Thông tin tài liệu
ƠN HSG TỐN DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ I KIẾN THỨC CƠ BẢN Tính chất phép cộng số Các công thức lũy thừa Kiến thức giá trị tuyệt đối Thứ tự thực phép tính II BÀI TẬP Chú ý: Qua phần giáo viên chốt kiến thức, phát triển toán, HS đề xuất toán Thực phép tính ( tính nhanh có thể) 1) A 3 12 2007 2) B 2.53.12 4.6.87 3.8.40 3) 131 35 207 35.31 131.207 ; 4) 1968 : 16 + 5136 : 16 -704 : 16 3 - 13 5 5) 16 6) 23 53 - {400 -[ 673 - 23 (78 : 76 +70)]} 8)73.195 – 73.92 + 103.33 9)164.(57 - 136) – 136.(-164 - 57) 3 4 10) |-4| + [( - ) 3: (- 8) – 2008 ] 215.7 216 11) B 5.215 210.13 210.65 12) 28.104 2 14 13) 3 1 28 22 13 14) 13 11 15) 2012.2013 20122 2011 16) 15 624 16 625 17) 18) 39.43 35.11 25.13 78.(86) 50.( 26) 22.70 7 2012 2012 19) So sánh A B biết A = 2010 2011 2012 1 1 B = 2011 2012 2010 17 A 1 1 1 2011 2012 2010 1 A 3 2010 2011 2010 2012 A3 1 1 1 1 1 B 10 17 3 4 5 1 B 8 B 3 20) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4 (-1)2010.(-1)2011 21) B = 70.( 22) C = 131313 131313 131313 + + ) 565656 727272 909090 2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d + + + biết = = = 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 2a 2a 3b 4c 5d = = = =k 3b 4c 5d 2a Đặt Ta có C= 2a 3b 4c 5d = k4 => k4 = k = �1 3b 4c 5d 2a 2a 3b 4c 5d + + + = � 3b 4c 5d 2a 23) Khơng quy đồng tính hợp lý tổng sau: a) A 1 1 1 1 1 1 20 30 42 56 72 90 b) B 13 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 HD: 13 13 7.( ) 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 1 1 1 1 1 1 13 7.( ) 7.( ) 7 11 11 14 14 15 15 28 28 4 B DẠNG 2: DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài toán : Tính tổng sau A = + + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 B = + + 32 + 33 + 34 + + 3100 Giải : 10 11 2A = + + + + + Khi : 2A – A = 211 – 3B = + 32 + 33 + + 3100 + 3101 Khi : 3B – B = 2B = 3101 – Vậy B = Ta nghĩ tới toán tổng quát : Tính tổng S = + a + a2 + a3 + + an , a ∈ Z+ , a > n ∈ Z+ Nhân vế S với a ta có aS = a + a2 + a3 + a4 + + an + an+1 Rồi trừ cho S ta : aS – S = ( a – 1)S = an+1 – Vậy : + a + a2 + a3 + + an = Từ ta có cơng thức : an+1 – = ( a – 1)( + a + a2 + a3 + + an) Bài tập áp dụng : Tính tổng sau: a ) A 73 2007 b) B 43 4100 c) Chứng minh : 1414 – chia hết cho d) Chứng minh : 20092009 – chia hết cho 2008 Bài tốn : Tính tổng sau A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 Giải : 100 1) A = + + + + + + Vấn đề đặt nhân hai vế A với số để trừ cho A loạt lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 , trừ cho A ta : 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102 A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 32A – A = 3102 – Hay A( 32 – 1) = 3102 – Vậy A = ( 3102 – 1): Từ kết suy 3102 chia hết cho ) Tương tự ta nhân hai vế B với 72 trừ cho B , ta : 72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101 B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 72B – B = 7101 – , hay B( 72 – 1) = 7101 – Vậy B = ( 7101 – 7) : 48 Tương tự ta suy 7101 – chia hết cho 48 ; 7100- chia hết cho 48 Bài tập áp dụng : Tính tổng sau : A = + 23 + 25 + 27 + 29 + + 22009 B = + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + + 2200 C = + 53 + 55 + 57 + 59 + + 5101 D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + + 1399 Tổng quát : Tính * b) S1 a a a a n , với ( a �2, n �N ) c) S a a a a n 1 , với ( a �2, n �N * ) Bài tập khác : Chứng minh : a A = + 22 + 23 + 24 + …+ 260 chia hết cho 21 15 b B = + + 32 + 33 + 34+ … + 311 chia hết cho 52 c C = + 52 + 53 + 54 + …+ 