Niềm vui toán học khám phá toán học quanh ta phần 1

Trang 1

Miểm wuli TỐN HỌC Kham phá tốn học quanh ta “ ` CN ; tit eee iteagi f £ /6 Mĩc ` J i x fe ị = F "xo = oy, ca ‘ > n4 ail, A _—` y 5 , ~ tf) , Ủ Ps P(

Trang 3

Niém vui TOAN HOC Khám phá tốn học quanh ta Dịch giả: Trần Quốc Long Hiệu đính: Đỗ Ngọc Hồng

Tự nhiên : Khoa học : Nghệ thuật : Âm nhạc

Kiến trúc - Triết học : Lịch sử : Văn học

Trang 4

THE JOY OF MATHEMATICS

Discovering Mathematics all around you Copynghe © 1996, 1987, 1989 by Theoni Pappas Wide World Publishing/Tetra

P.O Box 476

San Carlos, CA 94070

Websites: http://www.wideworldpublishing.com hep://www.mathproductsplus.com

NIEM VUI TOAN HOC

Kham pha todn hoc quanh ta

Ban quyén uéng Vier © 2009 Cong ty CP Van hod Giáo đục Long Minh Dia chi: Phong 303, nha 17T9

Khu đơ thị Trung Hồ Nhân Chính, Thành Xuân, Hà Nội

Điện thoại: 04 b2R1 6835 * Fax: 04 6281 6834 Email: sach@longminh.com.vn

Websice: www longminh.com.vn

Cuốn sách được xuất bản theo hợp đồng chuyển nhượng bản quyền giữa Wide World Publishing/Tetra va Cơng ty CP Văn hố Giáo dục Long Mình

Trang 5

“_uũ trụ vẫn luơn mở rịng trực: mặt chứng tà, nhưng chứng ta khơng thể hiểu dựk nĩ nếu khơng

hiểu ngơn ngữ tà các kí tự của nĩ Đhák ciết bằng ngơn ngữ của tốn học, ki tự của vụ trụ lÀ rhường

tam giác, đường tron và các hình hình học khác mà

nếu thiếu chứng, cơn run£# s khơng thể hiểu duc

một tr rào của tí trụ; thiếu chứng, ta sẽ chỉ lang ưa trmg một mê cứng tốt tăm.”

Trang 6

MUC LUC

Quá trình hình thành hệ thập phân Định lí Pythagoras

Ảo giác và đồ họa máy tính

Đường xiclơit, nàng Helen của hình học

Biến tam giác thành hình vuơng

Sao chổi tFlulley

Tam giác khơng thể

Quipu

Dung chit cay, ki rhuat in 4m va tốn học Bài tốn Lúa mì 0a bàn cử Xác suất và số m Đồng đất và các lơgarit Trần nhà parabol của tịa trụ sở Quốc hội Mỹ Máy tính, sự đếm và địng điện Tơ-pơ, một trị chơi tốn học Day sd Fibonacci

Biến dang cua dinh li Pythagoras

Bộ vịng ba, một mơ hình tơ-pơ Giải phẫu học và tỈ lệ vàng

Đường dầy xích và đường cong parabol

Cầu đố chữ T

Thales va dai kim ny chap Khach san V6 Han

Tinh ché — khéi da dién cda ty nhién

Tam giac Pascal, day sé Fibonacci va cơng thức nhí chức

Tốn bọc trên ban bi-a

Trang 7

Tốn học và trị chơi gấp giấy

Meo Fibonacci

Quá trình phát triển của các kí hiệu tốn học Các thiết kế hình học của Leonardo đa Vinci Mười mốc lịch sử Định lí Napoleon Lewis Carroll — nhà tốn học Đếm bằng các ngún tay Một biến thể từ dai Mobius Định lí Heron Cùng quan sát kiến trúc và hình học Gơ tích Thanh Napier Hội họa và hình học xạ ảnh Võ cùng và đường trịn Hình vành khuyên lạ kì

Những chú ngựa Ba Tư và câu đố của Sam Loyd

Những hình trăng lưỡi liềm

Cac lục giác trong nự nhiên

Googol và GoogolpÌex Ma phương khối

Fractal — thật hay nưởng tường?

Na-nơ giây — đo thời gian trên máy tính Vom trac dia ctia Leonardo da Vinci Ma phuong

Ma phương đặc biệt Tam giác Trung Quốc Cái chết của Archimedes

Trang 8

Ma phuong cua Benjamin Franklin Số vơ tỉ và định lí Pythagoras Số nguyên tố

Hình chữ nhật vàng Tạo một tri-tctra flexagon Tìm kiếm vơ hạn trong hữu hạn Năm khối Platon

Phương pháp kim tự thấp để tạo các ma phương Các khối Kepler Poinsot

Ảnh ảo giác giả xoắn ốc

Khối hai mươi mặt và hình chữ nhật vàng Nghịch lí của Zeno Nghịch lí Achilles và chú rùa

Hình lục giác thần bí

Câu đố về các đồng xu Lát mặt phẳng

Cầu đố của Diophantus

Bài tốn Bảy cáy cầu Kỡnigsberg và tơ-pơ

Đề thị Lịch Aztec® Bộ ba bất khả thi

Ma phương của người Tây Tạng cổ đại

Chu vị, điện tích và các chuỗi vơ hạn

Bài tốn Bàn cờ

Máy tính của Pascal

Trang 9

Bài tốn viết bằng chữ hình nêm của người Babylon Đường xoắn ốc của Archimedes

Sự phát triển của các ý tưởng tốn học Tơ-pơ học và bài tốn Bản đồ bốn màu Hội họa và sự cân đối động

Số siêu hạn Bài tốn logic Đường bơng tuyết

Số 0 — Ở đâu và khi nào?

