O vµ BO CO  Xác định tính chất tam giác ABC BE CF Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh:.SBD Học sinh trường: http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com Phòng GD&ĐT o0o hướng dẫn chấm học sinh giỏi Năm học 2007-2008 Môn: Toán Câu Nội dung I 1a(1đ) - Vì a, b nguyªn tè cïng víi nªn a, b không chia hết cho mà a + b chia hết giả sử a = 3k+1; b=3t+2 - Ta cã xa + xb + = x3k+1 + x3t+2 + 1= (x3k+1 – x) + (x3t+2 – x2) + (x2+x+ 1) - V× x3k+1 – x = x(x3k – 1) chia hÕt cho x2+x+ x3t+2 – x2 = x2(x3t – 1) chia hÕt cho x2+x+ (x2+x+ 1) chia hÕt cho x2+x+ - VËy xa + xb + chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1b(1đ) - Vì x + y + z =  z = - x - y - Ta cã x5 + y5 + z5 = x5 + y5 + (- x – y)5 =…….= 5xyz(x2 + y2 + xy) - Suy 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(2x2 + 2y2 + 2xy) = 5xyz[(x+y)2 + y2 + x2] =5xyz(x2 + y2 + z2) đpcm 2a(1đ) -ĐKXĐ x - Quy đồng đưa PT vỊ d¹ng (m2 – 5m + 6)x = m –  (m – 2)(m – 3)x = m – - NÕu m = ta cã 0x = PT v« sè nghiƯm x  - NÕu m = ta cã 0x = 1PT v« nghiƯm 1 - NÕu m  2; ta cã x  lµ nghiƯm 2m m3 m3 §iÓm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 VËy m = PT cã v« sè nghiƯm x  PT v« nghiƯm m  2; 3;  x  lµ nghiƯm m3 m = II 2b(1đ) - Ta có c2 + 2(ab - bc - ca) =  c2 – 2c(b + a) + (a + b)2 – a2 – b2 =  (c - a - b)2 – a2 – b2 = a  (c  a  b)  b a  (c  a )(c  a  2b)    b  (c  b)(c  b  2a ) b  (c  a  b)  a 2 2 - Do ®ã a  a  c 2  (c  a)(c  a  2b)  a  c 2  a  c bc (c  b)(c  b  2a )  b  c  b  b  c  2http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,5 3a(1đ) - Đặt a b = x; a + b = y  a  - Ta cã 3c2 = c(a+b) + ab x y yx ; b 2 0,25 y2  x2  12c  4cy  y  x  x  y  4cy  4c  16c  x  ( y  6c)( y  2c)  3c  cy - Vì x nguyên tố y + 6c > y – 2c nªn  y  6c  x  8c   x    y c  chÝnh 0,25 0,25 0,25 phươn 3b(1đ) III - Xét x xy  10 y P  2008 x  xy  y - NÕu y = th× x2 = 2008 hay x   2008  P = 2.2008 = 4016 - NÕu y 0, chia tử mẫu cho y2 x đặt t , ta có y 2t  6t  10 2t 4016t P  2  P  4016  2008 t  4t  t  4t  t  4t  0,25 0,25 - V× t2 + 4t + >0 t nên P ≤ 4016 0,25 2008 2008  y DÊu “=” t = hay x = vµ y  5 VËy Max P = 4016 y = ; x   2008 hc x = 0; y   2008 0,25 (1®) - BiÕn ®ỉi IV 1   vỊ d¹ng (y2 - z)(x2 – z) = z2 z x y 0,5 - Vì z nguyên tố vai trò x, y nh­ nªn y2  z  + NÕu   x  y z (vô lý z nguyên tố) + x  z  z  y  z  z  y  z NÕu    x  z  x z z mà z nguyên tố nên x = y = z = http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 5a(1,5đ) V - Vẽ hình - Kẻ DH, BK vuông góc với AC - c/m ADH đồng dạng với ACF AD.AF = AC.AH (1) - c/m ACE đồng dạng với ABK AB.AE = AC.AK (2) - c/m ADH = CBK AH = CK (3) - Tõ (1), (2), (3) ta cã AD.AF + AB.AE = AC(AH + AK) = AC 5b(1,5®) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 - VÏ hình - Đặt BC = a, AC = b, AB = c áp dụng tính chất đường phân giác cña 0,25 ab BO a  c BO ac ; ;   a  c EO b BE a  b  c CO ab - T­¬ng tù tÝnh ®­ỵc  CF a  b  c (a  b)(a  c) - Tõ GT cã    a  b  c VËy ABC vu«ng A 2 (a  b c) tam giác tính CE 4http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0,50 0,25 0,50 ...Phòng GD&ĐT o0o hướng dẫn chấm học sinh giỏi Năm học 2007- 2008 Môn: Toán Câu Nội dung I 1a(1đ) - Vì a, b nguyên tố với nên a, b không chia hết cho...  10 y P  2008 x  xy  y - NÕu y = th× x2 = 2008 hay x   2008  P = 2 .2008 = 4016 - NÕu y  0, chia tử mẫu cho y2 x đặt t  , ta cã y 2t  6t  10 2t 4016t P  2  P  4016  2008 t  4t... 0,25 0,25 - V× t2 + 4t + >0 t nên P 4016 0,25 2008 2008  y DÊu “=” t = hay x = vµ y  5 VËy Max P = 4016 y = ; x   2008 hc x = 0; y   2008 0,25 (1®) - BiÕn ®ỉi IV 1   vỊ d¹ng (y2 -