Chuyên đề phân số

CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ DẠNG 1: Tìm n để phân số tối giản: Bài 1: Tìm n n+7 A= n−2 a, HD: ∈ A= N để phân số tối giản: n + 13 B= n−2 b, C= c, 2n + 4n + A= d, 3n + 7n + n−2+9 = 1+ n−2 n−2 a, n−2 n − ≠ 3k => n ≠ 3k + 2(k ∈ N ) Để A tối giản tối giản hay n − + 15 15 A= = 1+ n−2 n−2 b, 15 n − ≠ 3k => n ≠ 3k + 2(k ∈ N ) n−2 Để A tối giản tối giản hay n − ≠ 5h => n ≠ 5h + 2(h ∈ N ) M M c, Gọi d =UCLN( 2n+3; 4n+1) => 2( 2n+3) - (4n +1) d=> d, Để C tối giản d # hay 2n+3 # 5k => 2n+8 # 5k=>n # 5k – (k ∈ N) M M d, Gọi d=UCLN (3n+2; 7n+1) => 7(3n+2) - 3(7n+1) d => 11 d, Để A tối giản d # 11 hay 3n+2 # 11k=> n # 11k+3 (k ∈ ∈ N) Bài 2: Tìm n N để phân số tối giản: 2n + 8n + 193 18n + 21n + A= C= A= A= 5n + 21n + 6n + 4n + a, b, c, d, HD: d = UCLN ( 3n + 2; 2n + ) => ( 2n + ) − ( 5n + ) Md => 31Md a, Gọi / 31 => / 31 => 2n + + 31 M / 31 => ( n + 19 ) M d ≠ 31 => 2n + M Để A tối giản n # 31k – 19 (k ∈ N) d = UCLN ( 8n + 193;4n + 3) => ( 8n + 193 ) − ( 4n + ) Md => 187 Md b, Gọi d ≠ 11, d ≠ 17 187 = 11.17 Mà , Nên để C tối giản thì: / 11 => 4n + − 11 M / 11 => 4n − M / 11 => n − M / 11k => n ≠ 11k + ( k ∈ N ) d ≠ 11 => 4n + M TH1: / 17 => 4n + + 17 M / 17 => ( n + ) M / 17 => n ≠ 17h − h ∈ N * d ≠ 17 => 4n + M TH2: ( ) d = UCLN ( 18n + 3;21n + ) => ( 18n + 3) − ( 21n + ) Md => 21Md c, Gọi d ≠ 3,7 21 = 3.7 Mà , Nên để A tối giản / 3) d ≠ 3, ( 21n + M Thấy hiển nhiên / => 18n + = ( 6n + 1) M / => 6n + − M / => n ≠ 7k + d ≠ => 18n + M Với d = UCLN ( 21n + 3;6n + ) => ( 21n + 3) − ( 6n + ) Md => 22Md d, Gọi d ≠ 2, d ≠ 11 Mà 22 = 2.11, Nên để A tối giản thì: d ≠ => 21n + ≠ 2k => n TH1: số chẵn / 11 => 6n + − 22 M / 11 => n − M / 11 => n ≠ 11k + d ≠ 11 => 6n + M TH2: n+3 B= n − 12 ∈ Bài 3: Tìm n N để phân số tối giản: 21n + A= 6n + Bài 4: Tìm n để rút gọn HD: M Giả sử tử mẫu chia hết cho số nguyên tố d => 22 d=> d=2 d=11 M M TH1: d=1=> 6n+4 với n 21n +3 n lẻ M M M TH2: d=11=> 21n +3 11=> n – 11=> n = 11k +3 => Với n= 11k+3 => 6n+4 11 n n 7n2 + ∈ Bài 5: CMR phân số : số tự nhiên với n N phân số phân số tối giản ? HD : 7n2 + 7n + 1M6 Vì phân số số tự nhiên với n nên => n lẻ n không chia hết cho n n ; Vậy phân số tối giản a + 2a − A= a + 2a + 2a + Bài 6: Cho biểu thức a/ Rút gọn biểu thức b/ CMR a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a phân số tối giản n+3 n − 12 Bài 7: Tìm tất số tự nhiên n để phân số tối giản 3n − M= n −1 Bài 8: Tìm giá trị nguyên n để phân số có giá trị số nguyên HD: M= 3n − ∈ Z => 3n − 1Mn − => ( n − 1) + 2Mn − => Mn − n −1 DẠNG 2: Chứng minh phân số sau tối giản: Bài 