Chuong 2 bài tập xác suất thống kê

bài tập về xác suất thống kê bao gồm tóm tắt lý thuyết, bài tập mẫu và phần bài tập luyện tập thêm kỹ năng làm bài Xác suất, thống kê là sự kết hợp của thống kê và xác suất nói đơn giản là tìm độ đo gần chính xác của toán học để đo tính phi chắc chắn của khả năng xảy ra một sự kiện nào đó là một phần toán học của khoa học, gắn liền với tập hợp dữ liệu, phân tích, giải thích hoặc thảo luận về một vấn đề nào đó, và trình bày dữ liệu, hay là một nhánh của toán học.

37 38 Chương BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Biến số ngẫu nhiên rời rạc Biến số ngẫu nhiên rời rạc X xác định bảng phân phối xác suất x1 X P x2 p1 p2 xn … … pn … … x1  x2   xn  laø giá trị nhận X pk  P  X  xk  , với k Khi hàm p f(x)   k 0 x  xk x  xk , k gọi hàm mật độ (xác suất) X, hàm F(x)  P  X  x   f  xi  xi  x gọi hàm phân phối (tích lũy) X, giá trị trung bình X cho X  X   xf(x)   xipi , x i phương sai X laø 2X  S2X    x  X 2 f(x)    xi  X  x i Căn phương sai gọi độ lệch chuaån,  X  2X pi 39 40 Biến số ngẫu nhiên liên tục X  x1 , x2 , x3 , Khi biến số ngẫu nhiên rời rạc lấy đủ nhiều giá trị, người ta xấp xỉ biến ngẫu nhiên liên tục Hàm số f : ¡  ¡ gọi hàm mật độ (xác suất) biến số ngẫu nhiên liên tục X Y  y1 , y2 , y3 , P  a  X  b  hàm số pij  f(x, y)   0 b a f(x)dx ,   x, y   xi, y j   x, y   xi, y j  , i, j  với a, b ¡ , a  b hàm F : ¡  ¡ gọi hàm với pij  P X  xi; Y  y j , gọi hàm mật độ (đồng phân phối (tích lũy) X thời) V  (X, Y) Khi đó, hàm F(x)  P  X  x  x  f(t)dt , với x  ¡ Giá trị trung bình X cho X  X    xf(x)dx , phương sai X 2X  S2X     x  X  f(x)dx Căn phương sai gọi độ lệch chuẩn,  X  2X Vectơ ngẫu nhiên Với hai biến số ngẫu nhiên X, Y, ta thành lập vectơ ngẫu nhiên V   X, Y  Ta xét trường hợp X Y hai biến số ngẫu nhiên loại, nghóa là biến số ngẫu nhiên rời rạc biến số ngẫu nhiên liên tục Khi X, Y hai biến số ngẫu nhiên rời rạc có giá trị fX (x)   f(x, y) vaø fY (y)   f(x, y) y x hàm mật độ (thành phần) X Y (đối với V) Khi X, Y hai biến số ngẫu nhiên liên tục, hàm số f(x, y) gọi hàm mật độ (đồng thời) V  (X, Y) với a, b, c, d ¡ , a  b , c  d , ta coù P  a  X  b; c  Y  d  d b c a f(x, y)dxdy Khi đó, haøm fX (x)    f(x, y)dy vaø fY (y)    f(x, y)dx hàm mật độ (thành phần) X Y (đối với V) Trong trường hợp, f(x, y)  fX (x)fY (y) , với x, y, ta nói hai biến số ngẫu nhiên X Y độc lập Hơn nữa, từ hàm mật độ (đồng thời), ta tính trung bình phương sai (thành phần) 41 X  2X   xf(x, y) ; Y  x,y   x  X  f(x, y) vaø x,y 2Y  yf(x, y) , cov(X, Y)  E(X, Y)  XY x,y    y  Y  Đại lượng f(x, y) X  Y  2X   vaø 2Y            xf  x, y dxdy   xfX  x dx ,   yf  x, y dxdy   yfY  y dx ,    x   X 2 f  x, y dxdy    x  X   fX  x dx     y  X    f  x, y dxdy  y   X 2 fY  y dy cho trường