BÀI TOÁN VẬN DỤNG

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Câu 1: Chủ đề KHỐI ĐA DIỆN (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A BCD có AB  a, AD  a Tính khoảng cách hai đường thẳng BB AC a a a B a C D A 2 Chọn C Ta có: AC  BH  Hướng dẫn giải  AB   BC 2 D  2a Kẻ BH  AC AB.BC  a.a a   2a BC  A C B Vì BB//  ACCA  nên d  BB, AC  d  BB,  ACCA   D' C' H d  BB,  ACC A    BH  Nên d  BB, AC    Câu 2: a B' A' a (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông cân B , AC  2a SA  a Gọi M trung điểm cạnh SB Tính thể tích khối chóp S AMC a3 a3 a3 a3 A B D C 12 Chọn A Hướng dẫn giải Xét tam giác vng cân ABC có: AB  BC  S ABC  AC a 2 AB.BC  a 2 1 a3 VS ABC  SA.S ABC  a.a  3 Áp dụng định lí Sim-Son ta có: VSAMC SA SM SC   VS ABC SA SB SC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word S a M A 2a B C a3  VS AMC  VS ABC  Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có AB  a , AC  2a , AA1  2a BAC  120 Gọi K , I trung điểm cạnh CC1 , BB1 Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  A1BK  A a B a 15 C a Hướng dẫn giải Chọn C D a 15 C1 A1 Ta có IK  B1C1  BC  AB  AC  AB.AC.cos1200  a Kẻ AH  B1C1 AH đường cao tứ diện A1BIK Vì A1H B1C1  A1B1 A1C1.sin1200  A1H  S IKB  a 21 H B1 K I C A 1 IK KB  a 35  VA1 IBK  a3 15(dvtt ) 2 B Mặt khác áp dụng định lý Pitago cơng thức Hê-rơng ta tính đc SA1BK  3a  dvdt  Do d  I ,  A1BK    Câu 4: 3VA1IBK SA1BK  a (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật Tam giác SAB vuông cân A nằm mặt phẳng vng góc với đáy SB  Gọi M trung điểm cạnh SD Tính khoảng cách l từ điểm M đến mặt phẳng  SBC  A l  B l  2 C l  Hướng dẫn giải D l  2 S K H M N D A B C   SAB    ABCD  ,  SAB    ABCD   AB Theo giả thiết, ta có   SA   ABCD   SA AB   Gọi N , H , K trung điểm cạnh SA, SB đoạn SH  BC  SA  BC   SAB   BC  AH Ta có   BC  AB Mà AH  SB ( ABC cân A có AH trung tuyến) Suy AH   SBC  , KN   SBC  (vì KN || AH , đường trung bình) Mặt khác MN || BC  MN ||  SBC  Nên d  M ,  SBC    d  N ,  SBC    NK  Câu 5: AH  2 Đáp án: B (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N trung điểm cạnh AD, BD Lấy điểm không đổi P cạnh AB (khác A, B ) Thể tích khối chóp PMNC A 16 B 3 D 27 12 Hướng dẫn giải Chọn A Do AB C 3 A  CMN  nên d  P,  CMN   d  A,  CMN   d  D,  CMN  Vậy VPCMN  VDPMN  VMCND  VABCD (Do diện tích đáy chiều cao nửa) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word M P N B C D Mặt khác VABCD Câu 6: a2 a3 27 27  a  nên VMCND   a      12 16 12 12  3 (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện ABCD có AD  14, BC  Gọi M , N trung điểm cạnh AC, BD MN  Gọi  góc hai đường thẳng BC MN Tính sin  2 A B C D Gọi P trung Hướng dẫn giải điểm A cạnh CD , ta có    MN , BC    MN , NP  Trong tam cos MNP  MNP , ta có MN  PN  MP  Suy MNP  60 2MN NP D Suy sin   Câu 7: giác 14 M N B P C (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC cạnh AB  2a Biết AC '  8a tạo với mặt đáy góc 450 Thể tích khối đa diện ABCC ' B ' 8a 3 A 8a B 16a 3 C 16a D Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu A lên mp  A ' B ' C ' B 2a A  HC ' A  45 C  AHC ' vuông cân H  AH  8a B' AC ' 8a   4a 2 A' H NX: VA.BCC ' B ' C'   2a 16a3 2  VABC A ' B 'C '  AH S ABC  4a  3 Chọn D Gọi H hình chiếu A lên mp  A ' B ' C '  HC ' A  450  AHC ' vuông cân H  AH  AC ' 8a   4a 2 NX: VA.BCC ' B ' Câu 8:   2a 16a3 2  VABC A ' B 'C '  AH S ABC  4a  3 (T.T DIỆU HIỀN) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BC ' CD ' a a A a B C 2a D 3 Hướng dẫn giải Chọn B A' D' O B' C' H A D C B Gọi O  A ' C ' B ' D ' từ B ' kẽ B ' H  BO Ta có CD ' // ( BA ' C ') d ( BC '; CD ')  d ( D ';( BA ' C '))  d ( B ';( BA ' C '))  B ' H  Câu 9: nên BB '.B ' O a  BO (T.T DIỆU HIỀN) Một hình hộp chữ nhật ABCD.ABC D có ba kích thước 2cm , 3cm 6cm Thể tích khối tứ diện ACB D 3 A cm B 12 cm C cm3 D cm3 Chọn B Hướng dẫn giải A' D' Ta có : B' C' cm A D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word B cm cm C VABCD ABC D  VB ABC  VD ACD  VA.BAD  VC BC D  VA.CBD  VABCD ABC D  4VB ABC  VA.CBD  VA.CBD  VABCD ABC D  4VB ABC  VA.CBD  VABCD ABC D  VABCD ABC D 1  VA.CBD  VABCD ABC D  2.3.6  12 cm3 3 Câu 10: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho khối tứ diện ABCD cạnh 2cm Gọi M , N , P trọng tâm ba tam giác ABC, ABD, ACD Tính thể tích V khối chóp AMNP A V  cm3 162 B V  2 cm 81 Tam giác BCD  DE   DH  AH  AD  DH  cm3 144 A N 1 AH SEFK   3 M B K P D H E AM AN AP    AE AK AF Lại có: D V  3 1 1  d E , FK  FK  d D,BC BC  2 2  VSKFE  Mà cm 81 Hướng dẫn giải Chọn C SEFK C V  F C VAMNP AM AN AP 8    VAMNP  VAEKF  27 81 VAEKF AE AK AF 27 Cho hình hộp có ABCD ABCD BCD  60, AC  a 7, BD  a 3, AB  AD ,đường chéo BD hợp với mặt phẳng  ADDA  góc 30 Tính thể tích V khối hộp ABCD ABCD 39 A 39a3 B C 3a3 D 3a3 a Câu 11: (LÝ TỰ Chọn D TRỌNG – TPHCM) Hướng dẫn giải D' C' 30° A' B' x D y O A   C B  x  y Đặt x  CD; y  BC Áp dụng định lý hàm cos phân giác tam giác BCD 3a  x2  y  xy x  y  5a  x  2a; ya  Với x  y  2a C  60  BD  AD  BD ';(ADD'A')  30  DD '  3a  S ABCD  xy.sin 60  a  Vậy V hình hộp = a3 3 Gọi M trung điểm cạnh SD Nếu SB  SD khoảng cách từ B đến mặt phẳng  MAC  Câu 12: (NGƠ GIA TỰ - VP) Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V  bằng: A B C D Hướng dẫn giải Chọn A S M D A O B C Giả sử hình chóp có đáy ABCD hình vng cạnh a Khi đó, BD  a Tam giác SBD vuông cân S nên SD  SB  a SO  BD a  2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Suy tam giác SCD, SAD tam giác cạnh a SD   MAC  M a3 Thể tích khối chóp V  SO.S ABCD  Mà a3 2   a 1 6 Vì O trung điểm BD nên d  B,  MAC    d  D,  MAC    DM  Câu 13: (THTT – 477) Một hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh a , cạnh bên b tạo với mặt phẳng đáy góc  Thể tích khối chóp có đáy đáy lăng trụ đỉnh điểm đáy cịn lại 3 3 A B C D a b sin  a b sin  a b cos  a b cos  12 12 Hướng dẫn giải Chọn A A' C' S B' A C H' H B Gọi H hình chiếu A  ABC  Khi   AAH Ta có AH  AA.sin   b sin  nên thể tích khối lăng trụ a b sin  Lại có chiều cao chóp theo yêu cầu đề chiều cao lăng trụ AH VABC ABC  AH SABC  a 2b sin  nên thể tích khối chóp VS ABC  VABC ABC  12 Câu 14: (THTT – 477) Các đường chéo mặt hình hộp chữ nhật a, b, c Thể tích khối hộp A V  b b B V   c  a  c  a  b2  a  b  c   c  a  c  a  b2  a  b2  c  C V  abc D V  a  b  c Hướng dẫn giải B x C a A D y b c z B' C' A' D' Chọn A Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước: x, y, z  x2  y  a2  y  a2  x2  y  a2  x2    Theo u cầu tốn ta có  y  z  c   y  z  c  a  x  b  x  c  x2  z  b2  z  b2  x  z  b2  x     a  b2  c y   a  b2  c2    x2  V    b2  c  a z   a  c  b  a  b  c  b  c  a  Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình lăng trụ ABCA B C  có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A  lên mặt phẳng A BC trùng với trọng tâm tam giác A BC Biết khoảng   cách hai đường thẳng A A  BC ABCA B C  A V  a3 24 B V  a3 12 a Tính thể tích V khối lăng trụ C V  a3 D V  a3 Hướng dẫn giải Chọn B A'   M trung điểm BC BC  A A M Gọi MH đường cao tam giác A A M MH  A A HM  BC nên HM khoảng cách H B' C A G B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word C' M A A  BC Ta có A A.HM  A G AM  a a a2 A A  A A   4a 4a 2a a2   A A   A A    3A A   A A   A A    3   Đường cao lăng trụ A G  Thể tích V LT  4a 3a a   9 a 3a a 3  12 Câu 16: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình chóp S ABC có ASB  CSB  600 , ASC  900 , SA  SB  SC  a Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  A d  2a B d  a C d  a D d  2a Hướng dẫn giải Chọn B S B A H C + Ta có: SAB , SBC cạnh a nên AB  BC  a + Ta có: SAC vng cân S nên AC  a + Ta có: AC  AB2  BC nên ABC vng B có S ABC  a2 + Gọi H trung điểm AC Ta có: HA  HB  HC SA  SB  SC nên SH   ABC  SH  AC a  2 Tương tự  b, c  Ta lại có V  a 9  a   a  Khảo sát hàm số tìm GTLN V Câu 26: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SA  SB  SC  a , Cạnh SD thay đổi Thể tích lớn khối chóp S ABCD là: 3a a3 a3 a3 A B C D 8 Hướng dẫn giải Chọn D Khi SD thay đổi thi AC thay đổi Đặt AC  x Gọi O  AC  BD Vì SA  SB  SC nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  H  BO S 4a  x 4a  x  x Ta có OB  a      2 1 a  x x 4a  x S ABC  OB AC  x  2 a.a.x a x a2   HB  R  4S ABC x 4a  x 4a  x 4 A x B O a H C D a4 a 3a  x SH  SB  BH  a  2  4a  x 4a  x 2 2 a 3a  x x 4a  x VS ABCD  2VS ABC  SH S ABC  3 4a  x 2 1  x  3a  x  a  a x 3a  x  a   3     Câu 27: (THTT – 477) Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mỡi mặt S Khi đó, tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt V nV A B nS S 3V V C D S 3S Hướng dẫn giải Chọn C Xét trường hợp khối tứ diện Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự 1 1 VH ABC  h1.S ; VH SBC  h2 S ; VH SAB  h3 S ; VH SAC  h4 S 3 3 S C A H http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word B 3V 3V1 3V 3V ; h2  ; h3  ; h4  S S S S V1  V2  V3  V4  3V  h1  h2  h3  h4   S S h1  Câu 28: (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh a , mặt phẳng   cắt cạnh AA , BB , CC  , DD M , N , P , Q Biết AM  a , CP  a Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ là: 11 11 2a a3 a a A B C D 30 15 3 HD: Tứ giác MNPQ hình bình hành có tâm I thuộc đoạn OO’ B C O A AM  CP 11 a Ta có: OI   a 30 D N M I Gọi O1 điểm đối xứng O qua I : OO1=2OI= P Q 11 a < a Vậy O1 nằm đoạn OO’ 15 Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ O1 B' C' O' D' A' A1, B1,C1, D1 Khi I tâm hình hộp ABCD.A B1C1D1 Vậy V(ABCD MNPQ)=V( MNPQ.A1 B1C1D1) 2 = V ( ABCD A1B1C1D1 )  a 2OO1  11 a 30 (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Người ta gọt khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt nội tiếp (tức khối có đỉnh tâm mặt khối lập phương) Biết cạnh khối lập phương a Hãy tính thể tích khối tám mặt đó: a a3 a3 a3 A B C D 12 Câu 29: Đáp án B C Dựng hình bên + Thấy thể tích khối cần tính lần thể tích hình chóp S.ABCD + Nhiệm vụ tìm thể tích S.ABCD D B A S + ABCD hình vng có tâm O đồng thời hình chiếu S lên mặt đáy SO  a ; BD  cạnh hình lập phương  a Suy cạnh hình vng ABCD  a 2 1    a a3 V VS.ABCD  Sh   a  khối đa diện  2.VS.ABCD     3   12   Câu 30: Cho tứ diện ABCD tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp AGBC A V  B V  C V  D V  Chọn B  Cách 1: Phân tích: tứ diện ABCD khối chóp AGBC có đường cao khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  Do G trọng tâm tam giác BCD SBGC  SBGD  SCGD  SBCD  3SBGC (xem minh) nên ta có phần chứng Áp dụng cơng thức thể tích hình chóp ta có:  VABCD  h.SBCD  h.S  VABCD BCD SBCD   3  VA.GBC h.S SGBC  VA.GBC  h.SGBC GBC  1  VA.GBC  VABCD  12  3 A Chứng minh: Đặt DN  h; BC  a Từ hình vẽ có: +) MF // ND  MF CM 1 h    MF  DN  MF  DN CD 2 GE BG 2 h h    GE  MF   +) GE // MF  MF BM 3 3 +) SBCD SGBC D B G C B N G E M F C 1 DN BC 2    SBCD  3SGBC 1h GE.BC a 23 +) Chứng minh tương tự có SBCD  3SGBD  3SGCD D D G A C  SBGC  SBGD  SCGD  Cách 2: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word H H1 I B  d  G;  ABC   d  D;  ABC    GI   d  G;  ABC    d  D;  ABC   DI 1 Nên VG ABC  d  G;  ABC   SABC  VDABC  3 Câu 31: Một hình trụ có diện tích xung quanh , diện tích đáy diện tích mặt cầu có bán kính Tính thể tích V khối trụ A V = B V = C V = D V = 10 Đáp án B B , D nhìn A C góc 90° SD = a 5; KD = Ta có: A D2 a2 a ; SC = = = SD a SA + A C = a 1 2a + = Þ AK = (1) 2 SA AD AK S SC = SD + CD Þ tam giác SCD vng D Khi tam giác KDC vng D Þ KC = CD + KD = 2 E a H · Ta có: A K + KC = A C Vậy A KC = 90° Tương · tự A HC = 900 Vậy A C đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK A C = a Þ OA = a V = A D O B C 4 a3 pOA = p = pa 3 2 Câu 32: Ghép khối lập phương cạnh a để khối hộp chữ thập hình vẽ Tính diện tích tồn phần S khối chữ thập A S = 20a K B S = 30a C S = 12a D S = 22a Diện tích mỡi mặt khối lập phương: S = a Diện tích tồn phần khối lập phương: S = 6a Diện tích tồn phần khối chữ thập: S = 5S - 8S = 22a Câu 33: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng với C qua D ; N trung điểm SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần A B C D Đáp án D ìïV = V V SA BIKN Đặt ïí ® = ? ïïV = V NBCDIK V2 ỵ * V S A BCD = S a 6 a = a N 60° A * 1 SO NH S D BMC = S 3 D BMC 1a 6 = a a.2a = 12 V N BMC = I V M DIK V M CBN = D MK = MN MD MI MK 1 = = MC MB MN 2 ® V = V M CBN - V M DIK = a O H M * Nhận thấy K trọng tâm tam giác SMC ® * B K 5 6 V M CBN = a = a 6 12 72 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a C ® V = V S A BCD a 6 7 - V2 = = 72 = a a = a ® V2 72 72 5 a 72 V1 Câu 34: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA   ABCD  , ABCD hình thang vng A B biết AB  2a , AD  3BC  3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) a A 6a3 B 6a3 C 3a3 D 3a3 Dựng AM  CD M Dựng AH  SM H Hướng dẫn giải S a AD  BC  AB  4a 2 Ta có: AH  S ABCD CD   AD  BC  K  AB  2a AB.BC  a 2  S ABCD  S ABC  3a S ACD D A S ABC  M S ACD  2S AM CD  AM  ACD  a 2 CD Ta có: 1    AS  2 AH AM AS AH AM AM  AH B  C a VS ABCD  SA.S ABCD  6a3 Câu 35: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB '  a , góc đường thẳng BB '  ABC  60 , tam giác ABC vng C góc BAC  60 Hình chiếu vng góc điểm B ' lên  ABC  trùng với trọng tâm ABC Thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a 13a 7a3 15a 9a A B C D 108 106 108 208 Hướng dẫn giải Gọi M , N trung điểm AB, AC G trọng tâm ABC  B' C'  B ' G   ABC   BB ',  ABC   B ' BG  600 VA' ABC A' 1  SABC B ' G  AC.BC.B ' G Xét B ' BG vuông G , có B ' BG  600 60° B a (nửa tam giác đều)  B 'G  C G M 60° N A Đặt AB  x Trong ABC vuông C có BAC  600 AB  x, BC  x  tam giác ABC tam giác  AC  3a Do G trọng tâm ABC  BN  BG  Trong BNC vuông C : BN  NC  BC 3a  AC   13 9a x 9a 3a     3x  x  x  16 52 13  BC  3a  13 3a 3a a 9a3  Vậy, VA' ABC  13 13 208 Câu 36: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , biết đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách a từ tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng  A ' BC  Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' 3a 3a 3a 3a A B C D 28 16 Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi M trung điểm BC , ta có  A ' AM    A ' BC  theo giao A' C' tuyến A ' M Trong  A ' AM  kẻ B' OH  A ' M ( H  A ' M )  OH   A ' BC  Suy ra: d  O,  A ' BC    OH  SABC  a a A C H Xét hai tam giác vuông A ' AM O M B OHM có góc M chung nên chúng đồng dạng a OH OM Suy ra:    A' A A' M A' A  A' A  a   A' A A ' A2  AM a 3 A ' A2      a a 3a3 a Thể tích: VABC A ' B 'C '  SABC A ' A   4 16 Câu 37: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Biết thể tích khối chóp a3 Tính khoảng cách h hai đường thẳng BC SA A a B a C 2a 6 Gọi O tâm SO ^ (A BCD ) Đặt V S A BCD = D hình SO = x vng Hướng dẫn giải S ABCD , suy Ta a S có 1 a3 a Û x= S A BCD SO = a x = 3 K Ta có BC P A D nên BC P (SA D ) Do C é ù= d éB , (SA D )ù= 2d éO, (SA D )ù d éëêBC , SA ù ú= d êëBC , (SA D )ú êë ú êë ú û û û û B = OK = Kẻ OK ^ SE Khi d éêO, (SA D )ù ú ë û SO OE SO + OE = a D E O A Vậy d éêBC , SA ù ú ë û= 2OK = 2a Chọn C Câu 38: (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác (SA D ) cân S mặt bên (SA D ) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD A h = a B h = a a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD ) C h = a Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm A D Ta có V = x a ( ) = 43 a 3 a S Suy SH ^ A D Þ SH ^ (A BCD ) Đặt SH = x D h = Þ x = 2a A B K = d éêA, (SCD )ù Ta có d éêB , (SCD )ù ú ú ë û ë û H C D 4a Chọn B = 2d éêH , (SCD )ù = 2HK = ú ë û Câu 39: Cho hình chóp S ABCD có đáy A BCD hình vuông tâm O , cạnh a Cạnh bên SA · vng góc với đáy, góc SBD = 600 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A B SO A a B a C a D Hướng dẫn giải a S Ta có D SAB = D SAD (c - g - c ), suy SB = SD · Lại có SBD = 600 , suy DSBD cạnh SB = SD = BD = a K Trong tam giác vng SA B , ta có E A SA = 2 SB - A B = a Gọi E trung điểm A D , suy OE P A B AE ^ OE O B Do é ù= d éA, (SOE )ù d éêëA B , SO ù ú ú êë ú û= d ëêA B , (SOE )û û http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word C D Kẻ AK ^ SE Khi d éêA, (SOE )ù ú= A K = ë û SA A E SA + A E = a Chọn D Câu 40: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy A BCD hình vng cạnh a , A A ' = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng BD CD ' A a B 2a C 2a D a Hướng dẫn giải Gọi I điểm đối xứng A qua D , suy BCID hình bình hành nên BD PCI é ù= d éD, (CD ' I )ù Do d éêëBD,CD 'ù ú êë ú û= d êëBD, (CD ' I )ú û û = DK Kẻ DE ^ CI E , kẻ DK ^ D ' E Khi d éêD, (CD ' I )ù ú ë û D' A' C' B' K D A I E B C Xét tam giác IA C , ta có DE P A C (do vng góc với CI ) có D trung điểm A I nên suy DE đường trung bình tam giác Suy DE = Tam giác vuông D ' DE , có DK = D ' D.DE D ' D + DE = A C = a 2a Chọn C Câu 41: Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng (a ) qua A, B trung điểm M SC Tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng là: A Kẻ MN PCD B (N C Hướng dẫn giải D S Ỵ CD ), suy hình thang A BMN thiết diện khối chóp Ta có V S A BMN = V S A BM + V S A MN N M D C A B Mà V S A BM V S A BC = SM = SC Suy V S A BM = Và V S A MN V S A CD = 1 V S A BC = V S A BCD SM SN 1 = Þ V S A MN = V S A BCD SC SD Suy V S A BMN = 1 V S A BCD + V S A BCD = V S A BCD 8 Từ suy V A BMNDC = V V S A BCD nên S A BMN = V A BMNDC Chọn D · = 1200 Góc Câu 42: Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh , BAD đường thẳng AC ' mặt phẳng (ADD ' A ') 300 Tính thể tích khối lăng trụ A V = B V = C V = D V = Hướng dẫn giải · = 1200 , suy ADC · = 600 Hình thoi ABCD có BAD Do tam giác ABC ADC tam giác Vì N trung điểm A ' D ' nên C ' N ^ A' D ' A' D' C' C ' N = · · ', AN = C·' AN Suy 300 = AC ',(ADD ' A ') = AC Tam giác C ' AN , có AN = B' N C 'N tan C·' AN = A B C D Tam giác AA ' N , có AA ' = AN - A ' N = · = Diện tích hình thoi S ABCD = AB sin BAD Vậy VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD AA ' = (đvtt) Chọn C Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD A a 21 14 B a C a 21 Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D a trung điểm SI ^ AD Þ SI ^ (ABCD ) Gọi I suy Do é ù é ù d [BD, SA]= d éëBD,(SAx )ù û= d ëD,(SAx )û= 2d ëI ,(SAx )û Kẻ IE ^ Ax , kẻ IK ^ SE Khi d éëI ,(SAx )ùû= IK Gọi IE = IF = F hình chiếu