1: Chứng minh phân số sau tối giản: n +1 2n + 5n + n3 + 2n 2n + 3n + 3n + n + 3n − a, b, c, d, HD:  n + 1Md d = UCLN ( n + 1;2n + 3) =>  => ( n + 1) − ( 2n + 3) Md => −1Md => d = ±1  2n + 3Md a, Gọi  2n + 3Md d = UCLN ( 2n + 3;3n + ) =>  => ( 2n + 3) − ( 3n + 5) Md => −1Md => d = ±1 3n + 5Md b, Gọi 5n + 3Md d = UCLN ( 5n + 3;3n + ) =>  => ( 3n + ) − ( 5n + 3) Md => 1Md => d = ±1 3n + 2Md c, Gọi n + 1Md d = UCLN n + 2n; n + 3n − => n n + 2n − n + 3n − Md =>  n + 2n Md d, Gọi n Md n Md =>  => 1Md => d = ±1 => ( n + 2n ) − n ( n + 1) Md =>  n + M d n + M d    ( ) ( ) ( ) Bài 2: Chứng minh phân số sau tối giản: 2n + 16n + 14n + 2n + 2n( n + 1) 6n + 21n + 4n + a, b, c, d, HD: d = UCLN ( 16n + 5;6n + ) => ( 6n + ) − ( 16n + ) Md => 1Md => d = ±1 a, Gọi 14n + 3Md d = UCLN ( 14n + 3;21n + ) =>  => ( 14n + 3) − ( 21n + ) Md 1Md => d = ±1  21n + 4Md b, Gọi n ( 2n + 1) Md n Md 2n + n Md d = UCLN 2n + 1;2n + 2n =>  =>  =>  2n + 2n Md 2n + 1Md 2n + 2n Md c, Gọi => ( 2n + 1) − 2n Md => 1Md => d = ±1 ( ) d, Gọi  2n + 3Md d = UCLN ( 2n + 3;4n + ) =>  => ( 4n + ) − ( 2n + 3) Md => 2Md => d = ±1, d = ±2  4n + 8Md d = ±2 2n + 3Md Vì mà 2n+3 số lẻ nên d lẻ, loại Bài 3: Chứng minh phân số sau tối giản: 3n + n 12n + 5n + n +1 30n + a, b, c, HD: 5n + 3Md d = UCLN ( 5n + 3;3n + ) =>  => ( 3n + ) − ( 5n + 3) Md => 1Md => d = ±1 3n + 2Md a, Gọi  n + 1Md d = UCLN ( n; n + 1) =>  => ( n + 1) − n Md => 1Md => d = ±1  n Md b, Gọi c, Gọi 12n + 1Md d = UCLN ( 12n + 1;30n + ) =>  => ( 12n + 1) − ( 30n + ) Md => 1Md => d = ±1, 30n + 2Md Bài 4: Tìm n n−3 a, HD: ∈ Z để phân số sau số nguyên: n n−4 b, A= ∈ Z => n − ∈ U ( ) = { ±1; ±2; ±3; ±6} => n = { } n−3 B= n n−4+4 = = 1+ ∈ Z => n − ∈ U ( ) = { ±1; ±2; ±4} n−4 n−4 n−4 C= n + 2n + + 1 = = 2+ ∈ Z => n + ∈ U ( 1) = { ±1} => n ∈ { } n+3 n+3 n+3 D= 12 ∈ Z => 3n − ∈ U ( 12 ) = { ±1; ±2; ±4} 3n − a, Để b, Để c, Để d, Để Bài 5: Tìm n ∈ , Vì d, 12 3n − /3 3n − M Z để phân số sau số nguyên: 3n + n −1 a, HD: b, 6n − 2n + c, 3n + n −1 A= 3n + 3n − + 5 = = 3+ ∈ Z => n − ∈ U ( ) = { ±1; ±5} n −1 n −1 n −1 B= 6n − 6n + − 13 13 = = 3− ∈ Z => 2n + ∈ U ( 13) = { ±1; m13} 2n + 2n + 2n + C= 3n + 3n − + 7 = = 3+ ∈ Z => n − ∈ U ( ) = { ±1; ±7} n −1 n −1 n −1 D= 6n − 6n + − 5 = = 2− ∈ Z => 3n + ∈ U ( ) = { ±1; ±5} 3n + 3n + 3n + a, Để b, Để c, Để d, Để c, 2n + n+3 A= Bài 6: Cho phân số 63 3n + với n ∈ N, tìm n để A số tự nhiên d, 6n − 3n + Bài 7: Tìm n n + 10 2n − a, HD : ∈ Z để phân số sau số nguyên: n+3 2n − b, c, 2n + d, n2 + n+2 n + 10Mn − M M a, Ta có : 2n – =2(n-4) => n+10 n+10 n – hay n số chẵn n + 3Mn − M M b, Ta có : 2n – =2(n – 1)=> n+3 n+3 n – hay n số lẻ ∈ N) M M M c, Ta có : 2n+3 => 2n+10 7= >n+5 => n= 7k – (k n + 2n − 2n + 3Mn + => n( n + 2) − 2n − + Mn + => n(n + 2) − 2( n + 2) + Mn + d, Ta có : =>7 M n+2 ∈ A= 8n + 193 4n + Bài 8: Tìm n N để cho: a, Có giá trị số tự nhiên b, Là phân số tối giản c, Với n từ 150-170 A rút gọn HD : 187 A = 2+ { ±1; ±11; ±17; ±187} 4n + ∈ a, để A số tự nhiên 4n+3 U(187) = 187 4n + b, Để A tối giản tối giản hay 187 khơng chia hết cho 4n+3 hay 4n+3 # 11k 4n+3 # 17 100 ≤ 11k + ≤ 170 100 ≤ 17 h − ≤ 170  c, Để A rút gọn n = 11k + n = 17h – 5=> 3a + 5b + A= 5a + 8b + Bài 9: CMR (a – 1; b+1) phân số tối giản HD: M M Gọi d=UCLN(3a+5b+2; 5a+8b+3) => 5(3a+5b+2) – 3(5a+8b+3) d=> b+1 d ∈ M M Và 8(3a+5b+2) – 5(5a+8b+3) d=> a – d => d UC( a – 1; b+1) Mà UCLN( a – 1; b+1) =1 => d =1; - n+4 A= B= n −1 n +1 ∈ Bài 10: Tìm n Z cho số nguyên n+9 A= n−6 ∈ Bài 11: Cho phân số (n Z, n > 6), Tìm n để phân số có giá trị nguyên dương 75 A= 5n − ∈ Bài 12: Cho phân số (n N*) Tìm n để a, Phân số A số tự nhiên b, A rút gọn ∈ 2n + n +1 Bài 13: Tìm n N để số nguyên Bài 14: Tìm số tự nhiên n 2001 2002 ; ; ; ; ; n+3 n+4 n+5 n + 2003 n + 2004 nhỏ để phân số sau tối giản: HD: a n+2+a Các phân số cho có dạng: với a=1; 2; 3; ; 2001; 2002 a n+2+a Để tối giản UCLN(n+2+a;a) =1, => UCLN(n+2; a)=1=> n+2 a nguyên tố Với số 1,2,3, , 2002 n+2 nhỏ n+2=2003( Vì 2003 số nguyên tố) 19 n n −1 Bài 15: Tìm n để tích hai phân số có giá trị ngyên 3x2 − P= 3x + Bài 16: Tìm x để giá trị biểu thức: số nguyên 2017 − x T= 10 − x Bài 17: Cho , tìm giá trị nguyên x để: T có giá trị nguyên, T có giá trị lớn x+2 M= x −1 Bài 19: Cho , biết x số hữu tỉ âm, M số nguyên, Tìm x DẠNG 3: Tìm n để phân số có GTLN GTNN Bài 1: Tìm n 6n − A= 2n + a, HD: ∈ Z để phân số sau có GTNN: 6n − B= 3n + b, c, x − 13 x+3 B= d, 13 2n + 2x + x +1 13 2n + ∈Z nên 2n+3 nhỏ số dương lớn , Để 2n+3 số nguyên dương nhỏ nhất=> 2n+3 =1=> n = -1 5 B = 2− 3n + 3n + ∈Z ∈Z b, Do n nên 3n+2 nhỏ số dương lớn , Để hay 3n+2 số nguyên dương bé => 3n+2 =1 =>n = -1/3( loại) nên 3m+2 =2=> n=0 16 16 A = 1− x+3 x+3 ∈Z ∈Z c, Do x nên x+3 Để nhỏ số dương lớn hay x+3 số nguyên dương nhỏ hay x+3 =1=> x = - 2 B = 2+ x +1 x +1 ∈Z ∈Z d, Do x nên x+1 để nhỏ số âm nhỏ hay x+1 số nguyên âm lớn hay x+1 = - => x = - a, Do n ∈Z A = 3− A= ∈ Bài 2: Tìm n Z để phân số sau có GTNN: 10 x + 25 3x + E= A= 2x + x −1 a, b, −3 D= 2x − B= c, 20a + 13 4a + d, HD: E = 5+ 2x + 2x + ∈Z ∈Z a, Do x nên 2x+4 Để nhỏ số âm nhỏ hay 2x+4 số nguyên âm lớn hay 2x+4 = - => x= - 5/2 (loại) 2x+4 = - => x= A = 3+ 10 x −1 10 x −1 ∈Z ∈Z b, Do x nên x-1 Để