hợp biến số ngẫu nhiên liên tục Ngoài ra, ta có đại lượng hiệp phương sai cov(X, Y)  E   X   X   Y   Y   , cov(X, Y)  với   x  X   y   Y  f(x, y) , x,y cho trường hợp biến số ngẫu nhiên rời rạc, cov(X, Y)   (X, Y)  x,y cho trường hợp biến số ngẫu nhiên rời rạc,  42     x  X   y   Y  f(x, y)dxdy , cho trường hợp biến số ngẫu nhiên liên tục Trong trường hợp, ta có cov(X, Y) X  Y gọi hệ số tương quan X với Y B BÀI TẬP MẪU Bài Có hai thùng thuốc A B, : - thùng A có 20 lọ gồm lọ hỏng 18 lọ tốt, - thùng B có 20 lọ gồm lọ hỏng 17 lọ tốt a) Lấy thùng lọ Gọi X số lọ hỏng hai lọ lấy Tìm hàm mật độ X b) Lấy thùng B lọ Gọi Y số lọ hỏng lọ lấy Tìm hàm mật độ Y Giải a) Xét biến cố A : “nhận lọ hỏng từ thùng A”, B : “nhận lọ hỏng từ thùng B”, gọi X số lọ hỏng hai lọ lấy Ta có X lấy giá trị 0, Chú ý A, B biến cố độc lập Ta có P(X  0)  P(AB)  P(A)P(B)  18 17 306    0.765 , 20 20 400 P(X  1)  P(AB  AB)  P(A)P(B)  P(A)P(B) 17 18 88       0.22, 20 20 20 20 400 43 P(X  2)  P(AB)  P(A)P(B)     0.015 20 20 400 Từ đó, ta bảng phân phối xác suất X P 0.765 0.22 0.015   3 k C3kC17 C320 0.358 0.045          0.4   0.6,                  P  X    P T1T2T3T4  P T1 P T2 P T3 P  T4    0.4   0.6,  P  X  5  P T1T2T3T4  P T1 P T2 P T3 P T4 0.001 cuõng hàm mật độ Y 0.596 0.358  f(x)  0.045 0.001  0  P  X  3  P T1T2T3  P T1 P T2 P  T3  ta nhận bảng phân phối xác suất 0.596 với i  1, 2, 3, 4, Gọi X số lần bắn, ta có X  1, 2, 3, 4, vaø P  X  2  P T1T2  P T1 P  T2   0.4  0.6 , b) Goïi Y số lọ hỏng lọ lấy từ thùng B Ta có Y : H(20, 3, 3) , nghóa Y P Xét biến cố Ti : “bắn trúng bia lần bắn thứ i”, P  X  1  P  T1   0.6 , x  x  x  x  0, 1, P(Y  k)  Gọi X số lần bắn Tìm hàm mật độ X Tính trung bình  phương sai 2 Giải hàm mật độ X 0.765 0.22  f(x)   0.015 0 44 x  x  x  x  x  0, 1, 2, Bài Một xạ thủ bắn bia với xác suất bắn trúng bia p  0.6 Có viên đạn bắn xạ thủ dừng bắn hết đạn hay có viên đạn trúng bia   0.4  Từ đó, ta bảng phân phối xác suaát X P 0.6 0.24 0.096 0.0384 hàm mật độ xác suất X  0.6  0.24   0.096 f(x)   0.0384 0.0256   Ta có trung bình X x1 x2 x3 x4 x5 x  0, 1, 2, 3, 4, 5 0.0256 45 X   xif  xi    0.6   0.24    0.0256 i  1.6496,   E X   2X     Baøi Một thùng đựng 10 lọ thuốc có lọ hỏng Ta kiểm tra lọ (không hoàn lại) phát lọ hỏng dừng Gọi X số lần kiểm tra Tìm hàm mật độ X Tính trung bình  phương sai 2  ; 10 10  ; 10 10 P  X    P  Y3T4   P  T4 Y3  P  Y3      x2f(x)   2X    x   12  0.6  22  0.24   52  0.0256  (1.6496)2  0.95722  ; 10 10 Tương tự, ta có P  X  k  , với k  1, 2, ,10 10 Từ đó, ta bảng phân phối xác suất X P 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 hàm mật độ xác suất X Giải Xét biến cố Tk : “lấy lọ hỏng lần lấy thứ k”, P  X  3  P  Y2T3   P  T3 Y2  P  Y2   P  Y3   P Y2T3  P T3 Y2 P  Y2   phương sai 2X 46 k  1, 2, ,10 Gọi X số lần kiểm tra Ta có, X  1, 2, ,10 Hơn nữa, gọi Yk biến cố “không lấy lọ hỏng k lần lấy đầu tiên”, với k  1, 2, ,10 Ta  X  k  Yk1Tk   P  X  2  P  Y1T2   P  T2 Y1  P  Y1       x  1, 2, 3, ,10 Suy trung bình phương sai X  X  1    10  ; P  Y1   P T1  ; 10 10 P  Y2   P Y1T2  P T2 Y1 P  Y1   x  1, 2, 3, ,10  5.5 10 2X  E(X )  2X  12  22   102 vaø Yk  Yk1Tk P  X  1  P  T1   1  f(x)  10 0   ; 10 10  ; 10 10  101  5.52  8.25 Bài Gọi X tuổi thọ người Một công trình nghiên cứu cho biết hàm mật độ X cx2 (100  x)2  x  100 f(x)   x  hay x  100 0 a) Xác định số c b) Tính trung bình phương sai X 47 c) Tính xác suất người có tuổi thọ  60 d) Tính xác suất người có tuổi thọ  60 , biết người 50 tuổi 48 2X  E(X 100 c Giải  mà 10  x3 x5  2 x , f(x)dx  cx 100  x dx  c  10  2.10      0  100  10  x3 x5  x c  10  2.10       100 c   2 10  x4 x6  x  c  10  2.10   50,     phương sai  x4 100  x dx  2500 c) Xác suất người có tuổi thọ  60 laø  P(X  60)  100  f(x)dx    cx2 100  x dx 60 (104 x2  2.102 x3  x4 )dx x3 100  x dx (104 x3  2.102 x4  x5 )dx c 60 b) Ta có trung bình  xf(x)dx  c  100 (104 x4  2.102 x5  x6 )dx  2500 c Giải phương trình này, ta c  3.109  X  E(X)   x f(x)dx  50  60 100 neân ta phương trình 100 2  f(x)dx    10  x5 x7  x  c  10  2.10   2500     14  10  10 2500  3.109   2500    2500   105  35      )  2X a) Để f(x) hàm mật độ, ta caàn   10  x3 x5  x  c  10  2.10      60  1010  216 1296 7776     c   20    105  100     30    104 11376  992  3.109105    0.31744     3125  d) Để tính xác suất người có tuổi thọ  60 , biết ngưới 50 tuổi, ta tính xác suất có điều kiện 49 P  X  60 X  50   P   X  60  X  50  P  X  50 P  X  60 P  X  50  0.31744  0.63548, 0.5 với P  X  50 tính phần c 0.5 Bài Cho biến số ngẫu nhiên X có hàm mật độ  x   x  f(x)    e  x  0 50 Phương sai 2 cho   2  E X  2X ,     với E X x f(x)dx     xe x  dx Cũng công thức tích phân phần, ta có    x e với   E X 2  x    2   xe x  dx 0  2      xe x  dx  2 a) Tính trung bình  phương sai 2 b) Tìm hàm đặc trưng M(t) Dùng hàm đặc trưng, tính lại trung bình  phương sai 2 Giải   Từ suy 2  E X  2X  2     b) Hàm đặc trưng M  t biến số ngẫu nhiên X cho a) Ta có   EX       xf(x)dx     xe x  dx , (1)  Dùng công thức tích phân phần, với u  x , dv  ex / dx , ta du  dx , v  ex /  vaø biểu thức (1) cho   xe  x    x  e      M(t)  E e   tX   e   x  dx e f(x)dx   1 tx  t  x  e   t     t  1  xdx e    t Với hàm đặc trưng M  t này, ta nhận trở lại giá trị trung bình   M(0)  phương sai  1    (0)2  , 51        2   (0)    (0)      2 2   M(0)   M(0) 52 fY (3)  P(Y  3)  P  Y  X  0  P  Y  X  1  0.1  0.2  0.3 vaø fY (y)  , với y  1, 2,  2     b) Từ hàm mật độ, ta suy Bài Cho vectơ ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất X   xfX (x)   