Tài liệu Lý thuyết trường điên tử P2 doc

4 1.8K 8
Tài liệu Lý thuyết trường điên tử P2 doc

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Chương 2 - Trang 8 Chương 2: Giải tích véctơ 2.1. Giới thiệu Mô hình toán học cơ bản của hệ trường điện từ-môi trường là hệ phương trình Maxwell. Như sẽ thấy ở chương 2, hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng các toán tử về giải tích véctơ tác động lên các biến trạng thái E → , D → , B → , H → và J → . Do vậy trong chương này sẽ nhắc lại một số kiến thức thuộc phạm vi toán học có liên quan. 2.2. Các hệ tọa độ Hệ phương trình này thường được biểu diễn trong hệ tọa độ phù hợp với hình dạng của vật thể trong đó người ta nghiên cứu sự phân bố của trường điện từ. Có ba loại hệ tọa độ: Descartes, trụ và cầu. Tọa độ của mỗi điểm trong không gian, hệ thống véctơ đơn vị và các hệ số Lame trong các hệ tọa độ này được trình bày ở bảng sau: Hệ tọa độ Descartes Cầu Trụ Tọa độ trong không gian M(x, y, z) M(r, ϕ, z) M(R, θ, ϕ) h 1 h x = 1 h r = 1 h R = 1 h 2 h y = 1 h ϕ = r h θ = R Hệ thống véctơ đơn vị h 3 h z = 1 h z = 1 h ϕ = R.sinθ 1 q → 0 x → 0 r → 0 R → 2 q → 0 y → 0 → ϕ 0 → θ Hệ số Lame 3 q → 0 z → 0 z → 0 → ϕ 2.3. Các toán tử về giải tích véctơ Gọi ψ là một đại lượng vô hướng và A → là một đại lượng véctơ có các thành phần theo các trục 1, 2 và 3 (tùy theo hệ tọa độ, xem bảng trên) là A 1 , A 2 và A 3 . Chương 2 - Trang 9 2.3.1. Gradient Descartes: 00 0 ddd gradxyz dxdydz →→→ ψψψ ψ=++ (2.1) Trụ: 00 0 d1dd gradrz drrddz →→→ ψψψ ψ=+⋅ϕ+ ϕ (2.2) Cầu: 0 0 0 d1d1d gradR dRRdRsind →→→ ψψψ ψ=+⋅θ+⋅ϕ θ⋅θϕ (2.3) 2.3.2. Divergence Descartes: y xz dA dAdA divA dxdydz → =++ (2.4) Trụ: rz dA 1d(rA)1A divA rdrrddz → ϕ ∂ =⋅+⋅+ ϕ (2.5) Cầu: 2 R 2 dA d(sinA)1d(RA)11 divA RdRRsindRsind → ϕ θ θ =⋅+⋅+⋅ θθθϕ (2.6) 2.3.3. Rotation Descartes: 00 0 xyz xyz ddd rotA drdydz AAA →→→ → = (2.7) Trụ: 00 0 rz 11 rz rr ddd rotA drddz ArAA →→→ → ϕ ⋅ϕ⋅ = ϕ (2.8) Cầu: 0 0 0 2 Rz 111 R RsinRsinR ddd rotA dRdd ARARsinA →→→ → θ ⋅⋅θ⋅ϕ θθ = θϕ θ (2.9) Chương 2 - Trang 10 Như vậy: • Khi tác động toán tử grad lên một đại lượng vô hướng, ta có kết quả là một đại lượng véctơ. • Khi tác động toán tử div lên một đại lượng véctơ, ta có kết quả là một đại lượng vô hướng. • Khi tác động toán tử rot lên một đại lượng véctơ, ta có kết quả cũng là một đại lượng véctơ. 2.3.4. Nabla 113 111133 1d1d1d qqq hdqhdqhdq →→→ ∇=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ (2.10) gradψ = ∇ψ (2.11) div A → = ∇. A → (tích vô hướng) (2.12) rot A → = ∇∧ A → (tích hữu hướng) (2.13) 2.3.5. Laplace ∆ψ = div(gradψ) = ∇.∇ψ = ∇ 2 ψ (2.14) Descartes: 222 222 ddd dxdydz ψψψ ∆ψ=++ (2.15) Trụ: 22 222 d d(r) 11dd dr rdrrddz ψ ψψ ∆ψ=⋅+⋅+ ϕ (2.16) Cầu: 22 22222 d d(sin) 1d(R)11d d RdRRsindRsind Ψ θ Ψψ θ ∆ψ=⋅+⋅+⋅ θθθϕ (2.17) 2.3.6. Các hằng đẳng thức grad(ψ⋅Φ) = ψ⋅gradΦ + Φ⋅gradψ (2.18) div(ψ⋅ A → ) = A → ⋅gradψ + ψ⋅div A → (2.19) Chương 2 - Trang 11 div( A → ∧ B → ) = B → ⋅rot A → – A → ⋅rot B → (2.20) rot(ψ⋅ A → ) = ψ⋅rot A → + gradψ ∧ A → (2.21) rot(rot A → ) = grad(div A → ) – ∆ A → (2.22) rot(gradψ) = 0 (2.23) div(rot A → ) = 0 (2.24) 2.4. Các định biểu diễn các quan hệ tích phân thường gặp 2.4.1. Định Green-Stock Lưu số của véctơ A → dọc theo một vòng kín L bằng thông lượng của véctơ rot A → qua mặt S giới hạn bởi vòng kín L đó: LS AdlrotAdS →→→→ ⋅=⋅ ∫∫Ñ (2.25) 2.4.2. Định Ostrogradsky-Gauss Thông lượng của véctơ A → qua một mặt S kín bằng tích phân của véctơ div A → theo thể tích V chứa trong mặt S đó: SV AdSdivAdV →→→ ⋅=⋅ ∫∫Ñ (2.26) . bản của hệ trường điện từ-môi trường là hệ phương trình Maxwell. Như sẽ thấy ở chương 2, hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng các toán tử về giải. Như vậy: • Khi tác động toán tử grad lên một đại lượng vô hướng, ta có kết quả là một đại lượng véctơ. • Khi tác động toán tử div lên một đại lượng véctơ,

Ngày đăng: 25/01/2014, 16:20

Hình ảnh liên quan

Mô hình toán học cơ bản của hệ trường điện từ-môi trường là hệ phương trình Maxwell. Như sẽ thấy ở chương 2, hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng các  toán tử về giải tích véctơ tác động lên các biến trạng thái  E→ ,  D→,  B→,  H→ và  J→ - Tài liệu Lý thuyết trường điên tử P2 doc

h.

ình toán học cơ bản của hệ trường điện từ-môi trường là hệ phương trình Maxwell. Như sẽ thấy ở chương 2, hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng các toán tử về giải tích véctơ tác động lên các biến trạng thái E→ , D→, B→, H→ và J→ Xem tại trang 1 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan