Chuong 1 bài tập xác suất thống kê

bài tập về xác suất thống kê ao gồm tóm tắt lý thuyết, bài tập mẫu và phần bài tập luyện tập thêm kỹ năng làm bài Xác suất, thống kê là sự kết hợp của thống kê và xác suất nói đơn giản là tìm độ đo gần chính xác của toán học để đo tính phi chắc chắn của khả năng xảy ra một sự kiện nào đó là một phần toán học của khoa học, gắn liền với tập hợp dữ liệu, phân tích, giải thích hoặc thảo luận về một vấn đề nào đó, và trình bày dữ liệu, hay là một nhánh của toán học.

5 Chương iv) Công thức cộng tổng quát : Với hai biến cố A, B bất kỳ, ta có ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT P  A U B  P(A)  P(B)  P(AB) Xaùc suất có điều kiện – biến cố độc lập A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Xác suất để biến cố A xảy biết biến cố B xảy Định nghóa xác suất Xét biến cố A với không gian mẫu  tương ứng, ta có P  A B  định nghóa cổ điển P(A)  A  , A  số phần tử A  định nghóa tần suất Số trường hợp thuận lợi cho A Số trường hợp xảy Tính chất xác suất P(A)  i) P(A)  , với biến cố A, P()  P()  , nghóa xác suất biến cố có (  , biến cố không xảy ra) biến cố chắn (  , biến cố luôn xảy ra) ii) Công thức cộng : Với họ biến cố xung khắc đôi A1 , A2 , …, An ( AiA j   i  j , nghóa hai biến cố Ai A j không xảy ra), P  A1  A2   An   P  A1   P  A2    P  An    iii) P A   P(A) , nghóa tổng xác suất hai biến cố đối lập P(AB) , P(B) với P(B)  , ta có công thức nhân P(AB)  P  A B P(B)  P  B A  P(A) Khi biến cố B xảy hay không xảy không ảnh hưởng đến việc biến cố A xảy hay không xảy ra, ta nói A, B hai biến cố độc lập P(AB)  P(A)P(B) Ta có công thức nhân tổng quát, P  A1A2 An   P  A1  P  A2 A1  P  A3 A1A2  P  An A1A2 An1  Khi A1 , A2 , …, An họ biến cố độc lập, nghóa biến cố xảy hay không xảy không ảnh hưởng đến việc xảy hay nhiều biến cố khác, nghóa với họ hữu hạn biến cố Ai1 , Ai2 , …, Aik , ta coù         P Ai1 Ai2 Aik  P Ai1 P Ai2 P Aik Công thức xác suất toàn phần – công thức Bayes Cho A1 , A2 , …, An họ đầy đủ biến cố, nghóa luôn có biến cố Ai xảy Với biến cố B, ta có công thức xác suất toàn phần, P  B  P  B A1  P  A1   P  B A2  P  A2    P  B An  P  An  công thức Bayes P  Ai B   P  B Ai  P  A i  P  B i) Trường hợp lấy mẫu có hoàn lại, n lần thực việc lấy phần tử độc lập nên lược đồ K Bernoulli thỏa X : B  n; p , p  , N k k P  X  k  Cn p (1  p)n k P  B Ai  P  A i  P  B A1  P  A1    P  B An  P  An  Đặc biệt, với hai biến cố A, B, ta có  ii) Trường hợp lấy mẫu không hoàn lại, lược đồ Bernoulli không thỏa ta có công thức P  X  k     P  B  P  B A  P  A   P B A P A , P  A B   P  B A P  A k n k CK CN  K Cn N , ký hiệu X : H(N, K, n) P  B P  B A P  A  B BÀI TẬP MẪU    P  B A P  A  P B A P A Lược đồ Bernoulli Khi thực n lần phép thử  độc lập gọi X số lần biến cố A xảy n lần thực phép thử này, biến cố  X  k trường hợp biến cố A xảy k lần n lần thực phép thử ta có k k P  X  k  Cn p 1  p n k , với p  P(A) Ta ký hiệu X : B  n; p Chú ý : Từ tổng thể gồm N phần tử có K phần tử mang tính chất T đó, lấy n phần tử gọi X số phần tử mang tính chất T n phần tử lấy ra, ta có Bài Cho A, B, C ba biến cố Chứng minh P(A U B U C)  P(A)  P(B)  P(C)  P(AB)  P(AC)  P(BC)   P(ABC) Giải Ta có P  A U B U C  P  A U B U C  P(A U B)  P(C)  P  (A U B)C P(A U B)  P(A)  P(B)  P(AB) , P  (A U B)C  P  AC U BC  P(AC)  P(BC)  P(ABC) neân P  A U B U C  P(A)  P(B)  P(C)  P(AB)  P(AC)  P(BC)  P(ABC) Baøi Cho P(A)  1 , P(B)  vaø P(A  B)  Tính P(AB) , P(AB) , P(A  B) , P(AB) P(AB) Giải d) Bị bệnh tim không bị bệnh huyết áp Do e) Không bị bệnh tim bị bệnh huyết áp P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB) , ta suy 10 Giải Xét biến cố tim”, P(AB)  P(A)  P(B)  P(A  B)  12 B : “nhận người mắc bệnh huyết áp”, Do AB  A  B , nên Ta có P(A)  0.09 ; P(B)  0.12 ; P(AB)  0.07 P AB  P A  B   P  A  B      a) Biến cố “nhận người bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp” A+B, với Tương tự, A  B  AB ta suy   P A  B   P  AB  P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB)  0.09  0.12  0.07  0.14 11 12 Xuất phát từ đẳng thức A  AB  AB AB , AB biến cố xung khắc, ta P(A)  P  AB  P AB vaø     P AB  P(A)  P  AB  Tương tự, ta có   P AB  P(B)  P  AB  A : “nhận người mắc bệnh 12 Bài Tỷ lệ người mắc bệnh tim vùng dân cư 9%, mắc bệnh huyết áp 12%, mắc hai bệnh 7% Chọn ngẫu nhiên người vùng Tính xác suất để người a) Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp b) Không bị bệnh tim không bị bệnh huyết áp c) Không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp b) Biến cố “nhận người không bị bệnh tim không bị bệnh huyết áp” A.B , với P(A.B)  P(A  B)   P(A  B)   0.14  0.86 c) Biến cố “nhận người không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp” A  B , với P(A  B)  P(AB)   P(AB)   0.07  0.93 d) Biến cố “nhận người bị bệnh tim không bị bệnh huyết áp” A.B , với P(A.B)  P(A)  P(AB)  0.09  0.07  0.02 e) Biến cố “nhận người không bị bệnh tim bị bệnh huyết áp” A.B , với 11 Giải P(A.B)  P(B)  P(AB)  0.12  0.07  0.05 Baøi Một hộp đựng 10 phiếu có phiếu trúng thưởng Có 10 người rút thăm Tính xác suất nhận phần thưởng người Giải Gọi Tk (k  1, 2, ,10) biến cố “người thứ k nhận phiếu trúng thưởng” Ta có P(T1 )    0.2 , 10      P(T2 )  P(T1 )  P T2 T1  P T1  P T2 T1   1      0.2, 9        P  T1  P  T2 T1  P  T3 T1T2     P(T3 )  P T1 P T2 T1 P T3 T1T2  P(T1 )P T2 T1 P T3 T1T2   1           0.2, 9 P(T10 )   0.2 Bài Một thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, câu có câu trả lời, có câu đún g Giả sử câu trả lời đúng, thí sinh điểm, câu trả lời sai, thí sinh bị trừ điểm Một thí sinh làm cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời Tìm xác suất để a) thí sinh 13 điểm, b) thí sinh bị điểm âm 12 Gọi X số câu trả lời 12 câu hỏi trả lời cách ngẫu nhiên Ta có X : B 12; 15   Xét tương quan số câu trả lời số điểm nhận tương ứng, ta có Số câu Số (X) điểm 12 7 2 3 13 18 23 28 33 10 38 11 43 12 48 a) Biến cố “thí sinh 13 điểm” biến cố X  , với xác suất P  X  5  C12 (0.2)5 (1  0.2)12 12!    0.2   0.8 5! 12  5 !  0.0532 b) Biến cố “thí sinh bị điểm âm” biến cố X  , với xác suất 13 14 P  X    P  X    P  X  1  P  X   11  C12  0.2  (0.8)12  C112  0.2   0.8 12   0.8 11  12   0.2   0.8 2  C12  0.2   0.8 10  66   0.2    0.8   0.558 Bài Theo dõi dự báo thời tiết đài truyền hình (nắng, sương mù, mưa) so sánh với thời tiết thực tế xảy ra, ta có bảng thống kê sau Dự báo Thực tế Nắng Nắng Sương mù 30 10 Mưa Sương mù 20 Mưa 10 20 nghóa có 30 lần dự báo nắng, trời nắng, lần dự báo nắng, trời sương mù; 10 lần dự báo nắng, trời mưa, v.v… a) Do 100 lần theo dõi dự báo đài truyền hình, ta thấy có 30   10 lần dự báo trời nắng nên xác suất dự báo trời nắng đài truyền hình P(A)  b) Do 100 lần theo dõi, ta thấy có 30  20  20 dự báo đài truyền hình so với thực tế nên xác suất dự báo đài truyền hình so với thực tế 30  20  20  0.7 100 c) Do 44 lần đài truyền hình dự báo trời nắng có 30 lần thực tế trời nắng, lần thực tế trời sương mù 10 lần thực tế trời mưa nên xác suất để thực tế trời mưa, trời sương mù, trời nắng 30  0.682, 44 P  B1 A    0.091, 44 10 P  C1 A    0.227 44 P  A1 A   a) Tính xác suất dự báo trời nắng đài truyền hình b) Tính xác