Ứng dụng đạo hàm vào các bài toán thực tế

Ứng dụng đạo hàm vào các bài toán thực tế Ứng dụng đạo hàm vào các bài toán thực tế Ứng dụng đạo hàm vào các bài toán thực tế Ứng dụng đạo hàm vào các bài toán thực tế Ứng dụng đạo hàm vào các bài toán thực tế

3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ Mở đầu Tốn học bắt nguồn từ thực tiễn lí thuyết tốn học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tế sống Trong năm gần đây, theo xu kỳ thi THPT Quốc gia mơn Tốn, số lượng câu hỏi mang tính vận dụng thực tiễn ngày nhiều Điều gây khó khăn định cho em học sinh làm thi môn Toán, kể học sinh giỏi Bởi lẽ, ngồi việc nắm kiến thức mơn Tốn với môn học khác, học sinh cần phải biết cách mơ hình hóa tốn học toán thực tế để đưa toán thực tiễn tốn tốn học mà chương trình sách giáo khoa hành, số lượng tập mang tính vận dụng thực tiễn hạn chế Hơn nữa, số lượng câu hỏi thực tế vận dụng kiến thức “Đạo hàm” đề thi tương đối nhiều Nhận thấy cần thiết việc trang bị cho em học sinh, đặc biệt học sinh lớp 12 chuẩn bị bước vào kỳ thi quan trọng, cung cấp thêm cho thầy cô giáo tài liệu ôn thi THPT QG Trong khuôn khổ tài liệu này, tìm hiểu “Ứng dụng Đạo hàm” không Tốn học mà cịn ngành khoa học kỹ thuật khác, lẽ Đạo hàm không dành riêng cho nhà Toán học mà Đạo hàm ứng dụng nhiều sống ngành khoa học khác Ví dụ như: Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa định đầu tư đắn hay đưa dự báo; nhà hoạch định chiến lược muốn có thơng tin liên quan đến tốc độ phát triển gia tăng dân số vùng miền; nhà Hóa học muốn xác định tốc độ phản ứng hóa học hay nhà Vật lí cần làm để tính toán vận tốc, gia tốc chuyển động ? Và nữa, thực tiễn đời sống có nhiều tốn liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao phải tính tốn để làm cho chi phí sản xuất thấp mà lợi nhuận đạt cao nhất, … Theo hình thức thi trắc nghiệm nay, ngày có nhiều tốn ứng dụng thực tế đưa vào đề thi THPT Quốc Gia, có phần ứng dụng Đạo hàm Tài liệu giúp cho em học sinh lớp 12 chuẩn bị bước vào kì thi THPT Quốc Gia làm quen với toán ứng dụng thực tế mức độ vận dụng vận dụng cao Chúng ta tìm hiểu, khám phá mở mang thêm cho hiểu biết ứng dụng đạo hàm thơng qua bố cục trình bày sau: • Tóm tắt lí thuyết kiến thức liên quan đến đạo hàm • Các tốn thực tế ứng dụng đạo hàm Trong trình nghiên cứu đề tài, tác giả tham khảo nhiều tài liệu nhiều tác giả Nhân đây, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy tác giả nói Mặc dù cẩn thận, nghiêm túc tính tốn cách trình bày chắn tài liệu khơng tránh khỏi thiếu sót định Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô, em học sinh bạn đọc để tài liệu hoàn thiện 1/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Nội dung 2.1 Định nghĩa đạo hàm hàm số điểm Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; b ) điểm x0  ( a; b ) tồn giới hạn lim x →x f (x ) − f (x0 ) hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f ( x ) x0 x − x0 Ký hiệu y '( x0 ) = lim x →x0 f ( x) − f ( x0 ) f ' ( x0 ) x − x0 Lưu ý: Nếu hàm