hittps:/www.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites google.com/site/letrungkienmath ` N Lea =a TOAN HOC Khám phá tốn học quanh ta
Tự nhiên s Khoa học s Nghệ thuật s Âm nhạc
Trang 2htfps:/(uninu,facebook:comiletrungkkienmarh: https://sites google.comisite/letrungkienmath
Hi vong rang cuin sích này SO gidi thiéu đến bạn phần nào cac
khúi cạnh da dạng của tốn học, đẳng thi tạo
hưếng thứ để bạn tiếp tục từm hiểu chúng vậu hơn,
Trang 3hittps:/iwww facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
Niém vui
TOAN HOC
Kham pha toan hoc quanh ta
Dich giả: Trần Quốc Long Hiệu định: Đỗ Ngọc Hồng
Tự nhiên : Khoa học - Nghệ thuật : Âm nhạc
Kiến trúc - Triết học : Lịch sử : Văn học
Trang 4THE JOY OF MATHEMATICS Discovering Mathematics all around you Copsrught © 1996, 1987, 1989 by Theoni Pappas Wade World Publishing/Tetra PO Bow 426 San Carlos, CA 94070 Websites: hrtp://www.wideworldpublishing.com hup://www-mathproduerspluscom NIEM VUI TỐN HỌC Khám phá tốn học quanh ta
Bần quyền tếng ViệcƠ 2009 Cơng ty CP Văn hố Giáo đục Long Minh Dia chi: Phong 303, nba 1779
Khu đơ thị Trung Hồ Nhân Chính, Thành Xuân, Hà Nội Điện thoại: 04 6281 6835 3 Fax: 04 6281 6834
Email: sach@longminh.com.vn
Websice: www.longminh.com.vn
Cuấn vích được xuất bản theo hợp đồng chuyến nhượng bản quyền giữa Wide World Publishing/Tetra va Congty CP Van hod Gigodyc Long Minh
Trang 5
bũ trụ vẫn luơn mở vịng tre: mặt chứng ta,
những chứng ta khơng thể hiểu dhâ nĩ nếu khơng
hiểu ngơn ngữ tà các kí tự của nĩ Được diết bằng ngơn ngữ của tốn học, lu tự của vũ trụ là nhường
tam gide, đường trịn va các hình hình học khác mà ue ching, con nguâi sẽ khơng thể hiểu đưcc
một từ nào tủa tú trực thiếu chứng, ta sẽ chỉ
lang thang trmg một mê cụng tối tăm.”
—Galileo
Trang 6
MỤC LỤC
Quá trình hình thành hệ thập phân Dinh li Pythagoras
Ao gic vi dé hoa may tinh
Đường xiclơi, nàng Helen của hình học Biến tam giác thành hình vuơng
Sao chối Halley Tam giác khơng thể Quipu TÝng chữ cán, kĩ thuật in ấn và tốn học Bài tốn Lúa mì ua bàn cử ae suất và số m Dong dat v Trần nhà parabol của tịa trụ sở Quốc hội Mỹ Máy tính, sự đếm và địng điện Tơ- pơ, một trị chơi tốn học Dãy số Fibonacci
Biến dạng của định lí Pythagoras Bộ vịng ba, một mơ hình tơ-pơ Giải phẫu học và tỉ lệ vàng à các lơgarit Đường dây xích và đường cong parabol Cầu đố chữ T Thales va đại kim tự tháp Khách sạn Vơ Hạn
Tỉnh chể - khối đa diện của tự nhiên
Tam giác Pascal, dãy số Fibonacci và cơng thức nhị chức
Tốn học trên bàn bi-a
Hình học trong đường đi của electron
Dải Mưbius và chiếc bình Klein
Trang 7Tốn học và trị chơi gặp giấy Meo Fibonacci Quá trình phát triển c Các thiết kế hình học Mười mốc lịch sử Định lí Napoleon Lewis Carroll — nha tofin hoe các kí hiệu tốn học ia Leonardo da Vinci Đếm bằng các ngĩn tay Một biến thể từ đãi Mưbius Định lí Heron Cùng quan sát kiến crúc và hình học Gõ tích Thanh Napier Hội họa và hình học xạ ảnh Võ cùng và đường trịn Hình vành khuyên lạ kì
Những chú ngựa Ba Tư và câu đố của Sam Loyd Những hình trăng lưỡi liềm
Các lục giác trong tự nhiên
Googol và Googolplex
Ma phường khối
Fractal - thar hay nưỡng tường!
Na-nơ giầy — đo thời gian trên máy tính Vom tric địa của Leonardo da Vinci Ma phương,
Ma phương đặc biệt
Tam giác Trung Quốc
Cái chết của Archimedes
Trang 8Ma phuong cia Benjamin Franklin v6 ti va dinh Ii Pythagoras
Số nguyên tố
Hình chữ nhật vàng Tao mor rri-tetra flexagon Tìm kiếm vơ hạn trong hữu hạn Năm khối Platon
Phương pháp kim tự tháp để tạo các ma phương
Các khối Kepler Poinsor
Ảnh áo giác giả xoắn ốc
Khối hai mươi mặt và hình chữ nhật vàng
Nghịch lí của Zeno Nghịch lí Achilles và chú rùa Hình lục giác thần bí các đồng xu Lát mặt phẳng
Câu đố của Diophantus
Bài tốn Bảy cáy cầu Kởnigerg và tơ-pơ
Đề thị Lich Aztec”
Bo ba bat kha thi
Ma phương của người Tây Tạng cổ đại
Chủ vị, điện tích và các chuỗi vơ hạn
Bài tốn Bàn cờ
May tinh cia Pascal
Isaac Newton và các phép tính vi tích phân
Trang 9Bài tốn viết bằng chữ hình nêm của người BabyÌon
Đường xoắn ốc của Archimedey
Sự phát triển của các ý tưởng tốn học
TTơ-pơ học và bài tốn Bán để bốn màu
Hội họa và sự cân đối động
Số siêu hạn Bài tốn logic Đường bơng tuyết
Số 0 ~ Ở đầu và khi nào?
