Tổng hợp công thức Toán THPT

Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Parabol y ax bx c a Công thức toán THPT b; Đỉnh I 2a 4a a 0: Bề lõm quay xuống a 0: Bề lõm quay lên Phương trình ax bx c a Có hai nghiệm phân biệt khi0 , có nghiệm kép khi0 , vơ nghiệm khi0 Nếu phương trình có hai nghiệm x ,x ta có định lí Vi-et: S x x c x a Phương trình có hai nghiệm trái dấu P ac Phương trình có hai nghiệm dấu P x b 2 a P 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương S , hai nghiệm phân biệt âm S P P Phương trình có hai nghiệm phân biệt x ,x2 thỏa mãn x 1x2 x 1x 20 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x ,x2 thỏa mãn x x 2x x x x 1x 20 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x ,x2 thỏa mãnx x 2x x 1x 20 Chú ý: a chứa tham số xét riêng a Nếu yêu cầu hai nghiệm (khơng phân biệt) Phương trình chứa trị tuyệt đối gx afx b gx hx f x g x fx gx f x gx fx g xf x g x fx Dạng ta chia trường hợp để giải gx Phương trình chứa f x gx f x or g x f f x gx x gx f x a f x b gx fx g x fx c Đặt tf x Đưa pt bậc ẩn t gx hx PP: Tìm điều kiện bình phương vế, đưa phương trình hệ fx gx PP: Đặt t f x gx f x hx g x Một số dạng khác sử dụng nhân liên hợp, đưa hệ đánh giá… Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT f x g x theo t, đưa phương trình cho bậc hai theo ẩn t Phương trình trùng phương ax bx c a PP: Đặt t x vô nghiệm at bt c 2 vơ nghiệm, có nghiệm âm có nghiệm có nghiệm kép 0, có nghiệm nghiệm âm có nghiệm phân biệt có nghiệm kép dương, có nghiệm âm nghiệm dương có nghiệm phân biệt có nghiệm dương nghiệm có nghiệm phân biệt có nghiệm phân biệt dương Hệ phương trình Đối xứng loại I f x;y Hệ đẳng cấp bậc a x b xy c y d Đối xứng loại II 1 x;y g fx;y ax 2 Với gx;y gy;x PP: Đặt S x y , P xy với điều kiện S 4P fx f x g gx fx gx x 2 với vế phương trình cho nhau, đưa phương trình bậc hai theo t Bất phương trình chứa trị tuyệt đối fx gx gx PP: + Giải hệ x + Khi x 0, đặt y tx, chia vế fy;x PP: Trừ hai vế phương trình cho nhau, sau đưa phương trình tích fx;y fy;x b xy c y d gx gx fx gx gx fx gx f xg x Các dạng khác: Dùng định nghĩa trị tuyệt đối, chia khoảng để giải Bất phương trình chứa g x fx0g x fx g gx x f fx gx x gx f x0 fx gx x fx g f x g x g x Các dạng khác: Đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, đánh giá… Ứng dụng dấu tam thức bậc hai ax bx c 0, x a ax bx 0, c a c x x 0, ax bx ax bx c 0, x a a 0 0 Công thức lượng giác cos cos sin sin tan tan cot cot sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos tan tan cot cot cos tan 2 sin cot tan tan Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT cot tan cotcot sin 2a sina cosa sin 2cos 21 cos a b cos a cos b sin a sinb cos a cos b sin a sinb tan2 cos a b cos cos 2a cos a sin2 a 2 cos a 1 sin a sin a cos b cos a sinb sin a b sin a b cot sin tan cot1 2 tana tan 2a sin a cos b cos a sinb tan tan a b tan a tanb tan a b tan a tanb tan a tanb a sin 3a sin a sin3 a cos3a cos a 3cosa tan 3a tan a tan3 a tan a tanb cos2 a cos 2a 2 sin a cos 2a 2 tan a cos 2a cos 2a cos a cos a cos 3a sin a sin a sin 3a tan2 a cos a cos b cos a b cos a b sin a sin b cos a b cos a b sin a cos b sin a b sin a b cos a cos b cos a b cos a b cos a cos b sin a b sin a b sin a cos a sin a sin a sin b sin a b cos a b sin a cos a sin a 2 sin a sin b sin a b cos a b 2 4 Vectơ tính chất AB BC AC Nếu ABCD hình bình hành AB AC CB I trung điểm đoạn AB AC AB AD G trọng tâm tam giác ABC IA IB0 MA MB 2MI Ba điểm phân biệt A, B ,C thẳng hàng GA GB GC MA MBMC 3MG Cho a a b x x ;y y AB x ;y1 k a kAC k ,b x ;y2 , k kx;ky 1 a b x y x2 y2 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Vectơb phương với a x1 I trung điểm AB AB x y x 2y 2 x y x ;y A b x A x B ;yI I y A y B yC y A yB x 12 y12 a MA kMB xx yy cos a ,b a b 2 2 x1 y x a b Một số kết cần nhớ y 1y2 2 a y22 b xx yy 2 H trực tâm tam giác ABC A, B ,C lập thành tam giác BC AH IA x Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k cos a, b x 1x BH yA B xGx A x B x C ;yG a B G trọng tâm tam giác ABC a b Công thức toán THPT AB AC khơng phương I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IB2 IC 2 EB IA AC AE đường phân giác ABC AB AC EC Hệ thức lượng tam giác thường cosA b c a2 b c 2bc cosA Hệ thức lượng tam giác vuông a m b2 c a2 a S 1a h 2bc c a b sin A sin B 2R sinC bc sinA abc pr ABC a 4R pp a p b p c Với ma : Đường trung tuyến xuất phát từ A a b ah bc ; h c2 1 b c : đường cao xuất phát từ A p a b c : nửa chu vi tam giác ABC b a b ; c a c R, r : bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp h b c2 Phương trình đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng qua M x ;y0 a ;b có vtcp u là: x x 0 y y x x Phương trình tắc đường thẳng qua M có vtcp u a ;b là: x ;y0 at bt y y b Phương trình tổng quát đường thẳng qua M x ;y0 có vtpt n a ; b là: a x x b;a Đường thẳng ax by c có vtpt n a ;b có vtcp u Đặc biệt: Trục Ox : y 0, trục Oy : x Cho a1 b1 : a 1x b1y c 0; a c1 a 2 b2 c2 a1a b1b2 b 1 : a x b y c2 c cos , a b y y0 cắt a1 : b1 : c1 c2 n n2 x ;y0 cos n , n n n b2 ,M a d M0 ; a x a : b2 :c2 b x a1 c x b12 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Phân giác góc tạo a1x b1y c1 Công thức toán THPT Cho : f x ; y ax by c + A, B phía vớif a x b2 y c f A a b 2 a 2 b + A, B khác phía vớif A B f B Phương trình đường trịn x x a y ax by c có tâm I a ; b y b R có bán 2 có tâm I a ;b có bán kính R a b kính R c a b c Phương trình đường elip x a F1 c;0 , F2 c;0 : Các tiêu điểm F1F2 2c : Tiêu cự y 2 a b 0; b a c2 b A1 a;0 , A2 a;0 A1A2 2a : Độ dài trục lớn B1 0; b , B2 0;b B1B2 2b : Độ dài trục bé Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Phương trình lượng giác sin u u sin u sinvu k v k uv k2 Phương trình cos u cosvu k v k2 sin u1 u k2 sin u u k cos u u k2 cos u uk2 u v k2 Đặt t a sin x b sin x c k2 cos u u k tan u tanv u v k cot u cotv u v k t , đưa giải phương trình bậc hai sin x ( tương tự cos x, đặt tan,cot khơng cần điều kiện t ) Chia hai vế cho a b2 sau đưa PTLG Chú ý: Phương trình có nghiệm a2 b2 c2 Xét trường hợp + TH1: cos x sin x Thay vào phương trình kết luận a sin x b sin x cos x c cos2 x d + TH2: cos x : Chia hai vế phương trình cho cos x , đưa phương trình bậc hai tanx Đặt t sinx cosx t , biểu diễn sin x cosx theo t, đưa a(sin x cos x) b sin x cosx a sin x b cosx c c phương trình cho bậc hai theo t Phân tích thành nhân tử đánh giá Phương trình dạng dạng khác Hốn vị - chỉnh hợp – tổ hợp Quy tắc cộng Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai Một cơng việc hồn thành hai hành động hành động Nếu hành động có m cách thực liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ hiện, hành động có n cách thực khơng ứng với cách có n cách thực trùng với cách hành động thứ hành động thứ hai có m.n cách hồn thành có m n cách hồn thành cơng việc cơng việc Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp Chọn k phần tử từ phần tử từ n phần tử ta có số Sắp xếp (đổi chỗ) n phần tử khác Chọn k n phần tử sau thứ tự chúng có có Pn n ! cách cách chọn Cnk k k A cách n !n n 1 n! C n n! An n k ! k Quy ước: 0! Cho n điểm không gian, khơng có điểm thẳng hàng n n k !k ! Một số kết cần nhớ Số đường thẳng qua hai điểm: Cn2 Số vectơ khác nối hai điểm bất kì: A2 Số tam giác tạo thành: C n n Nếu n điểm khơng có điểm đồng thẳng số tứ diện tạo thành: Cn4 Số đường chéo đa giác: C n n Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Nếu khơng có đường chéo đồng quy số giao điểm đường chéo mà giao điểm nằm đa giác C n Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác: C n Cho đa giác lồi Số tam giác có cạnh đa giác, cạnh lại đường chéo: n n n đỉnh Số tam giác có cạnh đa giác, cạnh lại đường chéo: n Số tam giác có cạnh đường chéo đa giác: C n3 n n n n Cn2 Số tam giác vuông tạo thành: 4.C với n chẵn; với n lẻ n Cho đa giác n đỉnh Số tam giác tù tạo thành: n.C2n với n chẵn; n Cn2 n với n lẻ Số tam giác nhọn số tam giác ( số tam giác vuông số tam giác tù) Cho đa giác 2n đỉnh n Số hình chữ nhật: Cn2 Cho đa giác Số tam giác đều: n 3n đỉnh n Số tam giác cân không đều: 3n Số tam giác vuông: 4.Cn2 3n 2 với n Xác suất nA: n 0PA1 n số phần tử biến cố A P0,P1 với n lẻ PAB PA.PB A : b/cố đối A P A : Xác suất biến cố A 3n Hai biến cố độc lập việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến biến cố khác Nếu A, B độc lập PA 1PA : số phần tử không gian mẫu 3n Hai biến cố xung khắc A B Nếu A, B xung khắc P A B P A P B nA PA chẵn; TQ: PA B PA PB PAB Nhị thức Niutơn a b n n C n k a nk k k b C n Cn C nk C nk Cnk 11 k C k a n k bk Số hạng thứ k : T k1 nk Ak k !C k n n C0 n 2n n n C n C n C n n C n C n C n Cnn C C nC C C 2n 2n 2n 2n n 2n Cấp số un un1 un d Cấp số cộng u1 n d u u k1 S u n nu1 u u lim x x0 f x f x n 2u n 1d S u n n u 2 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S u1 u un Hàm số y f x un k1 Cấp số nhân u n u n q u n u1 qn uk2 u k uk k u liên tục x or lim f x lim f u n q 1 q u1 q Hàm số liên tục Hàm số y f x liên tục đoạn a ;b x f x liên tục khoảng a;b 0 x x u1 qn x x0 x a lim f x x b fa ; lim f x fb Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Nếu hàm số khơng liên tục x0 x0 gọi điểm gián đoạn hàm số f x Hàm số y f x liên tục a ;b f a f phương trình f x có nghiệm b thuộc khoảng a;b Công thức đạo hàm C u v u v u v u v v u u v Hàm thường Hàm hợp kx k x ku n n xn u x u u u sinu u cosu cosu u sinu tanx1 tan x cot x u tanu cos x cotx1 n u2 u u sin x cosx cosx sin x sin2 x cos2 u u cotu sin2 u ex e u u eu ax a x lna a u u a u lna lnx e x n u u x n x2 x k u lnuuu x loga x x lna loga u u u lna uv vu v Phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm sốy f Tiếp tuyến có hệ số góc k, ta giải phương x điểm M x ;y0 : y f x x x y0 trình f x k x0 y0 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ax b y f x a x0 y0 ax b f xa x0 y0 Tiếp tuyến qua điểm A x ;y0 có hệ số góc k Tiếp tuyến có hệ số góc k tạo với đường thẳng d : y ax b góc : k a tan thỏa mãn hệ k f x fx kx x ka y0 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Quan hệ song song Nếu a không nằm P song song với b nằm P a P Nếu d P mặt phẳng Q chứa a mà cắt P cắt theo giao tuyến song song với a Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy, song song với Nếu P chứa hai đường thẳng a , b cắt song song với mặt phẳng Q P Q Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng P Q song với mặt phẳng R cắt P phải cắt Q giao tuyến chúng song song với Quan hệ vng góc Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm P d P Định lí đường vng góc: Cho đường thẳng a khơng vng góc với P đường thẳng b nằm P , điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a a P P Q P chứa đường thẳng d d Q Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng cịn lại Nếu P Q A P đường thẳng a qua điểm A vng góc với Q a P Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba Góc đường thẳng đường thẳng, mặt phẳng, góc hai mặt phẳng Góc đường thẳng a b góc đường thẳng a b qua qua điểm song song với a b Góc đường thẳng a P góc a hình chiếu vng góc a a lên P Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Cơng thức dcm tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hình chóp S.ABC có đường cao SH Khi d SA, BC Trong đó: d d A, BC m SH đ ể = â để ắ = c2 d2 m2 11 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Tổng khoảng cách ngắn từ điểm M đến hai đường tiệm cận dmin ad bc Coâng thức toán THPT Diện tích tam giác Khoảng cách ngắn hai điểm P ,Q IAB khơng đổi S ad bc IAB c2 thuộc hai nhánh đồ thị PQ 2 ad bc c2 c2 Điểm M thỏa mãn tính chất: Tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất, khoảng cách IM ngắn nhất, khoảng cách từ I đến tiếp tuyến M đại giá trị lớn nhất, tiếp tuyến M vng góc với IM, tam giác IAB vuông cân, chu vi tam giác IAB nhỏ nhất, AB nhỏ nhất, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ điểm M phải thỏa mãn tính chất IA IB y xM M , N thuộc hai nhánh khác C cho M , N thuộc hai nhánh khác C MN nhỏ hồnh độ điểm M , N thỏa mãn y a Tiệm cận ngang y c : Nếu tiệm cận ngang nằm Ox ac 0, nằm Ox ac cho tiếp tuyến C M , N song song khoảng cách hai tiếp tuyến lớn hồnh độ điểm M , N thỏa mãn y Cách nhận dạng đồ thị hàm phân thức bậc nhất/ bậc Giao Ox : x Tiệm cận đứng x b d Giao Oy : y d Nếu giao c: Nếu tiệm cận đứng nằm bên trái Oy cd 0, a b Nếu giao điểm nằm bên trái Oy ab 0, nằm bên phải Oy ab điểm nằm Ox bd 0, nằm Ox bd nằm bên phải Oy cd Cho hàm số y f x có giá trị lớn nhỏ D M m max fx M m M m f x D D M m M m M m M m Cô lập m giải phương trình,D bất phương trình D f x m có nghiệm D f x m max f x D D f x m nghiệm x f x x D m f D m có nghiệm D m max f D x f x m nghiệm x D m max f f x m có nghiệm D m f x x Chú ý: Nếu có dấu bất phương trình ta thêm dấu điều kiện tương ứng (nên xét riêng dấu xem có xảy không) Một số ta vẽ bảng biến thiên dùng tương giao để giải Đồ thị hàm lũy thừa : Điều kiện f x y fx 0,: Điều kiện f x : Điều kiện hàm số điều kiện f x Đồ thị hàm số y x qua điểm I 1;1 12 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Đồ thị hàm số mũ x y a có tập xác định D , tập giá trị T 0; Đồ thị hàm số y ax qua điểm I 0;1 có tiệm cận ngang trục hoành Vẽ đường thẳng x để so sánh a , b, c, d ( hình vẽ b a d c) Đồ thị hàm số logarit y loga x có tập xác định D 0; , tập giá trị T Đồ thị hàm số y loga x qua điểm I 1; có tiệm cận đứng trục Oy Vẽ đường thẳng y để so sánh a , b, c, d ( hình vẽ ba d c 0) am Công thức mũ a, b a m a n a Công thức logarit a,b 0,a loga am n m n an ab aa a a am n am n m n m am a b m am m bm b m an n n a loga ba b log log10 ; ln loge log a log a a log a b n n loga b loga n b loga b b c log a b loga c c log bc log a b loga bc loga b loga c a n 1 log a b logc a b log b b logb a a a log c b c log a b Bài toán lãi suất Lãi đơn: Số tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn tiếp Lãi kép: Số tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Bài toán 1: Gửi vào ngân hàng T đồng với lãi kép r% / kì hạn, số tiền nhận