số có đạo hàm khoảng ( a; b ) liên tục khoảng ngược lại chưa 2.2 Các quy tắc tính đạo hàm Chú ý: u = u ( x ) , v = v ( x ) • (u  v ) ' = u ' v ' • (u.v ) ' = u '.v + u.v ' (ku ) ' = ku ' ' ' k v '  u  u '.v − v '.u k    = − ; ( v  ) •  = v2 v v  v BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THƯỜNG GẶP Hàm số Hàm số hợp (C ) ' = (C số) ( x)' = ( x ) = .x (u ) =  u    x  = − x2 với x     x = với x>0 x (sin x ) = cos x u    u  = − u với u    u  u = với u>0 u (sin u ) = u .cos u (cos x ) = − sin x (cos u ) = −u.sin u  ( tan x ) = với x  + k  cos x  (cot x) = − với x  k  sin x (ln x ) = với x  x với x  ( ) log x  ( ex ) = ex ( tanu ) =  −1   ( ) x  −1 u  ( ) u  với u  + k cos2 u u  (cot u ) = − với u  k sin u  u (ln u ) = với u  u u với u  ( a ) log u  (e u ) = u.e u  = a x.ln a u  u ( a ) = u '.a ln a (a ) Tiếp theo xin trình bày cách tìm GTLN, GTNN hàm số biến đạo hàm, kỹ quan trọng để ứng dụng giải Bài toán thực tế 2/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 2.3 Định nghĩa GTLN, GTNN Cho hàm số y = f ( x) xác định khoảng K (đoạn, khoảng, nửa khoảng) + Nếu có x0  K cho f ( x )  f ( x0 ) , x  K f ( x0 ) gọi giá trị lớn hất hàm số khoảng K Kí hiệu: max y = f ( x0 ) K + Nếu có x0  K cho f ( x )  f ( x0 ) , x  K f ( x0 ) gọi giá trị nhỏ hất hàm số khoảng K Kí hiệu: y = f ( x0 ) K 2.4 Phương pháp tìm GTLN, GTNN Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng K: Phương pháp: Lập bảng biến thiên khoảng K, nhìn để kết luận max, Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x) đoạn a; b  : Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên khoảng kết luận Phương pháp 2: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] ta có bước làm sau: Tính đạo hàm hàm số y = f ( x) cho Tìm điểm x1; x ; ; x n đoạn a; b  , f ' ( x ) = f ' ( x ) khơng xác định Tính: f ( a) ; f ( x1); f ( x2); ; f ( xn ); f ( b) Tìm số lớn M số nhỏ m số (ở mục 3) Khi đó: M = max f ( x ) ;m = f ( x )  a ;b  a; b Chú ý: Hàm số y = f ( x) liên tục đoạn a; b  hàm số f(x) tồn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tất giá trị trung gian nằm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f(x) đoạn Nếu đề khơng cho rõ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng, đoạn cón nghĩa ta tìm GTLN, GTNN hàm số tập xác định hàm số min f ( x) = f ( a) Tính đạo hàm y ' Nếu y '  0, x  a; b    max f ( x) = f ( b) min f ( x) = f ( b) Tính đạo hàm y ' Nếu y '  0,x   a;b    max f ( x) = f ( a ) Ngoài cần trang bị thêm số kiến thức bất đẳng thức để giải nhanh hơn: 2.5 Bất đẳng thức Cauchy cho số Hai số: Với A, B  ta ln có A + B  AB , dấu xảy A = B Ba số: Với A, B, C  ta ln có A + B + C  3 ABC , dấu xảy A = B = C 2.6 Một số toán vận dụng Ý tưởng giải cố gắng thiết lập hàm số biến sau ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN Bài 1: Một cơng ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2.000.000 đồng tháng hộ có người thuê lần tăng giá cho thuê 3/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ hộ 