Định lí Pappus v
Vong trịn ma thuật Nhật Bản
câu đố chín đồng xu
'Vịm trắc địa và sự chưng cất nước Đường xoắn ốc — tốn học và di truyền
Đường thần kì
Tốn học và kiến trúc
Lịch sử ảnh ảo giác
Bài tốn chia ba géc va tam giác đều Bài tốn về gỗ, nước và lúa mì
Charles Babbage — Leonardo da Vinci của máy tính
hiện đại
Tốn học và nghệ thuật của Hồi giáo
Ma phương Trung Quốc
Võ cùng và giới hạn
Bài tốn về đồng tiền giả
Đền thờ Parthenon và tốn học
Xác suất và tam giác Pascal Đường thân khai
Ngũ giác, hình sao năm cánh và tam giác vàng
Ba người đàn ơng đứng trước bức tường
Trang 10Ban cờ dam Trung Quốc Các giao tuyến của mặt nĩn Chan vit Archimedes Ảo giác quang học bức xạ
Dinh li Pythagoras và Tổng thống Garfield Nghịch If banh xe ctia Aristotle
Quin thé da ching Stonehenge
Cĩ bao nhiêu chiều?
Máy tính và chiều khơng gian Dâi Mưbius kép Đường nghịch — đường lấp đầy khơng gian Bàn tính Tốn học và đệt vải Số Metsenne Câu đố tangram Võ cùng và hữu hạn
Các số ram giác, số vuơng và số ngũ giác
Eratoshenes đo Trái Đất
Hình hạc xạ ảnh và quy hoạch tuyến tính Bài tốn Nhận tà rưổi Tốn học và bong bĩng xà phịng Nghịch lí đồng tiền Hexamino Day Fibonacci va tự nhiên Chú khỉ và những quả dừa Bốn con nhện và những đường xoắn ốc LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN
Trang 11——— LỜI GIỚI THIỆU———
Quyền sách Niềm tí tốn học sợi mở các khái niệm, ý tưởng, các câu hỏi, lịch sử, các bài tốn và những trị giải trí nhằm
giúp bạn hiểu hơn về bản chất và tâm ảnh hưởng của tốn học
trong cuộc sống,
Tận hưởng niềm vui trong tốn học chính là khi ta hiểu ra
rằng tốn học hồn tồn khơng phải là một mền học xa rồi với
những thứ quanh ta và làm ta khĩ chịu với những cuến xổ sách
chữa quyết ốn hay những cỗ máy tính phức rạp Rất ít ngiềi
trong chúng ta biểu được bản chất của tốn học vốn đĩ gắn liên với mơi trường và cuộc sống Vơ vàn thứ trong đời sống hàng ngày của con người cĩ thể mơ rả được bằng tốn học, Các khát niệm tốn học thậm chí cịn hiện hữu ngay cả trong cấu trúc
của những tế bào
Cuốn
thể tách rời của tốn học với thế giới tự nhiền thơng qua việc
h này sẽ giúp bạn nhận biết về mối quan hệ khơng
giới thiệu những khái niệm và hình ảnh của tốn học rong
muơn mặt đời sống
Niễm vui trong tốn học cũng giống như cảm giác khi mũi khám phá điều gi đĩ lần đâu tiên Như cảm g
trước những kì quan của thể giới vậy! Một khi bạn bạn sẽ khơng bao giờ quên được CÌm ø
của trẻ thơ
trải qua,
c ấy cĩ thế hứng thú
như lần đâu tiên bạn nhìn vào kính hiển ví thấy những vật
vẫn luơn ở xung quanh mà bình thường mất ban khong thể
Trang 12Khi cần phải quyết định mình bày cuốn Niễm œ (am học như chế nào thì cách phần chìa theo chủ đề ngay lập rức hiện đến với chúng tơi, ví dụ như tốn học và tư nhiên, tốn học và khoa học, tốn học và nghệ thuật, Những tốn học và những mối quan hệ của nĩ với thế giới xung quanh khơng biện diện thành từng nhĩm riềng liệt Trái hại, tốn học và sự xuất hiện của nĩ mang đầy tĩnh ngẫu nhiên và bất ngồ Vì thế,
đề trong cuốn sách này cũng đu c chủ sắp xếp một cách tự nhiên nhầm tạ
› sự thứ vị trong quá trình khám phá Niềm tế tốn học
được trình bày theo lối mổ ở tất cả
kể lớn hay nhỏ, về cơ bản là độ phân Mỗi mục, khơng
lập với nhau
Khi cảm nhận được niềm vui thực sự trong tốn học, bạn sẽ
Trang 13“Tat ed các lnh vực của tốn học, dụ
trừu nững đến máy, sớm muộn tơi cứng sẽ dik ving dung sào các hiện tượng của thế giới thục,
—Lobachevsky
Trang 14
ộ† nghệ Thuật, lan kinh tư đuy Tốn học
én điện lrong tự nhiên Brit Bitty ame Tel
ac, fién tric lich sit, hoa hoc văn học
Tốn học Íuơn lác động đến mọi khía cạnh| tia vũ †rụ Toĩn học lị một khơo học, một ngơn|
ngữ một nghệ thuột, một cĩch tư đưu Tốn họ
tên điện trong tự nhiên, nghệ thuột, ơm nhọc,
nến trúc, lịch zử, ldhoo học, văn học Toĩn học luơn| lĩc động đến mọi khíe cọnh củe võ trọ Tốn học]
à một khoa học, một ngơn ngữ, một nghệ
huật, một cách tư d ốn học hiện diệt
rong tự nhiên, nghệ thuật, âm nhạc, kiết ruc, lich sử, khoa học, văn học Tốn hod
rụ Teén học lị một khoe học, một ngơn ngữ,
ột nghệ thuột, một céch tư đuụ Teĩn học liệt
điện trong tự nhiên, nghệ thuột, ơm nhọc, luếi
trúc, lịch la khoe học, vẽn học Teĩn học luơn téc|
iB gee khoa học, một ngơn ngữ mội nghệ
Trang 15Quá trình hình thành hệ thập phân Những hệ đếm đầu tiền khơng phải là hệ đếm theo vị tí" Nhưng đến
khoảng năm 1700 tude
Cơng nguyên (ư.CN), hệ đếm theo vị trí cơ số 60 da bắt đầu được phát triển
lĩ rất hữu dụng đối với người dân Lưỡng Hà, những người đã tạo ra nĩ để sử dụng cùng với lịch 360 ngày của họ Hệ đếm theo vị trí thực sự được biết đến sớm nhất là của người Bahylon, nĩ bắt nguồn từ hệ đếm cơ số 6Ư của người -==yFr(§792 ẤN ĐỒ (Rrahmil ~ khung nutm 300 CN, »?43ywuwC2yas ẤN ĐỘ (Caelim ~ năm 96 5CN ‡\3>øWý€uUccs ẤN BO Devanagari) ~ thế M XI (224256799 TAY A RAP (Chobur) ~ thế kí Xt JFYfewqVA9- PONG A RAP ~ 1575 tA ZRGEASVTO CHAU AD - dự kí XV 12345678390 CHAU AU = che wd XV 4234567890 CÁC XỐ TRÊN MÁY TÍNH - 0# M XX
Trang 16Sumer cổ!! Thay vì dùng 6Ư biểu tượng để viết các chữ số từ Ư đến 59, họ dùng kí hiệu Ấ cho số 1 và Á cho số I0 Họ cĩ thể
biểu diễn các tính tốn số phức tạp với các kí hiệu này, nhưng,
vẫn chưa cĩ kí hiệu nào chủ số 0 được đưa ra
Để chỉ số 0, một khoảng trống được để lại ở trong con số Khoảng năm 390 CN, một kí hiệu cho số Ơ đã xuất hiện:
Đ hoặc ` và hệ dếm cơ số 60 từ đĩ phát triển rất mạnh mẽ
Trong những năm đầu su Cơng nguyên (sC.N), người Hy Lạp
và người Ấn Dộ bắt đầu sử dụng hệ đếm cơ số lƠ, nhưng họ
khơng cỏ kí hiệu vị trí Họ dùng mười chữ cái đầu tiên trong
bảng chữ cái của mình để đếm Sau đĩ, khoảng năm 500 sC.N, Ấn Độ đã phát minh ra kí hiệu vị trí cho hệ cơ số 10
Ơng bỏ các chữ cái dùng để kí hiệu các số lớn hơn 9 và chuẩn
hĩa chín kí hiệu đầu tiên Khoảng năm 825 sC.N, nhà tốn học
người Ả-rập Al-Khowavizmi đã viết một cuốn sách ca ngợi các số Ấn Độ, Hệ đếm cơ số 10 đến Tây Ban Nha vào khoảng thế kĩ XI khi các số Ghobar hình thành Nhưng châu Âu vẫn hồi
nghỉ và chậm thay đổi Các học giả nhà khoa học miễn
cưỡng sử dụng hệ cơ số lỊ bởi khơng cĩ cách nào đơn giản hơn để kí hiệu phân số Hệ đếm này trở nên phổ biến rộng rãi khi
các nhà buơn tiếp nhận nĩ vì tác dụng vơ giá của nĩ trong cơng việc tính tốn và lưu giữ sổ sách Sau đĩ, các phân số thập
phân ra đời vào thế kỉ XVI và rồi dấu phẩy thập phân cũng được nhà tốn học, vật lí và thiên văn học người Seotland John
Napier di ra vio nam 1617
một ngụ
Một ngày nào đĩ, khi nhu cầu và các cách tính cửa chúng
ta thay đổi, liệu sẽ cĩ hệ đếm mới nào xuất hiện và thay thế hệ
thập phân mà chúng ta hiện đang dùng hay khơng?
(I) Cá: cứ dân ngii Sener dâu tiên dã dịnh cứ ở Lướng Hà dà xây động nên
nến tăn mình tại đĩ tảo khokng năm 4500 CN cho dn dit dai Babylon
Trang 17
Bất kì bạn nào đã từng
học qua đại số hay hình học
hẳn đều đã nghe nĩi đến
dink It Pythagoras Định lí nổi tiếng này được sử dụng trong rất
nhiều chuyên ngành của tốn học, trong xây dựng, kiến trúc
và trong đo đạc, Thời xưa, người Ai Cập cổ đại đã biết áp dụng kiến thức của họ về định lí Pythagoras để dựng gĩc vuơng Họ thất nút để đánh đấu ba đoạn đây cĩ độ dài tương ứng là 3, 4
và 5 đơn vị Sau đĩ, họ căng ba đoạn dây nà
sao cho chúng
tạo thành một tam giác Họ biết rằng tam giác nhận được sẽ
luơn cĩ một gốc vuơng đối diện với cạnh dài nhất (32+ B=
Định lí Pythagoras / a?+b2=c2
Tromg tam gide vuimg, binh phiamg độ dài cạnh huyển lướn bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh gĩc tương,
Định lí Pythagoras ddo sả
Nổi tổng binh phamg dé dai hai | = cạnh của mot tm giác bằng bình
phưng độ dai canh thứ bà dù tam
giác đĩ là tam giác tương
Mặc dù định lí này được gọi theo tên nhà tốn học Hy Lạp cổ đại Dythagoras (khoảng năm 540 trC.N) nhưng những dấu vết lịch sử lại cho thấy nĩ thuộc về người Babylon thời
Vua Hammurabi, trước thời của Pythagoras khoding 1000 nam
Cĩ lẽ nĩ được đạt theo tên của Pyhagoras bởi những chứng mình định lí được ghỉ lại đầu tiên do những mơn đỗ của trường phái ơng thực hiện Sự hiện điện của định lí Pyhagoras v chứng minh của nĩ cĩ ở khắp các châu lục, các nền văn hĩa và xuyên suốt nhiễu thế kỉ, Trên thực tế, cĩ lẽ đây là định lí cĩ nhiễu cách chứng mình hơn bất kì một định lí nào khác