512 chia hết cho 30 31 Bài tốn : Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 Lời giải : Nhận xét : Khoảng cách thừa số số hạng Nhân vế A với lần khoảng cách ta : 3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 A = 990/3 = 330 Ta chỳ ý tới đáp số 990 = 9.10.11, 9.10 số hạng cuối A 11 số tự nhiên kề sau 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp Ta có kết tổng quát sau : A = 1.2 + 2.3 + … + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1)/3 Lời giải khác : Lời giải : 3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 990 = 9.10.11 Ta chưa biết cách tính tổng bỡnh phương số lẻ liên tiếp 1, liên hệ với lời giải 1, ta có : (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 Ta có kết tổng quát : P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Bài tập vận dụng : Tính tổng sau : P = 12 + 32 + 52 + 72 + + 992 Q = 112 + 132 + 152 + … + 20092 M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99.100 Bài toán : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 C = A + 10.11 Tính giá trị C Giải : Theo cách tính A tốn 2, ta kết : C = 10.11.12/3 Theo cách giải tốn 2, ta lại có : C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 + 10.11 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (9.10 + 10.11) = 2( + 3) + 4( + 5) + 6( + 7) + ( + 9) + 10( + 11) = 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + 2.8.8 + 2.10.10 = 2.22 + 2.42 + 2.62 + 2.82 + 2.102 = 2.( 22 + 42 + 62 + 82 + 102) Vậy C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) = 10.11.12/3 Từ ta có : 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 10.11.12/6 Ta lại có kết tổng quát : 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 Bài tập áp dụng : Tính tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502 Cho n thuộc N* Tính tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2 Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn n lẻ Bài tốn có kết nhất, khơng phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n 3.Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 999.1000 Bài toán : Chứng minh : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Lời giải : Xét trường hợp n chẵn : 12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52+ … + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2) = [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có 12 + 22 + 32 + + n2 = (12 + 32 + 52 +… + n 2) + (22 + 42 + 62 + … + (n – 1)2) = n(n + 1)(n + 2)/6 + (n – 1)n(n + 1)/6 = n(n + 1)(n + + n – 1)/6 = n(n + 1)( 2n + 1) /6 ( đpcm) Lời giải : S = 1² + 2² + 3² + 4² +…+ n² S = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + … + n.n = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + 4(5-1) + …n[(n+1)1] = 1.2 – 1+ 2.3 – + 3.4 – + 4.5 – +…+ n(n + ) – n = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ n( n + ) – ( + + +4 + … + n ) = - = n( n + ) ) = n( n + 1) Vậy S = Vậy ta có cơng thức tính tổng dãy số phương : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Bài tập áp dụng : Tính giá trị biểu thức sau: N = + 22 + 32 + 42 + 52 + …+ 992 A = + + + 16 + 25 + 36 + + 10000 B = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202 Gợi ý: 2 2 Tách B = (2 + + … + 20 ) – (1 + + …+ 192) ; tính tổng số ngoặc đơn tỡm kết tốn Bài tốn Tính : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Giải Nhận xét : Khoảng cách hai thừa số số hạng , nhân hai vế A với lần khoảng cách ta : 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101- 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 6A = + 97.99.101 1 97.33.101 A = 161 651 Trong toán ta nhân A với Trong tốn ta nhân A với Ta nhận thấy để làm xuất hạng tử đối ta nhân A với lần khoảng cách k thừa số hạng tử Bài toán : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải : Trở lại toán hạng tử tổng A có hai thừa số thỡ ta nhõn A với lần khoảng cách hai thừa số Học tập cách , ta nhân hai vế A với lần khoảng cách vỡ hạng tử có thừa số Ta giải toán sau : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4 4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] 4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 = 1980 Từ ta có kết tổng quát A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 Bài tập áp dụng : Tính tổng sau : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 99.100.101 Bài tốn : Tính : A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Giải : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 A 15 95.97.99.101 = 11 517 600 Trong ta nhân A với (bốn lần khoảng cách) Trong ta nhân A với (bốn lần khoảng cách) hạng tử A có thừa số Bài tốn : Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Giải A = + ( 2+ 1).4 + ( + 1)6 + … + (98 + 1).100 = + 2.4 + + 4.6 + + … + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + + + + … + 100) = 98.100.102 : + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 Cách khác :A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - + 3.5 - + 5.7 - + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + + + + … + 99) = 171650 – 2500 = 169150 Trong toán ta không nhân A với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính Bài tập áp dụng Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100 Giải : A = 1.3.( – 3) + 3.5.( – 3) + 5.7.( - 3) + … + 99.101.( 103 – 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 Tính A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Giải : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 Bài tập áp dụng : Tính A = 12 + 42 + 72 + … +1002 B = 1.32 + 3.52 + 5.72 + … + 97.992 C = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 D = 1.3 + 5.7 + 9.11 + … + 97.101 E = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 F = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 G = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 H = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 Bài tốn : Tính tổng S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ Lời giải : Trước hết ta chứng minh kêt sau : với n số tự nhiờn thỡ ta cú n3 – n = (n – 1)(n + 1) Thật : n3 – n = n( n2 – 1) = n( n2 – n + n – 1) = n(n2 – n) + ( n – 1) = nn(n – 1) + ( n – 1) = (n – 1)n( n + 1) đpcm Áp dụng kết để tính S Ta có S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ S = 13 – + 23 – + 33 – + 43 – + 53 – +…+ n3 – n + ( + + + …+ n ) S = + 2( 22 – ) + 3( 32 – ) + 4( 42 – ) + …+ n( n2 – ) + ( + + + + …+ n) S = + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – )n( n + ) + ( + + + + … + n ) S= = n( n + 1) Nhận xét Vì = = n( n + ) = + + + + … + n , nên ta có kết quan trọng sau : 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ = ( + + + + + … + n )² Bài tốn 10 : Tính tổng sau : a ) A = + 99 + 999 + 9999 + + b ) B = + 11 + 111 + 1111 + + c ) C = + 44 + 444 + 4444 + + Giải : a) A = + 99 + 999 + 9999 + + = 101 – + 102 – + 103 – + + 1010 – = 101 + 102 + 103 + + 1010 – 10 = ( 101+ 102 + 103+ 104 + + 1010 ) – 10 = b) – 10 = 00 B = + 11 + 111 + 1111 + + 9B = 9.(1 + 11 + 111 + 1111 + + 9B = Vậy B = ) = + 99 + 999 + + 00 ( Theo kết câu a) 00 / c) C = + 44 + 444 + 4444 + + = 4(1 + 11 + 111 + 1111 + + 9C = 9.4.