Bài tập lớn Chủ đề Phương pháp tọa độ trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN - - HỒ THỊ ĐỨC THẢO TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Huế, tháng năm 2017 Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T Bài toán 1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(4; 2;4)  x  3  2t  đường thẳng d :  y   t (t  )  z  1  4t  Viết phương trình đường thẳng  qua A , cắt vng góc với đường thẳng d Bài giải: Cách 1: Đường thẳng  cần tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( P) (Q) , ( P) mặt phẳng qua A chứa d , (Q) mặt phẳng qua A vng góc với d Đường thẳng d qua B(3 ; ;  1) có vectơ phương u  (2 ;  ; 4) Ta có: AB  (1 ; ;  5) Mặt phẳng ( P) nhận u AB làm vectơ phương, suy ( P) có vectơ pháp tuyến là: n   u, AB   (1 ;  ;  1) Mặt phẳng ( P) qua A(4 ;  ; 4) nhận n  (1 ;  ;  1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 1( x  4)  2( y  2)  1( z  4)  hay x  y  z   Vì (Q)  d nên (Q) nhận u  (2 ;  ; 4) làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng (Q) là: 2( x  4)  1( y  2)  4( z  4)  hay x  y  z  10    ( P)  (Q)  x  1  3t x  y  z    Vậy phương trình  là:  hay  y  2t 2 x  y  z  10  z   t  Cách 2: Vì  qua A vng góc với d nên  phải nằm mặt phẳng ( P) qua A vuông góc với d Mặt phẳng ( P) nhận vecto phương u  (2 ;  ; 4) d làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng ( P) là: x  y  z  10  2016 – 2017 Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T Gọi M  d  ( P) M (3  2t;1  t; 1  4t )  d M  M  ( P)  2(3  2t )  (1  t )  4(1  4t )  10   t  Vậy M (1;0;3) Khi đó: AM  (3;2; 1) Đường thẳng  qua A M có phương trình: x4 y2 z4   1 Cách 3: Gọi M hình chiếu vng góc A d M  d Suy ra: M (3  2t;1  t; 1  4t ) Khi đó: AM  (1  2t;3  t; 5  4t ) Đường thẳng d có vectơ phương u  (2 ;  ; 4) Ta có: AM  d  AM u   2(1  2t )  1(3  t )  4(5  4t )   t  Suy ra: AM  (3;2; 1) Đường thẳng  qua A M nên có phương trình x4 y2 z4   1 Phân tích: Bài tốn có nhiều cách giải, học sinh viết phương trình đường thẳng  giao tuyến mặt phẳng ( P ) (Q ) , mp ( P ) chứa A d , mp (Q ) chứa A vng góc với d (cách 1) xác định giao điểm M  d lập phương trình  qua A M (cách 3) Nếu học sinh thất bại từ bước xác định vectơ phương đường thẳng d dựa phương trình tham số đề cho câu hỏi tự luận khơng thể cho ta biết điều khả học sinh khía cạnh khác câu hỏi Các cách giải khác kiểm tra học sinh nhiều kiến thức kỹ cách xác định vectơ phương đường thẳng biết phương trình tham số, viết phương trình mặt phẳng biết tọa độ điểm qua vectơ pháp tuyến hai vectơ phương, chuyển đổi dạng biểu diễn khác phương trình đường thẳng Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng: 2016 – 2017 Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T  x   2t   Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :  y  2  t   z  Vectơ sau vecto phương đường thẳng  ? A a  (1 ;  ;5)   B a  1;  ;5    C a   6; 1;0    D a   2;  ;5    Đáp án: C Phân tích: Để chọn phương án học sinh cần biết cách tìm vectơ phương đường thẳng biết phương trình tham số vectơ phương đường thẳng phương với nhau, điểm mà học sinh khơng ý Khi nhìn vào phương trình đường thẳng  , học sinh dễ dàng tìm vectơ phương đường thẳng  u   2;  ;0  Tuy nhiên kết   lại không trùng với phương án câu hỏi đưa ra, dẫn đến việc học sinh phải suy nghĩ đến vectơ phương khác phương với u , cụ thể a   6; 1;0  (phương án C ) Các phương án A, B, D gây nhiễu lại đưa dựa việc học sinh nhầm lẫn tọa độ điểm mà đường thẳng qua (tương ứng với hệ số tự do) với tọa độ vectơ phương đường thẳng (tương ứng với hệ số tham số t) Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng qua điểm M (4 ; ; 1) có vectơ pháp tuyến n  (2 ; ;  4) phương trình phương trình sau đây? A x  y  z  13  B x  y  z  13  C x  y  z  13  D x  y  z   Đáp án: A 2016 – 2017 Hồ Thị Đức Thảo Tốn 4T Phân tích: Để chọn phương án học