suất dự báo đài truyền hình thực tế c) Được tin dự báo trời nắng Tính xác suất để thực tế trời mưa ? trời sương mù ? trời nắng ? Giải Xét biến cố A : “Đài truyền hình dự báo trời nắng”, A1 : “Thực tế trời nắng” B : “Đài truyền hình dự báo trời sương mù”, B1 : “Thực tế trời sương mù” C : “Đài truyền hình dự báo trời mưa”, C1 : “Thực tế trời mưa” 30   10  0.44 100 Bài Bạn quên số cuối số điện thoại cần gọi (số điện thoại gồm chữ số) bạn chọn số cuối cách ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn gọi số điện thoại mà thử lần Nếu biết số cuối số lẻ xác suất ? Giải Gọi Ai biến cố “gọi lần thứ i”, i  1, 2, Ta có A1 biến cố “gọi thử lần” , A1 A2 biến cố “gọi phải thử hai lần” A1 A2 A3 15 biến cố “gọi phải thử ba lần” Do biến cố “gọi thử ba lần A  A1  A1A2  A1A2A3 với 16 b) Gọi n số lần bắn để xác suất lần trúng bia  0.9 Do X : B  n; p với p  0.7 , nên xác suất có lần trúng bia n phát P  X  1   P  X   P(A)  P(A1  A1A2  A1A2 A3 )  P(A1 )  P(A1 )  P(A2 | A1 )  P(A1 )  P(A2 | A1 )  P(A3 | A1A2 )  9       10 10 10 10 Khi biết số cuối số lẻ số để chọn quay giới hạn lại trường hợp (số lẻ) nên công thức trở thành 4 3 P(A)         0.6 5 5 Bài Một người bắn bia với xác suất bắn trúng p  0.7 a) Bắn liên tiếp phát Tính xác suất có lần trúng bia b) Hỏi phải bắn lần để có xác suất lần trúng bia  0.9 Giải Gọi X số viên đạn trúng bia phát Ta có X : B  n; p , với n  p  0.7 a) Xác xuất có lần trúng bia bắn liên tiếp phát P  X  1   P  X     C03 (0.7)0 (1  0.7)3   (0.3)3  0.973   C0n (0.7)0 (1  0.7)n   (0.3)n Để P  X  1  0.9 , ta giải bất phương trình  (0.3)n  0.9 , hay tương đương (0.3)n  0.1 Lấy lôgarít hai vế bất phương trình trên, ta n  ln(0.3)  ln(0.1) Do ln(0.3)  , ta suy n ln(0.1)  1.91 ln(0.3) Vậy, cần phải bắn phát đạn để xác suất có lần trúng bia  0.9 Bài Có hai hộp đựng bi : - Hộp H1 đựng 20 bi có bi đỏ 15 bi trắng, - Hộp H2 đựng 15 bi có bi đỏ bi trắng Lấy bi hộp H1 , bỏ vào hộp H2 , trộn lấy bi Tính xác suất nhận bi đỏ ? bi trắng ? Giải Xét biến cố 17 18 P  B A  , A : “Bi nhận từ hộp H2 bi đỏ”, B : “Bi từ hộp H1 bỏ sang hộp H2 bi đỏ” Do giả thuyết, ta coù P  B   ; P  A B   ; P AB  20 16 16   Từ đó, suy xác suất nhận bi đỏ 25 P(A)  P  A B P(B)  P A B P(B)  , 64   xác suất nhận bi trắng P(A)   P(A)  39 64 Bài 10 Một cặp trẻ sinh đôi trứng (sinh đôi thật) hay hai trứng khác sinh (sinh đôi giả) Các cặp sinh đôi thật luôn có giới tính Các cặp sinh đôi giả giới tính đứa độc lập với có xác suất 0.5 Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi trai; 30% cặp sinh đôi gái 36% cặp sinh đôi có giới tính khác a) Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật b) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật số cặp sinh đôi có giới tính Giải Xét biến cố A : “nhận cặp sinh đôi thật”, B : “nhận cặp sinh đôi có giới tính” Do cặp sinh đôi thật luôn có giới tính nên với cặp sinh đôi giả giới tính đứa độc lập có xác suất 0.5 nên     P B A  P B A  0.5 , vaø thống kê cặp sinh đôi nhận P  B  0.3  0.34  0.64 P  B  0.36 a) Do công thức xác suất toàn phần,      P  B A  P  A   P  B A  1  P  A    P  B A   P  B A   P  B A   P  A  ,   P(B)  P  B A  P  A   P B A P A ta suy P  A   P(B)  P B A   P  B A  P B A   0.64  0.5  0.28  0.5 b) Do công thức Bayes, P  A B  P  B A  P(A) P(B)  0.28  0.4375 0.64 Bài 11 Một trung tâm chẩn đoán bệnh dùng phép kiểm định T Xác suất để người đến trung tâm mà có bệnh 0.8 Xác suất để người khám có bệnh phép kiểm định dương tính 0.9 xác suất để người khám bệnh phép kiểm định âm tính 0.5 Tính xác suất a) phép kiểm định dương tính, b) phép kiểm định cho