Trang 187 Ao giác và đồ họa máy tính Ngày nay, con người vẫn đang tiếp tục tìm hiểu những ứng dụng đa
dạng của máy vi tính trong nhiều lĩnh vực khác nhau Đề họa
cũng là một trong số đĩ Hình ảo giác bên dưới là ảnh biểu
diễn trên máy tính của cầu thang Schroder Nĩ thuộc loại ảo giác đao động Trí não của chúng ta bị ảnh hưởng bởi những kinh nghiệm trong quá khứ và các gợi ý thu nhận được Dầu tiên,
trí não nhìn thấy một vật theo cách này, rỗi một thời gian nào
đĩ trơi qua, nĩ sẽ thay đổi và nhìn vật theo cách khác Thời
gian để não thay đổi cách nhìn phụ thuộc vào sự tập trung của
chúng ra hoặc thời nan chúng ta trở nên chán khi nhìn vào vật
đĩ Trong hình ảo giác của Schroer, sau một lúc trơng chiếc
cầu thang như bị lật từ trên xuố
Trang 19
Đường xicléit, nang Helen
cua hinh hoc
Đường xiclợt là một trong íng đường cong hấp của tốn học Nĩ được định nghĩa là dường cong phẳng
được tế ra bởi một diểm cổ định nằm trên ving tron khử tịng tron
lăn khơng tmáx trên một dưỡng duẳng cố định
Một trong những ghi chép đầu tiên về đường xiclơi xuất hiện trong một cuốn sách của Charles Bouvelles xuất bản năm 1501, Nhưng đến tận thế kỉ XVII, nhiều nhà tốn học lỗi lạc
như Galileo, Pascal, Torricelli, Descartes, Fermat, Wren, Wallis,
Huygens, Johann Bernoulli, Leibniz, Newton méi dé ¥ tim higu
các tính chất của nĩ Thế kỉ XVII là thế kỉ của những quan tâm
về tốn học trong cơ học và chuyển động, điều đĩ cĩ thể lí giải
cho sự chú ý đến đường xiclơit Cùng với rat nhiéu kt
phá
về đường xiclơit trong thời kì này là những cuộc tranh cãi về
Trang 20tên quả táo bất hịa? hay nàng Helm của hìh học? Một số rính chất của đường xiclơit được khám phá trong suốt thế kỉ XVII là:
Ð) Chiều dài của nĩ gấp bốn lần đưểmg kính của tong trịn lăn Thật thủ tị khi chiếu dài của dường xiơit là một số lưàu tỉ khơng phụ thưộc tảo số x,
2) Diện th cia ving diet đường xilơt gấp ba lần
điện th của tịng trịn lăn
3) Điển cổ định trên đường trịn vẽ nên dường xicloit
cĩ tận tốc dĩ choển khác nhau, trên thực tế tại điểm Ps
nĩ thậm chí điêng yên (q& là cĩ vận tốc bằng Ơ)
4) Khi các viên bì dt thả từ các vị trí khác nhau
trên một bữ thành hình xirlơi thì chứng rẻ xuống đến
chân thành cứng một lúc ớt nhan
Mỗi đường trịn trong bình trên biểu diễn vị trí của vịng trịn lăn siu mỗi một phẩn tứ vịng quay của nĩ, Chú ý rằng chiều dài của đường xiclơir khi quay
đhc một phần tư vịng từ điểm Dị đến điểm Py ngin hon nhiều xì với từ điểm
P› đến điểm P, Vì vậy, điểm vẽ nên đường xiclợt phải tầng tốc từ P: đến Dị do
nĩ phải dí xa hơn trong cùng một thời gian Điểm đứng yên khi no đổi hường
chuyển động
(I) Âm chỉ đường xiclâi chúnh lá nguyễn nhân gây nền nh
ng bet hint, rank cát
Ơ) Ham là một nhữn tật trng thân thoại Hà Lại: màng là ngoền nhân gáy
Trang 21Cĩ rất nhiều nghịch lí gấn liền với đường xielơit, trong đĩ
nghịch lí tàu hỏa đặc biệt rất hấp dẫn:
Tại mọi that diểm, một tàu hàa đang chạy khơng bao
gid chuyển động theo hướng mà động cơ kéo nĩ di
Luơn cĩ phẩn nào đỏ của tàu chuyển động ngược
hướng tới tàu đĩ,
Nghịch lí r
Ở đây đường cong được hình thành cĩ rên gọi là
cĩ = đường cong phẳng được vẽ ra bởi một điểm cố định nằm ngồi bánh xe lan Hình bên dưới cho thấy một phần bánh tàu hỏa chuyển động về phía sau trong khi đồn tàu
Trang 22Biến tam giác thành hình vuơng Nhà tốn học người Đức David Hilbert (1862 - 1943) la người đầu tiền chi g minh
rằng bất kì một đa giác nào
cũng đều cĩ thể biến thành một đa giác khác cĩ cùng điện tích
bằng cách cắt nhỏ nĩ thành một số hữu hạn các mảnh nhỏ
Định lí này được minh họa bằng một trong các câu đi
của
i Anh Henry Ernest Dudeney (1847 nhà đế vui nổi tiếng
1930 Dudeney biến một tam giác đều thành một hình vuơng Đằng cách chia nĩ thành bốn phần nhỏ
Đới đây là bốn phần nhỏ đĩ Bạn hãy thử ghép chúng lại
với nhau! Đầu tiền thành hình tam giác đều và sau đĩ là thành
hình vuơng
-€
Xem hướng dẫn ở phần Lời giải và đáp án, mục Biến tam giác thành hình vuơng
Trang 23
Quỹ đạo và đường đi là những
khái niệm cĩ thể biểu diễn dễ
dàng bằng tốn học dưới dạng các
phương trình À thị Nghiên cứu đồ thị đơi khi cĩ thể giúp
ta thấy rõ các chu trình và chu kì đường đi Trường hợp so chổi
Halley cũng vậy