0.4   0.6  0.6 , X 0.1 0.2 0.1 Y   yfY (y)   0.3   0.4   0.3  , 0.2 0.2 0.2 2X   x2fX (x)  2X  02  0.4  12  0.4  (0.4)2  0.24 , 2Y   y2fy (y)  2y  12  0.3  22  0.4  32  0.3  22  0.6 Y a) Tìm hàm mật độ thành phần fX (x), fY (y) b) Tìm trung bình X ,  Y , phương sai hệ số tương quan (X, Y) 2X , 2Y Giải x y x y Do a) Hàm mật độ thành phần fX (x) cho fX (0)  P(X  0)  P  X  Y  1  P  X  Y  2  P  X  Y  3  0.1  0.2  0.1  0.4, fX (1)  P(X  1)  P  X  Y  1  P  X  Y  2  P  X  Y  3  0.2  0.2  0.2  0.6, vaø fX (x)  x  0,1 Tương tự, hàm mật độ thành phần fY (y) cho fY (1)  P(Y  1)  P  Y  X  0  P  Y  X  1  0.1  0.2  0.3, fY (2)  P(Y  2)  P  Y  X  0  P  Y  X  1  0.2  0.2  0.4, (X, Y)  cov(X, Y) E  XY    X  Y ,   X  Y  X  Y E  XY    xyf(x, y)  0.2  0.4  0.6  1.2 , vaø x,y ta suy (X, Y)  cov(X, Y) E  XY    X  Y 1.2  0.6      X  Y X  Y 0.24  0.6 Bài Cho vectơ ngẫu nhiên có hàm mật độ c(x  y)2 f(x, y)   0  x, y  0,1  0,1  x.y  0,1  0,1 a) Tìm hàm mật độ thành phần fX (x), fY (y) 53 b) Tìm trung bình X ,  Y , phương sai 2X , 2Y hệ số tương quan (X, Y) Giải 54   X    xf(x, y)dxdy    Trước hết, ta cần xác định số c Do tính chất hàm mật độ, ta có      f(x, y)dxdy  11   f(x, y)dxdy  c (x  y)2 dxdy  00   neân ta suy c   Y  Maø c 3 7c  ,  x  x  x  3 0   cho fX (x)   f(x, y)dy    c  c(x  y) dy   (x  y)3   0 2X  fY (y)      3y2  3y   c  f(x, y)dx  c(x  y) dx   (x  y)3  3 0  b) Từ hàm mật độ f(x, y) , ta suy 00 1   x(x  y)  dx yf(x, y)dxdy  11   y(x  y) dxdy 00 3   y(x  y)  dy    3y  3y  y dy 23 y2  ,  y  y3      74  14        x  X  f(x, y)dxdy 1  588 168 317 199   x  x  x  x  81x   ,  686   2940   x(x  y)2 dxdy     3x2  3x  ,     Khi đó, hàm mật độ thành phần  11 23 x2  3x  3x  x dx   x4  x3  ,     74  14 0       2Y       y  Y    f(x, y)dxdy  199 , 2940 55 E  XY          xyf(x, y)dxdy  11  xy(x  y)2 dxdy 00  31 1  2x2  x dx x  4  56 nghóa Z  X   Y b) Do định nghóa, 2Z   6x 2x x  17     ,     42 (X, Y)  Baøi Cho vectơ ngẫu nhiên V   X, Y  , với X, Y độc lập Giả sử X, Y có trung bình X , Y phương sai 2X , 2Y Đặt Z  X  Y Chứng minh raèng   22X f(x, y) x,y     x   X     y   Y   2 f(x, y)   x  X 2 f(x, y)  2   y   Y 2 f(x, y)  x,y x,y  2   x  X   y   Y )f(x, y) x,y Maø X Y độc lập nên   x  X   y  Y )f(x, y)  E  X  X   Y  Y   , x,y 2Z  2   22Y x,y a) Z  X   Y , b) z cov(X, Y) E  XY    X  Y  X  Y X  Y 17 9    25  42 14 14  588    0.127 199 199 199 199  2940 2940 2940 2Z   z  Z 2 f(x, y)    x  y    X   Y    x  X 2 f(x, y)  2   y  Y 2 f(x, y) x,y 22X x,y  22Y Bài Cho vectơ ngẫu nhiên V   X, Y  Đặt Z  X  Y Giải Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp X, Y biến số ngẫu nhiên rời rạc Trường hợp X Y biến số ngẫu nhiên liên tục chứng minh tương tự a) Gọi f(x, y) hàm mật độ (đồng thời) V Ta có E  Z  E  X  Y     (x  