4 4r Để bồn chứa dầu được làm ra tốn ít nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của chiếc bồn hình trụ phải nhỏ nhất.... Lời giải b Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện tan B [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _ KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP TÍNH THPT NĂM 2021
ĐÈ THỊ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 180 phút, không kế thời gian giao đề
Câu 1 (4 điểm)
a) Cho hàm số y=2(x+l)[ 4x” +4(m+2)x+5m+T7 |+4 có đồ thị là (C„), với m là tham số Cho đường thẳng (đ): y=2x+6 và điểm /(-3;4) Tìm m để (d) cắt (C„) tại ba điểm phân biệt A(—1;4), B, C sao cho tam giác /BC có diện tích bằng 4
b) Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn chứa dầu hình trụ có thể tích bằng “Tớ Tìm bán
kính đáy của bồn chứa dầu sao cho bồn chứa dầu được làm ra tốn ít nguyên vật liệu nhất
Câu 2 (4 điểm)
a) Cho ham số ƒ(x) = x`~3x+2 và hai số thực z ,ð thỏa mãn các điều kiện: a >20219%zø° >Ị; F(10B 392, 4) +2 = f(lOB 997 8) Tinh 1ogs5,,(a +b)
b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện tan Ö = an
một góc tù và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác 4BC, biết rằng BC =6
Câu 3 (4 điểm)
a) Một hộp đựng 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10 Lấy ra n quả cầu trong 10 quả cầu đó, biết
xác suất lấy được ít nhất một quả cầu mà số ghi trên đó chia hết cho 5 trong ø quả cầu được lấy ra là ;
Chứng minh A4BC có
Tim n
b) Tính giới hạn 7 = lim —4x +2x° - 7x? +6x—- 1
a2 vl2x- 15+3x?—14x+13 Câu 4 (4 điểm)
Cho hinh chép S.ABC có đáy 4BC là tam giác vuông tại 4, góc ŠBÄ = SẼA = 909 4B=av6,
AC =a3 , khoảng cách từ C đến (SAB) bằng 125,
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Goi O, M⁄ lần lượt là trung điểm của 8C, SC; (P) là mặt phẳng chứa BM và song song với ÁO
Gọi góc giữa SB và (P) là œ Tinh sina
©) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp M.4BC
Câu 5 (2 điểm)
fF" _ 307 +x-3y=6
3x? +48 —2.|6y+24 =4'/6—x Câu 6 (2 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn aÖ > và c(a+b+c)23
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức pant, “ta + 6in(a+b+2) +a l+b
=xEs=see=ErgErccscczE-Ef HE aves
- Tht sinh khéng được sử aie tài liệu và máy tính cầm tay
-_ Giám thị không giải thích gì thêm
Trang 2
ĐÈ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2021 - 2022
MON THI: TOAN(BANG A)
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đê)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Lời giải được thực hiện bởi tập thể quý thầy cô: Trường Giang, Quỳnh Hương, Trần Xuân Thiện, Ký
Câu 1
Tổng, Đường Ngọc Lan và Anh Tuấn
a) Cho ham sé y = 2(x+1)[ 427 +4(m+2)x+5m+7|+4 có đồ thị là (C„) với m là tham số Cho
đường thăng (đ):y=2x+6 và điểm /(-3;4) Tìm m để (đ) cắt (C„) tại ba điểm phân biệt
A(-1:4) B, C sao cho tam giác /BC có diện tích băng 4
Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của đường thắng (đ) và đô thị (C„):
2(x+1)[ 4x? +4(m+2)x+5m+7|+4=2x+6