( + 11 + 111 + 1111 + + ) = 4.( + 99 + 999 + 9999 + + ) = Vậy C = 00 = ) 00 00 / Bài tập áp dụng : Tính tổng sau : A = + 22 + 222 + 2222 + + B = + 33 + 333 + 3333 + + C = + 55 + 555 + 5555 + + Bài tốn Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 Để tính A ta biến đổi A để xuất hạng tử đối Muốn ta cần tách thừa số hạng tử thành hiệu : a = b - c Giải: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + … + 99.100 (101 - 98) = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + 99.100.101 - 98.99.100 = 99.100.101 � A = 33.100.101 = 333 300 2) Một số dãy số dễ dàng tính + +3 + …+ n a + (a + k) + (a + 2k) + … + (a + nk) k số II) Khai thác toán Trong toán Các thừa số hạng tử hay cách đơn vị Thay đổi khoảng cách thừa số hạng tử ta có tốn Bài tốn Tính :A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Giải 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = + 97.99.101 � A 1 97.33.101 = 161 651 Trong toán ta nhân A với (a = 3) Trong toán ta nhân A với (a = 6) Ta nhận thấy để làm xuất hạng tử đối ta nhân A với lần khoảng cách thừa số hạng tử 3k n(n + k) = n(n + k)(r + 2k) - (n - k) n (n + k) Thay đổi số thừa số tích ta có tốn Bài tốn : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100 Giải :4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + ….+ 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101 - 97) 10 = 5050 + 101989800 = 101994850 Thay đổi khoảng cách số tốn ta có tốn Bài tốn 10: Tính A = 13 + 33 + 53 + … + 993 Giải : Sử dụng (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n A = + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99 = + (1.3.5 + 3.5.7 + + 97.99.101) + 4(3 + + + … + 99) = + 12487503 + 9996 = 12497500 Với khoảng cách a ta tách : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n Ở tốn 8, ta làm toán 6, Thay đổi số mũ thừa số tốn ta có: Bài tốn 11: Tính A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Giải :A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 +… + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 Với cách khai thác ta khai thác, phát triển tốn thành nhiều toán hay mà trình giải địi hỏi học sinh phải có linh hoạt, sáng tạo Trong tốn ta thay đổi số hạng cuối dãy số hạng tổng quát theo quy luật dãy *Vận dụng cách giải giải toán sau: Tính A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 Tính B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 97.101 Tính C = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + 7.9.11+…+ 97.99.101 Tính D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 Tính E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 Tính F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 13 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG I PHƯƠNG PHÁP DỰ ĐOÁN VÀ QUY NẠP : Trong số trường hợp gặp tốn tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an (1) Bằng cách ta biết kết (dự đoán , toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp chứng minh Ví dụ : Tính tổng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Thử trực tiếp ta thấy : S1 = S2 = + =22 S3 = 1+ 3+ = = 32 Ta dự đoán Sn = n2 Với n = 1;2;3 ta thấy kết giả sử với n= k ( k 1) ta có Sk = k (2) ta cần phải chứng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3) Thật cộng vế ( 2) với 2k +1 ta có 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) k2 + ( 2k +1) = ( k +1) nên ta có (3) tức Sk+1 = ( k +1) theo nguyên lý quy nạp toán chứng minh Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2 Tương tự ta chứng minh kết sau phương pháp quy nạp toán học 14 n(n 