y)f(x, y) x,y  xf(x, y)   yf(x, y)  E(X)  E(Y), x,y x,y Z  X   Y vaø 2Z  2X  2(X, Y) X  Y  2Y Suy rằng, X Y không tương quan, nghóa (X, Y)  , 2Z  2X  2Y Giải Tương tự 8, ta chứng minh cho trường hợp X, Y biến số ngẫu nhiên rời rạc 57 Z   zf(x, y)   xf(x, y)   yf(x, y)  x  y , 2Z    z  Z 2 f(x, y)   x  x  y  y   z x,y z x,y z   x  X 2 f(x, y)    y  y  x,y 2 f(x, y) 58 Từ suy f(x, y)  x,y   x  X   y  y  f(x, y) 2 x,y Khi X Y không tương quan, (X, Y)  2Z  2X  2Y Bài 10 Cho vectơ ngẫu nhiên V   X, Y có bảng phân Y X 1/ 0 1/ 1/ a) Tính trung bình phương sai X Y Y   yfY (y)      , 2X   x2fX (x)  2X  (1)2   02   12   02  , 2Y   Giải a) Ta có hàm mật độ thành phần 1 y 1 x y y2fy (y)  2y  02  2 1  12      3  3 b) Do  xyf(x, y)  , x,y ta suy (X, Y)  cov(X, Y) E  XY    X  Y    X  Y X  Y c) Với hàm mật độ đồng thời f(x, y) , ta có b) Tính hệ số tương tương quan (X, Y) c) X Y có độc lập không ? x E  XY   1  xfX (x)  1       , phối xác suất 1 X   2X  2Y  2cov(X, Y)  2X  2Y  2(X, Y) X  Y 2 / y   fY (y)  1 / y  0 y  0,1  1 / x  1, 0,1 , fX (x)   x  1, 0,1 0 f(0, 0)   fX (0)fY (0)  Do đó, X Y không độc lập Bài 11 Chứng minh vectơ ngẫu nhiên V   X, Y  có X, Y độc lập, (X, Y)  Giải 59 Vì X, Y độc lập nên E  XY   E  X  E  Y  Từ ñoù suy (X, Y)   cov(X, Y) E  XY    X  Y   X  Y  X  Y E  X  E  Y   E  X  E  Y   X  Y  Bài 12 Chứng minh với vectơ ngẫu nhiên V   X, Y  , ta có hệ số tương quan (X, Y) thỏa (X, Y)  E  X  X   Y   Y  X  Y  1, nghóa 1  (X, Y)  C BÀI TẬP Xác định biến ngẫu nhiên Bài Xác suất chữa khỏi bệnh A bác só 0,8 a) Lập bảng phân phối xác suất số người chữa khỏi bệnh nhóm bệnh nhân gồm người bác só điều trị 1  (X, Y)  Giải Ta chứng minh cho trường hợp X, Y biến số ngẫu nhiên rời rạc Trường hợp biến số ngẫu nhiên liên tục chứng minh tương tự Với f(x, y) hàm mật độ (đồng thời) V   X, Y  , ta coù (X, Y)  60 cov(X, Y) E   X   X   Y   Y    , X  Y X  Y b) Gọi X số bệnh nhân chữa khỏi bệnh Tìm hàm phân phối xác suất X Bài Có hộp Hộp chứa 10 bi gồm bi đỏ bi đen Hộp hai chứa bi gồm bi đỏ bi đen Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp bỏ vào hộp hai; từ hộp hai lấy ngẫu nhiên bi a) Tính xác suất để bi lấy từ hộp hai bi đỏ E  X  X   Y  Y     (X  X )(Y   Y )f(x, y) b) Lập bảng phân phối xác suất cho số bi đỏ có hộp hai sau bỏ vào bi lấy từ hộp  (X  X ) Bài Một thiết bị gồm phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất khoảng thời gian t phận hỏng tương ứng 0.2; 0.3; 0.25 Gọi X số phận bị hỏng khoảng thời gian t x,y x,y f(x, y)(Y   Y ) f(x, y) nên từ bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta coù E  X  X   Y   Y    (X  X )2 f(x, y)  (Y  Y )2 f(x, y) x,y  X  Y Do x,y a) Lập bảng phân phối xác suất X b) Viết biểu thức hàm phân phối X c) Tính P   X   theo hai caùch - dùng bảng