kết 19 Giải 20 Giải Xét biến cố Xét biến cố A : “nhận người có bệnh”, Ai : “Cụm chi tiết thứ i bị hỏng”, với i  1, 2, , B : “nhận người có kiểm định dương tính” B : “thiết bị không ngừng hoạt động” Do giả thiết, ta có  Do giả thiết, ta có  P  A  0.8 ; P  A B  0.9 ; P A B  0.5 a) Do công thức xác suất toàn phần,      P  A B P  B  P  A B 1  P  B   P  A B  P  A B  P  A B  P  B ,   P  A B   P  A B  0.5 , nên xác suất để phép kiểm P  A   P  A B P  B  P A B P B mà định dương tính cho P  B    P  A  P A B   P  A B  P A B  0.8  0.5  0.75 0.9  0.5 b) Xác suất để phép kiểm định cho kết     P AB  AB  P  AB  P AB      P  A B P  B  P A B P B  0.7125 Bài 12 Một thiết bị gồm cụm chi tiết, cụm bị hỏng không ảnh hưởng đến cụm khác cần cụm bị hỏng thiết bị ngừng hoạt động Xác suất để cụm thứ bị hỏng ngày 0.1, cụm thứ hai 0.05 cụm thứ ba 0.15 Tìm xác suất để thiết bị không ngừng hoạt động ngaøy P  A1   0.1 , P  A2   0.05 , vaø P  A3   0.15 Do A1 , A2 vaø A3 họ biến cố độc lập nên xác suất để thiết bị không ngừng hoạt động         P  B  P A1A2A3  P A1 P A2 P A3  0.9  0.95  0.85  0.7267 Bài 13 Một phân xưởng có máy Xác suất để ca, máy bị hỏng 0.1 Tìm xác suất để ca, có máy bị hỏng Giải Gọi X số máy bị hỏng phân xưởng ca Do biến cố máy bị hỏng độc lập nên X thỏa lược đồ Bernoulli, nghóa X : B  5; 0.1 Do đó, xác suất để ca, có máy bị hỏng P  X  2  C52  0.1 1  0.15  C52  0.1  0.93  0.0729 Baøi 14 Tính xác suất để gieo xúc xắc 10 lần, mặt nút xuất không lần Giải 21 22 Gọi X số lần mặt nút xuất 10 lần thảy Ta có X : B 10; 16 Do đó, xác suất để mặt nút  Bài 16 Một người viết n thư bỏ ngẫu nhiên n thư vào n phong bì viết sẵn địa Tìm xác suất cho có thư bỏ vào phong bì  xuất không lần P  X  3  P  X    P  X    P  X    P  X    10 5    6  6 1  5  C110     10 1 C10    6  6 1  C10    5  1  5    C10      6  6  6  6 5 1  5 1  5  1  5     10        45        120        6  6  6  6  6  6  6  0.857 Bài 15 Tỷ lệ phế phẩm lô hàng (lớn) 1% Từ lô hàng này, lấy n sản phẩm Hỏi n phải để xác suất nhận phế phẩm lớn 0.95 Giải Gọi X số phế phẩm nhận n sản phẩm lấy từ lô hàng Ta có X : B  n; 0.01 Khi xác suất để Giải Gọi A j biến cố “lá thư thứ j đến người nhận”, j  1, n gọi A biến cố “có thư đến người nhận” Ta có A    (0.99) Để tìm n cho xác suất nhận sản phẩm hỏng lớn 0.95 , nghóa laø P  X  1  0.95 , ta giải bất phương trình  (0.99)n  0.95 Từ đó, suy n  298.073 Vậy cần phải lấy 299 sản phẩm để xác suất có sản phẩm hỏng lớn 0.95 công thức cộng tổng quát cho n biến cố n  n  P(A)  P  Aj   P(A j)  P(AiA j)    i j  j1  j1  n  n1   P(AiA jAk )    1 P Aj    i j k  j1  U    I   , với j, Do P A j  n P  X  1   P  X    UAj j1 nhận sản phẩm hỏng  C0n (0.01)0 (1  0.01)n n n        (n 2)! , P AiA j  P Ai A j P A j  n11 n n! với i  j ,        (n 3)! P AiA jAk  P Ai A jAk P A j Ak P  Ak   n1 n11 n n! với i  j  k , , ta suy P(A)  n n   n  2 !  C3  n  3 !   1 n1 1  C2n   n n n! n! n!   1k1 k!   e1 k1 n đủ lớn 23 Bài 17 Một dây chuyền lắp ráp nhận chi tiết từ hai nhà máy khác Tỷ lệ chi tiết nhà máy thứ cung cấp 60%, nhà máy thứ hai 40% Tỷ lệ phẩm nhà máy thứ 90%, nhà máy thứ hai 85% Lấy ngẫu nhiên chi tiết dây chuyền thấy tốt Tìm xác suất để chi tiết nhà máy thứ sản xuất Giải 24 thuốc Nếu người không bị viêm họng xác suất để người hút thuốc Giải Khám ngẫu nhiên người vùng dân cư, xét biến cố A : “nhận người hút thuốc lá”, B : “nhận người bị viêm họng” Xét biến cố Giả thiết cho A : “nhận sản phẩm tốt”, Bi : “nhận sản phẩm nhà máy thứ i sản xuất”, với i  1, 60 40  0.6 ; P(B2 )   0.4 ; 100 100  P  A B1   0.9 ; P  A B2   0.85 Do B1 , B2 taïo