Sao chổi Halley đực thêu rrên thẩm thêu Bayenux
Cho đến tận thể kỉ XVI, sao chổi vẫn là hiện tượng thiên văn chưa giải thích được Aristotle và các nhà triết học Hy Lạp khác tin rằng chúng là những hình ảnh được tạo ra trong
Ai Dat Nam 1577, ¢
thiên văn học người Đan Mạch nổi tiếng Tycho de Brahe bac én nay da bi nha
bầu khí quyển của T
bỏ Từ đài quan sát của mình trên đảo Hven ở Đan Mạch,
ơng đã đưa ra những quan sắt chính xác về sao chổi năm l5,
Các đo đạc của ơng cho thấy khoảng cách từ Trái Đất đến sao
Trang 25
NIẾM VỤI TỐN Hội — T3
ra trong bầu khí quyển của Trái Đất Tuy thế, hơn 100 nam
sau khám phá của ơng, người ta vẫn tin răng sao chổi khơng
tuân theo các quy luật trong Hệ Mặt Trời của Copernicus và Kepler Ngay cả Johannes Kepler cũng tin rằng đường đi cũa là đường thẳng Vào năm 1204, Edmund Halley đã nghiên cứu quỹ đạo của nhiễu sao chốt khác nhau từ những dữ liệu mà ơng thư thập được về chúng Một trong số những ghỉ
các sao chổi
chép đây đủ nhất là về sao chế: xuất hiện năm 1682 Ơng nhận
ra rằng quỹ đạo của nĩ đi qua cùng một vùng trời với những sao
chổi xuất hiện năm 1607, 133, 145, từ đĩ ơng kết luận chúng
chỉ là một sao chổi quay quanh Mặt Trời theo quỹ đạo hình
elip với chu kì khoảng 75 hay 76 năm Halley đã dự đốn chành cơng sự trở lại của sao chối này vào năm 1758, từ đĩ nĩ được
nhắc đến với tên gọi sao chối Halley Những nghiên cứu gần
đấy đưa ra ý kiến sao chối Halley cĩ thể đã được người Trung Quốc ghỉ lại từ những năm 240 GN
Mỗi lần xuấ
hiện, đuơi sao chối Halley lại mờ đần, hình ảnh này được thấy rõ nhất trong lần xuất hiện gần đây nhất của nĩ vào năm 1985 - 1986
Người ta tín rằng các sao chổi được tạo thành từ các hành tỉnh băng cĩ kích thước nhỏ quay xung quanh Mặt Trời trong
một vùng cầu tâm là Mặt Trời, bán kính khoảng 1 đến 2 năm
ánh s Các hành nh băng nhỏ này cĩ thành phần gồm băng, các hạt kim loại và silicat Ngồi Hệ Mặt Trời, ở nhiệt đĩng băng, các hành tỉnh này quay xung quanh Mặt Trời tốc 48km/phút, vì thế chúng phải mất 3Ơ triệu nãm để quay trọn một vịng quanh Mật Trời Đơi khí lực hấp dẫn của các ngơi sao bên cạnh làm các hành tỉnh băng quay cha
lại và rơi gần về phía Mặt Trời, do đĩ quỳ đạo của nĩ thay đổi thành hình clip Khi hành cinh bang đã bất đầu chuyển động
theo quỹ đạo elip quanh Mặc Trời, một phần băng của nĩ hứa
Trang 26
lẬ — NIÊM VỤI TỐN HỌC
khí Chính điều này tạo nên đuơi sao chổi, đuơi này luơn hướng
ngược phía Mặt Trời do bị giĩ Mặt Trời thổi bay Đuơi sao chổi được hình thành từ khí và các hạt nhỏ, chúng được chiếu sáng bải Mặt Trời Sao chải sẽ luơn quay trên một quỹ đạo elip kháng đối quanh Mặt Trời nếu khơng cĩ sự ảnh hưởng bởi lực
hấp dẫn của Sao Mộc và Sao Thổ Mỗi vịng quay lại đưa sao chổi lại gằn Mặt Trời hơn, làm nĩ tan chấy nhiều băng hơn và đuổi sao chối lại đài thêm ra, Chiếc đuơi làm kích thước sao
chối khi xuất hiện trên bầu trời lớn hơn nhiều so với thực tế
(một sao chối cĩ đường kính trung bình khoảng IOkm), Trong ao chối cĩ các sao hãng (vốn đi thuộc lớp băng của sao
chối khi sao chối cịn nguyên vẹn) Chúng là những mảnh vụn đuơi
cịn lại trèn quỹ đạo sau khi sào chổi đã can rã Khi quỹ đạo của sao chối gặp quỹ đạo của Trái Đất, chúng sẽ tạo nên một
Trang 27Tam giác 2 khơng thể hình mình họa đã trở nên Rất nhiều thiết kế và
quen thuộc và thường được cho là hiển nhiên Trong tạp chi British Journal of Psychology", thang 2 nam 1958, Roger Penrose đã cho in hình tam giác
khơng thể của mình Ơng gọi nĩ là một cấu trúc hình chữ nhật ba chiều
Ba gĩc vuơng của cấu trúc này trơng khơng cĩ gì mâu thuẫn, nhưng thực tế thì khơng
thể cĩ một cấu trúc như vậy Ba gĩc vuơng đường như tạo
thành một tam giác, nhưng tam giác là một hình phẳng (khơng phải là ba chiều) và tổng các gĩc của nĩ phải là 180? chứ khơng phải 270°
Gan đây hơn, Penrose đã khởi xướng
lithuyét vé các phần tử dây xoắn, Mặc dù
Phần từ đầy xoắn các phần tử dây xoắn khơng nhìn thấy
được, nhưng ơng tin rằng khơng gian và thời gian đạn vào nhau là nhờ sự tương tác của các dây xoắn này, Bạn cĩ thể tìm ra vì sao ảnh ảo giác
Hyzer dưới đây cũng là một điều
khơng thể trong tốn học khơng?