©2(x+l1)| 4x +4(m+2)x+5m+7|~2(x+1)=0
x=-l
4x’ +4(m+2)x+5m+6=0 (*) |
Đường thắng (đ) cắt đô thị (C„) tại ba điểm phân biệt © (*) có hai nghiệm phân biệt khác —I
= R =[2(m+2) Ï~4(5m+6)>0 =" -m-2>0 nel Duets |
©2(x+l)| 4x?+4(m+2)x+ 5m+6 |=0 =|
Goi x,, x, la nghiém cua phuong trinh (*)
xX, +x, =-m-2
Theo định lý Viết ta có 5m+6
XX, = 4
Ta cé toa dé B(x,;2x, +6), C(x,;2x, +6) Suy ra BC = (x; -x,:2(x; -x,)):
Khi đó 8C= [BC = V(x ~x,) +4(x,-x,)
Theo dé bai dién tich AJBC bang 4, nén suy ra
+1
= 24/5 = 5(x, —x,) ©2=(%,+x,) —4x,x, <=> 2=,/(m+2) —3m—6 2= m -m— 2
m=-2
om -m-6= 049]
m=3 Vậy m =3 thỏa mãn yêu cầu bài toán
125z
b) Một đại lý xăng dâu cân tìm một cái bồn chứa dâu hình trụ có thể tích băng (m’) Tim ban kính đáy cùa bôn chứa dâu sao cho bôn chứa dâu được làm ra tôn ít nguyên vật liệu nhât
Lời giải b) Gọi bán kính đáy và chiều cao của bồn chứa dâu lần lượt là x, b 0m), (x>0, œ>0)
125
Ta có: V=xRÈhœ“” =xxÌhCh=
x
Để bôn chứa ít tôn nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần phải nhỏ nhất
Trang 1/7 - WordToan
Trang 3Ma S$ ~2xRh+2zR? = x12 + 2x3 = „ 122 2 =Z 123,122 ,2
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm mm de và 2x”, ta được:
x` 4x
s > 733/125 129.942 = PA
Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi = =2x° 68x =125 x= = (thỏa mãn)
X
Vậy đê bôn chứa dâu ít tôn nguyên vật liệu thì bán kính đáy băng 2")
a) Cho ham số ƒ(x) = x*° —3x+2 và hai số thực z, ð thỏa mãn các điều kiện: a > 2021” > Ị; /dogz„, đ)+2 = Z(ogz;; 6) Tính log,g„„(a + ô)
b) Cho tam giác 45C có các góc thỏa mãn điêu kiện tan B = ame Chứng minh AABC có
+3tan một góc tù và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác 48C, biết rằng 8C =6
Lời giải a) Xét hàm: ƒ(x)= xÌ-3x+2—= ƒ{x)=3x”—-3
ƒ{z)=0<>x=+I
Bảng biến thiên
f 1x) ‡ 0 - 0
= =o
Dat u =log,,,, a, v=10g 0
Vì a>2021”**2” nên log¿a,đ >log„„„b>0=>ø#>v>0
Lại có : f (logs), a)+2 = f (log) 5)
Nén f(u)+2=f(v)>f(v)>f(u) voimoi u>v>0
u=|
Do đó : z,ve[0;1| Khi đó từ /0)-70)=2=| 0:
v=
Suy ra a= 2021 va b=1 Vay log, (at+b)=1
b) Ta có:
3—2tanC &
2+3tanC
snB 3cosC—2sinC cosB 2cosC +3sinC
<> 2sin BcosC +3sin BsinC =3cos BcosC —2cos BsinC
<> 2sin(B+C)=3cos(B+C)
<© 2sin 4= —3cos A
tan B =
Vi sin A > 0 nén cosd <0 suy ra goc A tu
Taco:
Asin? A—9cos* A=0 3
=> sin A = ——
Ap dụng định lý Sin tacé R= =4I3
sin 4 Vậy diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 13m
Trang 2/7 — Diễn đàn giáo viên Toán
Trang 4Câu 3 a) Mot hop đựng 10 quả cầu được đánh số từ I đến 10 Lấy ra ø quả câu từ 10 quả cầu
đó, biệt xác suât lây được ít nhât một quả câu mà phi sô trên đó chia hêt cho 5 trong øz quả câu 2
được lây ra là E Tim n
b) Tính giới hạn 7 = lim9-4x+2x)~73)t6xcL
92 12x -15+3x° -14x413
Loi giai a) Tacd n(Q)=Ch (n eN n< 10)
Goi A là biến cô lấy được ít nhất một quả câu mà ghi số trên đó chia hết cho 5 trong ø quả câu đã
cho= ø(4) = Œ;.Œ ` + C;.Cy ”
1 n—] 2 n2
Ta có: P(4)= 2 > OG HG 2
(n-1)!(9-n)! (n—2)!(10—n)! n!(10—n)!
