Giới thiệu Mô hình toán học cơ bản của hệ trường điện từ-môi trường là hệ phương trình Maxwell.. Như sẽ thấy ở chương 2, hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng các toán tử về giải
Trang 1Chương 2: Giải tích véctơ
2.1 Giới thiệu
Mô hình toán học cơ bản của hệ trường điện từ-môi trường là hệ phương trình Maxwell Như sẽ thấy ở chương 2, hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng các toán tử về giải tích véctơ tác động lên các biến trạng thái E→, D→, B→, H→ và J→ Do vậy trong chương này sẽ nhắc lại một số kiến thức thuộc phạm vi toán học có liên quan
2.2 Các hệ tọa độ
Hệ phương trình này thường được biểu diễn trong hệ tọa độ phù hợp với hình dạng của vật thể trong đó người ta nghiên cứu sự phân bố của trường điện từ Có ba loại hệ
tọa độ: Descartes, trụ và cầu Tọa độ của mỗi điểm trong không gian, hệ thống véctơ
đơn vị và các hệ số Lame trong các hệ tọa độ này được trình bày ở bảng sau:
h1 hx = 1 hr = 1 hR = 1
h2 hy = 1 hϕ = r hθ = R
Hệ thống
véctơ đơn vị
h3 hz = 1 hz = 1 hϕ = R.sinθ
1
q
→
0
x
→
0
r
→
0
R
→
2
q
→
0
y
→
0
→
→
θ
Hệ số Lame
3
q
→
0
z
→
0
z
→
0
→
ϕ
2.3 Các toán tử về giải tích véctơ
Gọi ψ là một đại lượng vô hướng và A
→
là một đại lượng véctơ có các thành phần theo các trục 1, 2 và 3 (tùy theo hệ tọa độ, xem bảng trên) là A1, A2 và A3
Trang 22.3.1 Gradient
ψ = + ⋅ ϕ +
ψ = + ⋅ θ + ⋅ ϕ
2.3.2 Divergence
Descartes: dAx dAy dAz
div A
dx dy dz
→
Trụ: 1 d(rA )r 1 dA Az
div A
→
ϕ ∂
= ⋅ + ⋅ +
Cầu:
2 R 2
dA d(sin A )
div A
→
ϕ θ
θ
2.3.3 Rotation
Descartes:
rot A dr dy dz
→
Trụ:
rot A
→
ϕ
⋅ ϕ ⋅
Cầu:
2
R
→
θ
θ
(2.9)
Trang 3Như vậy:
• Khi tác động toán tử grad lên một đại lượng vô hướng, ta có kết quả là một đại
lượng véctơ
• Khi tác động toán tử div lên một đại lượng véctơ, ta có kết quả là một đại lượng
vô hướng
• Khi tác động toán tử rot lên một đại lượng véctơ, ta có kết quả cũng là một đại
lượng véctơ
2.3.4 Nabla
div A
→
= ∇ A
→
rot A
→
= ∇∧A
→
2.3.5 Laplace
∆ψ = div(gradψ) = ∇.∇ψ = ∇2ψ (2.14) Descartes:
dx dy dz
ψ ψ ψ
Trụ:
d d(r )
ψ
ψ ψ
∆ψ = ⋅ + ⋅ +
Cầu:
d d(sin )
Ψ θ
2.3.6 Các hằng đẳng thức
grad(ψ⋅Φ) = ψ⋅gradΦ + Φ⋅gradψ (2.18) div(ψ⋅A
→
) = A
→
⋅gradψ + ψ⋅div A
→
(2.19)
Trang 4div( A
→
∧B
→
) = B
→
⋅rot A
→
– A
→
⋅rot B
→
(2.20) rot(ψ⋅A
→
) = ψ⋅rot A
→
+ gradψ∧A
→
(2.21) rot(rot A
→
) = grad(div A
→
) – ∆A
→
(2.22)
div(rot A
→
2.4 Các định lý biểu diễn các quan hệ tích phân thường gặp
2.4.1 Định lý Green-Stock
Lưu số của véctơ A
→
dọc theo một vòng kín L bằng thông lượng của véctơ rot A
→
qua mặt S giới hạn bởi vòng kín L đó:
A dl rot A dS
⋅ = ⋅
2.4.2 Định lý Ostrogradsky-Gauss
Thông lượng của véctơ A
→
qua một mặt S kín bằng tích phân của véctơ div A
→
theo thể tích V chứa trong mặt S đó:
A dS→ →⋅ = div A dV→⋅