100.000 đồng tháng có thêm hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, cơng ty phải cho th với giá hộ bao nhiêu? A 2.250.000 B 2.350.000 C 2.450.000 D 2.550.000 Lời giải: Gọi x giá thuê thực tế hộ, ( x : đồng ; x  2000.000 đồng) Ta lập luận sau: Tăng giá 100.000 đồng có hộ bị bỏ trống Tăng giá x − 2.000.000 đồng có hộ bị bỏ trống Theo quy tắc tam xuất ta có số hộ bị bỏ trống là: 2( x − 2.000.000) x − 2.000.000 = 100.000 50.000 Do cho thuê với giá x đồng số hộ cho thuê là: x − 2.000.000 x 50 − =− + 90 50.000 50.000 Gọi F ( x ) hàm lợi nhuận thu cho thuê hộ, (F(x): đồng) x  Ta có: F (x ) =  − x2 + 90x ( số hộ cho thuê nhân với + 90 x = − 50.000  50.000  giá cho thuê hộ) Bài toán trở thành tìm GTLN F ( x ) = − x + 90x , ĐK: x  2.000.000 50.000 F ' (x ) = − x + 90 25.000 F ' (x ) =  − x + 90 =  x = 2.250.000 25.000 Bảng biến thiên: X 2.000.000 2.250.000 + F’(x) − + F(x) F max Suy F(x) đạt giá trị lớn x = 2.250.000 Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng hộ lãi lớn Chọn A Nhận xét: Sau tìm hàm F (x ) = − x + 90x Ta không cần phải khảo sát vẽ 50.000 bảng biến thiên Đề cho bốn đáp án x, ta dùng phím CALC MTCT để thay giá trị vào, làm cho F(x) lớn giá trị cần tìm Bài 2: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng Phú Thọ với giá bán 50.000 đồng Với giá bán cửa hàng bán khoảng 40 bưởi Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm 5000 đồng số bưởi bán tăng thêm 50 Xác định giá 4/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ bán để cửa hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá nhập ban đầu 30.000 đồng A 44.000đ B 43.000đ C 42.000đ D 41.000đ Lời giải: Gọi x giá bán thực tế bưởi Đoan Hùng, (x: đồng; 30.000  x  50.000 đồng) Ta lập luận sau: Giá 50.000 đồng bán 40 bưởi Giảm giá 5.000 đồng bán thêm 50 Giảm giá 50.000 – x bán thêm quả? Theo quy tắc tam xuất số bán thêm là: 50 = (50000 − x ) (50000 − x ) 5000 100 Do Số bưởi bán tương ứng với giá bán x: 1 40 + (50000 − x ) = − x + 540 100 100 Gọi F ( x) hàm lợi nhuận thu ( F ( x) : đồng)   x + 540  ( x − 30.000 ) = − x + 840x − 16.200.000 Ta có: F (x ) =  − 100  100  Bài tốn trở thành tìm GTLN F (x ) = − x + 840x − 16.200.000 , Đk: 30.000  x  50.000 100 F ' (x ) = − x + 840 50 F ' (x ) =  − x + 840 =  x = 42.000 50 Vì hàm F(x) liên tục 30.000  x  50.000 nên ta có: F ( 30.000) = F ( 42.000 ) = 1.440.000 F ( 50.000) = 800.000 Vậy với x = 42.000 F ( x ) đạt GTLN Vậy để cửa hàng thu lợi nhuận lớn giá bán thực tế bưởi Đoan Hùng 42.000 đồng Chọn C Bài 3: Một xe khách từ Việt Trì Hà Nội chở tối đa 60 hành khách chuyến Nếu 5m   chuyến chở m hành khách giá tiền cho hành khách tính  −    30 đồng Tính số hành khách chuyến xe để nhà xe thu lợi nhuận chuyến xe lớn nhất.? A 30 B 40 C 50 D 60 Lời giải: Gọi x số hành khách chuyến xe để số tiền thu lớn nhất, (0  x  60) 5/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Gọi F(x) hàm lợi nhuận thu (F(x): đồng) Số tiền thu : 5x  25  F ( x ) =  300 −  x = 90.000 x −1500x + x 2  Bài toán trở