Anh ao gic Hi
Trang 28Đế chế Inea xưa thống trị khấp các
vùng đất bao quanh Cuzco", hau hết
phan cịn lại của Peru và một xố vùng thuộc Ecuador và Chile
ngày nay Mặc dù người Inca khơng cĩ ngơn ngữ viết và hệ thống kí hiệu tốn dưới dạng viết, họ vẫn cĩ cách để quản lí vương quốc mình (với chiều đài hơn 3000km) bằng cách sử dụng
các quipu Quipu là những sợi dây được thắt nút tương tự như
hệ đếm theo vị trí cơ số lƠ À úc ở vị trí cách xa sợi dây chính š một, nút kế đĩ biểu diễn sé musi
nhiều nhất biểu diễn
Nhánh đây khơng cĩ nút biểu diễn số khơng Kích cỡ, màu
sắc và hình dáng nút ghi lại thơng tín về vụ mùa, thuế, dân sð và những đữ liệu khác Ví dụ: sợi dây màu vàng tượng trưng cho vàng hoặc cây ngơ; hoặ
ic trên quipu dân số, những sợi day đầu tiên thể hiện rhơng tin về đàn ơng, những sợi thứ hai là vẻ
Hinh minh hos vé quipu của người Peru nay được một ngiơi Anh-điêng 6 Peru tên [a D Fehpe Poma de Avala
Trang 29
VỤ TỐN HỌC — l7
đần bà, cịn những sợi thứ ba là về trẻ em Các vũ khí như giáo, mũi tên hay cung rèn cũng được biểu diễn tương tự như vậy
Cơng việc tính tốn, sư sách trên tồn Vương quốc lnca
được thực hiện bởi một tẳng lớp những “nhà quipu” họ truyền
các kĩ thuật sử dụng quipu lại cho con trai của mình, Ở mỗi cấp độ chính quyền lại cĩ những n à quipu chuyên trách từng lĩnh vực riêng biệt
Trong hồn cảnh khơng cĩ chữ viết, qupu cĩ vai trị như
một phương tiện ght chép lịch sử, những quipu lịch sử được
các armantus (nhà rhơng thái) dùng để ghí chép thơng tín và
truyền lại cho thế hệ sau Họ sử dụng chúng như những gợi nhớ về câu chuyện mà họ đã nghe kể trước đây
Cứ như vậy, những máy tính nguyên thủy quipu đã khắc
trong trí nhớ của người đân Inea những thơng tin giúp gắn kết
tồn bộ vương quốc này lại với nhau,
Con đường Hồng gia Inca”" trải đài 560km từ Ecuador tới
tận Chile Tất cả thịng tin về mọi thứ diễn ra trên Vương quốc
Inea được truyền đi theo con đường này nhờ những cha»gis (những người chạy truyền tín), mỗi người phụ rrách một quãng
đường đài 2km Họ quen thuộc rừng tấc đất trên quảng đường
của mình tới nỗi cĩ thể chạy với tốc độ cao nhất
ngày lẫn
đêm Họ sẽ truyền đạt lại thịng cín cho người kế tiếp cho đến
Khi thơng tín tới được nơi cần đến, Sự phục vụ của họ, kết hợp
với việc sử dụng quipu, đã giúp cho Hồng đế Inca luơn cập
nhật được thơng tin về sự thay đổi dân số, cơng cụ lao độn; mùa màng, nghề nghiệp, những ấm mưu nổi loạn và tất cả
những thơng tỉn quan trọng khác Các thang tin bén tục truyền
đi 24 giữ mỗi ngày, do vậy luơn rất chính xác và kịp thời,
Trang 30
Dựng chữ cái, kĩ thuật in ấn và tốn học Kiến trúc, kĩ thuật, nghệ thuật trang trí và in ấn là một vài lĩnh vực trong đĩ cĩ ứng dụng các nguyên lí hình học Họa sĩ thời Phục hưng người Đức nổi tiếng Albrecht
irer sinh năm 1471, mất năm 1528 Trong suốt cuộc đời, ơng đã
kết hợp những hiểu biết về hình học và tài năng nghệ thuật của mmình để tạo nên rất nhiều hình thức và phương pháp nghệ
thuật Ơng hệ thống hĩa việc xây dựng các chữ cái La Mã, điều rất cả \ thiết cho tính chính xác và thống nhất của các chữ cái la Dũrer ng hình hình học trong
lớn trên các tịa nhà hay bii mộ, Những hình vẽ c
ở bền dưới cho thấy ứng dụng củi
nghệ thuật viết chữ cái La Mã, Ngày nay, các nhà khoa học máy tính đã dùng tốn học để thiết kế các phần mềm tạo ra những bản in và hình ảnh
cĩ chất lượng cao Một ví dụ điển hình là ngơn ngữ lập trình
POSTSCRIPT phát triển bởi Cơng ty phần mềm Adobe System tạ thành phố Palo Alto, California, Mỹ, được dùng cho các máy
Trang 31
Bài tốn Lúa mì va ban cd Cần bao nhiều hạt lúa mì dé dar len bàn cờ nếu chúng được xếp
theo cách sau đây?
Xép moe hat hia mi vào tuơng đâu: tiên, hai hạt vào ơ thứ hai,
bẩn hạt tảo ĩ thứ ba, tắm hạt uào ơ thứ tư và cứ như dậy ở ơ tiếp
theo tạ xếp số hạt lúa mù gấp đổi số hạt trmg 6 ngay mak no
Trang 32
Các nhà tốn học và khoa học vẫn luơn bị số x hấp dẫn, nhưng nĩ
đã cĩ thêm cả một lượng lớn người
hâm mộ khi đánh bại chiếc máy tính ma quỷ trong một tập của bộ phim truyền hình §ar Trek (Hành trình đến các tì sáo)
Số z đĩng những vai trị khác nhau: nĩ là t lệ của chu vi va
đường kính đường trịn, nĩ cũng là một xố sêu việt (số khơng là
nghiệm của bất kì phương trình đại số với hệ sỞ nguyên nào) 3.14 1S CPLR ET EVAR PRLS 2643 Đã hàng
nhiều hơn nữa các chữ số su đấu phẩy thập phân của số z
Chẳng hạn như Archimedes đã tính giá trị z xấp xỉ g
30 bằng cách tầng số cạnh của đa giác nội tiếp
Trong BiRe (Kinh thánh Cun Use), quyén Book of Kings (Sách các
vua) va Chronicles (Sử biển niền), giá trị của số x được đưa ra là 3
Số xấp xỉ cho z của các nhà tốn học Ai Cập cổ đại là 316 Cịn
Ptolemy vào năm 150 s.C.N tinh z xp xi bang 31416
Về mặt lí thuyết, phường pháp xấp xỉ của Archimedes cĩ
Trang 33đến nữa Thay vào đĩ, các chuỗi, tích và liên phân số vơ hạn hội tụ đã được sử dụng để xấp xỉ số z Ví dụ như:
xz=4/(1+1!1/2+#/2+5*/@+??/()))
Một trong những phương pháp gây tị mị nhất để tính số
là của nhà tự nhiên học người Pháp ché ki XVIII Count Buffon
và Bài tốn chiếc kăm của ơng, Trên một mặt phẳng, ta kẻ các dường thẳng song song cách đều nhau d đơn vị chiều dài Thả
chiếc kin cĩ độ đài nhỏ hơn d lên trên mặt phẳng đĩ Nếu chiếc kim roi lên trên đường kể thì lần thả
đĩ được coi là thành cơng Khám
phá dây bất ngờ của Buffon là lệ
số lần thả thành cơng so với khơng
thành cơng là một biểu thức chứa
xš x- Nếu chiều dài kim bằng đ đơn
i tha thanh cong la 2 So kin thả càng nhiều thì xấp
xỉ cho số ø càng chính xác Năm I9ƠI, nhà tốn học người Ý
Lazzerini da thả 3408 lần và đưa ra giá trị của số z là 31415929, chính xác đến sáu chữ xố sau đấu phẩy Nhưng việc Laz:erini cĩ thực sự tiến hành thí nghiệm của mình hay khơng vẫn bị Lee Badger!" & Dai hoc Weber, Ogden, bang Utah, My, đặt cầu hồi nghỉ ngờ, Trong một phương pháp xác suất khác để tính số z vào năm 1904 R, Chartes đã rìm ra xác suất để hai số (được viết ngẫu nhiên) nguyên tố cùng nhau là “ Vis Nae
That dang ngac nhiền khi chúng ta khám phá ra sự đa năng
trong nhiéu lĩnh vực khác nhau như hình học, xác suất
và các phép tinh vi tích phân
của
(0; Narn Fide: cadesdation 0ƒ by experimen (Nig enh tod thực nghữm du
df xh tic gid John Maddox Tap chi NATURE, nigiy Udhdng & ndm 1994,
Trang 34
Động đất
và các lơgarit
[Xịng như con người
cĩ nhu cầu mơ tả các hiện
tượng tự nhiên bằng ngơn
ngữ của tốn học Cĩ lẽ vì chúng ta luơn muốn tìm rà các
phương pháp mà nhờ đĩ chúng ta phần nào kiểm sốt được tự
nhiên đù cĩ thể chỉ qua dự đốn Động đất là một hiện tượng tự nhiên như vậy
mi AE
Biểu đổ địa chấn của một trận động đất
“Thoạt nhìn cĩ vẻ như rất kì lạ khi liên hệ các lơgarit với
động đất, nhưng phương pháp được sử dụng để do cường độ c
động đất đã chỉ ra mối liên hệ này Độ đo richter được nhà
địa chấn học người Mỹ Charles F Richter phát minh năm 1935
Thang đĩ này đo cường độ của trận động đất bằng cách mơ tả lượng năng lượng giải phĩng ra ở tâm chấn Thang đo richter tinh theo hàm lơga nên mỗi khí độ đo richter tăng lên 1 đơn vị
thi biên độ của đường cong trên biểu đồ địa chấn lại răng lên
gấp lƠ lần, trong khi đĩ năng lượng do động đất sinh ra tăng
Trang 35"¬ 23
khoảng 30 lần Ví dụ: trận động đất cĩ cường độ 5 độ richter
sinh ra lượng năng lượng gấp 3Ư lần so với trận động đất 4 độ
richter Vì thế, trận động đất 8 độ richter sẽ giải phĩng ra mộc
năng lượng gấp 30” hay 27 000 lần so với trận cĩ cường độ 5 độ
richter
Các số trong thang do ríchrer đi từ 0 đến 9, nhưng về mặt lí thuyết khơng cĩ giới hạn phía trên nào cả Một trận động
đất cĩ cường độ lớn hơn 4,5 đổ richter đã cĩ thể gây ra thiệt
hại, các trận dong đấc nghiêm trọng cĩ cường độ lớn hơn 7
Chẳng hạn như trận động đất & Alaska” nam 1964 với cường
độ 84 độ ríchrer và ở Sản Francisco năm 1906 với cường độ 78
độ cíchtet,
Ngày này, các nhà khoa học chuyên nghiên cứu động
đất di sau vào tìm hiểu lĩnh vực địa chấn học, một ngành khoa học địa vật lí Các thiết bị cùng những phương pháp tỉnh ví, nhạy bén đang được tìm kiếm và phát minh nhằm xác định và dự báo động đất
Một trong những thiết bị đầu
tiên và thường xuyên được sử
dụng là máy ghi địa chấn, nĩ
cĩ thể tự động kiểm tra, đo
Hình mơ tả máy chủ địa chẩn dược biết đến sớm nhất này dude fam rà ở “Trung Quốc vào thế kỉ II CN tỉ một bình rượu bằng đồng cĩ dương kính khoảng lâm) Tâm con rồng ngậm guả hồng bao quanh chiếc bình, Khi cĩ động đất, một con rồng nào đè đạc và vẽ biểu đồ trận động đất cùng những rung động khác ở mặt đất tì Bảng rộng lí nhất dứa nức Mỹ
Trang 36Trần nhà parabol của tịa trụ sở Quốc hội Mỹ Trong thế giới cơng nghệ cao của chúng ta ngày nay, thật thủ vị khí biết
vào thế kĩ XIX, tịa nhà trụ sở Quốc hội Mỹ đã được thiết
kế cĩ thiết bị nghe trộm riêng một cách nị
ran;
nhiên, mà lại ứ Trụ sở Quốc hội Mỹ dược Tiến si William Thornton thiết kế vào năm 1792, Và nĩ bị quân đội khơng phải là thiết bị điện t Anh thiêu cháy năm 1814 Đến năm 1819, cong trình này mới được xây dựng
trự sĩ Quấy hội Mỹ ngáy may
Ở phía nam của Rotunda (dai sảnh cĩ mái vịm) là Statuary
Hall" (sinh tượng) Sở dĩ nĩ cĩ tên gọi như vậy là vì năm 1864,
mỗi bang của nước Mỹ được đề nghị đĩng gĩp tượng hai cơng
lân nổi tiếng của bang đĩ để đặt trong phịng Hạ nghị viện
Trang 37NIỄM VỤI [OAN HÀ — 25
phịng này, lehn Quincy Adams khi cịn là một nghị sĩ Hạ viện đã khám phá ra hiện tượng truyền âm của nĩ Ơng phát hiện ra Ting tại những điểm nào đĩ trong phịng, người ta cé thé nghe
thấy rõ ràng những cuộc hội thoại ở phía bên kia phịng, trong