phân phối, 61 - dùng hàm phân phối Bài Mỗi cầu thủ có bóng Hai cầu thủ ném bóng vào rổ có người ném trúng hết bóng ngưng Biết xác suất ném trúng cầu thủ thứ 0,7, cầu thủ thứ hai 0,8 cầu thủ ném trước a) Gọi Xi số lần cầu thủ thứ i ném Lập bảng phân phối xác suất X1 X2 b) Gọi Yi số lần cầu thủ thứ i ném trúng Lập bảng phân phối xác suất Y1 Y2 Tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên Bài Tung đồng xu xấp ngửa lần độc lập Gọi X số lần mặt xấp a) Lập bảng phân phối xác suất cho X b) Tính xác suất có lần mặt xấp c) Tính kỳ vọng, phương sai d) Tính Mod[X], Me[X] e) Tính hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn Bài Gọi X số lần mặt xuất sau ba lần tung xúc xắc a) Lập bảng phân phối xác suất X b) Tính xác suất có lần mặt c) Tính xác suất có tối đa hai lần mặt d) Tính X , 2X Bài Có xạ thủ bắn vào mục tiêu, người bắn viên, số điều kiện 62 định Xác suất để xạ thủ bắn trúng mục tiêu 0,6; 0,7; 0,9 Gọi X số viên đạn trúng mục tiêu Hãy lập bảng phân phối xác suất X Tính trung bình ( X ), phương sai ( 2X ) Mod[X] Bài Một phân xưởng có ba máy M1, M2, M3 Trong giờ, máy sản xuất 10 sản phẩm, số sản phẩm không đạt tiêu chuẩn M1, M2, M3 1, 2, Lấy ngẫu nhiên từ máy sản phẩm Gọi X số sản phẩm không đạt tiêu chuẩn sản phẩm lấy a) Lập bảng phân phối sản xuất X b) Tìm X , 2X , Mod[X] c) Tính P  X  1 Bài Xét trò chơi, tung xúc xắc ba lần: ba lần nút lónh ngàn đ, hai lần nút lónh ngàn đ, lần nút lónh ngàn đ, nút không lónh hết Mỗi lần chơi phải đóng A ngàn đ Hỏi : a) A người chơi lâu dài huề vốn (gọi trò chơi công bằng), b) A trung bình lần người chơi ngàn đ Bài 10 Một nhà đầu tư có dự án Gọi X i(i=1, 2, 3) số tiền thu thực dự án thứ i (giá trị âm số tiền bị thua lỗ) Xi đại lượng ngẫu nhiên Qua nghiên cứu, giả sử có số liệu sau : (Đơn vị tính : 10 triệu đồng ) X1 -20 30 60 63 P 0.3 0.2 0.5 X2 P -20 0.4 -10 0.2 100 0.4 X3 P -25 0.2 -30 0.3 80 0.5 Theo anh (chị), ta nên chọn dự án ? 64 Bài 11 Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất sau X PX a 2a 2a 3a a2 2a2 7a2  a a) Xác định a b) Tính P X  5 , P X  3 c) Tính k nhỏ cho P  X  k  Baøi 12 Cho hàm mật độ biến ngẫu nhiên X có daïng  Ax x  0,1 a) f(x)    x  0,1  A sin x x  0,  b) f(x)   x  0,    A cos x x  0,    2 c) f(x)   x  0, 12    A d) f(x)   x4   x  x  Hãy xác định A Tìm hàm phân phối xác suất X Tính X , 2X , có Bài 13 Tuổi thọ loại bóng đèn biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với hàm mật độ sau kx2 (4  x)  x  f(x)   x  [0, 4]  a) Tìm k vẽ đồ thị f(x) 65 b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước năm tuổi Bài 14 Trọng lượng vịt tháng tuổi biến ngẫu nhiên X (đơn vị tính Kg) có hàm mật độ k(x2  1)  x  f(x)   x  [1, 3]  a) Tìm k 66   x  ,      F(x)  a  bsin x   x  , 2    x   với a, b số a) Tìm