Định lí Pappus và câu đố chín đồng xu Vịng trịn ma thuật Nhật Bản

Vịm trắc địa và sự chưng cất nước

Đường xoắn ốc — tốn học và di truyền

Đường thần kì

Tốn học và kiến trúc Lịch sử ảnh ảo giác

Bài tốn chia ba gĩc và tam giác đều Bài tốn về gỗ, nước và lúa mì

Charles Babbage — Leonardo da Vinci của máy tính hiện đại

Tốn học và nghệ thuật của Hồi giáo Ma phương Trung Quốc

Vơ cùng và giới hạn Bài tốn về đồng tiền giả Đền thờ Parthenon và tốn học Xác suất và tam giác Pascal Đường thân khai

Ngũ giác, hình sao năm cánh và tam giác vàng Ba người đàn ơng đứng trước bức tường

Trang 10

Bàn cờ đam Trung Quốc

Các giao tuyên của mặt nĩn Chan vit Archimedes Ao giác quang học bức xạ

Định lí Pythagoras va Tổng thống Garfield Nghịch lí bãnh xe cúa Aristotle

Quần thể đá chồng Stonehenge

Cĩ bao nhiêu chiều?

Máy tính và chiều khơng gian Dai Mébius kép Đường nghịch — đường lấp đầy khơng gian Bàn tính Tốn học và đệt vải SO Mersenne Câu đố tangram Võ cùng và hữu hạn

Các số ram giác, số vuơng và số ngũ giác Eratosthenes đo Trái Đất

Trang 11

———— LỜI GIỚI THIỆU———

Quyền sách Niềm tư tốn học gửi mở các khái niệm, ý tưởng, các câu hỏi, lịch sử, các bài tốn và những trị giải trí nhằm giúp bạn hiểu hơn về bản chất và tầm ảnh hưởng của tốn học trong cuộc sống

Tận hướng niềm vụi trong tốn học chính là khi ta hiểu ra rằng tốn học hồn tồn khơng phải là một mên học xa rời với những thứ quanh ta và lầm ta khĩ chịu với những cuến số sách chưa quyết tốn hay những cỗ máy tính phức rạp Rất ít người trong chúng ta hiểu được bản chất của tốn học vốn đi gắn liền với mơi trường và cuộc sống Vơ vàn thứ trong đời sống hàng ngày của con người cĩ thể mơ rà được bằng tốn học Các khái niệm tốn hục thậm chí cịn hiện hữu ngay cả trong cấu trúc của những tế bào

Cuốn sách này sẽ giúp bạn nhận biết về mối quan hệ khơng thể tách rời của tốn học với thế giới tự nhiên thơng qua việc giới thiệu những khái niệm và hình ảnh của tốn học trong muơn mặt đời sống

Niềm vui trong tốn học cũng giống như cảm giác khi mới khám phá điều gi đĩ lần đầu tiên Như cắm giác của trẻ thơ tr những kì quan của thể giới vậy! Một khi bạn đã trải qua, bạn sẽ khơng bao giờ quên được Cảm giác ấy cĩ thể hứng thú

như lần đâu tiên bạn nhìn vào kính hiển vi thay những vật

Trang 12

Khi cần phải quyết định rrình bày cuốn Niềm ea toan học như chế nào thì cách phần chìa rheo chủ để ngay lập tức hiện

đến với chúng tơi, ví dụ như tốn học và nr nhiên, tốn học và

khoa học, tốn học và nghệ thuật, Nhưng tốn học và những mối quan hệ của nĩ với thế giới xung quanh khơng hiện điện thành rừng nhĩm riềng biệt Trái lại, rốn học và sự xuất hiện của nĩ mang đầy tínhồ ngẫu nhiên và bất ngờ Vì thế, các chủ đề trong cuốn sách này cũng được sắp xếp một cách tự nhiên nhằm tạo sự thú vị rrong quá trình khám phá Niềm tá tốn học được trình bày theo lối mở ở tất cả các phần Mỗi mục, khơng kế lớn hay nhỏ, về cơ bản là độc lập với nhau

Trang 14

of fchoa hoc, méf ngén pri một nghệ fhuậi một cach tu duy Toan hoc

ện điện lrong fự nhiên nghệ fhuật, âm ac, kién tric, lịch sử, {hoa hoc, van hoc

Tốn học luơn †ác động đến mọi khía cạnh

tủa vũ Írụ Toén học lị một khoe học, nột ngơn

noữ, nột nehệ thuột, một céch tư đưu Toén họ huện điện trone tự nhiên, nghệ thuột, ơm nhọc,

tiến trúc, lịch zử, lihee học vẽn học Toĩn học luơn lĩc động đến mọi ltihie cọnh cde vũ trụ Tốn họ là một khoa học, một ngơn ngữ, một nghệ

huật, một cách tư duy Tốn học hiện diệ

rong tự nhiên, nghệ thuật, âm nhạc, kiết

rúc, lịch sử, khoa học, văn học Tốn hẹ luơn tác động đến mọi khía cạnh của v:

rụ Tốn học lè một heo học một ngơn ngữ, một nghệ thuột, một céch tư đưu Tốn học hiện

điện trong tự nhiên, nghệ thuột, ơm nhọc, kiến

rúc, lịch zứ, lẩhee lhọc, văn học Teén lọc luơn téc

động đến mọi lihio cọnh củe vũ trụ Tốn học a mot {hoa hoc, mot ngén ngi, mot nghệ thuat, mot cach tu duy Tốn học hiện điện

trong ty nhién, pial thuật, âm nhạc, kiến

Trang 15

Qua trinh hinh thanh hệ thập phân Những hệ đếm đầu tiên khơng phải là hệ đếm

theo vị af” Nhung đến khoảng năm l70Ơ trước Cơng nguyên (trCN), hệ đếm theo vị trí cơ số 60 đã bắt đầu được phát triển Nĩ rất hữu dụng đối với người dân Lưỡng Hà, những người đã tạo ra nĩ để sử dụng cùng với lịch 36 ngày của họ Hệ đếm theo vị trí thực sự được biết đến sớm nhất là của người Bahylon, nĩ bắt nguồn từ hệ đếm cơ số 60 của người

-==yFr§67952 ẤN ĐỘ (Brahm) ~ khống nưm 300 CN àw?đjđ yýyu\C2prae ẤN ĐỘ (Cwali) — nam R76 sCN: \3>2z4EUcCe2 ẤN ĐỘ (Devanagari) ~ thé ki X1 (22456977 9 TAY & RAP (Ghobur) ~ thế kĩ ÄI JfffowVA9- ĐỒNG Ả RÁP - 1575 ;2+2 ?^$cA^Að@§e CHAU AD ~ the ki XV 1134767 $9%«

CHẦU ÂU - để ki XVI

1234567890 CÁC SO TREN MAY TINH - thé ki XX

Trang 16

Sumer cổ, Thay vì dùng 6Ư biểu tượng để viết các chữ số từ Ư

đến 59, họ dùng kí hiệu Ấ cho số 1 và < cho số 1O Họ cĩ thể

biểu diễn các tính tốn số phức tạp với các kí hiệu này, nhưng vẫn chưa cĩ kí hiệu nào cho số Ư được đưa ra

Để chỉ số 0, một khoảng trống được để lại ở trong con số Khoang nam 300 GCN, một kí hiệu cho số Ơ đã xuất hiện:

q hore & va hé d&ém eo si 60 tit dé phat trién rat manh mẽ

Trong những năm đầu sau Cơng nguyên (sC.N), người Hy Lạp và người Ấn Dộ bát đâu sử dụng hệ đếm cơ số 10, nhưng họ khơng cĩ kí hiệu vị trí Họ dùng mười chữ cái đầu tiên trong bảng chữ cái của mình để đếm Sau đĩ, khoảng nim 500 s.C.N, một người Ân Độ đã phát mình ra kí hiệu vị trí cho hệ cơ số 1Ơ Ơng bỏ các chữ cái dùng để kí hiệu các số lớn hơn 9 và chuẩn hĩa chín kí hiệu đầu tiên Khoảng năm 825 sCN, nhà tốn học ngudi Ả rập AI-Khowavizmi đã viết một cuốn sách ca ngợi các số Ấn Độ, Hệ đếm cơ số 10 đến Tây Ban Nha vào khoảng thế kỉ XI khi các số Ghobar hình rhành Nhưng châu Âu vẫn hồi nghĩ và chậm thay đổi Các học giả và các nhà khoa học miễn cưỡng sử dụng hệ cơ số IƠ bởi khơng cĩ cách nào đơn giản hơn để kí hiệu phân số Hệ đếm này trở nên phổ biến rộng rãi khi các nhà buơn tiếp nhận nĩ vì tác dụng vơ giá của nĩ trong cơng việc tính tốn và lưu giữ sổ sách, Sau đĩ, các phân số thập

phân ra đời vào thế kỉ XVI và rồi dấu phẩy thập phân cũng

được nhà tốn học, vật lí và thiên văn học người Seotland John Napier dua ra vao nam 1617

Một ngày nào đĩ, khi nhu cầu và các cách tính của chúng

ta thay đổi, liệu sẽ cĩ hệ đếm mới nào xuất hiện và thay thế hệ

thập phân mà chúng ta hiện đang dùng hay khơng?

(I) Cae at dan nguét Sumer ddu tién đã dinh ev @ Lidme Ha va xây dựng nền

ném van minh ta dé vào khoảng năm 3500 trCN cho dén tht dai Babylon

Trang 17

Bất kì bạn nào đã từng

học qua đại số hay hình học hẳn đều đã nghe nĩi đến định lí Pythagoras Dinh li nổi tiếng này được sử dụng trong rất nhiều chuyên ngành của tốn học, trong xây dựng, kiến trúc và trong đo đạc Thời xưa, người Ai Cập cổ đại đã biết áp dụng kiến thức của họ về định lí Pythagoras để dựng gĩc vuơng Họ thắt nút để đánh dấu ba đoạn dây cĩ độ đài tương ứng là 3, 4 và 5 đơn vị Sau đĩ, họ căng ba đoạn dây này sao cho chúng tạo thành một tam giác Họ biết rằng tam giác nhận được sẽ luơn cĩ một gĩc vuơng đối diện với cạnh dài nhất (32+ 42= 52) Định lí Pythagoras a?+b2=c?

Trong tam giác vuémg, binh phuong độ dài cạnh huyền luớn bàng tổng bình phướng độ dài hai cạnh gĩc tương

Định If Pythagoras ddo o Nếu tổng bmh phưmg độ dài hai =

cạnh cửa một tam giác bằng bình phường độ dài cạnh thứ ba thi tam giác đĩ là tam giác vuơng

Mặc dù định lí này được gọi theo tên nhà tốn học Hy Lạp cổ đại Pythagoras (khoảng năm 540 trC.N) nhưng những dấu vết lịch sử lại cho thấy nĩ thuộc về người Babylon thời Vua Hammurabi, trước thời của Pythagoras khoảng 1000 năm Cĩ lẽ nĩ được đặt theo tên của Pythagoras bởi những chứng minh định lí được ghỉ lại đầu tiên do những mơn đơ của trường phái ơng thực hiện Sự hiện điện của đụu lí Pwhagoras và các

chứng minh của nĩ cĩ ở khắp các châu lục, các nền văn hĩa

Trang 18

2

" - _ Áo giác và

Ngày nay, con người a Z £

vẫn đang tiếp tục tìm đồ họa may tính hiểu những ứng dụng đa

dạng của máy vi tính trong nhiều lĩnh vực khác nhau Đồ họa cũng là một trong số đĩ Hình ảo giác bên dưới là ảnh biểu diễn trên máy tính của cầu thang Schrodar Nĩ thuộc loại ảo giác đao động Trí não của chúng ta bị ảnh hưởng bởi những kinh nghiệm trong quá khứ và các gợi ý thu nhận được Đầu tiên, trí não nhìn thấy một vật theo cách này, rồi một thời gian nào đĩ trơi qua, nĩ sẽ thay đổi và nhìn vật theo cách khác Thời gian để não thay đổi cách nhìn phụ thuộc vào sự tập trung của chúng ta hoặc thời gian chúng ta trở nên chán khi nhìn vào vật đĩ Trong hình ảo giác của Schroer, sau một lúc trịng chiếc cầu thang như bị lật từ trên xuống

Trang 19

Đường xiclơit,

Đường xiclơiït là một trong

nàng Helen Pa = những đường cong hấp dẫn nhưng: thác

của hình học của tốn học Nĩ được định

nghĩa là đường cong pha

được tế ra bởi một điểm cố định nằm trên tịng tron khí vịng tron lăn Ì lỏng tré# trên một đhếng tung cố định Một trong những ghi chép đầu tiên về đường xiclơit xuâ hiện trong một cuốn sách của Charles Bouvelles xuất bản năm IXI Nhưng đến tận thế kỉ XVIH, nhiều nhà tốn học lỗi lạc như Galileo, Pascal, Torricelli, Descartes, Fermat, Wren, Wallis, Huygens, Johann Bernoulli, Leibniz, Newton mai để ý tìm hiểu các tính chất của nĩ Thế kỉ XVI là thế kỉ c về tốn học trong cơ học và chuyển động, điều đĩ cĩ thể lí giải a những quan tâm

cho sự chú ý đến đường xiclơit Cùng với rất nhiều khám phá

Trang 20

tên quả táo bét hda'” hay nang Hden của hình học”, Một số tính chất của đường xiclợt được khám phá trong sudt thé ki XVII la:

1) Chiều dài của nĩ gấp bơn lan đưmg kính của vong tron lăn Thật thứ vị khi chiểu dài của dường xidơit là

một số hữu tỉ khơng phụ thuộc tào số z

3) Diện tích cúa từng dư đường xicléit gdp ba lan

điện tích của tịng trịn lăn

3) Điển cổ dinh trên đường trờn vẽ nên đường xicloit

cĩ tận tốc đi chuyển khác nhau, trên thực tế tại điểm Ps nĩ thậm chí đứng yên (tức là cĩ van tée bang 0)

4) Khi các viên bí được thả từ các vị trí khác nhau trên một bở thành hình xicơk thì chứng rủ xuống đến chan thành cừng một lúc tới nhau

Ệ :

P, P,

Mất đường trịn trong hình trên biểu diễn vị trí của vịng trịn lăn sau mỗi một

phân tư vịng quay của nĩ, Chủ ý rồng chiêu dài của đường xiclơit khí quay

đi một phẩn tư vịng từ điểm P, dén điểm Pị ngắn hơn nhiều so với từ điểm

P; đến điểm P Vì vậy, điểm vẽ nền đường xiclơit nhấn tăng tốc từ P: đến Pị do

nư phải dĩ xa hơn trong cùng một thời gian Điểm đứng yên khi nĩ đổi hưởng

chuyển động

(Ì) Âm chỉ dưng xilât chính là mgoện nhân gây nên những hất hịa, tranh cải

Trang 21

Cĩ rất nhiều nghịch lí gắn liền với đường xiclơit, trong đĩ nghịch lí tàu hỏa đặc biệt rất hấp dẫn:

Tại mọi thời điểm, một tau hoa dang chạy khơng bạo giờ chuyển động theo hướng mà động cứ kéo nĩ đi Luén cĩ phẩn nào đỏ của tàu chuyển động ngược hướng cới tàu đĩ

Nghịch lí này cĩ thể được giải thích bằng cách sử dụng

đường xiclơit Ở đây đường cong được hình thành cĩ tên gọi là đường xiclơưr co — đường cong phẳng được vẽ ra bởi một điểm cố định nằm ngồi bánh xe lăn Hình bèn dưới cho thấy một

phần bánh tàu hỏa chuyển động về phía sau trong khi đồn tàu

đi chuyển về phía trước

Trang 22

Bién tam giac thanh hinh vuơng Nhà tốn học người Đức David Hilbert (1862 - 1943) là người đầu tiên chứng minh ằng bất kì một đa g nào cũng đều cĩ thể biến thành một đa giác khác cĩ cùng diện tích bằng cách cất nhỏ nĩ thành một số hữu hạn các mảnh nhỏ

Định lí này được mình họa bằng một trong các câu đố của nhà đế vui nổi tiếng người Anh Henry Ernest Dudeney (184? - 1930), Dudeney biến một tam giác đều thành một hình vuơng bằng cách chia nĩ thành bốn phần nhỏ

Dưới đây là bốn phần nhỏ đĩ Ban hay thử ghép chúng lại với nhau! Đầu tiên thành hình tam giác đều và sau đĩ là thành hình vuơng

-€

Trang 23

Quỹ đạo và đường đi là những

khái niệm cĩ thể biểu diễn dễ

đàng bằng tốn học dưới dạng các phương trình và đồ thị Nghiên cứu đồ thị đơi khi cĩ thể giúp ta thấy rõ các chu trình và chu kì đường đi Trường hợp so chối Halley ciing vay

Sao chổi Halley được thêu trên thảm théu Bayeaux

Cho đến tận thế kỉ XVI, sao chổi

van chưa giải thích được Aristotle và các nhà triết học Hy Lạp khác tin rằng chúng là những hình ảnh được tạo ra trong bầu khí quyển của Trái Đất Năm 1577, ý kiến này đã bị nhà thiên văn học người Đan Mạch nổi tiếng Tycho de Brahe bác

bỏ Từ đài quan sắt của mình trên đảo Hven ở Đan Mạch,

ơng đã đưa ra những quan sắt chính xác về sao chổi năm 157 ấn là hiện tượng thiên