thành họ đầy đủ biến cố nên từ công thức Bayes, ta xác suất để chi tiết tốt nhận dây chuyền nhà máy thứ sản xuất P  B1 A   P  A B1  P  B1  P  A B1  P  B1   P  A B2  P  B2   Do người bị viêm họng nên từ công thức Bayes, ta suy xác suất để người hút thuốc P  A B  Từ giả thuyết, ta coù P(B1 )   P  A  0.3 ; P  B A   0.6 vaø P B A  0.3  0.614 Baøi 18 Trong vùng dân cư, 100 người có 30 người hút thuốc Biết tỷ lệ người bị viêm họng số người hút thuốc 60%, số người không hút thuốc 30% Khám ngẫu nhiên người thấy người bị viêm họng Tìm xác suất để người hút P  B A P  A     P  B A P  A  P B A P A 0.6  0.3  0.4615 0.6  0.3  0.3  0.7 Khi người không bị viêm họng xác suất để hút thuốc   P AB     P B A P  A       P B A P  A  P B A P A 0.4  0.3  0.1967 0.4  0.3  0.7  0.7 Baøi 19 a) Cho A, B hai biến cố độc lập Chứng minh A, B ; A, B A, B cặp biến cố độc lập b) Cho A1, A2, , An n biến cố độc lập Chứng minh A1, A2 , , An n biến cố độc lập Suy 25 26 xét n biến cố B1, B2, , Bn, với Bi  Ai hay Bi  Ai , k  k  P Ai j   P Ai j    j1  j1 Giải Vì B  AB  AB , AB AB biến cố xung khắc nên công thức cộng cho   P AB  P  B  P  AB Nếu họ chứa biến cố A1 , nghóa có dạng Ai1 , Ai2 , …, Aik , với i1  ,  i2   ik  n Do giả thiết A1 k I j  P  B  P  A  P  B  1  P  A   P  B    P A P  B , A1 vaø vaø A B hai biến cố độc lập Tương tự Ai j hai biến cố độc lập nên từ câu a), ta k I j  P  A1 I     P AB  P  A   P  AB  P  A   P  A  P  B  1  P  B  P  A     I B1, B2, , Bn, n biến cố độc lập Ai j độc lập Do k  k   k   Ai j    P A1 P  Ai j   P A1 P Ai j      j  j   j    I I   P  Ai  j1 vaø Để chứng minh họ biến cố B1, B2, , Bn, với Bi  Ai hay Bi  Ai , n biến cố độc lập, ta dùng Do đó, A, B A, B cặp biến cố độc lập b) Để chứng minh họ biến cố A1, A2 , , An độc lập, ta lấy họ gồm k biến cố khác Nếu họ không chứa biến cố A1 , ta Ai1 , Ai2 , …, Aik , j Tóm lại họ biến cố A1, A2 , , An độc lập      P  A   P  A  P  B  1  P  B  P  A   P  A  P  B P AB  P A  P AB viết daïng   k    P  A P B ,     với  i1  i2   ik  n , họ họ biến cố độc lập A1, A2, , An Suy quy nạp số k biến cố Bi  Ai , với k  n Không tính tổng quát, ta giả sử Bi  Ai với i thay đổi từ đến k Bi  Ai i  k Trường hợp k  khảo sát câu a) Giả sử họ B1, B2, , Bn, với Bi  Ai i thay đổi từ đến k họ biến cố độc lập Xét họ C1, C2 , , Cn biến cố với Ci  Ai i thay đổi từ đến k  , Ci  Ai với i  k  Do Ci  Bi với 27 i  k  , hai hoï C1, C2 , , Cn B1, B2, , Bn khác phần tử Ck1  Ai  Bk1  Ai , đó, trường hợp k  , C1, C2, , Cn họ 28 b) Gọi X số sản phẩm hỏng sản phẩm lấy từ nhà máy X Y số sản phẩm hỏng sản phẩm lấy từ nhà máy Y, X : B  n; p với n  , p  P  A  0.03 , biến cố độc lập Do đó, ta kết luận họ biến cố B1, B2, , Bn, với Bi  Ai hay Bi  Ai n biến cố độc lập Bài 20 Hai nhà máy X, Y sản xuất loại sản phẩm Xác suất nhận sản phẩm hỏng nhà máy X pX  0.03 nhà máy Y pY  0.05 a) Một người mua sản phẩm nhà máy X Tính xác suất có sản phẩm hỏng b) Nếu mua sản phẩm nhà máy X sản phẩm nhà máy Y Tính xác suất có sản phẩm hỏng Giải Xét biến cố A : “nhận sản phẩm hỏng nhà máy X”, B : “nhận sản phẩm hỏng nhà máy Y” Dựa theo giả thiết, ta có P  X  Y  1   P  X  0; Y  0   P  X  0 P  Y  0   (0.97)3 (0.95)2  0.1763 Bài 21 Trong lô thuốc (rất nhiều) với xác suất nhận thuốc hỏng p  0.1 Lấy ngẫu nhiên lọ để kiểm tra Tính xác suất để a) lọ hỏng, c) có lọ hỏng lọ tốt, a) Gọi X số sản phẩm hỏng sản phẩm lấy từ nhà máy X Ta có X : B  n; p với n  p  P  A  0.03 Do đó, xác suất có sản phẩm hỏng   C03 (0.03)0 (1  0.03)3  0.087327 Do “số sản phẩm hỏng nhận từ nhà máy X” “số sản phẩm hỏng nhận từ nhà máy Y” biến cố độc