1) 1, + 2+3 + + n = 2, 12 + 2 + + n = 3, n(n 1) +2 + + n = 3 n(n 1)(2n 1) 4, 15 + 25 + + n5 = n (n + 1) 12 ( 2n2 + 2n – ) II Phương pháp khử liên tiếp : Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta biểu diễn a i , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số khác , xác , giả sử : a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 an = bn – bn+ ta có : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn + Ví dụ : tính tổng : Ta có : S= 1 10.11 10 11 Do : S = 1 1 10.11 11 12 12.13 99.100 1 11 12 11 12 , , 1 99.100 99 100 1 1 1 1 10 11 11 12 99 100 10 100 100 1 Dạng tổng quát Sn = 1.2 2.3 n(n 1) ( n > ) Sn = 1Ví dụ : tính tổng Ta có Sn = Sn = n n 1 n 1 1 1 Sn = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) (n 1)( n 2) 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) (n 1)(n 2) 15 Sn = 1 1 n(n 3) 1.2 ( n 1)( n 2) 4(n 1)(n 2) Ví dụ : tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta có : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) –n! Vậy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 2n Ví dụ : tính tổng Sn = (1.2) (2.3) n(n 1) 2i 1 Ta có : i(i 1) i (i 1) ; Do Sn = ( 1- i = ; ; 3; ; n n( n 2) 1 1 ) 2 = 1(n 1) ( n 1) 2 (n 1) 2 n III > Phương pháp giải phương trình với ẩn tổng cần tính: Ví dụ : Tính tổng S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) ta viết lại S sau : S = 1+2 (1+2+22 + + 299 ) S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) Từ (5) suy S = 1+ 2S -2101 � S = 2101-1 Ví dụ : tính tổng Sn = 1+ p + p + p3 + + pn ( p 1) Ta viết lại Sn dạng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 ) Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n ) Sn = 1+p ( Sn –pn ) � Sn = +p.Sn –p n+1 � Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 � Sn = P n 1 p Ví dụ : Tính tổng Sn = 1+ 2p +3p + + ( n+1 ) pn , ( p 1) 16 Ta có : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1 = 2p –p +3p –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1 = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1 p.Sn=Sn- P n 1 (n 1) P n 1 ( theo VD ) P Lại có (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - (n 1) P n 1 p n 1 p n 1 � Sn = p ( P 1) P IV Phương pháp tính qua tổng biết n Các kí hiệu : a i a1 a a3 a n i 1 Các tính chất : n 1, (a i i 1 n 2, a.a i 1 n n i 1 i 1 bi ) bi n i a i 1 Ví dụ : Tính tổng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) n n n n i 1 i 1 i 1 i 1 2 Ta có : Sn = i(i 1) (i i ) i i Vì : n i 1 n i 1 n n( n 1) n(n 1)( 2n 1) i i 1 (Theo I ) n(n 1) n( n 1)( 2n 1) n(n 1)(n 2) : Sn = Ví dụ 10 : Tính tổng : Sn =1.2+2.5+3.8+ .+n(3n-1) ta có : Sn = n n i 1 i 1 i(3i 1) (3i i) n Sn = 3 i i 1 n i i 17 Theo (I) ta có: Sn = 3n( n 1)(2n 1) n(n 1) n (n 1) Ví dụ 11 Tính tổng Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3 ta có : Sn = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 ) Sn = (2n 1) (2n 2) 8n (n 1) 4 ( theo (I) – ) =( n+1) 2(2n+1) – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) V Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng số hạng dãy số cách ( HS lớp ) Cơ sở lý thuyết : + để đếm số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách số đơn vị , ta dùng công thức: Số số hạng = ( số cuối – số đầu : ( khoảng cách ) + + Để tính tổng số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp cách số đơn vị , ta dùng công thức: Tổng = ( số đầu – số cuối ) ( số số hạng ) :2 Ví dụ 12 : Tính tổng A = 19 +20 +21 + + 132 Số số hạng A : ( 132 – 19 ) : +1 = 114 ( số hạng ) A = 114 ( 132 +19 ) : = 8607 Ví dụ 13 : Tính tổng B = +5 +9 + .