thành tìm x để F(x) đạt giá trị lớn 75 F ' (x ) = 90000 − 3000x + x  x = 120(loai) 75 F ' (x ) =  90000 − 3000x + x =   x = 40(t/ m) Bảng biến thiên X F’(x) F(x) + 40 F max 60 − Vậy để thu số tiền lớn chuyến xe khách phải chở 40 người Chọn B Bài 4: Một công ty chuyên sản xuất thùng phi nhận đơn đặt hàng với yêu cầu thùng phi phải chứa 16 (m3 ) Hỏi thùng phải có kích thước để sản suất tốn vật liệu nhất? A R = 2( m) , h = ( m) B R = 4( m) , h = ( m) C R = 3( m ) , h = ( m ) D R = 4( m) , h = 4( m) Lời giải: Do thùng phi có dạng hình trụ nên: Vtru =  R2 h = 16  h = 16 , (1) R2 Diện tích tồn phần thùng phi là: STp = R +  Rh =  R ( h + R ) , ( 2) Thay (1) vào (2) ta được:  16   16  S Tp = R  + R  =   + R  R   R  16 4   S ' Tp = 2  − + R  = ( R − )  R  R 4 S ' Tp =  (R − ) =  R = R Bảng biến thiên R + S(R) in Vậy để sản xuất thùng phi tốn vật liệu R= 2(m) chiều cao h = (m) Chọn A 6/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Bài 5: Gia đình ơng Thanh ni tơm với diện tích ao ni 100m Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật độ 1(kg / m ) tôm giống sản lượng tôm thu hoạch khoảng tôm Với kinh nghiệm nuôi tôm nhiều năm, ông cho biết thả giảm ( 200 g / m2 ) tôm giống sản lượng tơm thu hoạch 2,2 tơm Vậy vụ tới ông phải thả kg tôm giống để đạt sản lượng tôm cho thu hoạch lớn nhất? (Giả sử khơng có dịch bệnh, hao hụt nuôi tôm giống) 230 A B 70kg C 72kg D 69kg kg Lời giải: Số Kg tôm giống mà ông Thanh thả vụ vừa qua: 100.1= 100(kg) Gọi x (00, m) Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên cắt trục đáy O, O tâm mặt câu Ta có: OS = 5m, nên OI = h − 5, với I giao đường chéo đáy Vì tam giác OIC vng nên ta có: IC = OC − OI = 52 − (h − 5)  2 x = 10h − h 2  x = 20h − 2h , (5  h  10 ) Ta tích khối chóp tứ giác đều: 1 V ( h ) = Bh = 20 h − h h = (20 h − h ) 3 Bài toán trở thành tìm h để V(h) đạt GTNN ( ) 12 12/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 40 h − 6h2 ) 3( 20 V ' ( h ) =  (40 h − h2 ) =  h = 3 BBT h 20 + V '( h) V '( h) = V (h) 10 − Vmax Vậy chọn chiều cao h = 20 (m ) Chọn A Bài 14: Khi nuối cá thí nghiệm hồ, nhà khoa học nhận thấy rằng: đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P ( n ) = 480 − 20n ( g ) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? A 14 B 13 C 12 D 11 Lời giải: Gọi F ( n ) hàm cân nặng n cá sau vụ thu hoạch đơn vị diện tích Ta có: F ( n) = ( 480 − 20n) n = 480n − 20n Để sau vụ thu hoạch nhiều cá cân nặng n cá đơn vị diện tích mặt hồ lớn Bài tốn trở thành tìm n  cho F(x) đạt GTLN F ' (n ) = 480 − 40n F ' (n ) =  480 − 40n =  n = 12 Học sinh tự lập bảng biến thiên Vậy phải thả 12 cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá Chọn C Bài 15: (Trích luận văn thạc sĩ Nguyễn Văn Bảo): Một khúc gỗ trịn hình trụ cần xẻ thành xà có tiết diện ngang hình vng miếng phụ hình vẽ Hãy xác định kích thước miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn Biết đường kính khúc gỗ d A Rộng 34 − , dài d 16 − 17 d d 13 13/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 