Vay n=4
b) Ta có
—AJ9-4x+2x-742+6x—1 „ (9-4x-l)+2x`~7x°+6x
x92 /12x-154+3x°-14x4+13 (x12x—15~3)+3x”~14x+16
8—4x -4
Jorge sứ~2)0x—3) J8 41 +x(2x-3)
vo 12x24 vua 12
Wax-isa3 2)G*-8) W2 15.3 01-8)
_8
= —3x— 9—4x+I
lin 2 -2+(3x-6) ”” —_— en -24 43? “5
vI2x-15+3 (Vi2x—15 +3)
Cau 4 Cho hình chóp S.4BC có day ABC là tam giác vuông tại 4, góc
SBA = SCA=90° 4B = a6, AC = avV3 , khoang cach tir C đến (SAB) bang =
a) Tính thê tích khối chóp S.4BC
b) Goi O,M lần lượt là trung điểm của 8C,SC; (P) là mặt phăng chứa BM và song song với 4Ø Gọi góc giữa SB va (P) la ø Tính sinz
c) Tinh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp M.A4BC
Lời giải
Trang 5
a) Gọi 7 là hình chiếu của S trén mp( ABC) Ta co:
AB 1 SB
` AB LSD = AB 1 (SBD) — AB L BD
= AC L(SCD)=> AC LCD
R AC LSC
AC LSD
=> A4BDC' là hình chữ nhật
Kẻ đường cao 2H của tam giác Ta có:
= DH | (SAB) = DH = d(D.(S4B)) = d(C,(SAB))=—
DH 1 SB
DH 1 AB
2 — 2 + 2 o 2 — 2
DH* SD° BD’ 144a° SD
Trong ASBD vuoéng tai D, taco:
Vay: Ve ine = 5 9DS sy = s.SD .AC.AB = > 12a Sav3 a6 = 6V2a°
b) Gọi 7 là giao diém cia SO va BM > I e(P)A(SAD) => (P) (SAD) = EF , voi EF di qua
I vasong song AD, Ee SA,F € SD
Gọi K là trung điểm của CD > MK //SD > MK 1 (ABDC)
——› ———> ——› ———> ———> ———>
BK.AD =(BD+ DK )(AB + AC) = BD.AB + BD.AC + DK.AB + DK.AC = 3a" 6 alo =0
= BK | AD=> AD L(BMK)=> AD 1 BM, ma EF //AD> EF 1 BM
Ta có: BC =A|4B? + AC? =3a > AD =3a; SB =^|SD? + BD° = 7A|3a,
sc =VSD? + DC? =5V6 > BM = SB’ +BC?_ SC? _ 92a 2 4 2
Do / latrong tim ASBC nén EF = =AD = 2a
Trang 4/7 — Diễn đàn giáo viên Toán
Trang 61 9J2 92
Vay Swe = = EF.BM =—2a 2a, -a= =a
= Vane = Vase +Vs ane = Voto S5 Vo.ae = 4024" = d(9;(BEMP)) => ti = SE
d(S;(BEMF Vay: sin@ = ( ( )) _ 8V3
SB 63
c) Do ABDC la hinh chữ nhật nên mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp M⁄.4BC' cũng là mặt cau ngoại
tiép hinh chop M.ABDC
SC - 6
Xét tam giac DMC c6 DM = MC = 7 a=>AMDC can tai M
Gọi P là tâm đường trịn ngoại tiếp Ậ⁄2C > P thuộc đường thang MK
Gọi r là bán kính đường trịn ngoại tiếp Ậ⁄DC, ta cĩ:
2 2 2
Dựng đường thăng d di qua P va vu6ng goc voi (DMC) —=đ' là trục đường trịn ngoại tiếp
AMDC
Dựng đường thắng A đi qua Ở và vuơng gĩc với (48C )A là trục đường trịn ngoại tiếp AABC
Goi Q là giao điểm của đZ và A —> Ĩ là tâm mặt câu ngoại tiếp hình chĩp M.ABC
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp M.ABC, ta cĩ:
R=, MP? + PQ? = MP? +OK? = [
fea si y+l+l _
Câu 5 Giải hệ phương trình 3 sur +x-3y=6
X3x”+48—2.J6y+24=4\N6—x
Lời giải
Lo x<6