nhỏ số âm nhỏ hay x -1 số nguyên âm lớn hay x - = - 1=> x=0 2 B = 5− 4a + 4a + ∈Z ∈Z c, Do a nên 4a+3 Để nhỏ số dương lớn hay 4a+3 số nguyên dương nhỏ hay 4a+3 =1=> a =-1/2(loại) hay 4a+3 =2 => a = -1/4(loại) hay 4a+3=3=> a=0 −3 D= 2x − ∈Z ∈Z d, Do x nên 2x-5 , Đề nhỏ 2x – số nguyên dương bé hay 2x – =1=> x =3 Bài 3: Tìm n ∈ Z để phân số sau có GTNN: A= a, HD: 4n + 2n + B= b, 2n − n+2 2− C= c, 8− x x −3 2n + E= d, −3 2n − 5 2n + ∈Z ∈Z a, Do n nên 2n+3 , Để A = nhỏ số dương lớn => 2n+3 số nguyên dương nhỏ => 2n+3=1=> n= - 7 B = 2− n+2 n+2 ∈Z ∈Z b, Do n nên n+2 , Để nhỏ số dương lớn => n+2 số nguyên dương nhỏ nhất=> n+2 =1=> n= - 5 C = −1 + x −5 x−5 ∈Z ∈Z c, Do x nên x-3 , Để nhỏ số âm nhỏ => x – số nguyên âm lớn => x – = - => x= −3 E= 2n − 2n − ∈Z ∈Z d, Do n nên 2n-5 , Để nhỏ số dương lớn => 2n-5 số nguyên dương nhỏ => 2n-5 =1=>n=3 x A= 5x − ∈ Bài 4: Tìm x Z để phân số sau có GTNN: HD :  5x    A=  ÷ = 1 + ÷  5x −   5x −  5x − ∈Z ∈Z Do x nên 5x-2 , Để nhỏ số âm nhỏ => x = => 5x - số nguyên âm lớn => 5x - 2= -1 (loại) 5x - 2= - => x = Bài 5: Tìm n, x n +1 C= n−2 a, HD: ∈ Z để phân số sau có GTLN 14 − n D= 4−n b, C = 1+ n−2 E= c, 7−x x −5 n−2 C= d, ∈Z ∈Z a, Do n nên n-2 , Để lớn số dương lớn n – số nguyên dương nhỏ => n - = 1=> n = 10 10 D = 1+ 4−n 4−n ∈Z ∈Z b, Do n nên – n , Để lớn số dương lớn hay – n số nguyên dương nhỏ => – n = => n = 2 E = −1 + x −5 x −5 ∈Z ∈Z c, Do x nên x-5 , Để lớn số dương lớn hay x – số nguyên dương nhỏ => x – = 1=> x = 1 C= 4+ x 4+ x ∈Z ∈Z d, Do x nên 4+x , Để lớn số dương lớn 4+ x hay 4+x số nguyên dương nhỏ => + x = => x = Bài 6: Tìm n, x x − 19 D= x−9 a, HD: ∈ Z để phân số sau có GTLN −3 D= 2x − b, D = 5+ C= c, 26 x−9 3n − −2 n + 26 x −9 ∈Z ∈Z a, Do x nên x-9 , Để lớn số dương lớn hay x – số nguyên dương nhỏ => x – =1=> x = 10 −3 D= 2x − 2x − ∈Z ∈Z b, Do x nên 2x-5 ,Để lớn số ấm nhỏ hay 2x -5 số nguyên âm lớn => x – 5= - 1=> x =  6n −    C=  ÷ =  −3 + ÷  −2n +   −2n +  ∈Z ∈Z c, Do n nên -2n + , Để lớn −2n + số dương lớn nhất, hay -2n + số nguyên dương bé => -2n+3 =1 => n =1 Bài 7: Tìm n 7n − A= 2n − a, Bài 8: Tìm n x−3 B= x+2 a, Bài 9: Tìm n C= x+5 a, 2n − E= n−2 ∈ ∈ ∈ Bài 10: Tìm n n +1 A= n−5 a, Bài 11: Tìm n 7n − F= 2n − a, Z để phân số sau có GTNN: 2n − B= D= n+3 n−2 b, c, A= d, 8− x x−3 Z để phân số sau có GTNN: 14 − x C= D= 4− x x+5 b, c, Z để phân số sau có GTLN n +1 E= n −5 b, ∈ ∈ Z để phân số sau có GTLN 4n + B= 2n + b, Z để phân số sau có GTLN 2n − G= n−2 b, D= c, C= c, I= c, 6n − 3n + d, 2n − n+2 3n − −2n + E= d, K= d, 6n − 3n + 6n − 3n + B= 10n − 4n − 10 Bài 12: Tìm số tự nhiên n để HD : ( 