a b b) Với k tìm được, tìm (i) trọng lượng trung bình vịt tháng tuổi, (ii) hàm phân phối xác suất X, (iii) tỷ lệ vịt chậm lớn, biết vịt tháng tuổi chậm lớn vịt có trọng lượng nhỏ 2Kg Bài 15 Cho hàm mật độ biến ngẫu nhiên X có dạng a cos x x     ,     2 f(x)   x    2 , 2    a) Tìm a xác định hàm phân phối xác suất F(x) X b) Tính xác suất để X nhận giá trị khoảng     ,    Bài 16 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối b) Với a b tìm câu a), tính hàm mật độ f(x)   cuûa X; Mod  x ; Me x ; P  X   4  Vectơ ngẫu nhiên Bài 17 Số trẻ em sinh tuần làng A đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất X P 0,4 0,3 0,2 0,1 Số người chết tuần làng A đại lượng ngẫu nhiên Y có phân bố xác suất Y P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 Giả sử X Y độc lập a) Tìm phân phối xác suất đồng thời X Y b) Tính P(X > Y) Bài 18 Cho bảng phân phối xác suất đồng thời X, Y nhö sau : Y X 67 0,1 0,3 0,2 0,06 0,18 0,16 68 Tham soá đặc trưng vectơ Bài 19 Các đại lượng ngẫu nhiên X Y có bảng phân phối xác suất đồng thời sau a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần X Y Y X b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện X Y c) Tính covariance hệ số tương quan X Y 0,12 0,28 0,15 0,35 0,03 0,07 a) Chứng minh X Y độc lập b) Lập bảng phân phối xác suất Z = XY Từ tính E(Z) kiểm tra E(Z)  E(X)E(Y) Bài 20 Cho X, Y hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời sau Y -1 X -1 1 1 1 6 8 Hãy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) vaø (X, Y) Baøi 21 Cho X,Y hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời sau Y -1 X -1 1 15 15 0 2 15 15 15 15 15 69 a) Tìm X , Y , cov(X,Y) (X, Y) b) X Y có độc lập không ? Bài 22 Có hai hộp, hộp đựng bi Trong hộp có : bi mang số 1, bi mang soá 2, bi mang soá Trong hộp hai có : bi mang số 1, bi mang soá 2, bi mang soá Rút từ hộp bi Gọi X số ghi bi rút từ hộp một, Y số ghi bi rút từ hộp hai a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời V   X, Y  b) Bảng phân phối xác suất lề X , Y c) Kỳ vọng, phương sai X , Y d) Hiệp phương sai, hệ số tương quan Bài 23 Tung ba lần độc lập xúc xắc Gọi X số lần mặt chẵn xuất Y số lần mặt lẻ xuất a) Lập bảng phân phối xác suất X Y b) Tính hệ số tương quan (X, Y) Nhận xét? 70 ... 0.1 0 .2 0.1 Y   yfY (y)   0.3   0.4   0.3  , 0 .2 0 .2 0 .2 2X   x2fX (x)  2X  02  0.4  12  0.4  (0.4 )2  0 .24 , 2Y   y2fy (y)  2y  12  0.3  22  0.4  32  0.3  22 ...  phương sai ? ?2  ; 10 10  ; 10 10 P  X    P  Y3T4   P  T4 Y3  P  Y3      x2f(x)   2X    x   12  0.6  22  0 .24   52  0. 025 6  (1.6496 )2  0.95 722  ; 10 10... x,y 2Z  ? ?2   ? ?2? ??2Y x,y a) Z  X   Y , b) z cov(X, Y) E  XY    X  Y  X  Y X  Y 17 9    25  42 14 14  588    0. 127 199 199 199 199  29 40 29 40 29 40 2Z   z  Z 2