Điêu kiện
y>-Ä4
Trang 7Ta có “ ¬x 304 =/[š-!]=/0+0
voi f(t) =3"" 437,
Ham sé f (1) = 34" 4.37 dong bién trén [0; +00)
Khi đó /[š-1)=Z0w+1) =Š-I=y+lex=äyv6
Thay x=3y+6 vào phương trình 43x” +48 -2A42x+12 =4\6-—x
Điều kiện của phương trình —6 < x <6
V3x° +48 —-2V2x+12 =4/6-x oO 3x? +48 = 2(J2x+12 + 2V6— x]
—6<x<6
6 <x<6,3x”+8x—96 >0 -6<x<6,3x”+8x—96>0
1672 — 2x2 = 3x2 +8x—96 9x“ +48§x` -1536xT— 9216 =0
—Ó<x<6
-6<x<6,3x?+§x—96 >0
(3x ~96)(3x +16x+96)=0
3x” +16x +96 = 0 (vn)
6 <x<6 3x” +8§x—96>0
yp © x= 4/2
Thay x = 4/2 vao (3) ta duoc y= 4/2 -
3 6 Hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = oo 4/2 -6 3
Câu 6 Cho a,b,c >0 thoa man ab>1,c(a+b+c)>3 Tim gia tri nhé nhat ctia
P= +6In(a+b+2c)
Lời giải
Ta có: r+2[ TT vi] [42 2E+I]+6m(ø+329)
+
l+a
-41212c11 4121211 cIn(a+p+2e)
(a+b+2e+1)( 4-1 | s6in(a+b4+20)
_(+z)(+ap) ( +b)(1+ab)
Trang 6/7 — Dién dan gido vién Toan
Trang 8-ɬ 66 f)
~ 14Jab |\l+a 1+b
_vb—Va Va-vb 1+-Jab (1+a)(1+5) ab (Va vb)
(avi) (Va
= > 0,(do a,b >0;ab =1)
(1+ Vab)(1+.4)(1+8)
1 + 1 > 2 > 2 4 > 4 _ 4
l+a 1+b 1+Vab |, a6+1 ab+3 ab+c(a+b+c) (a+c)(b+c)
2
P+a-4101211,41012€11 oIn(g+b+2e)
l+a 1+5
= (a++2e+ [TC +12; ]+6hn(a+8+2e)
lt+ta I+
16(¢+1 Đặt /=a+b+2c>0 tacó P+2> _ ) ¿6In
2
Xét hàm số ƒ()= eC) bine =)=——ˆ=/()=0ei=4
f(t) ORs U eee
#(4)=5+6In4 =P>3+6ln4=minP=3+6ln4 Dấu băng xảy ra khi a=b=c=l
Trang 9Cau 1
Cau 1
Thời gian: 90 phút (Không kế thời gian phát đê)
[HSG-QUẢNG NINH-B 2021-2022| a) Cho hàm số y= 2(x + 1)| 4x” +4(m+2)x+5m+7 |+4 có d6 thi la (C,,), voi m là tham sô và đường thắng (đ):y=2x+6 Tìm ø để (đ) cắt (C„) tại 3 điểm
phân biệt 4(—1;4) ,C sao cho 8C = 2N5
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2(x+1)| 4x7 +4(m+2)x+5m+7|+4=2x+6
<> 2(x+1)| 4x? +4(m+2)x+5m+7 |-2(x+1)=0
<> 2(x+1)| 4x? +4(m+2)x+5m+5 |=0
& 2(x+1)g(x)=0 (*)
Dé (d) cat (C,,) tai 3 diém phan biét 4(-1;4), B,C thi phuong trinh 4x? +4(m+2)x+5m+5=0
phải c6 hai nghiém phan biét x,,x, khác —] Điều kiện đó tương đương với
Ỉ 145
m>
1-5
A’ =4(m* -m-1)>02 m<
2 ø(-l)=m+1z0 m # —]
X, +x =—-(m+2)
Khi đó toạ độ 2 giao điểm B,C 1a B(x,;2x, +6),C(x.32x +6) voi 5(m+1)
Xg*c — 4
Theo gia thiét BC = 2V5 © 8C? =20 © 5(x¿—x;) =20
& (Xx, —Xx,) =45 (x +X) —4xÀ,x„ =4<> (m+2} —5(m+1)=4
: 1+V21
m=
<©m-m—5=(0<> 2 thoả mãn điều kiện
_I-M21
i 2
[HSG-QUẢNG NINH-B 2021-2022] b) Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn chứa dầu hình trụ
có thê tích băng 27 (m’ ) Tính bán kính đáy của bôn chứa dâu sao cho bôn chứa dâu được làm ra tốn ít nguyên liệu nhất?