AO a = S Ax P BD Kẻ nên AD I D BD , ta có x SI IE SI + IE = a 21 14 C F O I E Tam giác vuông SIE , có IK = Vậy d [BD, SA]= IK = K A B a 21 Chọn C Câu 44: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3) Cho hình lăng trụ có tất cạnh a , đáy lục giác đều, góc tạo cạnh bên mặt đáy 60 Tính thể tích khối lăng trụ 27 3 3 a A V  B V  C V  a D a a 4 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có ABCDEF lục giác nên góc đỉnh 120 ABC tam giác cân B , DEF tam giác cân E a2 S ABC  S DEF  a.a.sin120  A' F' B' AC  AB2  BC  AB.BC.cos B E' C' D'  1  a  a  2.a.a     a  2 A S ACDF  AC AF  a 3.a  a a2 a 3a S ABCDEF  S ABC  S ACDF  S DEF  a 3  4 a B ' BH  60  B ' H  BB '.sin 60  Suy V  BH '.SABCDEF  a F 60° B H C E D 3a2  a 4 Câu 45: (NGUYỄN TRÃI – HD) Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm , đường kính đáy 4cm , lượng nước cốc cao 8cm Thả vào cốc nước viên bi có đường kính 2cm Hỏi nước dâng cao cách mép cốc xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy chữ số thập phân, bỏ qua độ dày cốc) A 2,67cm B 2,75cm C 2, 25cm D 2,33cm Hướng dẫn giải Chọn A Lượng nước dâng lên tổng thể tích viên bi thả vào 16 cm3 Vb   rb3  3 Dễ thấy phần nước dâng lên hình trụ có đáy với đáy cốc nước thể tích 16 cm3 16   r hd nên hd  cm Chiều cao phần nước dâng lên hd thỏa mãn: 3 Vậy nước dâng cao cách mép cốc 12     2, 67 cm 3 Câu 46: (CHUYÊN BẮC GIANG) Cho tứ diện cạnh a điểm I nằm tứ diện Tính tổng khoảng cách từ I đến mặt tứ diện A a a B C a D Hướng dẫn giải Chọn B AH  a 34 S 2 a a AM   3 SH  SA2  AH  a  a2 a  3 A a a a3  12 Ta có VSABC  S ABC SH  Mặt C I H M khác, VSABC  VISAB  VIABC  VISAC  VISBC  S ABC d  I ;  SAB    d  I ;  ABC    d  I ;  SAC    d  I ;  SBC    d  I ;  SAB    d  I ;  ABC    d  I ;  SAC    d  I ;  SBC    B 3VSABC S ABC a3 a  12  a (CHUN KHTN L4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân, AB  AC  a , SC   ABC  SC  a Mặt phẳng qua C , vng góc với SB cắt SA, SB lần Câu 47: lượt E F Tính thể tích khối chóp S.CEF A VSCEF  2a 36 B VSCEF  a3 18 C VSCEF  a3 36 Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D VSCEF  2a 12 Chọn đáp án C Từ C hạ CF  SB,  F  SB  , CE  SA,  E  SA  AB  AC  AB   SAC   AB  CE  CE   SAB   CE  SB  AB  SC Ta có  Vậy mặt phẳng qua C vng góc SB mặt  CEF  Ta có Tam S VSCEF SE SF  VSCAB SA SB giác vuông F SAC vuông C ta a có: SA  SC  AC  a E B SE SC a2 SE     SA SA SA 2a Tam giác vuông SBC C a vuông C ta có: a A SB  SC  BC  a SF SC a2 SF     2 SB SB SC 3a Do VSCEF 1 1 1    VSCEF  VSABC  SA.S ABC  a3 VSCAB 6 36 Câu 48: (CHUYÊN VINH – L2) Cho hình lăng trụ ABC ABC tích V Các điểm M , N , P AM BN CP thuộc cạnh AA , BB , CC  cho  ,   Thể tích khối đa diện AA BB CC  ABC.MNP 20 11 A V B V C D V V 16 27 18 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt V1  VM NPCB  d  M ,  CC BB   S NPCB 2  d  M ,  CC BB   SCC BB  V 3 V2  VM ABC  d  M ,  ABC   S ABC 1  d  A,  ABC   S ABC  V 11 Vậy VABC MNP  V1  V2  V  V  V A' B' C' N M P B A C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word