lập biến cố “nhận sản phẩm hỏng sản phẩm, sản phẩm từ nhà máy X sản phẩm từ nhà máy Y”, X  Y  , có biến cố đối lập biến cố “ X  Y  ” nên xác suất để nhận sản phẩm hỏng mua sản phẩm nhà máy X sản phẩm nhà máy Y b) có lọ hỏng lọ tốt, P  A  0.03 vaø P  B  0.05 P  X  1   P  X   Y : B  n; p với n  , p  P  B  0.05 d) lọ tốt Giải Gọi X số lọ hỏng lọ lấy để kiểm tra Ta có X : B  3; 0.1 Do xác suất để a) lọ hỏng 29 P  X  3  C33 (0.1)3 (1  0.1)0  (0.1)3  0.001 , b) có hai lọ hỏng lọ tốt P  X  2  C23 (0.1)2 (0.9)3   0.01  0.9  0.027 , c) có lọ hỏng hai lọ toát P  X  1  C13 (0.1)1 (0.9)31   0.1  0.81  0.243 , d) lọ tốt P  X  0  C03 (0.1)0 (1  0.1)3  (0.9)3  0.729 30 C BÀI TẬP Bài toán biểu diễn biến cố Bài Kiểm tra sản phẩm Gọi Ak biến cố sản phẩm thứ k tốt Hãy trình bày cách biểu diễn qua Ak biến cố sau A : tất xấu, B : có sản phẩm xấu, C : có sản phẩm tốt, D : tất sản phẩm tốt, E : có sản phẩm xấu, F : có sản phẩm tốt Bài Ba người, người bắn phát Gọi Ai biến cố người thứ i bắn trúng Hãy biểu diễn qua Ai biến cố sau : A : có người thứ bắn trúng, B : người thứ bắn trúng người thứ hai bắn trật, C : có người bắn trúng, D : người bắn trúng, E : có người bắn trúng, F : có người bắn trúng, G : không bắn trúng, H : người bắn trúng, I : người thứ bắn trúng, người thứ hai người thứ ba bắn trúng, 31 32 K : người thứ bắn trúng hay người thứ hai bắn trúng lần thi thứ P , lần thi thứ P Tính xác suất để Bài Quan sát sinh viên làm thi Kí hiệu B j Bài Gieo đồng thời xúc xắc cân đối, đồng chất Tính xác suất để tổng số nút xuất (j  1, 2, 3, 4) biến cố sinh viên j làm thi đạt yêu cầu Hãy biểu diễn biến cố sau a) có sinh viên đạt yêu cầu, b) có sinh viên đạt yêu cầu, c) có sinh viên đạt yêu cầu, d) sinh viên đạt yêu cầu Xác suất định nghóa Bài Một hộp có bi đỏ bi đen a) Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp để kiểm tra, tính xác suất nhận bi đen b) Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại bi Tính xác suất để lấy bi đen c) Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác suất để lấy bi đen Bài Một công ty liên doanh cần tuyển kế toán trưởng, trưởng phòng tiếp thị, có 40 người dự tuyển có 15 nữ Tính xác suất người tuyển có: a) nữ, b) nữ, c) kế toán trưởng nữ Bài Mỗi sinh viên thi tối đa lần môn thi Xác suất để sinh viên đậu môn xác suất thống kê sinh viên vượt qua môn xác suất thống kê Bài Trước cổng trường đại học có quán cơm bình dân chất lượng ngang Ba sinh viên A, B, C độc lập với chọn ngẫu nhiên quán cơm để ăn trưa Tính xác suất để a) sinh viên vào quán b) sinh viên vào quán, người vào quán khác Bài Trong hộp có bi trắng, bi đỏ kích cỡ Chọn ngẫu nhiên bi Tính xác suất để có a) hai viên bi trắng, b) viên bi đỏ, c) viên thứ đỏ Công thức cộng – nhân – xác suất có điều kiện Bài 10 Trong 100 người vấn có 40 người thích dùng nước hoa A, 28 người thích dùng nước hoa B, 10 người thích dùng loại A, B Chọn ngẫu nhiên người số 100 người Tính xác suất người : a) thích dùng loại nước hoa trên, b) không dùng loại Bài 11 Một quan có 210 người, có 100 người gần quan, 60 người 100 người nữ, biết số nữ chiếm gấp đôi số nam quan 33 Chọn ngẫu nhiên người quan Tính xác suất : a) người nam, b) người gần quan, c) người phải trực đêm (người trực đêm phải gần quan nam) 34 Bài 12 Có loại súng bề hoàn toàn giống nhau, với xác suất bắn trúng bia tương ứng 0.6, 0.7, 0.8 Loại thứ I có khẩu, loại thứ II có khẩu, loại thứ III có Chọn ngẫu nhiên bắn vào bia Tính xác suất bắn trúng bia Bài 13 Cho biến cố A, B, C cho P(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(C) = 0,6; P(AB) = 0,3; P(BC) = 