sau n kì hạn Tn T r% n Bài toán 2: Hàng tháng gửi t đồng vào ngân hàng với lãi kép r% / tháng, tổng số tiền nhận sau n tháng Tn t r% r% n Bài toán 3: Gửi ngân hàng T đồng với lãi kép r% / tháng, hàng tháng rút t đồng, số tiền lại sau n tháng n Tn T r% t r% r% n Hết tiền Tn Bài toán tương đương: Vay ngân hàng số tiền T đồng với lãi kép r% / tháng, hàng tháng trả t đồng Số tiền nợ sau n tháng n T T r% n t r% n r% Trả hết nợ Tn 13 r% Söu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Tính chất ngun hàm Nếu F x nguyên hàm f x F x f x f x dx F x C f x dx f x C kf x dx k f x dx k f x g x dx f x dx g x dx n 1 e (ax b )n dx (ax b)n C n dx xn n a dx ln x C x x2 f u du F u C Nguyên hàm cần nhớ kdx kx C 0dx C x f x dx f x xC dx e C x e a n 1 ax b C a C dx a e x a x dx C ax b dx a ln ax b C 1 dx a ax b C (ax b) dx mx n ax b dx x a C mx n lna sin xdxcosx C m lna cos(ax b ) C sin(ax b )dx cos xdx sinx C cos(ax b )dx a sin(ax b ) C dx a cot(ax b) C dx cotx C sin x sin (ax b) dx dx tanx C cos x tan xdxln cos (ax b) cosx C tan ax b dxa ln cot ax b dx sin x dx ln tan(ax b) C a cot xdx ln sinx C dx a tan cos x ln x dx C sin x ax cos ax b C sin ax b C ln tan ax b C a ln a b dx cot C ln cot ax b C cos ax b a Nguyên hàm mở rộng dx ln ax b C a2 ax b cx d ad bc cx d dx ln x C 2 x a x2a dx arcsin x C a x a x dx a x x x2 a a a x x2 a Phương pháp đổi biến 14 a a dx C C arccos x C a arcsin x arctan x a2 x a dx x a x a ln a x C x2 dx a dx a ln a x a2 C x Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toaùn THPT Thường đặt mẫu, mũ, căn, số trường khác đặt nâng cao khác sau Dấu hiệu nhận biết a x Cách đặt a x x a2 x a2 x2 sin t , t ; 2 a ,t \0 ; sin t 2 a x tan t , t ; 2 a x a x a x a x x a cos 2t x a b x Phương pháp phần Thứ tự ưu tiên đặtu : Log đa lượng mũ udv uv vdu ax b x x ax x x 2 x x x x1 x x2 A bx c x x Một số tính chất cần nhớ B ax2 A 2 x x1 f x C x x3 x x1 x x2 x x3 bx c A mx nx p x x x x2 ax C x x x2 f n xdfx f f xf x B x bx c Nguyên hàm hàm ẩn f x dx f x C f x dx d f x f xf x f x A x x1 B x x n xC d f x ln Cho y Ay B , y a m, tính y b p x dx p x dx , đẳng thức trở thành f ? nx p C x e x x b a :y y fx fx p x dx Nhân hai vế với e Bx C mx f x f xf x fx.f x n f x pxfx hx: sin2 t x a b a h x e b a y , CALC x a,y m 20 20 ấn " " liên tục đến x b ta giá trị yb Chú ý: Chuyển hết f x f x sang vế phải, bậc f x phải bậc Một số tính chất tích phân b f x dx F b F a a a a f x dx a b f x dx a f x dx a b f t dt a b c b b kf x dx k f a b x dx b f x g x dx f a a x dx g x dx a a a a b f x dx f x dx a f x hàm chẵn liên tục a;a a f x dx a f x dx f x dx a 15 c b f x g x , x a;b a a x dx a b c b f x 0, x a ;b b f x dx f x dx f b g x dx a Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C a f x hàm lẻ liên tục a ;a a f x dx f xa a a a b f x dx f x dx a x f x hàm số chẵn liên tục a ;a f x liên tục a ;b Công thức toán THPT b dx f x dx b f x dx f a bx a dx a f x liên tục a ;b thỏa mãn f a b x f x , x a ;b b a b b f x dx xf x dx a fx liên tục f a b xf x b a f x dx a 2a f x liên tục 0;2a a f x dx f f 2a x x dx f , g liên tục a ;b b max f , g dx a b f gf g d , x b Bất đẳng thức tích phân (Holder với p q ): b x g x dx f b f g dx a a f a b f , g dx a b b f x dx g x dx a a Kỹ thuật chọn hàm tích phân Nếu đề cho b f x dx C chọn f x C b a a điều kiện chọn f x ax hai điều kiện chọn f x ax Nếu đề cho b ba điều kiện chọn f x ax bx c điều kiện chọn f x ax Nếu đề cho hàm lẻ có hai điều kiện chọn f x ax bx điều kiện chọn f x ax2 Nếu đề cho hàm chẵn có hai điều kiện chọn f x ax b Một số kĩ thuật nâng cao Phương pháp giải Nếu f x liên tục a ;b b f a b x dx b f x dx Điều kiện đề a A f x B u f u C f a b x a Nếu u a a , u b b b f x dx g x dx A B C gx b a a Nếu u a b, u b a b b f x dx g x dx A B C a Af u Bf v a Đặt t u t v để giải giải phương trình hai ẩn (Nếu u x cần đặt t v ) gx 16 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT b I ak f x f a b x k x với g t đơn điệu gfx Tính dx b a 2k fx b f x dx , ta đặt y f x x g y a Tính diện tích hình phẳng Theo Oy Theo Ox y Điều kiện: y fx Ox : y xa,xb b S fx x f x dx a b S a,xb Điều kiện: x fy x Oy : x y S f x g x dx b f y dy b a Tính thể tích khối trịn xoay Theo Ox y b VOx f fx x x dx VOx b f x g Oy : x x VOy Thể tích vật thể có diện tích thiết diện S x : V b a Một số công thức tính nhanh Đường thẳng y n cắt đường cong bx c điểm phân biệt hình phẳng giới hạn hai đường gồm phần phía phần phía đường thẳng có diện tích 5b 36a c Đường thẳng y mx n cắt đường cong y ax bx a, y b f y g f y , g y0 y a ;b a a ;b y ax y a fx,gx fy cx d ba điểm phân biệt hình phẳng giới hạn bới hai đường gồm phần phía phía đường thẳng có diện tích chi điểm uốn đường cong bậc ba thuộc đường thẳng y mx n 17 n b a a g y dy x VOy b f y dy x dx b Theo Oy Điều kiện: x fy a,xb a, y a a Điều kiện: y fx Ox : y xa,xb fy fy S x dx y dy Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y mx n parabol y ax bx c b m 4a c n S2 36a 36a4 Trong đó: phương trình hồnh độ a,b ( Tức phương trình ax bx c mx n ) Số phức z a bi z số thựcb a : Phần thực, b : phần ảo, i : đơn vị ảo, i z số ảoa Số vừa số thực vừa số ảo Tính chất số phức :z a bi, z a a a điểm biểu diễn z a bi : số phức zz số phức z liên hợp z b b z số thực z z z số ảo z z z a b2 bi 2 z z; z z z z z z1 z2 zz z z.z a2 z z 2 z z z2 z b2 1 a a r , sin b2 , cos z r cos z r1 cos i sin 1 ,z mz nz r2 cos z 2 z 1z 2 z z2 z1 z2 z1 i sin 2 z1z2 b r i sin 2 r r1r2 cos n r n i sin cosn i sin n Một số đẳng thức mođun quan trọng m z 2mn z z z 1z2 với m, n n z r cosi sin z Dạng lượng giác số phức i sinr dạng lượng giác z a bi : acgumen z,Ox ,OM r z z2 z1 z2 z r cos z z1 z zz 2 z 2 z z z 1z 2OM 1OM 2 z z z z 1 z z1 z2 với z ,z2 z z z 12 z z 2 z z1 z2 z z2 2 Các cơng thức thể tích Thể tích chóp Thể tích lăng trụ Thể tích chóp cụt 1h B B V Bh V Bh V B B 3 Cơng thức tính nhanh thể tích khối chóp đặc biệt Nhận dạng Cơng thức tính nhanh a3 Tứ diện cạnh a V 18 12 z2 Söu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Tứ diện gần có độ dài cạnh đối a ,b,c Chóp có ba mặt phẳng SAB , SAC , SBC đơi vng góc có diện tích S , S ,S3 Tứ diện ABCD có S ABC S1,S V V a2 b2c Công thức toaùn THPT b V 2S1.S2.S3 2S S2 sin V 3a abd sin V abc sin sin sin c a a c b2 ABD S2 , , AB a ABC ABD Tứ diện ABCD có AB a ,CD , ; d AB CD b , d AB CD Chóp S.ABC có SA a , SB b, SC , , c abc , SAB SAC ASB ASC Chóp V S.ABC có SA a , SB b, SC c ,, ASBBSC CSA V Chóp S.ABC có BC a ,CA b, AB , SBC ABC cos cos coscos 2cos 2cos2 , 2S c ABC , SAC a cot ABC b cot c.cot , SAB ABC Chóp tam giác S.ABC Chóp tứ giác S.ABCD Có ABCD hình bình hành Tỉ số thể tích M , N , P thuộc SA, SB , SC : V SM SN SP S MNP V SA SB SC S ABC M , N , P ,Q thuộc SA, SB , SC , SD V x y z t V S.MNPQ S ABCD với x SA; y SB; z SC 4xyzt ;tSD x z y t SM SN SP SQ Thể tích tứ diện tạo đỉnh khơng đồng V phẳng Thể tích chóp tứ giác tạo thành từ đỉnh 2V Lăng trụ tam giác ABC A B C thể tích V lăng trụ Gọi M , N , P thuộc AA , BB ,CC V x y z V ABC.MNP ABC A B C với x AM ; y BN ; z CP AA BB CC Thể tích tứ diện tạo đỉnh khơng đồng V Hình hộp ABCD A B C D tích V phẳng Thể tích tứ diện tạo đường chéo mặt phẳng đối diện hình hộp 19 V Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Gọi M , N , P ,Q thuộc AA , BB ,CC , DD Khi V x y z t ABCD.MNPQ V ABCD A B C D với x AM , y BN , z CP , t DQ x z y t AA BB Nón – Trụ – Cầu Nón l r h2 S xq rl S rl r2 Nón cụt R, r : bán kính đáy lớn đáy nhỏ Sxp rl R r S tpR r CC Trụ S rl xq r 2h V 1h R Stp h 2r mc r2 V r2h Với AB ,CD hai đường Rr V r hai đáy 3 với l rl lR r r2 Cầu S V DD VABCD AB CD OO sin AB ,CD Các vật thể trịn xoay khơng gian Rh r xq Chỏm cầu h2 V h R h h h 3r Sxq R h1 h2 h Hình trụ cụt h R212 V 2 V Hình nêm loại 3 R tan Hình nêm loại R3 tan S S Parabol x R V S 20 a S2 Elip Rh h 2 R h ab 3 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT ab2 V quay quanh 2a V quay quanh 2b 3a b Diện tích hình vành khăn SR r Hình xuyến Thể tích hình phao V Bán kính mặt cầu ngoại tiếp Rc nội tiếp rc Hình lập phương có cạnh x : R x c R r R r hình chóp, lăng trụ Hình hộp chữ nhật có kích thước x, y, z : x2 y R z2 c Chóp có chiều cao h có cạnh bên vng góc với đáy thì: RR2 c c 2h R R2 c l2 Chóp có chiều cao h, cạnh bên l thì: R Chóp có mặt bên vng góc với đáy thì: R d h d giao tuyen b Rd , Rb bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy mặt bên (mặt vng góc với đáy) Tổng qt: chóp có chân đường cao H , I tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, gọi IH d R R c Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều: R cạnh h 2 d R2 2 d 2h d c Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều: R c b c2 mặt cầu nội tiếp tứ diện gần đều: rc Mặt cầu nội tiếp hình chóp: rc 3V a cạnh 12 Trong đó: Sm : tổng diện tích tất mặt chóp S m Cách tính Rd Nếu đáy hình Nếu đáy tam giác Nếu đáy tam giác vng Rd cạnh huyền Rd cạnh 3 vng hình chữ nhật Rd đường chéo Nếu đáy tam giác thường áp dụng hai cơng thức abc pp a p b p c 4R a b c 2R sin A sin B 21 sinC Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Tọa độ điểm vec tơ Hệ tọa độ không gian gồm ba trục Ox , Oy , Oz đơi vng góc với vec-tơ đơn vị tương ứng ba trục i 1;0;0 , j u x; y ;z x 2y2z u x;y;z u G trọng tâm ABC AB xB xA ; yB yA ; zB zA u x i y j z k ABCD hình bình I trung điểm AB Ix DC hành AB A x B ; y A y B ; z A zB 2 Cho u x ;y ;z u v u v cos u , v y z ;z 1 u,v y1z x ;x Gx x A x B C ,v x y ;y ;z2 u,v u v sin u , v v u.v wu, w v w u,v 1 y z z x x y2 u v phương y z ; z 1x z x ;x 1y x 2y1 u,v u , v , w đồng phẳng u,v hành S AB,AC S Thể tích khối hộp V AB,AD ABC AD Thể tích tứ diện AA V AB,AD ABCD w A, B ,C , D bốn đỉnh tứ diện AB , AC , AD không đồng phẳng AB , AC Diện tích, thể tích số hình Diện tích tam giác Diện tích hình bình zA ; y A y B yC ; z B zC 3 u.v x1 x2 y1y2 z1z2 u 0;1;0 , k 0;0;1 AB,AC AD ABCD.A B C D ABCD Phương trình mặt cầu x2 x a y b Tâm I a;b;c , z c R2 bán kính R P : Ax By Cz có vtpt n A; B;C C z z0 D a2 b2 c2 ax by cz d a b c ; 2 ; d , a2 b2 c2 A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c có phương trình x a P y z b c1 abc Vậy để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm vtpt điểm thuộc mặt phẳng (một cặp vtcp mặt phẳng tạo thành vtpt việc lấy tích có hướng) Oxy : z Các phương trình mặt phẳng đặc biệt Oxz : y Oyz : x Vị trí tương đối: Cho : Ax By Cz D 22 d Phương trình mặt chắn: Mặt phẳngđi qua A;B;C có vtptn z2 Tâm I Phương trình mặt phẳng Mặt phẳng qua M x0 ; y0 ;z0 B y