2n − ) + 22 11 B= = + ( 2n − ) 2n − A= Đạt giá trị lớn nhất, Tìm GTLN − 6n 3x − Bài 13: Tìm số nguyên n cho đạt giá trị nhỏ Bài 14: Tìm giá trị nguyên x để: 8− x A= B= 6− x x−3 a, có giá trị lớn b, có GTNN ab A= a +b Bài 15: Tìm GTNN phân số : x − 19 A= 2 x−4 C = x + y Bài 16: Tìm GTNN biểu thức: , x+y=1 a =b Bài 17: Tìm số tự nhiên a, b nhỏ cho (1) HD: Từ a = b8 => a b= ÷ b b a > => k ≥ b ∈ ∈ M N nên a b => a=b.k (k N) b7 k = b8 => k = b Và a > b => , thay a = b.k vào (1) ta 7 k ≥ => b ≥ b = 27 a = 27.2 = 28 ≥ Mà k => mà b nhỏ nên , k = => n M= x+ y Bài 18: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục x, hàng đơn vị y, Gọi a, Tìm n để M=2 b, Tìm n để M nhỏ HD: 10 x + y = => y = x x+ y a, Ta có: , Mà x,y chữ số nên x=1 y=8 x + y + 9x 9x M= = 1+ = 1+ y y x+ y x+ y 1+ 1+ x x b, để M nhỏ lớn hay y lớn x nhỏ nhât DẠNG 4: Các toán liên qua đến phân số 30 = 43 a + Bài 1: Tìm a, b, c, d ∈ N* , biết : Bài 2: Cộng tử mẫu phân số Hãy tìm số ngun ? 17 21 1 b+ c+ d với số nguyên rút gọn ta phân số 11 13 Bài 3: Khi cộng tử mẫu phân số với số ngun x phân số có giá trị Tìm số nguyên x? Bài 4: Tìm phân số tối giản, Biết cộng tử mẫu phân số với mẫu số số lớn giấp hai lần phân số ban đầu ? HD: a b Gọi phân số tối giản lúc đầu , cộng mẫu số vào mẫu số ta phân số : a a a = b b + b 2b phân số nhỏ phân số lần, a+b 2b Để gấp hai lần phân số ban đầu a+b giấp lần a => Mẫu số b phải giấp lần tử số a, phân số tối giản thỏa mãn điều kiện a a 21 b b 14 35 Bài 5: Tìm phân số tối giản nhỏ nhât khác cho chia cho phân số ta kết số tự nhiên Bài 6: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản: 2001 2002 ; ; ; ; ; n+3 n+4 n+5 n + 2003 n + 2004 HD : Các phân số có dạng a , ∀a = 1, 2,3, , 2002 n+2+a UCLN (a; n + a + 2) = => UCLN (n + 2; a ) = => , để a n+2+a tối giản : n+2 a hai số nguyên tố Với số : 1,2,3, ,2002 n+2 nhỏ =>n+2=2003 số nguyên tố=> n=2001 a1 , a2 , a3 , , a50 Bài 7: Cho 50 số tự nhiên: 50 số có hai số , t/ m : 1 1 51 + + + + = a1 a2 a3 a50 , Chứng minh ... phân số với số nguyên x phân số có giá trị Tìm số ngun x? Bài 4: Tìm phân số tối giản, Biết cộng tử mẫu phân số với mẫu số số lớn giấp hai lần phân số ban đầu ? HD: a b Gọi phân số tối giản... đầu , cộng mẫu số vào mẫu số ta phân số : a a a = b b + b 2b phân số nhỏ phân số lần, a+b 2b Để gấp hai lần phân số ban đầu a+b giấp lần a => Mẫu số b phải giấp lần tử số a, phân số tối giản thỏa... 10: Tìm n Z cho số nguyên n+9 A= n−6 ∈ Bài 11: Cho phân số (n Z, n > 6), Tìm n để phân số có giá trị ngun dương 75 A= 5n − ∈ Bài 12: Cho phân số (n N*) Tìm n để a, Phân số A số tự nhiên b, A