0,4; P(AC) = 0,2 vaø P(ABC) = 0,1 a) Tìm xác suất để biến cố A, B, C không xảy b) Tìm xác suất để có biến cố xảy c) Tìm xác suất để có biến cố biến cố xảy Bài 14 Cho A B biến coá cho P(A) = 1 , P(AB) = Hãy tính : 1) P(A U B) , 8) P(A B) , 2) P(A U B) , 9) P(A B) , 3) P(A U B) , 10) P(AB B) , 4) P(AB) , 11) P(AB B) , 5) P(AB) , 12) P(AB B) , 6) P(AB) , 13) P(A U B AB) , , P(B) = 35 7) P(A U B) , 14) P(AB A U B) Bài 15 Đội tuyển bóng bàn Khoa Kinh Tế có vận động viên, vận động viên thi đấu trận Xác suất thắng trận vận viên A, B, C : 0.7; 0.8; 0.9 Tính xác suất : a) đội tuyển thắng trận, b) đội tuyển thắng trận, c) C thua, biết đội tuyển thắng trận Bài 16 Một người có gà mái, gà trống nhốt chung lồng Một người đến mua, người bán gà bắt ngẫu nhiên Người mua chấp nhận a) Tính xác suất để người mua gà mái 36 Bài 18 Một chàng trai viết thư cho cô gái; đãng trí nên bỏ thư vào phong bì cách ngẫu nhiên, dán kín ghi địa gửi, a) tính xác suất để cô nhận thư viết cho mình, b) tính xác suất để có cô nhận thư mình, c) tổng quát hóa với n cô gái Tính xác suất có cô nhận thư Xấp xỉ giá trị xác suất cho n   Bài 19 Trong lô hàng 10 sản phẩm có sản phẩm xấu, chọn không hoàn lại để phát sản phẩm xấu, chọn sản phẩm xấu thứ dừng lại a) Tính xác suất dừng lại lần chọn thứ Người thứ hai lại đến mua, người bán gà lại bắt ngẫu nhiên b) Biết chọn sản phẩm xấu lần chọn thứ nhất, tính xác suất dừng lại lần chọn thứ b) Tìm xác suất để người thứ hai mua gà trống c) Nếu việc kiểm tra dừng lại lần chọn thứ 3, tính xác suất lần chọn đầu sản phẩm xấu c) Xác suất người bán gà quên gà bán cho người thứ gà trống hay gà mái Bài 20 Đội tuyển bóng bàn Thành phố có vận động viên A, B, C, D Mỗi vận động viên thi đấu trận, với xác suất thắng trận : 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 Tính Bài 17 Hai công ty A, B kinh doanh mặt hàng Xác suất để công ty A thua lỗ 0,2; xác suất để công ty B thua lỗ 0,4 Tuy nhiên thực tế, khả công ty thua lỗ 0,1 Tìm xác suất để a) có công ty làm ăn không thua lỗ, b) có công ty thua lỗ a) xác suất đội tuyển thắng trận, b) xác suất đội tuyển thắng trận, c) xác suất đội tuyển thắng trận, d) xác suất D thua, trường hợp đội tuyển thắng trận 37 Bài 21 Trong hộp có 12 bóng đèn có bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên có thứ tự không hoàn lại bóng để dùng Tìm xác suất để a) bóng hỏng, b) bóng không hỏng, c) có bóng không hỏng, d) có bóng thứ hỏng Bài 22 Ở quan có ôtô Khả có cố xe ôtô 0.15 ; 0.20 ; 0.10 a) Tìm khả ôtô bị hỏng b) Tìm khả có ôtô hoạt động tốt c) Tìm khả ôtô hoạt động d) Tìm xác suất có không ôtô bị hỏng Công thức xác suất đầy đủ – Công thức Bayès Bài 23 Một hộp có 15 bóng bàn, có cũ, lần đầu chọn để sử dụng, sau bỏ vào lại, lần hai chọn a) Tính xác suất bóng chọn lần hai bóng b) Biết lần hai chọn bóng mới, tính xác suất lần đầu chọn bóng Bài 24 Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm máy Máy A sản xuất 25%, máy B: 35%, máy C: 40% số bóng đèn Tỉ lệ sản phẩm hỏng máy số sản phẩm máy sản xuất 3%, 2%, 1% Một người mua bóng đèn nhà máy sản xuất a) Tính xác suất để sản phẩm máy A sản xuất 38 b) Tính xác suất để sản phẩm tốt c) Biết sản phẩm xấu Tính xác suất để sản phẩm máy C sản xuất Bài 25 Có bình đựng bi, có : bình loại 1: bình đựng bi trắng bi đỏ, bình loại 2: bình đựng bi trắng bi đỏ, bình loại 3: bình đựng bi trắng bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bình từ bình lấy ngẫu nhiên bi a) Tính xác suất để bi lấy bi trắng b) Biết bi lấy bi trắng Tính xác suất để bình lấy bình loại Bài 26 Một đề thi có 20 câu hỏi Sinh viên giỏi sẽû trả lời hết 20 câu Sinh viên trả lời 15 câu Sinh viên trung bình trả lời 10 câu Sinh viên trả lời câu Tỷ lệ sinh viên giỏi, khá, trung bình 10%, 20%, 30%, 40% Một sinh viên lên bắt thăm câu từ 20 câu Giám khảo thấy anh trả lời câu Tính xác suất sinh viên trung bình Bài 27 Có lô hàng cũ Lô I có 10 tốt, hỏng Lô II có 12 tốt, hỏng Từ lô lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất để : a) nhận tốt, b) nhận chất lượng, c) lấy từ lô nên lấy từ lô để tốt với khả cao 39 Bài 28 Có hộp bi; hộp có 10 bi có bi đỏ; hộp hai có 15 bi có bi đỏ; hộp ba có 12 bi có bi đỏ Gieo xúc xắc Nếu xuất mặt chọn hộp một, xuất mặt hai chọn hộp 2, xuất mặt lại chọn hộp ba Từ hộp chọn, lấy ngẫu nhiên bi a) tính xác suất để bi đỏ, b) giả sử lấy bi đỏ Tính xác suất để bi đỏ thuộc hộp hai Bài 29 Có hộp áo; hộp có 10 áo có phế phẩm; hộp hai có áo có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên áo từ hộp bỏ sang hộp hai; sau từ hộp chọn ngẫu nhiên áo Tìm xác suất để áo phế phẩm Bài 30 Có xạ thủ bắn vào mồi, người bắn viên đạn, với xác suất bắn trúng 0,6; 0,7; 0,8 Biết trúng phát đạn xác suất để thú bị tiêu diệt 0,5; trúng phát xác suất để thú bị tiêu diệt 0,8; trúng phát đạn chắn thú bị tiêu diệt a) Tính xác suất thú bị tiêu diệt b) Hãy tính xác suất thú bị tiêu diệt trúng phát đạn Bài 31 Có chuồng thỏ Chuồng thứ có thỏ đen 10 thỏ trắng Chuồng thứ hai có thỏ trắng thỏ đen Từ chuồng thứ hai, bắt ngẫu nhiên thỏ cho vào chuồng sau lại bắt ngẫu nhiên thỏ chuồng thỏ trắng Tính xác suất để thỏ trắng chuồng 40 Bài 32 Một chuồng gà có gà mái gà trống Chuồng gà có mái trống Từ chuồng lấy ngẫu nhiên đem bán Các gà lại dồn vào chuồng thứ ba Nếu ta lại bắt ngẫu nhiên gà từ chuồng xác suất để bắt gà trống ? Bài 33 Hai nhà máy xản suất loại linh kiện điện tử Năng suất nhà máy hai gấp lần suất nhà máy Tỷ lệ hỏng nhà máy hai 0,1% 0,2% Giả sử linh kiện bán Trung tâm hai nhà máy sản xuất Mua linh kiện Trung tâm a) Tính xác suất để linh kiện hỏng b) Giả sử mua linh kiện thấy linh kiện bị hỏng Theo ý bạn linh kiện nhà máy sản xuất Công thức Bernoulli Bài 34 Một bác só chữa khỏi bệnh A cho người với xác suất 95% Giả sử có 10 người bị bệnh A đến chữa cách độc lập Tính xác suất để a) có người khỏi bệnh, b) có nhiều người khỏi bệnh Bài 35 Một cầu thủ đá thành công phạt 11m với xác suất 80% - Đá thành công - Đá thành công Công việc dễ thực ? Bài 36 Một nhà toán học có xác suất giải toán khó 0,9 Cho nhà toán học toán khó chọn cách ngẫu nhiên 41 a) Tính xác suất để nhà toán học giải b) Tính xác suất để nhà toán học giải c) Tính số có khả mà nhà toán học giải Bài 37 Một lô hàng với tỷ lệ phế phẩm 5% Cần phải lấy mẫu cỡ cho xác suất để bị phế phẩm không bé 0,95 Bài 38 Hai đấu thủ A, B thi đấu cờ Xác suất thắng người A ván 0,6 (không có hòa) Trận đấu bao gồm ván, người thắng số ván lớn người thắng Tính xác suất để người B thắng Bài 39 Một máy sản xuất sản phẩm Xác suất sản xuất phế phẩm máy 0,01 a) Cho máy sản xuất 10 sản phẩm Tính xác suất để có phế phẩm b) Máy cần sản xuất sản phẩm để xác suất có phẩm 0,99 42 ... với xác suất 13 14 P  X    P  X    P  X  1? ??  P  X   11  C12  0.2  (0.8 )12  C 112  0.2   0.8 12   0.8 11  12   0.2   0.8 2  C12  0.2   0.8 10  66   0.2... X    10 5    6  6 ? ?1? ??  5  C 110     10 ? ?1? ?? C10    6  6 ? ?1? ??  C10    5  1? ??  5    C10      6  6  6  6 5 ? ?1? ??  5 ? ?1? ??  5  1? ??  5     10  ... trúng bia n phát P  X  1? ??   P  X   P(A)  P(A1  A1A2  A1A2 A3 )  P(A1 )  P(A1 )  P(A2 | A1 )  P(A1 )  P(A2 | A1 )  P(A3 | A1A2 )  9       10 10 10 10 Khi biết số cuối số