+ 2005 +2009 số số hạng B ( 2009 – ) : + = 503 B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515 VI / Vân dụng số công thức chứng minh vào làm tốn Ví dụ 14 : Chứng minh : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Từ tính tổng S = 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1) Chứng minh : cách : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) (k 2) (k 1) = k (k+1) = 3k(k+1) 18 Cách : Ta có k ( k +1) = k(k+1) (k 2) (k 1) k (k 1)(k 2) k (k 1)(k 1) = 3 � 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) � 1.2 = * 1.2.3 0.1.2 3 2.3.4 1.2.3 3 n( n 1)(n 2) ( n 1)n(n 1) n(n 1) 3 2.3 S= 1.2.0 (n 2) n( n 1) ( n 1) n( n 2) 3 Ví dụ 15 : CMR: k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) từ tính tổng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2) Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) (k 3) (k 1) Rút : k(k+1) (k+2) = = k( k+1) ( k +2 ) k (k 1)(k 2)(k 3) (k 1)k (k 1)(k 2) 4 áp dụng : 1.2.3 = 1.2.3.4 0.1.2.3 4 2.3.4 = 2.3.4.5 1.2.3.4 4 n(n+1) (n+2) = n(n 1)(n 2)(n 3) (n 1)n(n 1)(n 2) 4 Cộng vế với vế ta S = n (n 1)(n 2)(n 3) * BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Tính tổng sau 1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + S = + 52 + 53 + + 99 + 5100 C = + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 19 5, S = 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 7, A = 5 5 11 16 16.21 21.26 61.66 1 6, S = 9, Sn = 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 1 4 5.7 7.9 59.61 8, M = 1 1 2005 3 3 10, Sn = 2 1.2.3 2.3.4 98.99.100 11, Sn = 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n 1)(n 2)(n 3) 12, M = + 99 + 999 + + 99 .9 13, Cho: (50 chữ số ) S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 Tính S100 =? Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi kết hợp dạng tốn có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho em , chẳng hạn dạng tốn tìm x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820 1 1989 c, + 10 x( x 1) 1 1991 Hay toán chứng minh chia hết liên quan 15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 luỹ thừa b, B =2 + 22 + + + 60 ; 7; 15 c, C = + 33 +35 + + 31991 13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 16,Cho M = 20 22 24 26 22018 Tìm dư phép chia số M cho 17, Chứng minh: a)1 1 1 1 199 200 101 102 200 b) 51 52 100 99 2 20 DẠNG 3: TÌM X I Kiến thức Thứ tự thực phép tính Quy tắc chuyển vế; Quy tắc nhân Lũy thừa Giá trị tuyệt đối Phân số II Bài tập 51� x � � � �: 14 11 - (-53 + x) = 97 -(x + 84) + 213 = -16 (79x+2.52):13 = (14-9)2 - 32 19x 2.5 :14 13 8 2 42 x (x 1) (x 2) (x 99) 5450 ; x x 1 x x 30 1240 3x 17 12 x 2.1 x 20 � 2 � 462 � 2,04 : x 1,05 � : 0,12 19 10 � � � � 11 13 13 15 19 21 � � 2 11 11.x : ( - ) = 8 2 1,6 11 0,4 12 a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 13 2.3x 1 (3)2 33 x x �1 � �1 � 14 � � � � 17 (x số tự nhiên) �2 � �2 � x 1 15 = x 1 16 x 1 x 45 21 17 x 3 4 : 8 ;(x số tự nhiên) x 18 DẠNG 4: BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ I Kiến thức II Bài tập 3n 1)Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn 7n Gọi d ước nguyên tố 3n+2 7n+1 Suy 3n – n 1 Md � 11Md Do d = 11 3n M11 (khi 7n 1 M11 ) � 3n 11M11 � n 3 M11 � n 3M 11 � n 11k k �N 2) Tìm tất số nguyên n để: a) Phân số n 1 có giá trị số nguyên n2 b) Phân số 12n phân số tối giản 30n 3) Cho A = n n4 a) Tìm n nguyên để A phân số b) Tìm n nguyên để A số nguyên DẠNG 5: CHIA HẾT, SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG I.Kiến thức Chia hết, chia có dư, tính chất chia hết tổng, hiệu Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; Số phương, số nguyên tố, hợp số Ước, bội II Bài tập 1) 3100+19990) M2 2) Tìm tất cặp số tự nhiên (x,y) cho 34x5y chia hết cho 36 3) Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b � N) Chứng minh 10a + b chia hết cho 13 HD: 4b M13 � 10a + 40b M13 hay 10a + b + 39b M13 22 mà 39b M13 nên 10a + b M13 4) Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) cho ab ba số phương ĐS: ab � {43; 73} 5) Cho p, q số nguyên tố lớn 3thỏa mãn p = q + Tìm số dư chia (p+q) cho 12 (HD: q số nguyên tố lớn nên q có dạng 3k+1 3k+2 (k số tự nhiên lớn 0), p=q+2, p số nguyên tố nên q có dạng 3k+2.Khi p + q = 3k+2 + 3k+4 = 6(k+1); k khơng thể số chẵn, 3k+2 số nguyên tố Do k số lẻ Suy k+1 chẵn nên 6(k+1) chia hết cho 12) 6) M có số phương khơng : M = + + +…+ (2n-1) ( Với n N , n ) 7) Cho p p + số nguyên tè( p > 3) Chøng minh r»ng p + hợp số 8) Mt ngi bỏn nm gi xoài cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau bán giỏ cam số lượng xồi cịn lại gấp ba lần số lượng cam lại Hãy cho biết giỏ đựng cam, giỏ đựng xoài? HD: Tổng số xoài cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) Vì số xồi cịn lại gấp ba lần số cam cịn lại nên tổng số xồi cam cịn lại số chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư Trong số 65; 71; 58; 72; 93 có 71 chia cho dư Vậy giỏ cam bán giỏ 71 kg Số xồi cam cịn lại : 359 - 71= 288 (kg) Số cam lại : 288:4 = 72(kg) Vậy: giỏ cam giỏ đựng 71 kg ; 72 kg giỏ xoài giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg 9) Một số tự nhiên chia cho dư 5,chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? 23 HD: Gọi số a Vì a chia cho dư 5, chia cho 13 dư � a 9M7; a 9M 13 mà (7,13)=1 nên a 9M7.13 � a+9=91k � a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k �N) Vậy a chia cho 91 dư 82 10) Học sinh khối xếp hàng; xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 dư học sinh Nhưng xếp hàng 11 vùa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6? HD: Gọi số Hs khối a (3 nên không chia hÕt cho VËy n chia hÕt cho d ®ã n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hÕt cho Vậy n2 + 2006 hợp số ( ®iĨm) DẠNG 6: TÌM SỐ NGUN I CÁCH LÀM Cách 1: Biến đổi vế trái tích thừa số chứa x, y; Vế phải số Thừa số chứa x, y bên vế trái ước số bên vế phải Cách 2: Rút x theo y y theo x(Chú ý chia phải xét số 0) Làm tốn tìm x y để phân số số nguyên II BÀI TẬP 1) Tìm cặp số tự nhiên x , y cho : (2x + 1)( y – 5) = 12 2) x-3xy+2y=5 3) 3x-2y+xy-1=0 4) xy - x + 2y = 25 5) Tìm tất cặp số nguyên cho tổng chúng tích chúng DẠNG 7: HÌNH HỌC I KIẾN THỨC Điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng, góc Điểm nằm Trung điểm đoạn thẳng Tia nằm Tia phân giác Đếm hình II BÀI TẬP 1) Cho điểm A trung điểm đoạn thẳng BC, biết AB 3cm Vẽ hình tính AC, BC 2) Cho đoạn thẳng MN 101 điểm phân biệt nằm hai điểm M N Tính số đoạn thẳng tạo thành 3) Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm M N cho AB = 7cm, AM = 3cm, BN = 2cm Chứng tỏ rằng: N trung điểm đoạn thẳng MB 4) Cho đoạn thẳng AB N trung điểm AB Láy điểm M nằm hai điểm N B Chứng tỏ MN AM BM 5) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA < OB b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm lại? c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) 6) Cho góc vng xOy, tia Oz nằm hai tia Ox Oy Tính góc xOz góc yOz biết : 1� xOz � yOz 26 7) Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với tia OA;OB;OC;OD cho) có tất góc? 8) 27
Ngày đăng: 01/03/2022, 04:16
Xem thêm:
