Tóm tắt lý thuyết và bài tập xác suất thống kê

Đoàn tàu điện gồm 3 toa tiến vào một sân ga, ở đó đang có 12 hành khách chờ lên tàu. Giả sử hành khách lên tàu ngẫu nhiên và mỗi toa còn hơn 12 chổ trống.Tính xác suất: a) Tất cả cùng lên toa II b) Tất cả cùng lên 1 toa. c) Toa 1 có 4 người, toa 2 có 5 người, còn lại lên toa 3.

CHƯƠNG 0: GIẢI TÍCH TỔ HỢP I.Nguyên lý đếm I.1.Nguyên lý cộng. Một công việc được thực hiện theo một trong k khả năng trong đó: Khả năng 1 có 1 n cách thực hiện Khả năng 2 có 2 n cách thực hiện …………………………………………………… Khả năng k có k n cách thực hiện. Khi đó số cách thực hiên công việc này là 1 n + 2 n +…+ k n I.2.Nguyên lý nhân Một công việc được tiến hành qua k giai đoạn, trong đó giai đoạn thứ i có i n ( i=1, 2,…k) cách thực hiện. Khi đó số cách thực hiện công việc là 1 n . k n … k n Ví dụ 1.Số điện thoại của một thành phố gồm 7 chữ số. a)Có thể cung cấp được bao nhiêu số thuê bao cố định cho thành phố này? b)Có thể cung cấp được bao nhiêu số thuê bao cố định mà trong số thuê bao đó không có số 3 cho thành phố này? c)Có thể cung cấp được bao nhiêu số thuê bao cố định mà trong số thuê bao đó các chữ số khác nhau cho thành phố này? Giải Ta có số điện thoại của thành phố này có dạng 1 2 3 4 5 6 7 a a a a a a a a)Vì 1 a được chọn từ các số: 0,1,2,…9 nên có 10 cách chọn. Tương tự 2 3 4 5 6 7 , , , , ,a a a a a a cũng có 10 cách chọn. Vậy theo nguyên lý nhân có thể cung cấp được 10.10.10.10.10.10.10 = 10000000 số thuê bao. b)Để được số thuê bao mà các chữ số đều là số lẻ thì 1 a , 2 a , 7 ,a phải được chọn từ các số lẻ 1, 3, 5, 7, 9 nên 1 a , 2 a 7 , ,a đều có 5 cách chọn.Vậy theo nguyên lý nhân có thể cung cấp được 5.5.5.5.5.5.5=5 7 số thuê bao cố định mà không có số 3. c)Để đươc số thuê bao gồm 3 chữ số khác nhau thì 1 a có 10 cách chọn, 2 a có 9 cách chọn, 3 a có 8 cách chọn, 4 a có 7 cách chọn, 5 a có 6 cách chọn, 6 a có 5 cách chọn, 7 a có 4 cách chọn nên theo nguyên lý nhân có thể cung cấp được 10.9.8.7.6.5.4 = 604.800 số thuê bao mà các chữ số khác nhau . II.Giải tích tổ hợp II.1.Chỉnh hợp *Định nghĩa chỉnh hợp:Một chỉnh hợp chập k của n là một nhóm gồm k phần tử lấy từ n phần tử ban đầu ( 0 )k n≤ ≤ sao cho nhóm k phần tử này thỏa 2 tính chất: không lặp và quan tâm đến thứ Ví dụ 2 Cho 3 điểm A,B,C phân biệt trong mặt phẳng. Một véc tơ khác không được tạo thành từ 3 điểm này là một chỉnh hợp chập 2 của 3 vì một véctơ khác không được tạo thành từ 3 điểm trên là một nhóm 2 phần tử(1phần tử trong trường hợp này là 1 điểm) lấy từ 3 phần từ ban đầu thoả 2 tính chất chất:không lặp(vì đang xét véctơ khác không)và quan tâm thứ tự( đảo thứ tự 2 điểm trong 1 véctơ sẽ tạo véctơ khác) * Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là k n A = n.(n-1).(n-2)…(n-k+1)= ! ( )! n n k− Ví dụ 3.Từ ví dụ 2 ta có 1 véctơ khác không được tao thành từ 3 điểm là 1 chỉnh hợp chập 2 của 3 nên số véctơ khác không đuợc tạo thành từ 3 điểm bằng số chỉnh hơp chập 2 của 3 và bằng 2 3 A =3.2=6.Cụ thể ta có 6 chỉnh hợp đó là: , , , , ,AB BA AC CA BC CB uuur uuur uuur uur uuur uuur II.2.Tổ hợp *Định nghĩa tổ hợp.Một một tổ hợp chập k của n là nhóm gồm k phần tử lấy từ n phần tử ban đầu ( 0 )k n≤ ≤ sao cho nhóm k phần tử này thỏa 2 tính chất: không lặp và không quan tâm đến thứ tự Ví dụ 4. Cho 3 điểm A,B,C phân biệt trong mặt phẳng. Một đoạn thẳng được tạo thành từ 3 điểm này là một tổ hợp chập 2 của 3 vì một đoạn thẳng như vậy là một nhóm 2 phần tử lấy từ 3 phần từ ban đầu thoả 2 tính chất chất:không lặp (nếu 2 điểm trùng nhau thì không thể gọi là 1 đoạn thẳng) và không quan tâm thứ tự( đảo thứ tự 2 điểm trong 1 đoạn thẳng thì không tạo thành đoạn thẳng khác) *Số tổ hợp chập k của n phần tử là k n C = ! !( )! n k n k− Ví dụ 5.Từ ví dụ 4 ta có 1 đoạn thẳng được tao thành từ 3 điểm là 1 tổ hợp chập 2 của 3 nên số đoạn thẳng đuợc tạo thành từ 3 điểm bằng số tổ hơp chập 2 của 3 và bằng 2 3 C =3.Cụ thể ta có 6 tổ hợp đó là:AB, AC,BC. Ví dụ 6.Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. a)Có bao nhiêu cách lấy? b)Có bao nhiêu cách lấy để được 3 sản phẩm tốt? c)Có bao nhiêu cách lấy để được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu? d)Có bao nhiêu cách lấy để được 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu? Giải a)Một cách lấy ra 3 sản phẩm từ là nhóm 3 từ 9 không lặp và không quan tâm thứ tự ( vì 3 sản phẩm này phân biệt và có thay đổi sự sắp xếp 3 sản phẩm thì cũng là 3 sản phẩm đó được lấy) nên đó là một tổ hợp chập 3 của 9. ⇒ Số cách lấy = số tổ hợp chập 3 của 9 và bằng = 3 9 C = 84 b) Để lấy được 3 sản phẩm tốt thì 3 sản phẩm đó phải lấy từ các sản phẩm tốt trong lô,nên mỗi cách lấy là 1 tổ hợp chập 3 của 4 ⇒ Số cách lấy = 3 4 C =4 c)Để được 2 sản phẩm tốt, 1 phế phẩm ta có 2 giai đoạn: + Giai đoạn 1: Lấy 2 sản phẩm tốt có 2 4 C = 6 cách + Giai đoạn 1: Lấy 1 sản phẩm xấu có 1 6 C = 6 cách Theo nguyên lý nhân số cách lấy được 2 sản phẩm tốt, 1sản phẩm xấu là 6.6 = 36 cách. II.3.Hoán vị *Định nghĩa hoán vị. Một chỉnh hợp chập n của n được gọi là một hoán vị của n. *Số hoán vị của n phần tử là n P = n! Ví dụ7. Cho tập hợp S = { } 1,2,3,4,5 a) Có bao nhiêu tập con có 3 phần tử của S? b) Có bao nhiêu tờ vé số có 3 chữ số khác nhau được tạo từ S? c) Có bao nhiêu tờ vé số có 5 chữ số khác nhau được tạo từ S? Giải a) Một tập con có 3 phần tử của S là 1 nhóm gồm 3 phần tử từ 5 phần tử có tính chất không lặp và không quan tâm thứ tự nên đó là một tổ hợp chập 3 của 5 ⇒ số tập con có 3 phần tử của S = số tổ hợp chập 3 của 5 = 3 5 C =10. b) Một tờ vé số gồm 3 chữ số khác nhau được tạo từ S cũng là nhóm 3 phần tử từ 5 phần tử cũng có tính chất không lặp(3 chữ số khác nhau) nhưng quan tâm thứ tự(đảo thứ tự 3 chữ số trong tờ vé số ta sẽ được tờ vé số khác). Vậy mỗi tờ vé số gồm 3 chữ số khác nhau được tạo từ S là 1 chỉnh hợp chập 3 của 5 ⇒ số tờ vé số gồm 3 chữ số khác nhau được tạo từ S = số chỉnh hợp chập 3 của 5 = 3 5 A =60. c) Tương tự câu b ta có 1 tờ vé số gồm 5 chữ số khác nhau là 1 chỉnh hợp chập 5 của 5 nghĩa là 1 hoán vị của 5 phần tử trong S . Do đó Số tờ vé số có 5 chữ số khác nhau được tạo từ S= 5 5! 