Các đo đạc của ơng cho thấy khoảng cách từ Trái Đất đến sao

chổi phải lớn gấp ít nhất sáu lần khoảng cách từ Trái Đất tới

Trang 25

NIEM VUTTOAN Ho I3

ra trong bầu khí quyển của Trái Đất, 1uy thế, hơn 100 nam sau khám phá của ơng, người ta vẫn tin rằng sao chết khơng tuân theo các quy luật trong Hệ Mặt Trời của Copernicus

va Kepler Negay cả Johannes Kepler cũng tin rằng đường đi của

các sao chối là đường thẳng Vào nam 1704, Edmund Halley da

nghiên cứu quỹ đạo của nhiều sao chối khác nhau từ những dữ liệu mà ơng thu thập được về chúng Một trong số những ghi chép đây đủ nhất là về sào chối xuất hiện năm 1682 Ơng nhận ra rằng quỹ đạo của nĩ đi qua cùng một vùng trời với những sao

chổi xuất hiện năm 1607, 1531, 14%, từ đĩ ơng kết luận chúng

chỉ là một sao chổi quay quanh Mặt Trời theo quỹ đạo hình elip với chu kì khoảng 75 hay 76 năm Halley đã dự đốn thành cơng sự trở lại của sao chối này vào năm 125%, từ đĩ nĩ được

nhắc đến với tên gọi sao chối Halley Những nghiên cứu gần

đấy đưa ra ý kiến sao chổi Halley cĩ thể đã được người Trung Cuốc phí lại từ những năm 24 tr€N

Mỗi lần xuất hiện, đuơi sao chổi Hlalley lại mờ dần, hình ảnh này được thấy rõ nhất trong lần xuất hiện gần đây nhất của nĩ vào năm 1985 - 1986

Người ta rìn rằng các sao chổi được tạo thành từ các hành tỉnh băng cĩ kích thước nhỏ quay xung quanh Mặt Trời trong

một vùng cầu tầm là Mặt Trời, bán kính khoảng 1 đến 2 năm

Trang 26

l4 — NIEM VUITOAN HOC

Trang 27

Tam giac | ^ 2 ma wade GEE An ất nhiều thiết

khơng thể hình minh họa đã trở nên quen thuộc và thường được cho là hiển nhiên Trong tạp chi British Journal of Psychology “, tháng 2 năm 1958, Roger Penrose đã cho in hình tam giác khơng thể của mình Ơng gọi nĩ là một cấu trúc hình chữ nhật

và

ba chiều

Ba gĩc vuơng của cấu trúc này trơng khơng cơ gì mâu

thuẫn, nhưng thực tế thì khơng

thể cĩ một cấu trúc như vậy Ba gĩc vuơng dường như tạo thành một tam giác, nhưng tam giác là một hình phẳng (khơng phải là ba chiều) và tổng các gĩc của nĩ phải là 180° chit khéng phai 270°

Gan day hon, Penrose da khởi xướng líthuyết về các phần tử dây xoắn Mặc dù

Phần tử đây xoắn các phần tử dây xoắn khơng nhìn thấy được, nhưng ơng tin rằng khơng gian và

thời gian đan vào nhau là nhờ sự tương tác c c dây xoắn này,

Trang 28

Đế chế Inca xưa thống trị khắp các

vùng đất bao quanh Cuzco", hầu hết

phần cịn lại của Peru và một số vùng thuộc Ecuador và Chile ngày nay Mặc dù người Inca khơng cĩ ngơn ngữ viết và hệ thống kí hiệu tốn dưới dạng viết, họ vẫn cĩ cách để quản lí vương quốc mình (với chiều đài hơn 300km) bằng cách sử dụng các quipu Quipu là những sợi dây được thắt nút tương tự như hệ đếm theo vị trí cơ số lƠ Nút ở vị trí cách xa sợi dây chính

nhiều nhất biểu diễn số một, nút kế đĩ biểu điễn số mười, Nhánh dây khơng cĩ nút biểu diễn số khơng Kích cỡ, màu sắc và hình dáng nút ghi lại thơng tin về vụ mùa, thuế, dân số và những đữ liệu khác Ví dụ: sợi dây mầu vàng tượng trưng cho vàng hoặc cây ngơ; hoặc trên quipu dân số, những sợi dây

đầu tiên thể hiện thơng rin về đàn ơng, những sợi thứ hai là về

Hình mình họa về quipu của người Pem này được một người Anh điêng ä Deru tén là D Fehipe Poma de Ayala vẽ vào khoảng giữa rữ năm 1583 đến l613 Gĩc bên trấn phía dưới là một bần tính sử dụng hạt ngõ để biểu diễn các phép rính, sau đĩ được dich sang tinh toan bằng quipu

Trang 29

NIEM VLI TOAN HOC: 1?

đàn bà, cịn những sợi thứ ba là về trẻ em, Các vũ khí như giáo,

mũi tên hay cung tên cũng được biểu diễn tương tự như vậy

Cơng việc tính tốn, sư sách trên tồn Vương quốc Inca

được thực hiện bởi một tầng lớp những “nhà quípu”, họ truyền các kĩ thuật sử dụng quipu lai cho con trai của minh Ở mỗi cấp độ chính quyền lại cĩ những nhà quipu chuyên trách từng lĩnh vực riêng biệt

Trong hồn cảnh khơng cĩ chữ viết, qupu cĩ vai trị như một phương tiện ght chếp lịch sử, những quipu lịch sử được các armantus (nhà rhịng thái) dùng để ghỉ chếp thơng tin và

truyền lại cho thế hệ sau Họ sử đụng chúng như những gợi nhớ

về câu chuyện mà họ đã nghe kể trước đây

Cứ như vậy, những máy tính nguyên thủy quipu đã khắc trong trí nhớ của người dan Inca nhing thơng tin giúp gắn kết tồn bộ vương quốc này lại với nhau,

Cĩn đường Hoang gia Inca?' trải đài 560Okm từ Ecuador tới tận Chile Tất cã thịng tin về mọi thứ diễn ra trên Vương quốc Inca được truyền đi theo con đường này nhờ những cha»gmis (những người chạy truyền tín), mỗi người phụ trách một quãng đường di 2km Họ quen thuộc từng tấc đất trên quãng đường của mình tới nỗi cĩ thể chạy với tốc độ cao nhất cả ngày lẫn

đêm Họ sẽ truyền đạt lại thịng tin cho người kế tiếp cho đến

khi thơng tín rới được nơi cần đến Sự phục vụ của họ, kết hợp với việc sử dụng quipu, đã giúp cho Hồng đế Inca luơn cập nhật được thơng tin về sự chay đổi dân số, cơng cụ lao động, mùa màng, nghề nghiệp, những âm mưu nổi loạn và tất cá những thơng tin quan trọng khác Các thơng tin liền tục truyền di 24 pitt mdi ngày, do vậy luơn rất chính xác và kịp thời

Trang 30

Dựng chữ cái, kĩ thuật in ấn và tốn học Kiến trúc, kĩ thuật, nghệ thuật trang trí và in ấn là một vài lĩnh vực trong đĩ cĩ ứng dụng các nguyên lí

hình học Họa sĩ thời Phục hưng người Đức nổi tiếng Albrecht Đũrer sinh năm 1471, mất nầm 1528 Trong suốt cuộc đời, ơng đã kết hợp những hiểu biết về hình học và tài năng nghệ thuật của mình để tạo nên rất nhiều hình thức và phương pháp nghệ thuật Ơng hệ thống hĩa việc xây dựng các chữ cái La Mã, điều

rất cần thiết cho tỉnh chính

và thống nhất của các chữ cái

lớn trên các tịa nhà hay bia mộ Những hình vẽ của Dũrer ở bèn dưới cho thấy ứng dụng của dựng hình hình học trong nghệ thuật viết chữ cái La Mã

Ngày nay, các nhà khoa học máy tinh đã dùng tốn học để thiết kế các phần mềm tạo ra những bản in và hình ảnh cĩ chất lượng cao Một ví dụ điển hình là ngơn ngữ lập trình POSTSCRIPT phát triển bởi Cơng ty phần mềm Adobe System tại thành phố Pale Alt, California, Mỹ, được dùng cho các máy in laser

Trang 31

Bai toan Lua mi va bàn cờ Cần bao nhiều hạt lúa mì để đặt lên bàn cờ nếu chúng được xếp theo cách sau đây? Xếp một hạt lúa mù vào ơ vuơng đâu tiên, hai hạt uàa õ thứ hai, bốn hạt vào õ thứ ba, tám hạt uào ơ thứ tư tà cứ như vậy ở ơ tiến theo ta xép sd hạt lúa mì gấp đơi số hạt trong ơ ngay trết nĩ

Xem câu trả lời ở phan Loi giải và đáp án

Trang 32

Các nhà tốn học và khoa học vẫn luơn bị số x hấp dẫn, nhưng nĩ

đã cĩ thêm cả một lượng lớn người

hâm mộ khi đánh bại chiếc máy tính ma quỷ trong một tập của bộ phim truyền hình Đar Trek (Hành trình đến các tì sao) Số z đĩng những vai trị khác nhau: nĩ là tỉ lệ của chu vi và đường kính đường trịn, nĩ cũng là một số siêw việt (số khơng là nghiệm của bất kì phương trình đại số với hệ số nguyên nào),

3.14 15 CPLR ET EVAR PRL 5 2643 0679821P0865/EYĐ2306647 4081771117, Pl841027

Da hang nghìn năm nay, con người luơn cế gắng tính tốn

nhiều hơn nữa các chữ số sau dấu phẩy thập phân của số z Chẳng hạn như Archimedes đã tính giá trị z xấp xỉ giữa 3 4 va

3 % bằng cách tăng số cạnh của đa giác nội tiếp vịng trịn

Trong Bile (Kinh thánh Cua LÍ), quyển Book of King: (Sách các

vua) va Chronicles (Sv bién niền), giá trị của số z được đưa ra là 3 Số xấp xỉ cho z của các nhà tốn học Ai Cập cổ đại là 316 Cịn Prolemy vao nam 150 s.C.N tinh z xp xi bang 31416

Trang 33

đến nữa Thay vào đĩ, các chuỗi, tích và liên phân sế vơ hạn hội tụ đã được sử dụng để xấp xỉ số z Ví dụ như:

x=4/(1+1/2+3/2+5'/02+7/(.)))))

Một trong những phương pháp gây tị mị nhất để tính số x là của nhà tự nhiên học người Pháp thế kỉ XVIII Count Buffon và Bài tán chiếc kim của ơng Trên một mặt phẳng, ta kể các dường thẳng song song cách đều nhau d đơn vị chiêu đài Thả chiếc kim cĩ độ đài nhỏ hơn d lên

trên mặt phẳng đĩ Nếu chiếc kim rơi lên trên đường kẻ thì lần thả đĩ được coi là thành cơng Khám pha day hất ngờ của Buffon là tỉ lệ số lần thả thành cơng so với khơng thành cơng là một biểu thức chứa số z Nếu chiều dài kim bằng đ đơn

vị, xác suất thả thành cơng là Số lần thả càng nhiều thì xấp xi cho số z càng chính xác Năm l9OI, nhà tốn học người Ý M Lazzerini đã thả 3 4Ư8 lần và đưa ra giá trị của số z là 31415929, chính xác đến sáu chữ số sau dấu phẩy Nhưng việc Lazzerini cĩ thực sự tiến hành thí nghiệm của mình hay khơng vẫn bị Lee Badger'" & Dai hye Weber, Ogden, bang Utah, Mj, dat câ

hỏi nghỉ ngờ Trong một phương pháp xác suất khác để tính số

z vào năm 1904, R Chartes đã tìm ra xác suất để hai số (được viết ngẫu nhiên) nguyên tố cùng nhau là 4

“Thật đáng ngạc nhiên khi chúng ta khám phá ra sự đa năng của số z trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hình học, xác suất và các phép tính vi tích phân