khi những người đứng giữa khơng thể nghe thấy gì và tiếng ơn do họ gây ra cũng khơng ảnh hưởng gì đến âm thanh đến từ bên kia phịng, Bàn làm việc của Adams cĩ vị trí trùng với tiêu nhà phản xạ parabol Vì thế,
ơng cĩ thể đề dàng nghe trộm những cuộc nĩi chuyện rièng
điểm của một trong những trả
của các nghị sĩ khác đứng gần tiêu điểm cịn lại Các vat phan xy patabol hoạt động theo cách sau:
Am thành đập sào vậc phản xạ parabol thứ nhất (hoặc tơng
trường hợp này là trần nha) ei bac lai song song đi tý cật phần xạ barabvl thế hai wữm đối điện với vật phần xạ parabdl thứ
nhất, tại đĩ âm thanh tếp tục phẩn xã tới tiếc điểm của tật
phần xạ barahi thứ hai, Vì vây tất cá âm thanh xuất phát từ
mệt tiêu điểm tuyển đến tiêu điề
Viện bảo wmg Explerutorium tai San Francisco, California, cũng cĩ các vật phản xạ am parabol được trưng bày để phục vụ người dân Chúng được đặt ở các phía đối diện của một cán phịng lớn, các tiêu điểm của chúng được đánh dấu lại Hai người
Trang 38
Máy tính, su dém va dong dién
Con người giao tiếp với
máy tính điện tử bằng việc sử dụng một ngơn ngữ máy tính Ngơn ngữ máy tính
đến lượt nĩ lại được dịch
thành một hệ đếm cơ số nào đĩ để cĩ thể điều khiển các xung
điện cấp cho máy rính hoạt động Hệ cơ số lO hoạt động rất tốt
cho những tính tốn bằng tay của chúng ta, nhưng cần dùng
một hệ cơ số khác cho các máy tính điện tử Nếu các bộ nhớ
được tổ chức ở hệ cơ số I0, sẽ phải cĩ mười rạng thái khác nhau cho mười số tạo nên hệ cơ số 10 (O, 1, 2, 3, 4, 5, 6 7, 8, 9) Mặc dù
điều này là cĩ thể với một hệ thống cơ học, nhưng lại là khơng thể với dịng điện Trong khi đĩ, hệ nhị phân (hệ cơ số 2) lại là một ứng cử viên hồn hảo cho máy tính điện tử Chỉ cĩ hai số trong hệ nhị phân, đĩ là Ư và 1 Các số này cĩ thể biểu diễn dễ
dang bởi dịng điện băng một trong ba cách sau:
(Ù Bật hoặc tất dịng diện
(2) Từ hĩa một cuộn đây theo hướng này hay hướng ngưệt lại (3) Nạp điện hay khơng nạp điện một rơe
Trong cả ba trường hợp, một trạng thái được chọn ứng với số 0, trạng thái cịn lại ứng với số 1
Các máy tính khơng đếm theo cách mà con người đếm: một, hai, ba, bốn, năm, sáu, bảy, rám, chín, mười, mười một, mười
hai, Thay vào đĩ, chúng sẽ đếm một, mười, mười một, một
tram, mot trằm lễ một, một trăm mười, một trăm mười một,
Như vậy, máy tính hoạt dộng bằng dịng điện Các cơ chế của máy tính dùng dong điện để dịch thành các kí hiệu mà chúng ta cĩ thể hiểu được trên màn hình hiển thị Khi dịng điện chạy qua những phân phức tạp của một máy tính, nĩ vẫn
Trang 39
cĩ thể bật hoặc tất một phần Bat va tat I:
nhất của dịng điện, đĩ chính là lí do vì sao chỉ cĩ hai chữ số 0,
1 và hệ nhị phân là được sử dụng trong máy tính =—¬ một, hai, ba, bốn, năm, sảu, bảy, tám, 1 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000 hai trạng thái duy HỆ CƠ SỐ MƯỜI và HỆ CƠ SỐ HAI Khí chứng ta viết sĩ ta dừng chữ số 0l 2 3 4, 5,6 7, 8 9
Chúng tả gọi đây là hệ cơ số lÕ tì cĩ mưêã chữ số dhác sử dựng
để biểu diễn bất kì số nào khác Vị trí của mỗi chữ số trưng một
số biểu diễn cho chữ số đĩ nhân tới mật lấy thừa cơ sổ ]Ơ Khi
ching ta viet giá trị của mỗi chứ số phụ thuộc vào vị trí của nĩ trong si dé, tế dụ: 5374 khơng cĩ nghĩa là 5 + 3 + 7 + 4, mà là nghin + 3 dm + 7 chục + 4 don vi, Mỗi tị trí trang số là một lũy thửa cơ số mud: Nghin = 1000 = 10 x 10 x 0 = 10° Tram = 100 = 10 x l0 = 10 Chục = 10 = 10 Don vj = reg
Cức máy tính tiết số chi dĩi hai chữ số Ư và L Hé dém ctia ching
gọi là hệ cơ số 2, bả chỉ cĩ hai chữ số được dùng để biểu diễn
các số tử mỗi tị trí trơng một số là một lũy thừa cơ xố hai Vị trí
đấu tiền là của |, se đá là tị trí của 2 tiếp theo là tị trí của 2x2= 4 trơi của 2x 2x 2= Đ =8lin 2x2=4lin — J2lần — liển 2 2 LR DR: 2
như vay sở HOT sé being
1x8+lx4+0x2+lIx1= mong hé cof 10
Trang 40
Tơ-pơ, một trị chơi tốn học To-pa một trị chơi với rất nhiều chiến thuật
biến đổi Bao nhiêu người
chơi cũng được Khi bạn mới tập chơi, hãy bắt đầu với hai người chơi Trị chơi này gồm cĩ ba phần:
L Ve cae 6 dé chet,
li Điền vĩ tùa một sổ hoặc tất cả các 6
UL An các õ
IL— Mỗi người chơi lần lượt vẽ một ơ liễn sát ơ người kia
vừa vẽ theo cách bất kì Mỗi người về mudi 6, như minh hoa & hình A
HH Mỗi người chơi dùng bút màu khác nhau và lần lượt điền số vào một ơ nào đĩ cho đến khi mỗi người điển
được các ơ với tổng các số trong đĩ là I0O Nếu người
chơi điển ngay số IÕ vào một 6 nao đĩ, thì người đĩ
sẽ chỉ cĩ một ơ đĩ là của mình
IL Mục tiêu của trị chơi Khi kết thúc, người chơi cĩ số ð của riêng mình nhiều hơn sẽ chiến thắng Chú ý ang aid tri cdc MS trong õ khơng ảnh hưởng đến kết
quả trị chơi
Cách chat Một ð của người này bị ăn khi một hoặc nhiều ơ của người kia nằm sát bền cạnh nĩ cĩ tổng các số lớn hơn số
trong 6 dé
Khi một ư bị ăn, nĩ bị loại khỏi cuộc chơi v
cho người đã ăn nĩ ä dược đánh dấu
Mỗi người lẫn lượt ăn một õ của người khác cho đến khi