120P = = CHƯƠNG 1 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT I.CÁC KHÁI NIỆM I.1.Phép thử, không gian mẫu, biến cố *Phép thử là một thí nghiệm có thể cho ra nhiều kết qủa khác nhau mà ta không biết trước được kết quả nào chắc chắn xảy ra. Ví dụ 1.Tung đồng xu và quan sát xem được mặt nào là 1 phép thử. Tung một con xúc xắc và quan sát xem được nút nào là một phép thử *Không gian mẫu. Không gian mẫu là tập hợp các trường hợp có thể xảy ra của phép thử. Ký hiệu là Ω Ví dụ 2. Không gian mẫu của phép thử tung đồng xu và quan sát xem được mặt nào là { } ,S NΩ = Không gian mẫu của phép thử tung một con xúc xắc và quan sát xem được nút nào là: { } út 1,nút 2, nút 3, nút 4,nút 5, nút 6,nΩ = *Biến cố Biến cố là một tập con của không gian mẫu.Các biến cố thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa A,B,C… Mỗi tập con chỉ gồm 1 phần tử của Ω được gọi là 1 biến cố sơ cấp Một biến cố được gọi là xảy ra nếu kết qủa của phép thử là 1 phần tử của biến cố đó. Biến cố tất yếu.Vì Ω chứa mọi kết qủa của phép thử nên Ω chắc chắn xảy ra, ta gọi Ω là biến cố tất yếu. Biến cố bất khả.Vì Φ là tập con của Ω và Φ không chứa phần tử nào nên Φ không bao giờ xảy ra, ta gọi Φ là biến cố bất khả. Ví dụ 3. *Đối với phép thử tung đồng xu ở trên, ta có các biến cố như sau: A = “được mặt sấp”(A = { } S ) (Để ký hiệu A là biến có được mặt sấp ta có ta cũng có thể làm như sau: Gọi A là biến cố được mặt sấp) B = “được mặt ngửa”(B = { } N ) **Đối với phép thử tung con xúc xắc ở trên, ta có các biến cố như sau: A=“Được nút 1” (A = { } út 1n ) , B= “Được nút chẵn”(B= { } nút 2, nút 4, nút 6 , C= “Được nút chia hết cho 3”(C = { } nút 3, nút 6 ) Ví dụ 4.Một lô hàng có 3 sản phẩm tốt ( 1 2 3 , ,T T T ) và 2 sản phẩm xấu( 1 2 ,X X ).Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm và quan sát xem 3 sản phẩm nào được lấy là 1 phép thử. Không gian mẫu của phép thử này là { } 1 2 3 1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 2 3 1 2 3 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 , , , , , , , , ,T T T TT X T T X T T X T T X T T X T T X T X X T X X T X XΩ = và ta có những biến cố sau: Gọi A là biến cố được 3 sản phẩm tốt( { } 1 2 3 A T T T= ) Gọi B là biến cố được 2 sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu. ( { } 1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 2 3 1 2 3 2 , , , , ,B T T X T T X T T X T T X T T X T T X= ) Gọi C là biến cố được 1 sản phẩm tốt,2 sản phẩm xấu. ( { } 1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 2 3 1 2 3 2 , , , , ,C TT X T T X T T X T T X T T X T T X= ) I.2 Phép toán và quan hệ trên biến cố. *Tổng, tích hai biến cố. Với 2 biến cố A, B bất kỳ ●Tổng của A và B ký hiệu A+B là 1 biến cố sao cho: A+B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra nghĩa là có ít nhất một biến cố xảy ra. ●Tích của A và B ký hiệu AB là 1 biến cố sao cho: AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra. Chú ý: Khi diễn đạt biến cố bằng lời nếu có từ hoặc thì đó là tổng các biến cố, nếu có từ và thì đó là tích các biến cố. Ví dụ 5.Với A,B trong ví dụ 3phần ** ta có A+B là biến cố được nút 1 hoặc nút 2 AB là biến cố được nút 1 và nút 2 nghĩa là AB= ɸ Với A,B trong ví dụ 5 ta có A+B là biến cố được 3 sản phẩm tốt hoặc được 2 sản phẩm tốt 1 sản phẩm xấu.Nói cách khác A+B là biến cố được ít nhất 2 sản phẩm tốt. A.B là biến cố được 3 sản phẩm tốt và được 2 sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu. Vậy AB= ∅ * Hai biến cố xung khắc. Hai biến cố A, B xung khắc nhau nếu chúng không đồng thời cũng xảy ra, nghĩa là AB = ∅ . *Biến cố đối lập. Biến cố đối lập của A ký hiệu là _ A đối lập nhau nếu A+ _ A = Ω và A _ A = ∅ Ví dụ 6.Một chiếc hộp có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm Gọi i M = “ được i sản phẩm tốt” (i=0,1,2,3,4) A= “ được ít nhất 2 sản phẩm tốt”, B= “ được 3 sản phẩm cùng loại” Hãy biểu diễn các biến cố A, _ A , B, và _ B thông qua các biến cố i M Giải Khi lấy ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm,biến cố A được ít nhất 2 sản phẩm tốt nghĩa là được 2 sản phẩm tốt,2 sản phẩm xấu hoặc được 3 sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu hoặc được 4 sản phẩm tốt, do đó A = 2 M + 3 M + 4 M _ A là biến cố được không quá 1 sản phẩm tốt nghĩa là được 0 sản phẩm tốt hoặc 1 sản phẩm tốt, do đó _ A = 0 1 M M+ . Sản phẩm trong hộp có 2 loại: tốt và xấu, vì vậy biến cố B được 4 sản phẩm cùng loại nghĩa là được 4 sản phẩm tốt hoặc được 4 sản phẩm xấu, do đó B = 0 M + 3 M . Ta có _ B = “được 4 sản phẩm khác loại” ⇒ _ B = 1 M + 2 M + 3 M Ví dụ 7.Có 2 xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập. Gọi M = “ xạ thủ 1 bắn trúng”, N = “ xạ thủ 2 bắn trúng”. A = “ cả 2 người bắn trúng”,B = “ có 1 người bắn trúng”. C = “có ít nhất 1 người bắn trúng”. Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C thông qua các biến cố M, N, _ M , _ N Giải Ta thấy _ M = “ người 1 bắn không trúng(bắn trật)”, _ N = “ người 2 bắn không trúng(bắn trật)” Biến cố A= “ cả 2 người bắn trúng” = “ người 1 bắn trúng” và “ người 2 bắn trúng” do đó A = M.N Biến cố B = “có 1 người bắn trúng”= “ người 1 bắn trúng” và “người 2 bắn trật” hoặc “người 1 bắn trật” và “người 2 bắn trúng”, vì vậy B =M _ N + _ M N Biến cố C có ít nhất 1 người bắn trúng nghĩa là có 1 người bắn trúng ( B) hoặc có 2 người bắn trúng (A), do đó C= A+ B = M _ N + _ M N+MN Nhận xét Biến cố C có ít nhất 1 người trúng cũng có nghĩa là người 1 trúng hoặc người 2 trúng vì vậy ta cũng có thể biểu diễn C = M+ N II.Định nghĩa xác suất. Định nghĩa xác suất cổ điển. Xét 1 phép thử gồm n biến cố sơ cấp đồng khả năng và biến cố A là tổng của A m biến cố sơ cấp đồng khả năng. Xác suất của biến cố A ký hiệu P(A) và được định nghĩa như sau: P(A) = A m n Trong đó: + A m là số trường hợp để A xảy ra hay còn gọi là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A, và đó chính là số phần tử của A, +n là tổng số trường hơp xảy ra hay còn gọi là số sự kiện đồng khả năng, và đó chính là số phần tử của Ω . Nhận xét Để tìm P(A) ta cần tìm 2 con số A m và n và thường phải sử dụng công cụ tổ hợp. Đối với nhiều bạn đọc, tính P(A) bằng định nghĩa cổ điển là bài toán khó vì họ thường chưa định hướng được cách giải. Ở đây tôi xin nêu cách phân tích để định hướng bài toán như sau: Tổng số trường hợp xảy ra của phép thử (n ) sẽ phụ thuộc vào phép thử, thế nhưng nhiều người khi tính số này không quan tâm đến phép thử là gì.Đó là một sai lầm. Vì vậy để tìm n các bạn hãy trả lời cho được phép thử là gì.Thực ra nếu phải dung giải tích tổ hợp để tìm n thì phép của bài toán đó sẽ rơi vào 2 loại. Đó là một lần (giai đoạn)thực hiện hay nhiều lần thực hiện? Bạn hãy đọc đề cho kỹ để xác định điều này.(Bạn cũng cần phân biệt số lần thực hiện với số cách thực hiện. Ví dụ một lô hàng có 10 sản phẩm lấy ngẫu nhiên ra k sản phẩm( nghĩa là bốc cùng lúc ra k sản phẩm) thì số lần thực hiện là 1, còn số cách thực hiện là 10 k C ). Nếu 1 lần thực hiện thì thường sẽ không lặp và không quan tâm thứ tự nên để tìm n ta dung tổ hợp. Còn nếu nhiều lần thì có thể lặp hoặc không và cũng có thể quan tâm thứ tự hoặc không vì vậy số cách thực hiện được tính bằng nguyên lý nhân( số chỉnh hợp, số chỉnh hợp lặp, số hoán vị đều được tính dựa vào nguyên lý nhân). Như vậy khi bạn đã xác định phép thử phép thử rơi vào loại nào trong 2 loại trên bạn chỉ cần dùng tổ hợp hoặc nguyên lý nhân là có thể tìm được n.Để tìm A m ta phải xem biến có A là biến cố nào. Ràng buộc A với phép thử, rồi hạn chế bớt số trường hợp có thể xày ra ta sẽ có A m . Ví dụ 8.Một chiếc hộp có 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm a)Tính xác suất được 3 sản phẩm tốt. b)Tính xác suất được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu. c)Tính xác suất được 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu. Giải a)Gọi A= “được 3 sản phẩm tốt” Ở đây phép thử là: Lấy cùng lúc ra 3 sản phẩm (1 lần thực hiện) nên mỗi cách lấy ra 3 sản từ hộp tương ứng với một tổ hợp chập 3 của 5(3 sản phẩm khác nhau, không quan tâm thứ tự) Vậy n = 3 5 C =10. Tương tự lấy được 3 sản phẩm tốt là một tổ hợp chập 3 của 3 nên A m = 3 3 C =1 ⇒ P(A)= 1 10 A m n = b) Gọi B= “được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu” Để lấy được 3 sản phẩm trong đó có 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu ta chia 2 giai đoạn: [...]... P(B) = mB 4 = n 9 Nhận xét: *Cách 1 và cách 2 có xác suất giống nhau nhưng phép thử là khác nhau * Ta có thể tính xác suất của các biến cố trong cách 2 , và 3 bằng định lý xác suất BÀI TẬP 1.1Một công ty có 4 nhân viên nam, 5 nhân viên nữ Giám đốc công ty chọn ngẫu nhiên ra 4 người đi công tác a) Tính xác suất giám đốc chọn được 4 người nam đi công tác b) Tính xác suất giám đốc chọn được 3 người nam,... dùng công thức cộng để tính xác suất, bạn đọc cần lưu ý rằng loại bài toán này sẽ có 2 loại biến cố: Biến cố bài toán đã cho (thường tính được xác suất hoặc đã biết xác suất) và biến cố cần tính xác suất (các bạn phải nhận ra được chúng) Do đó các bạn phải đặt tên các biến cố đã cho để dùng (nếu các biến cố đã cho chưa được ký hiệu), sau đó biểu diễn biến cố cần tính xác suất thông qua các biến cố đề... toán và ngoại ngữ Xác suất An đậu toán là 0,2, xác suất An đậu ngoại ngữ là 0,3 Còn xác suất An đậu cả 2 môn là 0,1 Tính xác suất An đậu ít nhất môt môn Giải Ta thấy đề bài cho 3 biến cố là: H= “An đậu môn toán”, K=“An đậu ngoại ngữ” và M= “An đậu môn toán và đậu ngoại ngữ” Ta có H, K là 2 biến cố không xung khắc cũng không độc lập, M = HK, P(H)= 0,2, P(K) = 0,3, P(M) = P(HK) = 0,1 Biến cố cần tính xác. .. máy 1, máy 2, máy 3 hoạt động tốt trong 1 ca làm việc lần lượt là 0,1,0,2 và 0,3 a) Tính xác suất cả 3 máy đều hoạt động tốt b) Tính xác suất có 2 máy hoạt động tốt c) Tính xác suất có 1 máy hoạt động tốt d) Tính xác suất có ít nhất 1 máy hoạt động tốt e) Biết rằng có 2 máy hoạt đông tốt tính xác suất máy 1 hoạt động tốt Giải Đề bài cho 3 biến cố: M 1 = “ Máy 1 hoạt động tốt trong 1 ca làm việc” , M... = P(HK) = 0,1 Biến cố cần tính xác suất A = “An chỉ đậu ít nhất 1 môn” nghĩa là An đậu toán và đậu ngoại ngữ do đó A= H+K Vì H, K không xung khắc( An có thể thi đậu cả toán và ngoại ngữ) nên P(A) = P(H+K) = P(H) + P(K) – P(HK) = 0,2+0,3 -0,1= 0,4 II.Công thức nhân xác suất II.1 .Xác suất có điều kiện Xác suất của A tính trong trường hợp B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A với điều kiện... lượng của sản phẩm do máy sản suất, doanh thu của doanh ngiệp trong 1 năm II Luật phân phối xác suất Luật phân phối xác suất đó là cách biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng của các giá trị đó II.1.Luật phân phối xác suất của biến rời rạc Trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc luật phân phối được diễn ta thông qua bảng phân phối xác suất như sau: X x1 x2 … xn p... 3,6,9,12,15,18, và trong đó có 3 trường hợp để A xảy ra( được các số 6,12,18) vì vậy theo định nghĩa xác suất cổ điển xác suất của A trong trường hợp này 3/6 Vậy P(A/B) =3/6=1/2 Ví dụ 4.Một lớp học có 100 sinh viên trong đó có 30 sinh viên giỏi toán, 40 sinh viên giỏi ngoại ngữ và 10 sinh viên giỏi cả 2 môn Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên từ lớp học a) Tính xác suất được sinh viên giỏi toán b) Tính xác suất được... xảy ra hoặc A xảy ra - Xác suất P(A) = p (cố định) trong mỗi phép thử III.2.Công thức Bernoulli: Gọi pn (k ) là xác suất được k lần A xảy ra trong dãy n phép thử Bernoulli Khi đó pn (k ) = k Cn p k q k k = 0,1,…,n; q=1-p Ví dụ 9 Một nhân viên bán hàng 1 ngày bán hàng ở 5 địa điểm, xác suất bán được hàng ở mỗi địa điểm là 0,2 a) Tính xác suất có 2 địa điểm bán được hàng b) Tính xác nhân viên bán được... dụng công thức xác suất toàn phần ta phải thấy được nhóm biến cố đầy đủ chi phối biến cố A Khi sử dụng công thức này ta phải biết chọn nhóm biến cố đầy đủ cho phù hợp với biến cố A cần tính xác suất Nếu bài toán gồm 2 phần thì biến cố cần tính xác suất sẽ liên quan đến phần sau còn phần đầu sẽ có nhóm biến cố đầy đủ Nếu bài toán gồm 2 bước hoặc 2 giai đoạn thì thì biến cố cần tính xác suất liên quan đến... máy Tương tự, phân xưởng II và III chiếm 35% và 25% Tỷ lệ chính phẩm của từng phân xưởng lần lượt là 94%,98% và 97% Tính tỷ lệ chính phẩm của nhà máy Giải Bài toán này gồm 2 phần: phân xưởng của nhà máy và sản phẩm chính phẩm.Việc tính tỷ lệ chính phẩm của nhà máy tương đương với chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy, tính xác suất được chính phẩm Biến cố cần tính xác suất A= “được sản phẩm chính . cộng để tính xác suất, bạn đọc cần lưu ý rằng loại bài toán này sẽ có 2 loại biến cố: Biến cố bài toán đã cho (thường tính được xác suất hoặc đã biết xác suất) và biến cố cần tính xác suất (các. thi AN phải thi 2 môn: toán và ngoại ngữ. Xác suất An đậu toán là 0,2, xác suất An đậu ngoại ngữ là 0,3. Còn xác suất An đậu cả 2 môn là 0,1. Tính xác suất An đậu ít nhất môt môn. Giải Ta thấy. P(HK) = 0,2+0,3 -0,1= 0,4 II.Công thức nhân xác suất. II.1 .Xác suất có điều kiện. Xác suất của A tính trong trường hợp B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A với điều kiện B xảy