(I) Xem False caletdation of a by experiment (Nhitig dink wen dude nghiệm xu

tế Wom) tac gid John Maddox, Tap chi NATURE, ngay I tháng 8 năm 994,

Trang 34

- - Động đất

IDườịng như con người x z 7 cĩ nhu cầu mơ tả các hiện va các lơgarit tượng tự nhiên bằng ngơn

ngữ của tốn học Cĩ lẽ vì chúng ta luơn muốn tìm ra các phương pháp mà nhờ đĩ chúng ta phần nào kiểm sốt được tự

nhiên dù cĩ thể chỉ qua dự đốn Động đất là một hiện tượng

tự nhiên như vậy

|

[hirano

Biểu đỗ địa chấn của một trận động đất

Thoạt nhìn cĩ vẻ như rất kì lạ khi liên hệ các lơgarit với động đất, nhưng phương pháp được sử dụng để đo cường độ của động đất đã chỉ ra mối liên hệ này Độ đo richter được nhà địa chấn học người Mỹ Charles F Richter phát minh năm 1935 "Thang đo này đo cường độ của trận động đất bằng cách mơ tả lượng năng lượng giải phĩng ra ở tâm chấn Thang đo richter tinh theo ham lơga nên mỗi khi độ đo richter tăng lên | don vị thì biên độ của đường cong trên biểu đồ địa chấn lại tăng lên

gấp 10 lần, trong khi đĩ năng lượng do động đất sinh ra tăng

Trang 35

NIỄM VI†T2AN HỌC 23

khoảng 30 lần Ví dụ: trận động đất cĩ cường độ 5 độ richter sinh ra lượng năng lượng gấp 3Ơ lần so với trận động đất 4 độ richter Vì thế, trận động đất 8 độ rìchter sẽ giải phĩng ra một năng lượng gấp 30Ỷ hay 27 000 lần so với trận cĩ cường độ 5 độ richter

Cac sO trong thang do richrer di tiv OQ đến 9, nhưng về mặt lí thuyết khơng cĩ giới hạn phỉa trên nào cá Một trận động đất cĩ cường độ lớn hơn +5 đổ richter đã cĩ thể gây ra thiệt hại, các trận động đất nghiêm trọng cĩ cường độ lớn hon 7 Chẳng hạn như trận động đất ở: Alaska năm 1964 với cường độ 8,4 độ richter và ở San Francisco nam 1906 với cường độ 78 dé cichter

Ngày nay, cdc nha khaa học chuyên nghiền cứu động đất đi sâu vào tìm hiểu lĩnh vực địa chấn học, một ngành khoa học địa vật lí Các thiết bị cùng những phương pháp tỉnh vị, nhạy bền đang được tìm kiếm và phát minh nhim xác định và dự báo động đất

Một trong những thiết bị đầu

tiên và thường xuyên được sử đụng là máy ghi địa chấn, nĩ cĩ thể tự động kiểm tra, đo

Hình mơ tả máy ghì dia chan duc biết đến sớm nhất này duve lam ra 4 Trung Quốc vào thế kỉ II sŒ-N từ một bình rượu bằng đẳng cĩ dường kính khoảng lâm) Tám con rồng ngậm quả bĩng hao quanh chiếc bình, Khi cĩ động đất, một con rồng nào đo <

đạc và vẽ biểu dé trận động

đất cùng những rung động

khác ở mặt đất

làm rơi bĩng của nĩ vào miệng con

cĩc ở hên dưới Thiết bị này sau để khĩa lạt, vì thế chỉ cho ta biết hướng

của động đất

Trang 36

Tran nha parabol của tịa trụ sở Quốc hội Mỹ Trong thế giới cơng nghệ cao của chúng ta ngày nay thật thú vị khi biết

rang vao thé ki XIX, tịa nhà trụ sở Quốc hội Mỹ đã được thiết kế cĩ thiết bị nghe trộm riêng một cách ngẫu nhiên, mà lại khơng phải là thiết bị điện tử Trụ sở Quốc hội Mỹ được Tiến sĩ William Thornton thiết kế vào năm 1792 Và nĩ bị quân đội Anh thiêu cháy năm 1814 Dén nam 1819, cơng trình này mới được xây dựng lại

Train nha ctia Statwwiry Hall mong tru st Quéc hoi M5 ngay nay

Ở phía nam của Rotunda (đại sảnh cĩ mái vịm) Ia Statuary Hall'" (sảnh tượng) Sở dĩ nĩ cĩ tên gọi như vậy là vì năm 1864, mỗi bang của nước Mỹ được đề nghị đĩng gĩp tượng hai cơng đân nổi tiếng của bang đĩ để đặt trong phịng Hạ nghị viện Mỹ họp tại Statuary Hall cho đến năm 1857 Chính trong căn

Trang 37

NIEM VUE TOAN How 25

phong nay, John Quincy Adams, khi con JA mr nghi st Ha vién đã khám phá ra hiện tượng truyền âm của nĩ Ơng phát hiện ra rằng tại những điểm nào đĩ trong phịng, người ta cĩ thể nghe thấy rõ ràng những cuộc hội thoại ở phía bên kia phịng, trong khi những người đứng giữa khơng thể nghe thấy gì và tiếng ồn do họ gây ra cũng khơng ảnh hưởng gì đến âm thanh đến từ bên kia phịng Bàn làm việc của Adams cé vị trí trùng với tiêu

điểm của một trong những trần nha phan xạ parabol Vì thế,

ơng cĩ thé dé đàng nghe trộm những cuộc nĩi chuyện nèng

của các nựưhị sĩ khác đứng gần tiêu điểm cịn làn

Cac vat phan xạ parabol hoạt động theo cách sau:

Am thanh dap vao vat phản xạ parabol thứ nhất (hoặc trong trường hợp sày là trần nhà) và bật lại song song di tof edie phen va barabol thứ hai tvưm đốt điện với vật phần xạ parabol thứ nhất, tại đĩ âm thanh tứ] tực phẩm xã tới tiếu điểm của tật phản xạ barabrd thứ hai, Vì vậy, tất cá âm thanh xuất phát từ một tiêu điểm sš quyền đến tiêu điểm đối diện

Vien bdo tung Explorutorium™ tai San Francisco, California, cùng cĩ các vật phản xạ am parabol được trưng bày để phục vụ người dân Chúng được đặt ở các phía đối diện của một căn phịng lớn, các tiêu điểm của chúng được đánh dấu lại Hai người cĩ thể nĩi chuyện bình thường với nhau tại các riêu điểm này Số lượng người cũng như mức độ ồn trong phịng đều khơng hệ cần trở khá năng nghe rõ tiếng của hai người với nhau,

Trang 38

Máy tính, sự đếm và dịng điện Con người giao tiếp với

máy tính điện tử bằng việc sử dụng một ngơn ngữ máy tính Ngơn ngữ máy tính đến lượt nĩ lại được dịch

thành một hệ đếm cơ số nào đĩ để cĩ thể điều khiển các xung điện cấp cho máy tính hoạt động Hệ cơ số IO hoạt động rất tốt cho những tính tốn bằng tay của chúng ta, nhưng cần dùng một hệ cơ số khác cho các máy tính điện tử Nếu các bộ nhớ được tổ chức ở hệ cơ số 1Õ, sẽ phải cĩ mười rạng thái khác nhau cho mười số tạo nên hệ cơ số IƠ (O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Mặc dù điều này là cĩ thể với một hệ thống cơ học, nhưng lại là khơng

thể với địng điện Trong khi đĩ, hệ nhị phân (hệ cơ số 2) lại là

một ứng cử viên hồn hảo cho máy tính điện tử Chỉ cĩ hai số trong hệ nhị phân, đĩ là 0 và 1 Các số này cĩ thể biểu diễn dé đằng bởi dịng điện bằng một trong ba cách sau:

(1) Bat hode tat dàng điện

(2) Từ hĩa một cuộn đây theo hưng này hay hướng ngướt lại (3) Nạp điện hay khơng nạp điện một rơie

Trong cả ba trường hợp, một trạng thái được chọn ứng với số 0, trạng thái cịn lại ứng với số I

Các máy tính khơng đếm theo cách mà con người đếm: một, hai, ba, bốn, năm, sáu, bảy, tám, chín, mười, mười một, mười hai, Thay vào đĩ, chúng sẽ đếm một, mười, mười một, một trăm, một trăm lẻ một, một trăm mười, một trăm mười một,

Như vậy, máy tính hoạt động bằng dịng điện Các cơ chế của máy rính dùng dịng điện để dịch thành các kí hiệu mà chúng ta cĩ thể hiểu được trên màn hình hiển thị Khi dịng điện chạy qua những phần phức rạp của một máy tính, nĩ vẫn

Trang 39

cĩ thể bật hoặc rất một phần Bật và tắt là hai trạng thái duy nhất của dịng điện, đĩ chính là lí do vì sao chỉ cĩ hai chữ số Ơ, 1 và hệ nhị phân là được sử dụng trong máy tính —=¬¬ một, hai, ba, bốn, năm, sáu, bảy, tam 1 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000 HỆ CƠ SỐ MƯỜI và HỆ CƠ SỐ HAI Khi chúng ta viết số ta dùng các chữ số 0,1, 2, 3 4 5,6,7, 8,9

Ching ta goi đây là hệ cơ số lÕ tì cĩ muấä chữ số dược sử dung

để biểu điền bất kà số nào khác Vị trí của mỗi chữ số trơng một

số biểu diễn cho chữ số đĩ nhân với một ly thừa cơ số lƠ Khi

ching ta viết các số, giá trị của mỗi chữ số phụ thuộc vào tị trí cửa nỏ trơng số đĩ, ví dụ: 3374 khơng cĩ nghĩa là Š + 3 + 7 + 4, ma la 5S nghin + 3 trăm + 7 chục + 4 đm tị, Mỗi tị trí trang số là một lữy thửa cơ số muds: Nghin = 1000 = 10 x 10 x 10 = 10 Tram = 100 = 10 x 10 = 10 Chuc = 10 = 10 Don vj = 1 = 10

Cae may tinh viét si chi vei hai chit 6 0 va L Hé dém etia ching

gọi là hệ cơ số 2, bởi chí cĩ hai chữ số được dùng để biểu diễn

các số tà mỗi tị trí trơng một số là một lữy thừa cơ số hai Vị trí đâu tiền là của |, sau đĩ là tị trí của 2, tiếp theo là vị trí của 2 ae 2 2x2=4,r6i aia 2x2x2=8 2x2x2=8lin 2x2=4lin 2 lan Ilan 2 2: 2! 2

như vay số HƠI sẽ hăng

Ix8+lx4+0x2+lIxI= l3 rong hệ cơ số 00

Trang 40

Tơ-pơ, một tro chơi tốn học Tơ-pê là một trị chơi với rất nhiều chiến thuật biến đổi Bao nhiêu người

chơi cũng được Khi bạn mới tập chơi, hãy bắt đầu với hai người chơi Trị chơi này gồm cĩ ba phần:

1 Vẽ các 6 dé chơ

II Điển vĩ tào một số hoặc tất cả cic 6 II An cae 6

IL Mỗi người chơi lần lượt vẽ một ơ liền sát 6 ngudi kia

vừa vẽ theo cách bất kì Mỗi người vẽ mười ơ, như

minh họa ở hình A

HH Mỗi người chơi dùng bút màu khác nhau và lần lượt điền số vào một ơ nào đĩ cho đến khi mỗi người điển được các ơ với tổng các số trong đĩ là IOO Nếu người

chơi điền ngay số IƠO vào một ơ nào đĩ, thì người đĩ

sẽ chỉ cĩ một ư đĩ là của mình

II Mục tiêu của trị chơi: Khi kết thúc, người chơi cĩ số

ơ của riêng mình nhiều hơn sẽ chiến thắng Chú ý

rằng giá trị các số trong ơ khơng ảnh hưởng đến kết quả trị chơi

Cách ch: Một ơ của người này bị ăn khi một hoặc nhiều ơ của người kia nằm sát bên cạnh nĩ cĩ tổng các số lớn hơn số trong 6 dé

Khi mét 6 bi an, nĩ bị loại khỏi cuộc chơi và được đánh dấu cho người đã ăn nĩ