34 − B Rộng d , dài 15 34 − d , dài 14 C Rộng − 17 d − 17 d D Rộng 34 − d , dài 13 − 17 d Lời giải: Gọi chiều dài chiều rộng miếng phụ x, y Đường kính khúc gỗ d, d tiết diện ngang xà có độ dài cạnh ( d 2− ) d ,0  y  Theo đề ta hình chữ nhật ABCD hình vẽ, theo định lý Pitago ta có: 0 x d   2 d − x2 − x 2 x+  + y = d  y= 2  Do đó, miếng phụ có diện tích là: S (x) = d − 8x − 2dx với  x  ( d 2− 2 Bài toán trở thành tìm x để S(x) đạt GTLN Ta có: S '( x) = = d − x − 2dx + ) ( x − 8x − 2d ) d − 8x − 2dx − 16x2 − 2dx + d 2 d − 8x − 2dx x x S ' ( x ) =  −16 x − 2dx + d =  −16   −   + = d   d  x= BBT X S’(x) 34 − d 16 ( − 2) d 34 − d 16 + S(x) Vậy miếng phụ có kích thước x = S max − 34 − − 17 d ,y = d 16 Chọn A 14 14/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Bài 16: Nhà Long muốn xây hồ chứa nước có dạng khối hộp chữ nhật có nắp đậy tích 576m3 Đáy hồ hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Giá tiền th nhân cơng để xây hồ tính theo m2 500.000 đồng/m2 Hãy xác định kích thước hồ chứa nước cho chi phí th nhân cơng chi phí bao nhiêu? A Rộng 6m, dài 12m, cao 8m Tiền: 216 triệu B Rộng 6m, dài 12m, cao 8m Tiền: 215 triệu C Rộng 6m, dài 12m, cao 8m Tiền: 214 triệu D Rộng 6m, dài 12m, cao 8m Tiền: 213 triệu Lời giải: Gọi x, y, h chiều dài, chiều rộng, chiều cao hồ chứa nước, ( x  0, y  0, h  0, m ) Ta có: y =  y = 2x x Thể tích hồ chứa nước V = xyh  h = 576 288 V = = xy x ( 2x ) x Diện tích cần xây dựng hồ chứa nước: 288 288 1728 + ( x) = x + x x x Để chi phí nhân cơng diện tích cần xây dựng nhỏ nhất, mà đạt thể tích mong muốn Bài tốn trở thành tìm x để S ( x ) nhỏ S ( x) = xy + xh + yh = 2x ( x) + x 1728 x 1728 =  S ' ( x ) 8x − =  x = x BBT X S’(x) − S ( x ) = 4x + + + S(x) S Vậy kích thước hồ là: rộng 6m, dài 12m, cao 8m Diện tích cần xây: 432m2 Chi phí là: 432 x500.000 = 216.000.000 Chọn A Bài 17: Một công ty chuyên sản xuất container muốn thiết kế thùng gỗ đựng hàng bên có dạng hình hộp chữ nhật khơng có nắp, có đáy hình vng Thùng gỗ 62,5m3 Hỏi cạnh hình hộp chữ nhật có độ dài để tổng diện tích xung quanh diện tích mặt đáy thùng nhỏ nhất? A Cạnh bên: 2,5m , cạnh đáy: 5m B Cạnh bên: 4m, cạnh đáy: 10 m 15 15/20 3/11/22, 10:27 PM C Cạnh bên: 3m, cạnh đáy: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 10 m D Cạnh bên: 5m, cạnh đáy: 2 m Lời giải: Gọi x, h độ dài cạnh đáy hình vng, chiều cao thùng gỗ, ( x  0, h  0, ( m ) ) V 62,5 = x2 x Diện tích xung quanh diện tích mặt đáy thùng là: S ( x ) = x + 4xh Thể tích thùng gỗ: V = x h  h = 62,5 x2 250 = x2 + x Bài toán trở thành tìm x để S(x) nhỏ 250 S ' (x ) = 2x − x 250 S ' (x ) =  2x − =  x = x BBT X S’(x) − = x2 + x + + S(x) S Vậy để tổng diện tích xung quanh diện tích đáy thùng nhỏ cạnh đáy 5m, chiều cao 2,5m Chọn A Bài 18: Tìm diện tích lớn hình chữ nhật nội tiếp nửa đường trịn bán kính R, cạnh hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính hình trịn mà hình chữ nhật nội tiếp? A 2R B 5R2 C R D 3R Lời giải: Gọi x độ dài cạnh hình chữ nhật