sinh cần nhớ phương trình mặt phẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp tuyến n  (a; b; c) là: a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  Các phương án nhiễu đưa dựa việc học sinh nhầm lẫn tọa độ điểm M với tọa độ vectơ pháp tuyến (phương án B), hay sai sót, bất cẩn q trình tính tốn (phương án C D) Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) A x  y  z   x 1 y z 1   1 B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   qua A(0 ; ; 1) vng góc với đường thẳng d : Đáp án: A Phân tích: Để làm câu hỏi này, học sinh cần biết mặt phẳng ( ) vuông góc với đường thẳng d vecto phương đường thẳng d vecto pháp tuyến mặt phẳng ( ) Các phương án nhiễu đưa dựa việc học sinh sai sót q trình tính tốn  x  1  3t  Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y  2t z   t  Phương trình sau khơng phương trình đường thẳng d ? x  y  z   A  2 x  y  z  10  B  x  1  6t  C  y  4t  z   2t   x  2  3t  D  y   2t  z   1t  x4 y2 z4   1 Đáp án: D Phân tích: Để chọn phương án đúng, học sinh cần có chuyển đổi linh hoạt dạng biểu diễn khác phương trình đường thẳng Các phương án gây nhiễu đưa dựa việc học sinh lúng túng đường thẳng biểu diễn dạng giao mặt phẳng (phương án A), dạng 2016 – 2017 Hồ Thị Đức Thảo Tốn 4T tắc phương trình đường thẳng (phương án B ), dạng khác phương trình tham số chọn điểm qua vecto phương đường thẳng khác với phương trình đề cho (phương án C) Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(4 ; -3 ; 2) đường x2 y2 z Tìm tọa độ hình chiếu vng góc M A   1 đường thẳng d ? thẳng d : A M ( 1 ; ; 1) B M (1 ; ;  1) C M ( 1 ; ;  1) D M ( 1 ; ; 2) Đáp án: B Phân tích: Để chọn phương án học sinh làm theo hai cách: tìm giao điểm M mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng d đường thẳng d tìm giao điểm M đường thẳng AM đường thẳng d dựa điều kiện AM  d Các phương án nhiễu đưa dựa việc học sinh sai sót q trình tính tốn x  1 t  Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y   t  z   2t  mặt phẳng ( P) : x  y  z   Giao điểm M d (P) có tọa độ gì? A M (3 ; ;  5) B M (2 ; 1;  7) C M (4 ; ; 5) D M (1 ; ; 0) Đáp án: A Phân tích: Để chọn phương án học sinh cần biết điểm M  d M (1  t ;  t ;  2t ) sau tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) để tìm giá trị t Các phương án nhiễu đưa dựa việc học sinh nhầm lẫn q trình tính tốn Câu 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng 2016 – 2017 Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T x   t x  y 1 z  d1 :   d :  y   2t có vectơ pháp tuyến gì? 3 z   t  A n  ( 5;6; 7) B n  (5; 6;7) C n  ( 5; 6;7) D n  ( 5;6;7) Đáp án:D Phân tích: Để chọn phương án đúng, học sinh cần tìm vecto phương đường thẳng d1 d cho dạng phương trình tham số hay tắc, sau tính tích có hướng vectơ phương để tìm vectơ pháp tuyến Các phương án nhiễu đưa dựa việc học sinh sai sót dấu trình tính tốn Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A(3;0;0), C (0;0;1) tạo với mp (Oxy) góc 60 Bài giải: Mặt phẳng ( P) qua A, C tạo với mp (Oxy) góc 60 nên ( P) cắt Oy điểm B(0; b;0) khác gốc O  b  Phương trình mp(P) là: x y z    hay bx  y  3bz  3b  b Suy ra: nP  (b;3;3b) Mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến k  (0;0;1) Theo giả thiết, ta có: cos(n p , k )  cos600  3b b   9b   6b  10b   b  b 26 26 Vậy có hai mặt phẳng ( P) thỏa mãn yêu cầu đề bài: x  26 y  3z   x  26 y  3z   Phân tích: Nếu từ giả thiết mặt phẳng ( P ) qua điểm A  Ox tạo với mp (Oxy) góc 60 học sinh khơng suy (P) cắt trục Oy điểm 2016 – 2017 Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T khác với gốc tọa độ câu hỏi tự luận khơng cho ta biết khả học sinh khía cạnh khác tốn viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, tính góc hai mặt phẳng dựa góc hai vectơ pháp tuyến Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( ) mặt phẳng cắt ba trục tọa độ ba điểm A(0 ; ; 3), B (0 ; -1 ; 0), C(4 ; ; 0) Phương trình ( ) gì? x y z x y z   0 B ( ) :    1 4 1 x y z x y z C ( ) :    D ( ) :    1 3 1 Đáp án: B Phân tích: Để chọn phương án đúng, học sinh cần nắm phương trình A ( ) : mặt phẳng theo đoạn chắn qua điểm A(a ; ; 0) , B(b;0;0) , C (0;0; c) x y z   1 a b c Các phương án nhiễu đưa dựa việc học sinh nhớ sai vế phải phương trình mặt phẳng theo đoan chắn (phương án A,C) viết phương trình theo thứ tự điểm đề cho (phương án A,D) Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( P) : x  y  3z   (Q) : x  y  z   Gọi  góc hai mặt phẳng ( P ) (Q ) Tính cos  A cos   14 B cos    14 C cos   14 D cos    14 Đáp án: C Phân tích: Để chọn phương án học sinh cần nắm công thức cos   nP nQ n p nQ 2016 – 2017 Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T Các phương án gây nhiễu đưa dựa việc học sinh làm thiếu dấu giá trị tuyệt đối tử số công thức trên, dẫn đến cos nhận giá trị âm (phương án B D) hay sai sót q trình tính tốn (phương án A D) Bài tốn 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (2 ; ; 2), B (0 ; ; 1), C(5 ; ; 5)  , D ( 2 ; ; 5) a Chứng minh: A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện b Tính thể tích khối tứ diện ABCD Bài giải: a Ta có: AB  (2 ; ; 1) , AC  (7 ; ;  7)  1 1 2  ; ; Suy ra:  AB, AC      ( 21 ; ;  21) 7 7     AD  (0;7; 7) nên  AB, AC  AD  49  147  A, B, C, D không đồng phẳng nên đỉnh tứ diện 196 98  AB, AC  AD    6 Phân tích: Bài tốn u cầu học sinh vận dụng tích có hướng để kiểm tra tính đồng phẳng điểm khơng gian tính thể tích tứ diện Tuy nhiên học sinh điều kiện để điểm khơng đồng phẳng tốn khơng thể cho ta biết phần câu hỏi học sinh trả lời b VABCD  Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng: Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (0 ; ;  2), B ( 3 ; ; 1), C (4 ; ; 0) D (1 ; ; m) Tìm m để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng Một học sinh giải sau: Bước 1: AB  (3 ;  ; 1) ; AC  (4 ; ; 2) ; AD  (1 ; ; m  2)  1 1 3 3 1  ; ; Bước 2:  AB, AC      ( 3 ; 10 ; 1) 2 4   Bước 3: A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  AD   m   Đáp số: m  5 2016 – 2017 Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T Bài giải hay sai? Nếu sai sai bước nào? A Đúng B Sai bước C Sai bước D Sai bước Đáp án: C Phân tích: Câu hỏi kiểm tra kiến thức tổng hợp tích vơ hướng điều kiện để điểm không gian đồng phẳng, khả phân tích, theo dõi bước giải để tìm lỗi sai Câu : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M (2 ; ;  1), N (3 ; ; 1), P(2 ;  ; 3) , điểm Q nằm trục Oy thể tích tứ diện MNPQ Tìm tọa độ điểm Q A Q(0 ;  ; 0) B Q(0 ;  ; 0) Q(0 ; ; 0) C Q(0 ; ; 0) D Q(0 ; ; 0) Q(0 ;  ; 0) Đáp án: B Phân tích: Để chọn phương án đúng, học sinh cần nắm cơng thức tính  MN , MP  MQ  6 Các phương án nhiễu đưa dựa việc học sinh xét thiếu trường hợp phá dấu giá trị tuyệt đối cơng thức tính thể tích (phương án A C) hay tính sai dấu (phương án D) thể tích tứ diện MNPQ VMNPQ  KẾT LUẬN Việc chuyển toán tự luận thành câu hỏi trắc nghiệm khách quan kiểm tra khía cạnh khác tốn giúp đánh giá học sinh cách xác hơn, Tuy nhiên, trắc nghiệm khách quan thường phù hợp với toán mức độ nhận biết thông hiểu, mức độ vận dụng cao loại hình câu hỏi khơng thể bước suy luận học sinh để giải toán 2016 – 2017 10 ... học sinh nhầm lẫn tọa độ điểm M với tọa độ vectơ pháp tuyến (phương án B), hay sai sót, bất cẩn trình tính tốn (phương án C D) Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt... phẳng tốn khơng thể cho ta biết phần câu hỏi học sinh trả lời b VABCD  Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng: Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (0 ; ;  2), B ( 3 ;... câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( ) mặt phẳng cắt ba trục tọa độ ba điểm A(0 ; ; 3), B (0 ; -1 ; 0), C(4 ; ; 0) Phương trình ( ) gì?