y0 2 R A x x0 y 0 :Ax By Cz D Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C A B C D A B C cắtA : B : C A : B : C D Công thức toán THPT A B C D A B C AABBCC0 Khoảng cách từ điểm M x ; y ;z0 đến mặt phẳng d M; D : Ax By Cz D Ax By Cz D A2B2C Phương trình đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 ;z0 x x có vtcp u a ; b ; c Có phương trình tắc Có phương trình tham số : y y bt t : x x y y z z0 abc c a b z z ct Vậy để viết phương trình đường thẳng ta cần tìm vtcp điểm thuộc đường thẳng 0at Vị trí tương đối: Đường thẳng d1 qua điểm M1 có vtcp u1 , d2 qua điểm M2 có vtcp u2 d d đồng phẳng u , u 2M M u d1 cắt d2 ,u u d1 d2 MM u , u M M 20 u ,u d chéo d 1 1 1 , u2 u ,MM 1 Khoảng cách, góc: M MM , u 1 d M, u ,M2 ,u ,u2 hai vtcp d u ,u 1, cos , cos u1 , u2 , M M 2 u , u 1 u u2 cos P , Q cos n P ,n n Q n u u2 sin , P P P n n Q Q u n cos u ,n P P u n P Hình chiếu vng góc, điểm đối xứng đặc biệt Oxy H x ; y ;0 ;0;z 00 Oxz H x 0 Oyz H 0; y ;z Hình chiếu vng góc điểm M x ; y ;z0 lên Ox H x0 ;0;0 Nhớ nhanh: Khuyết vị trí vị trí Oy H 0; y0 ;0 Oz H 0;0;z0 Oxy M x ; y ; z0 Oxz M x ; y ;z0 Điểm đối xứng với M x ; y ;z0 Oyz M x ; y ;z0 qua Ox M x ; y ; z0 Oy M x ; y ; z0 Nhớ nhanh: Khuyết vị trí vị trí đối Oz M x ; y ;z0 Một số công thức giải nhanh (a , b , c độ dài cạnh tam giácABC ) 23 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C HA.BC Tọa độ trực tâm H tam giác ABC nghiệm hệ:HB AC AB,AC AH Công thức toán THPT IA IB Tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nghiệm hệ: IA IC AB,AC IA Tọa độ chân đường phân giác D góc A thỏa mãn đẳng thức: b.DB c DC Tọa độ chân đường phân giác ngồi E góc A thỏa mãn đẳng thức: b.EB cEC Tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức: a IA b.IB c IC Tọa độ hình chiếu vng góc H A lên P : ax by cz d H at x A ;bt y A ;ct zA với t ax A by A cz A d a b c2 M trọng tâm ABC a 3x M ,b 3y M M trực tâm tam giác ABC OM n P V qua M cắt trục tọa độ 1 (phương trình mặt chắn) OA P nhỏ M trọng tâm ABC O.ABC A a ;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c , c 3zM OB nhỏ M trực tâm ABC 2 OC a b c Tâm mặt cầu ngoại tiếp O ABC I ; ; 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp O ABC R C Cực trị hình học Oxyz Viết P chứa d1 thỏa mãn d , P lớn thì: n P chứa P Viết d1 cho d1 , d2 nhỏ thì: u1 a b c2 u , u1 , u n , n ,u P P Viết P chứa d cho P , Q nhỏ thì: n P u , u,n 1 Viết d nằm P qua A cho d M , d nhỏ thì: u Viết P chứa d cho d M , P lớn thì: n Viết d nằm P qua A cho d M , d P Q d n , n ,AM P ud , ud,AM lớn thì: ud P với điểm Abất kì thuộc d n P ,AM Tâm tỉ cự: Điểm I thỏa mãn: a1 IA1 a IA2 a n IAn đgl tâm tỉ cự hệ điểm A1 , A2 , ,An ax a x a y a y a y , z a z a z a z Khi đó: x a n xAn , y A2 n An n An A1 A1 A2 A1 A2 I I I a a an a a an a1 a an Cuốn công thức của:……………………………………………………………… Giáo viên: Nguyễn Thanh Tân 24 ... b Công thức toán THPT AB AC khơng phương I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IB2 IC 2 EB IA AC AE đường phân giác ABC AB AC EC Hệ thức lượng tam giác thường cosA b c a2 b c 2bc cosA Hệ thức. .. Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Nếu hàm số khơng liên tục x0 x0 gọi điểm gián đoạn hàm số f x Hàm số y f x liên tục a ;b f a f phương trình f x có nghiệm b thuộc khoảng a;b Cơng thức. .. AB d 11 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Tổng khoảng cách ngắn từ điểm M đến hai đường tiệm cận dmin ad bc Công thức toán THPT Diện tích tam giác Khoảng cách ngắn hai điểm