khơng nằm dọc theo đường kính hình trịn (0  x  R ) Độ dài cạnh cịn lại hình chữ nhật R − x Ta có diện tích hình chữ nhật là: S ( x ) = 2x R2 − x2 Bài tốn trở thành tìm x để S(x) đạt GTLN 16 16/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ S ' ( x ) = R2 − x2 − S ' (x ) =  BBT: X 2x R2 − x2 = 2R − x R2 − x2  R (t/ m) x = =  2R − x =    R2 − x2 −R (loai) x =  2 R2 − x2 S’(x) S(x) + R 2 R2 R − Vậy diện tích lớn hình chữ nhật R Bài 19: (Đề thi thử Việt Trì lần I): Để thiết kế bể cá hình chữ nhật có chiều cao 60cm, thể tích 96.000cm , người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng/m2 loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/m2 Chi phí thấp để hồn thành bể cá là: B 382.000 đồng A 83.200.000 đồng C 83.200 đồng C 8.320.000 đồng Lời giải: V 96.000 =1600 cm = 0,16m Diện tích đáy hộp là: S = = 60 h 0,16 Gọi chiều dài cạnh đáy hộp x, ( x  0, m ) Chiều rộng hộp x Gọi F ( x ) hàm chi phí để làm để cá Chi phí để hồn thành bể cá: F ( x ) = 0,16 100.000 + 2.0, 6x.70.000 + 2.0,6 13440 x Bài tốn trở thành tìm x để F(x) đạt GTNN 13440 F ' (x ) = 84.000 − x2 13440 =  x = 0, F ' (x ) =  84.000 − x2 BBT X 0,4 F’(x) − 0,16 70.000 x = 16.000 + 48.000 x + + + F(x) Fmin Vậy chi phí thấp để hồn thành bể cá là: 83.200 đồng 17 17/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Bài 20: Người ta muốn mạ vàng cho hộp có đáy hình vng khơng có có nắp tích chứa 4dm Tìm kích thước thùng để lượng vàng mạ Giả sử độ dày lớp mạ nơi mặt hộp nhau: A Cạnh đáy: 2dm, cao: 1dm B Cạnh đáy: 2dm, cao: 2dm C Cạnh đáy: 1dm, cao: 2dm D Cạnh đáy: 2dm, cao: 3dm Lời giải: Gọi: Độ dài cạnh đáy hộp x, ( x  0, dm ) Chiều cao hộp h, (h  0, dm ) S(x) diện tích hộp cần mạ ( dm2 ) Ta có khối lượng cần mạ là: ( Pvang d ) S ( x ) = C.S ( x ) Với C số, Pvang khối lượng riêng vàng Ta có: Khối lượng vàng cần mạ tỉ lệ thuận với S ( x ) Thể tích hộp V = x 2h  h = V = x2 x2 16 +x x Bài tốn trở thành tìm x để S ( x ) đạt giá trị nhỏ S ( x) = xh + x2 = −16 + 2x x2 −16 S ' (x ) =  + 2x =  x = x BTT: S ' (x ) = X S’(x) − + + S(x) S Vậy để tiết kiệm lượng vàng cần mạ chũng ta phải sản xuất hoppj có kích thước cạnh đáy: x = 2dm, cao : h = 1dm Chọn A 2.7 Bài tập tự giải Bài 21: Ông Thanh ni cá chim ao có diện tích 50m Vụ trước ông nuôi với mật độ 20 con/m2 thu 1,5 cá Theo kinh nghiệm ni cá thả giảm / m cá thu hoạch tăng lên 0,5kg Vậy vụ tới ông phải thả cá giống để tổng suất thu hoạch cao nhất? Giả sử khơng có hao hụt ni A 512 B 511 C 510 D 509 Chọn A 18 18/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Bài 22: Người ta cần làm hộp theo dạng khối lăng trụ khơng nắp với thể tích lớn từ miếng tơn hình vng có cạnh mét Thể tích hộp cần làm A V = B V = C V = D V = dm3 dm3 dm dm3 27 27 27 27 Chọn A Bài 23: (Đề minh học HSG Phú Thọ 2016-2017) Một người nơng dân có ba lưới thép B40, dài a ( m) muốn rào mảnh vườn dọc bờ sơng có dạng hình thang cân ABCD hình vẽ (Bờ sơng đường thẳng CD khơng phải rào) Hỏi ơng ta rào mảnh vườn có diện tích lớn m2 ? A B D A 3a2 C B 3a C 3a 2 D 3 a2 Chọn D Bài 24: Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ điểm A bờ đến điểm B đảo Hòn đảo cách bờ biển 6km Giá thành để xây đường ống bờ 50.000USD km, 130.000USD km để xây nước B’ điểm bờ cho BB’ vng góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B’ 9km Vị trí C đoạn AB’ cho nối ống theo hướng ACB số tiền Khi C cách A đoạn bằng: A 9km B 6,5km C 5km D 4km Chọn B Bài 25: Một gia đình cần xây bể nước hình trụ chứa 150m có đáy làm bê tơng, thành làm tơn, bề mặt làm kính Tính chi phí thấp cần dùng để xây bể nước biết giá thành vật liệu làm bê tơng có giá thành 100.000 đồng/m2, làm tôn 90.000 đồng/m2, bề mặt làm làm kính 120.000 đồng/m2 (số tiền để xây tính lấy giá trị lớn gần với số tiền tính tốn lí thuyết) A 15.041.000đ B 15.040.000đ C 15.039.000đ D 15.038.000đ Chọn C Bài 26: Có gỗ hình vng có độ dài cạnh 2m Cắt gỗ thành gỗ có hình dạng tam giác vng cho tổng cạnh tam giác vuông cạnh huyền gỗ tam giác vng 1,2m Hỏi cạnh huyền gỗ tam giác vng để tam giác vng có diện tích lớn A 0,8m B 0,9m C 1m D 1,1m Chọn A 19 19/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Bài 27: Anh Tn muốn xây dựng hố ga khơng có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật tích 3200cm3, tỉ số chiều cao chiều rộng hố ga Xác định diện tích đáy hố ga để xây hố tiết kiệm nguyên liệu A 170cm2 B 160cm2 C 150cm2 D 140cm2 Chọn B Bài 28: Một trung tâm thương mại bán 2500 ti vi năm Chi phí gửi kho 100.000 đồng ti vi năm Để đặt hàng chi phí cố định cho lần đặt 200.000 đồng cộng thêm 90.000 đồng ti vi Trung tâm nên đặt hàng lần năm lần để chi phí hàng tồn kho Biết lần đặt hàng có nửa số trưng bày cửa hàng A Đặt hàng 25 lần, lần 100 ti vi B Đặt hàng 20 lần, lần 125 ti vi C Đặt hàng 10 lần, lần 250 ti vi D Đặt hàng 50 lần, lần 50 ti vi Chọn A Bài 29: Mùa công ty sách định trắc nghiệm Lý Toán với giá sản xuất 200.000 đồng 1 300.000 đồng Khi hàm lợi ích u ( x; y ) = x y , với x, y số lượng hai sách in Nhưng ban quản trị đồng ý đưa số tiền 300.000.000 đồng Theo bạn phải sản xuất số lượng để đạt doanh thu cho công ty sách cao nhất? 5 2000  3001   3000  triệu B  C  A    triệu  triệu       Chọn A Bài 30: Có hai cột dựng mặt đất cao 1m 4m, đỉnh hai cột cách 5m Người ta chọn vị trí mặt đất (nằm hai chân cột) để giăng dây nối đến hai A đỉnh cột để trang trí hình Tính độ dài dây ngắn 2001 6 D   triệu   B x A 41 C 29 Chọn A B 37 D C E D 20 20/20 ... bày cách tìm GTLN, GTNN hàm số biến đạo hàm, kỹ quan trọng để ứng dụng giải Bài toán thực tế 2/20 3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 2.3 Định nghĩa GTLN, GTNN Cho hàm. ..3/11/22, 10:27 PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Nội dung 2.1 Định nghĩa đạo hàm hàm số điểm Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; b ) điểm x0... PM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ bán để cửa hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá nhập ban đầu 30.000 đồng A 44.000đ B 43.000đ C 42.000đ D 41.000đ Lời giải: Gọi x giá bán thực tế