Lời giải
Gọi r,h(m) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của chiếc bồn z,j > 0
Le ek , 1257 125
Theo giả thiết ta có: ƒ = zrˆh= 7 >h= a
r
Đề bồn chứa dầu được làm ra tốn ít nguyên liệu nhất thì điện tích toàn phân của chiếc bôn hình trụ phải nhỏ nhật
Trang 10Câu 2
Câu 3
Tacó diện tích toàn phân của chiếc bồn là: ` ar 4+2nr? =27 (= +r }
Xét hàm số ƒ (r)= 2z l¬ °) trên khoảng (0;+œ)
r
3
Ta có 70)=2z| E2” ],r)=u=r=še(+s),
r
Ta tính được giá trị nhỏ nhất của hàm số ƒ#(r)=2z l¬ °) img voi r= >(m)
r
[HSG-QUANG NINH-B 2021-2022]
a) Cho a,b,c 1a các số thực dương khác 1 théa main: log,,,, a= 3; log, Vb =2 log Sb = : Tính lOgsas› $ (abc)'
b) Cho tam giac ABC có các góc thỏa mãn điêu kiện tan 8= sue Chứng minh A4BC có một
+3tan
góc tù và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác 48C, biết răng BC =6
Lời giải
10¥ 592 4 = 3 a= 20223
a) slog, Vb =2 <> 4b =a! = 2022” = login, ¢{(abe)’ = log,,„; 42022!) =
6
log 5 =2 c= Jb =2022
b) Vì 4, B,C là ba góc của một tam giác nên 0° < 4, B, A+C <180° Voi điều kiện này ta có:
3
——tanC
tan 8= —< G5 + — tạn(4+€)=
© tan(—A-C)=tan(a-C), (voi tana =3)
© tan(—4) = tan ø
3
<> tan A= “5 <0 suy ra góc 4 tù hay AA4BC có một góc tù (đpem)
tanA=->=>cotA=-2> _ _13 vn 3M:
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 4BC ta có2R= BCsin 4= 6 ha >R= ovis
2 Slz Diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác 48C là: $§=ZzRÑ 13
[HSG-QUẢNG NINH-B 2021-2022]
a) Cho đa thức P(x)=(x—2) ”” biết m thỏa mãn 3⁄4ÿ~ 5C? =2n, nmeÑ” Tìm hệ số của x” trong
khai triển cla P(x)
2x-3)N9-4x+xˆ— 5
b) Tính giới han ¡=liml x=3) xx cx-
>3 /12x-15 +.2x-7
Loi giai
a) Ta có
34? -5C3 =2n 3 (n-2)! — 3!(n-3)! -5 = 2n
Trang 11© 3n(n~1)~ n(n~1)(n~2)=2n
©18(ø—1)—5(m—1)(m-2)=12
<©>_—5nm” +33n— 40 =0 n=5
<> 8 n=-
5
Do do P(x)=(x-2)”
keN k<n Theo yêu cầu bài toán: 20— &= 7© k=13
Số hạng tổng quát: C‡ x”"* (~2)', |
Vậy hệ sô của x” trong khai triển là (-2)`
b) Ta có
r-ImCT= 3)V9-4x 43° —x-3
+? Ajl2x-l5+2x—7
(2x-3)(V9—4x -1) +x? +x-6
- lim (2x=3)(Vo-4x-1) x'+x-6
+? AJl2x-15+2x-7 **?Al2x-l5+2x—7
Ta tính
(2x-3)(9~4x =1)
I=li
es V12x—-15+2x—7
none 3) (9-4x—1)(VI2x-15-2x+7)
_ *'(W9=4x+I)( (12x-15-4x? +28x-49)
4(2x—3)(2—x)(V12x-15-2x+7)
= (V9—4x +1)(—4x? + 40x—64)
t2x=3) (2-2) (VI2x=15 - 2x47)
2 -4(V9—4x +1)(x-2)(x-8)
(2x-3)(V12x-15 -2x+7)
x2 (J9-4x +1)(x-8)
2
v4x6 (x—2)(x+3)(Vi2x—15 -2x+7]
1, = lim _——> x2 /12x-1542x-7 *>2 > — = lim -4x? +40x—64
(x-2)(x+3)(N12x—15-2x+7} (x+3)(NI2x-15-2x+7?)
v2 -4(x-8)(x-2) ra? -4(x-8)
5