Bài giảng xác suất thống kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN THỊ THU THỦY BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG HÀ NỘI - 01/2020 MỤC LỤC Chương Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Sự kiện Quan hệ kiện 1.1.1 Phép thử Sự kiện 1.1.2 Phân loại kiện 1.1.3 Quan hệ kiện Giải tích kết hợp 11 1.2.1 Quy tắc cộng Quy tắc nhân 11 1.2.2 Chỉnh hợp 12 1.2.3 Chỉnh hợp lặp 12 1.2.4 Hoán vị 12 1.2.5 Tổ hợp 13 Khái niệm định nghĩa xác suất 13 1.3.1 Khái niệm xác suất 13 1.3.2 Định nghĩa cổ điển xác suất 14 1.3.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học 16 1.3.4 Định nghĩa thống kê xác suất 18 1.3.5 Nguyên lý xác suất nhỏ, nguyên lý xác suất lớn 19 Công thức cộng nhân xác suất 20 1.4.1 Xác suất có điều kiện 20 1.4.2 Công thức nhân xác suất 20 1.4.3 Công thức cộng xác suất 23 Công thức Béc–nu–li 27 1.5.1 Dãy phép thử độc lập 27 1.5.2 Lược đồ Béc–nu–li 27 1.5.3 Công thức Béc–nu–li 27 1.5.4 Số có khả lược đồ Béc–nu–li 29 1.5.5 Công thức xấp xỉ 30 Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bay–ét 31 1.6.1 Công thức xác suất đầy đủ 31 1.6.2 Công thức Bay–ét 32 MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Chương Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 2.1 2.2 2.3 2.4 Định nghĩa phân loại biến ngẫu nhiên 36 2.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên 36 2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên 37 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 37 2.2.1 Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc 37 2.2.2 Hàm phân phối xác suất 39 2.2.3 Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục 42 Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên 44 2.3.1 Kỳ vọng 44 2.3.2 Phương sai 49 2.3.3 Độ lệch chuẩn 51 2.3.4 Một số đặc trưng khác 51 Một số phân phối xác suất thông dụng 52 2.4.1 Phân phối 52 2.4.2 Phân phối nhị thức 55 2.4.3 Phân phối Poa–xông 56 2.4.4 Phân phối chuẩn 59 2.4.5 Phân phối bình phương 66 2.4.6 Phân phối Student 67 Chương Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 3.1 36 69 Khái niệm phân loại biến ngẫu nhiên nhiều chiều 69 3.1.1 Khái niệm 69 3.1.2 Phân loại 69 Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc 69 3.2.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời 69 3.2.2 Bảng phân phối xác suất thành phần (biên) 71 3.2.3 Phân phối có điều kiện 73 Hàm phân phối xác suất 74 3.3.1 Hàm phân phối xác suất đồng thời 74 3.3.2 Hàm phân phối xác suất thành phần (biên) 75 Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục 75 3.4.1 Hàm mật độ xác suất đồng thời 75 3.4.2 Hàm mật độ xác suất biên 77 3.4.3 Hàm mật độ xác suất có điều kiện 78 3.5 Tính độc lập biến ngẫu nhiên 79 3.6 Đặc trưng biến ngẫu nhiên hai chiều 79 3.6.1 79 3.2 3.3 3.4 MỤC LỤC Kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên thành phần MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy 3.6.2 Hiệp phương sai 80 3.6.3 Hệ số tương quan 82 3.7 Hàm hai biến ngẫu nhiên 83 3.8 Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm 85 3.8.1 Luật số lớn 85 3.8.2 Định lý giới hạn trung tâm 87 Chương Thống kê Ước lượng tham số 4.1 4.2 4.3 Lý thuyết mẫu 88 4.1.1 Tổng thể mẫu 88 4.1.2 Mẫu ngẫu nhiên 90 4.1.3 Mô tả giá trị mẫu ngẫu nhiên 91 4.1.4 Đại lượng thống kê đặc trưng mẫu ngẫu nhiên 92 4.1.5 Cách tính giá trị cụ thể trung bình mẫu phương sai mẫu 94 4.1.6 Phân phối xác suất thống kê trung bình mẫu, phương sai mẫu, tần suất mẫu ngẫu nhiên 98 Ước điểm cho kỳ vọng, phương sai tỷ lệ 99 4.2.1 Ước lượng điểm 99 4.2.2 Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng 99 4.2.3 Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai xác suất 100 4.2.4 Một số phương pháp tìm ước lượng điểm 100 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy 101 4.3.1 Khoảng tin cậy kỳ vọng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn 101 4.3.2 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ 106 Chương Kiểm định giả thuyết 5.1 5.2 5.3 5.4 88 109 Các khái niệm 109 5.1.1 Giả thuyết thống kê 109 5.1.2 Tiêu chuẩn kiểm định Mức ý nghĩa Miền bác bỏ 110 5.1.3 Sai lầm loại Sai lầm loại 111 Kiểm định giả thuyết kỳ vọng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 112 5.2.1 Trường hợp biết phương sai 112 5.2.2 Trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n < 30 114 5.2.3 Trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n ≥ 30 115 Kiểm định giả thuyết tỷ lệ 117 5.3.1 Bài toán 117 5.3.2 Các bước tiến hành 117 So sánh hai kỳ vọng hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn 119 5.4.1 MỤC LỤC Trường hợp phương sai σ12 , σ22 biết 119 MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG 5.5 5.4.2 Trường hợp phương sai σ12 , σ22 chưa biết, cỡ mẫu n1 < 30, n2 < 30 120 5.4.3 Trường hợp phương sai σ12 , σ22 chưa biết, cỡ mẫu n1 ≥ 30, n2 ≥ 30 122 So sánh hai tỷ lệ 124 5.5.1 Bài toán 124 5.5.2 Các bước tiến hành 124 Chương Phụ lục bảng số 6.1 6.2 Nguyễn Thị Thu Thủy 127 Phụ lục bảng số 127 6.1.1 Phụ lục 1: Giá trị hàm Gao-xơ 127 6.1.2 Phụ lục 2: Giá trị hàm Láp-la-xơ 127 6.1.3 Phụ lục 3: Giá trị hàm phân phối chuẩn tắc 127 6.1.4 Phụ lục 4: Giá trị phân phối Student 127 6.1.5 Phụ lục 5: Giá trị hàm khối lượng xác suất Poa-xông 127 Hướng dẫn sử dụng bảng số 134 6.2.1 Bảng giá trị hàm Gao-xơ (Phụ lục 1) 134 6.2.2 Bảng giá trị hàm Láp-la-xơ (Phụ lục 2) 134 6.2.3 Bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc (Phụ lục 3) 134 6.2.4 Bảng giá trị t1n−α phân phối Student (Phụ lục 4) 134 MỤC LỤC Lời nói đầu Lý thuyết xác suất thống kê tốn học ngành khoa học giữ vị trí quan trọng lĩnh vực ứng dụng rộng rãi phong phú đời sống người Cùng với phát triển mạnh mẽ khoa học công nghệ, nhu cầu hiểu biết sử dụng công cụ ngẫu nhiên phân tích xử lý thơng tin ngày trở nên đặc biệt cần thiết Các kiến thức phương pháp xác suất thống kê hỗ trợ hữu hiệu nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực khoa học khác vật lý, hóa học, sinh học, nơng học, kinh tế học, xã hội học, ngơn ngữ học Do "Xác suất thống kê" học phần cần thiết cho sinh viên bậc đại học Bài giảng học phần "Xác suất thống kê", mã học phần MI2020 biên soạn theo Đề cương chi tiết với khối lượng 30 tiết lý thuyết, 30 tiết tập dành cho sinh viên hệ đại học quy (khơng phải chun ngành Toán Tin) Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Mục tiêu học phần: Cung cấp cho sinh viên kiến thức xác suất khái niệm quy tắc suy diễn xác suất biến ngẫu nhiên phân phối xác suất thông dụng (một hai chiều); khái niệm thống kê toán học nhằm giúp sinh viên biết cách xử lý toán thống kê ước lượng, kiểm định giả thuyết Trên sở sinh viên có phương pháp tiếp cận với mơ hình thực tế có kiến thức cần thiết để đưa lời giải cho tốn Nội dung vắn tắt học phần: Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất, véc tơ ngẫu nhiên, lý thuyết ước lượng thống kê, lý thuyết định thống kê Chương Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất Các tượng tự nhiên hay xã hội xảy cách ngẫu nhiên (không biết trước kết quả) tất định (biết trước kết xảy ra) Chẳng hạn vật nặng thả từ cao chắn rơi xuống đất, điều kiện bình thường nước sơi 100∘ C Đó tượng diễn có tính quy luật, tất nhiên Trái lại, tung đồng xu ta xuất mặt sấp hay mặt ngửa; ta khơng thể biết trước có gọi đến tổng đài; có khách hàng đến điểm phục vụ khoảng thời gian đó; ta khơng thể xác định trước số chứng khốn thị trường chứng khốn Đó tượng ngẫu nhiên Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên hồn cảnh nhau, nhiều trường hợp ta rút kết luận có tính quy luật tượng Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Việc nắm bắt quy luật cho phép dự báo tượng ngẫu nhiên xảy Chính phương pháp lý thuyết xác suất ứng dụng rộng rãi việc giải toán thuộc nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên, kỹ thuật kinh tế–xã hội 1.1 1.1.1 Sự kiện Quan hệ kiện Phép thử Sự kiện Định nghĩa 1.1 (Phép thử Sự kiện) (a) Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng gọi phép thử (experiment) (b) Hiện tượng, kết xét phép thử gọi kiện hay biến cố (event) (c) Sự kiện sơ cấp hay kết cục phép thử kết mà ta không chia nhỏ được, ký hiệu ω (d) Sự kiện phức hợp kiện phân tích thành kiện nhỏ MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy (e) Tập hợp tất kết cục phép thử tạo thành không gian kiện sơ cấp, ký hiệu Ω = ωi , i ∈ I , Ví dụ 1.1 I tập số (a) Gieo xúc xắc (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) phép thử Xúc xắc xuất mặt 1, 2, 3, 4, 5, chấm kiện (b) Gieo đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) phép thử Đồng xu xuất mặt sấp, mặt ngửa kiện Ví dụ 1.2 Gieo xúc xắc, (a) Sự kiện Ai "xuất mặt i chấm", i = 1, , kiện sơ cấp (b) Sự kiện A "xuất mặt chấm chẵn" kiện phức hợp phân tích thành kiện "xuất mặt 2, 4, chấm" Ví dụ 1.3 (a) Phép thử gieo đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) có khơng gian kiện sơ cấp Ω = {S, N } (b) Phép thử gieo đồng thời hai đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) có khơng gian kiện sơ cấp Ω = {SS, SN, NS, NN } Chú ý 1.1 (a) Chú ý chất kiện sơ cấp khơng có vai trị đặc biệt lý thuyết xác suất Chẳng hạn mã hóa kết xem khơng gian kiện sơ cấp phép thử tung đồng xu Ω = {0, 1}, kiện sơ cấp mặt sấp xuất để mặt ngửa xuất (b) Mỗi kết cục ω phép thử 𝒞 gọi kết cục thuận lợi cho kiện A A xảy kết cục phép thử 𝒞 ω Ví dụ 1.4 Nếu gọi kiện A "xuất mặt chấm chẵn" phép thử gieo xúc xắc A có kết cục thuận lợi 2, 4, 1.1.2 Phân loại kiện Có loại kiện (a) Sự kiện chắn kiện định xảy thực phép thử Ký hiệu U Ω S (b) Sự kiện khơng thể có kiện định khơng xảy thực phép thử Ký hiệu V ∅ (c) Sự kiện ngẫu nhiên kiện xảy ra, khơng xảy thực phép thử Ký hiệu A, B, C, A1 , A2 1.1 Sự kiện Quan hệ kiện MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Ví dụ 1.5 Gieo xúc xắc, (a) Sự kiện S “xuất mặt có số chấm ≤ ≥ 1” kiện chắn (b) Sự kiện ∅ “xuất mặt chấm” kiện (c) Sự kiện A “xuất mặt chấm chẵn” kiện ngẫu nhiên 1.1.3 Quan hệ kiện Một cách tương ứng với phép toán tập hợp, lý thuyết xác suất người ta xét quan hệ sau cho kiện phép thử (a) Quan hệ kéo theo: Sự kiện A kéo theo kiện B, ký hiệu A ⊂ B, A xảy B xảy Nếu A ⊂ B B ⊂ A ta nói hai kiện A B trùng nhau, viết A = B (b) Tổng kiện: Sự kiện A gọi tổng kiện A1 , A2 , , An A xảy kiện Ai xảy ra, i = 1, 2, , n Viết là: A = A1 + A2 + · · · + A n A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ A n Hình 1.1: Sơ đồ Venn A ∪ B A ∩ B (c) Tích kiện: Sự kiện B gọi tích kiện A1 , A2 , , An B xảy tất kiện Ai xảy ra, i = 1, 2, , n Viết là: B = A1 A2 A n B = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ A n 1.1 Sự kiện Quan hệ kiện MI2020 – KỲ 20192 – TĨM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Hình 1.2: Hai kiện xung khắc (d) Sự kiện xung khắc: Hai kiện A B gọi xung khắc với chúng không đồng thời xảy phép thử Như vậy, A B xung khắc A ∩ B = ∅ (e) Sự kiện đối lập: Sự kiện không xảy kiện A gọi kiện đối lập A, ký hiệu A Ac Như A A thỏa mãn tính chất: A ∪ A = S A ∩ A = ∅ Hình 1.3: Sự kiện đối lập (f) Hiệu hai kiện: Hiệu kiện A B, ký hiệu A − B, kiện xảy A xảy B không xảy Trường hợp hay sử dụng kiện hiệu: A = S − A, A = S − A Trường hợp tổng quát, ta biến đổi thành kiện tích sau: A − B = A ∩ B (g) Hệ (nhóm) đầy đủ kiện: Hệ (nhóm) n kiện A1 , A2 , , An gọi hệ (nhóm) đầy đủ kiện định phải xảy kiện sau phép thử Như hệ { A1 , A2 , , An } hệ đầy đủ   A ∩ A = ∅, i ̸= j, i j  A ∪ A ∪ · · · ∪ A = S 1.1 Sự kiện Quan hệ kiện n MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Nếu giả thuyết H0 µ1 − µ2 = X−Y U=  S12 S22 + n1 n2 (5.23) Như biết U ∼ N (0; 1) Bước Miền bác bỏ giả thuyết H0 xác định cho ba trường hợp sau: H0 H1 Miền bác bỏ Wα µ1 = µ2 µ1 = µ2 (−∞; −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 ; +∞) µ1 = µ2 µ1 > µ2 ( u 1− α ; + ∞ ) µ1 = µ2 µ1 < µ2 (−∞; −u1−α ) u1−α/2 u1−α xác định từ bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc Φ( x ) (Phụ lục 3) Bước Từ mẫu cụ thể Wx = ( x1 , x2 , , xn1 ), Wy = (y1 , y2 , , yn2 ), ta tính giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định: uqs =   x−y s21 s22 + n1 n2 (5.24) Bước Xét xem uqs có thuộc Wα hay khơng để kết luận (a) Nếu uqs ∈ Wα bác bỏ giả thuyết H0 (b) Nếu uqs ∈ / Wα chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 Ví dụ 5.7 Hai máy tự động dùng để cắt kim loại kỹ thuật viên phụ trách chỉnh Từ máy lấy 31 kim loại để kiểm tra thu kết sau: Máy 1: Trung bình mẫu 12 cm, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 1,2 cm Máy 2: Trung bình mẫu 12,3 cm, độ lệch hiệu chỉnh 1,4 cm Với mức ý nghĩa α = 0, 01 cho chiều dài kim loại máy sản xuất khác chiều dài máy sản xuất hay không Biết chiều dài kim loại máy sản xuất có phân phối chuẩn 5.4 So sánh hai kỳ vọng hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn 137 MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Lời giải Ví dụ 5.7 Gọi X, Y chiều dài kim loại máy 1, sản xuất Khi X ∼ N (µ1 , σ12 ), Y ∼ N (µ2 , σ22 ) Đây tốn so sánh hai kỳ vọng hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trường hợp chưa biết phương sai, mẫu cỡ n1 = n2 = 31 > 30 Bước 1: Đặt giả thuyết H0 : µ1 = µ2 , đối thuyết H1 : µ1 = µ2 X−Y Bước 2: Chọn tiêu chuẩn kiểm định U =   giả thuyết H0 U ∼ N (0, 1) S12 S22 + n1 n2 Bước 3: Với α = 0, 01 tra bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc u1− α2 = u0,995 = 2, 58 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = (−∞; −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 ; +∞) = (−∞; −2, 58) ∪ (2, 58; +∞) Bước 4: Từ số liệu cho ta có n1 = n2 = 31, x = 12, s1 = 1, 2, y = 12, 3, s2 = 1, 4, suy giá trị quan sát uqs =   x−y s21 s2 + n1 n2 =… 12 − 12, = −0, 9085 1, 44 1, 94 + 31 31 Bước 5: Vì uqs = −0, 9085 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 , hay xem chiều dài kim loại hai nhà máy sản xuất với mức ý nghĩa 1% Chú ý 5.4 (a) Nếu cỡ mẫu n1 , n2 nhỏ ta phải thêm giả thuyết biến ngẫu nhiên gốc tuân theo phân phối chuẩn; n1 n2 lớn ta bỏ giả thiết chuẩn đầu (b) Hai đối thuyết µ1 > µ2 µ1 < µ2 dễ dàng chuyển đổi cho cách thay đổi thứ tự hai mẫu 5.5 5.5.1 So sánh hai tỷ lệ Bài toán Bài toán 5.4 Giả sử p1 , p2 tương ứng tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A tổng thể thứ tổng thể thứ hai Mẫu tổng thể thứ nhất: Thực n1 phép thử độc lập điều kiện, có m1 phép thử xảy kiện A Mẫu tổng thể thứ hai: Thực n2 phép thử độc lập điều kiện, có m2 phép thử xảy kiện A Hãy so sánh p1 với p2 Cặp giả thuyết đặt là: 5.5 So sánh hai tỷ lệ Giả thuyết H0 p1 = p2 p1 = p2 p1 = p2 Đối thuyết H1 p1 = p2 p1 > p2 p1 < p2 138 MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG 5.5.2 Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Các bước tiến hành Đặt m1 + m2 n1 + n2 f = (5.25) Bước Chọn tiêu chuẩn kiểm định: ( f − f ) − ( p1 − p2 ) U =  1 1 f (1 − f ) + n1 n2 (5.26) Nếu giả thuyết H0 p1 = p2 U=  f1 − f2 1 f (1 − f ) + n1 n2 (5.27) Ta có U ∼ N (0; 1) Bước Miền bác bỏ giả thuyết H0 xác định phụ thuộc vào thuyết đối H1 sau: H0 H1 Miền bác bỏ Wα p1 = p2 p1 = p2 (−∞; −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 ; +∞) p1 = p2 p1 > p2 ( u 1− α ; + ∞ ) p1 = p2 p1 < p2 (−∞; −u1−α ) u1−α/2 u1−α xác định từ bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc Φ( x ) (Phụ lục 3) Bước Từ mẫu thu thập, ta tính giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định: uqs =   với f = f1 − f2 1 + f (1 − f ) n1 n2 (5.28) m1 m2 m + m2 n f + n2 f , f2 = ,f = = 1 n1 n2 n1 + n2 n1 + n2 Bước Xét xem uqs có thuộc Wα hay khơng để kết luận (a) Nếu uqs ∈ Wα bác bỏ giả thuyết H0 (b) Nếu uqs ∈ / Wα chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 5.5 So sánh hai tỷ lệ 139 MI2020-KỲ 20192–TĨM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Ví dụ 5.8 Từ kho đồ hộp thứ lấy ngẫu nhiên 1000 hộp để kiểm tra thấy có 20 hộp bị hỏng Từ kho đồ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên 900 hộp kiểm tra thấy 30 hộp bị hỏng Hỏi chất lượng bảo quản kho có thực giống hay không với mức ý nghĩa 5% Lời giải Ví dụ 5.8 Gọi p1 , p2 tỷ lệ hộp hỏng kho đồ hộp thứ thứ hai tương ứng Đây toán so sánh hai tỷ lệ Bước 1: Đặt giả thuyết H0 : p1 = p2 , đối thuyết H1 : p1 = p2 Bước 2: Chọn tiêu chuẩn kiểm định U =   f1 − f2 1 f (1 − f ) + n1 n2 giả thuyết H0 Ta thấy U ∼ N (0, 1) Bước 3: Với α = 0, 05 tra bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc u1−α/2 = 1, 96 Miền bác bỏ giả thuyết H0 là: Wα = (−∞; −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 ; +∞) = (−∞; −1, 96) ∪ (1, 96; +∞) Bước 4: Theo đầu n1 = 1000, n2 = 900, m1 = 20, m2 = 30, f = f2 = , 100 n f + n2 f 20 + 30 ,f = 1 = , suy = 90 n1 + n2 1900 190 uqs =   f1 − f2 1 f (1 − f ) + n1 n2 = −1, 8129 Bước 5: Kết luận: Vì uqs = −1, 8129 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 , nghĩa xem chất lượng bảo quản hai kho hàng với mức ý nghĩa 5% Ví dụ 5.9 Một bệnh viện điều trị loại bệnh A theo hai phương pháp Sau thời gian thấy kết sau: Trong 102 bệnh nhân điều trị phương pháp I có 82 bệnh nhân khỏi bệnh Trong 98 bệnh nhân điều trị phương pháp II có 69 bệnh nhân khỏi bệnh Hỏi có phải phương pháp I điều trị tốt phương pháp II hai hay khơng với mức ý nghĩa 5% Lời giải Ví dụ 5.9 Gọi p1 , p2 tỷ lệ bệnh nhân khỏi bệnh điều trị phương pháp I II tương ứng Đây toán so sánh hai tỷ lệ Bước 1: Đặt giả thuyết H0 : p1 = p2 , đối thuyết H1 : p1 > p2 5.5 So sánh hai tỷ lệ 140 MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Bước 2: Chọn tiêu chuẩn kiểm định U =   f1 − f2 giả thuyết H0 Ta 1 + f (1 − f ) n1 n2 thấy U ∼ N (0, 1) Bước 3: Với α = 0, 05 tra bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc u1−α = 1, 65 Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = (u1−α ; +∞) = (1, 65; +∞) Bước 4: Theo đầu n1 = 102, n2 = 98, m1 = 82, m2 = 69, 82 69 n f + n2 f 82 + 69 151 f1 = , f2 = , f = 1 = = , suy 102 98 n1 + n2 102 + 98 200 uqs =   f1 − f2 1 f (1 − f ) + n1 n2 = 1, 641 Bước 5: Vì uqs = 1, 641 ∈ / Wα nên chưa có sở để bác bỏ giả thuyết H0 , nghĩa chưa thể xem phương pháp I điều trị tốt phương pháp II với mức ý nghĩa 5% Ví dụ 5.10 (Đề thi cuối kỳ 20191) Để điều tra doanh thu gia đình kinh doanh loại mặt hàng A địa phương B, người ta khảo sát 100 gia đình kinh doanh loại mặt hàng tháng năm 2019 thu bảng số liệu Doanh thu (triệu VNĐ) 25 30 35 40 45 50 55 60 65 Số gia đình 17 25 20 10 (a) Với độ tin cậy 95% ước lượng doanh thu trung bình/tháng gia đình kinh doanh loại mặt hàng A địa phương B (b) Một tài liệu thống kê cho biết doanh thu trung bình/tháng gia đình kinh doanh loại mặt hàng A địa phương B 40 triệu VNĐ Hãy cho kết luận tài liệu nói với mức ý nghĩa 5% (c) Điều tra doanh thu 200 gia đình kinh doanh loại mặt hàng A địa phương C người ta tính doanh thu trung bình/tháng 43 triệu VNĐ độ lệch tiêu chuẩn mẫu hiệu chỉnh 8,912 triệu VNĐ Doanh thu trung bình loại mặt hàng A địa phương C B (với số liệu Câu 4) có hay khơng? Hãy kết luận với mức ý nghĩa 1% Lời giải Ví dụ 5.10 (a) Gọi X(triệu VNĐ/tháng) biến ngẫu nhiên doanh thu gia đình kinh doanh mặt hàng A địa phương B Ký hiệu E( X ) = µ X Đây tốn ước lượng khoảng kỳ vọng trường hợp chưa biết phương sai, mẫu cỡ n = 100 > 30 5.5 So sánh hai tỷ lệ 141 MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Chọn thống kê U = Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST X − µX √ n Thống kê U ∼ N (0, 1) SX Áp dụng khoảng tin cậy đối xứng sX sX x − u1− α2 √ ; x + u1− α2 √ n n Với γ = 95%, u1− α2 = u0,975 = 1, 96 Từ bảng số liệu tính n = 100, x = 42, 4, sX = 9, 2245, suy khoảng tin cậy cần tìm (40, 592 ; 44, 208) Vậy doanh thu trung bình gia đình kinh doanh loại mặt hàng A tài địa phương B từ 40,592 triệu đồng/tháng đến 44,208 triệu đồng/tháng với độ tin cậy 95% (b) Đây toán kiểm định giả thuyết kỳ vọng trường hợp chưa biết phương sai, mẫu cỡ n = 100 > 30 Kiểm định cặp giả thuyết H0 : µ X = µ0 , H1 : µ X = µ0 , µ0 = 40 Chọn thống kê U = X − µ0 √ n Thống kê U ∼ N (0, 1) SX Với α = 5%, miền bác bỏ H0 Wα = (−∞; −u1−α/2 ) ∪ (u1−α/2;+∞ ) = (−∞; −1, 96) ∪ (1, 96; +∞) Từ bảng số liệu tính n = 100, x = 42, 4, sX = 9, 2245, suy giá trị quan sát uqs = x − µ0 √ 42, − 40, × 10 2, 6018 n= sX 9, 2245 Vì uqs = 2, 6018 ∈ Wα nên bác bỏ H0 , chấp nhận H1 , nghĩa tài liệu thống kê chưa có sở với mức ý nghĩa 5% (c) Gọi Y(triệu đồng/tháng) biến ngẫu nhiên doanh thu gia đình địa phương C Ký hiệu E(Y ) = µY Đây tốn so sánh hai giá trị trung bình hai tổng thể trường hợp chưa biết phương sai, mẫu cỡ n = 100 > 30 m = 200 > 30 Kiểm định cặp giả thuyết H0 : µ X = µY , H1 : µ X = µY Chọn thống kê U = X−Y S2X n + SY m Thống kê U ∼ N (0, 1) H0 Với α = 5%, miền bác bỏ H0 Wα = (−∞; −u1−α/2 ) ∪ (u1−α/2;+∞ ) = (−∞; −2, 575) ∪ (2, 575; +∞) Từ bảng số liệu tính n = 100, x = 42, 4, sX = 9, 2245, m = 200, y = 43, sY = 8, 912 suy x−y giá trị quan sát uqs = −0, 5371 sY s2X n + m Vì uqs = −0, 5371 ∈ / Wα nên chấp nhận H0 , nghĩa doanh thu trung bình mặt hàng A địa phương C B mức ý nghĩa 5% 5.5 So sánh hai tỷ lệ 142 Ôn tập TUẦN 15 Giới thiệu phần mềm xử lý số liệu thống kê thông dụng Giới thiệu Ứng dụng giải toán ước lượng tham số Ứng dụng giải toán kiểm định giả thuyết Ôn tập 143 Chương Phụ lục bảng số 6.1 Phụ lục bảng số 6.1.1 Phụ lục 1: Giá trị hàm Gao-xơ 6.1.2 Phụ lục 2: Giá trị hàm Láp-la-xơ 6.1.3 Phụ lục 3: Giá trị hàm phân phối chuẩn tắc 6.1.4 Phụ lục 4: Giá trị phân phối Student 6.1.5 Phụ lục 5: Giá trị hàm khối lượng xác suất Poa-xông 116 MI2020 – KỲ 20191 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Phụ lục 1: Giá trị hàm mật độ xác suất phân phối chuẩn tắc (hàm Gao-xơ) ϕ( x ) = x 0,0 0,3989 3989 3989 3986 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2197 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0964 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0388 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 6.1 Phụ lục bảng số −x √1 e 2π 117 MI2020 – KỲ 20191 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Phụ lục 2: Giá trị hàm Láp-la-xơ φ( x ) = √1 2π Nguyễn Thị Thu Thủy x − t2 e dt x 0,0 0,00000 00399 00798 01197 01595 01994 02392 02790 03188 03586 0,1 03983 04380 04776 05172 05567 05962 06356 06749 07142 07535 0,2 07926 08317 08706 09095 09483 09871 10257 10642 11026 11409 0,3 11791 12172 12556 12930 13307 13683 14058 14431 14803 15173 0,4 15542 15910 16276 16640 17003 17364 17724 18082 18439 18739 0,5 19146 19447 19847 20194 20194 20884 21226 21566 21904 22240 0,6 22575 22907 23237 23565 23891 24215 24537 24857 25175 25490 0,7 25804 26115 26424 26730 27035 27337 27637 27935 28230 28524 0,8 28814 29103 29389 29673 29955 30234 30511 30785 31057 31327 0,9 31594 31859 32121 32881 32639 32894 33147 33398 33646 33891 1,0 34134 34375 34614 34850 35083 35314 35543 35769 35993 36214 1,1 36433 36650 36864 37076 37286 37493 37698 37900 38100 38298 1,2 38493 38686 38877 39065 39251 39435 39617 39796 39973 40147 1,3 40320 40490 40658 40824 40988 41149 41309 41466 41621 41774 1,4 41924 42073 42220 42364 42507 42647 42786 42922 43056 43189 1,5 43319 43448 43574 43699 43822 43943 44062 44179 44295 44408 1,6 44520 44630 44738 44815 44950 45053 45154 45254 45352 45449 1,7 45543 45637 45728 45818 45907 45994 46080 46164 46246 46327 1,8 46407 46485 46562 46638 46712 46784 46856 46926 46995 47062 1,9 47128 47193 47257 47320 47381 47441 47500 47558 47615 47670 2,0 47725 47778 47831 47882 47932 47982 48030 48077 48124 48169 2,1 48214 48257 48300 48341 48382 48422 49461 48500 48537 48574 2,2 48610 48645 48679 48713 48745 48778 48809 48840 48870 48899 2,3 48928 48956 48983 49010 49036 49061 49086 49111 49134 49158 2,4 49180 49202 49224 49245 49266 49285 49305 49324 49343 49361 2,5 49379 49396 49413 49430 49446 49261 49477 49492 49506 49520 2,6 49534 49547 49560 49573 49585 49598 49609 49621 49632 49643 2,7 49653 49664 49674 49683 49693 49702 49711 49720 49728 49763 2,8 49744 49752 49760 49767 49774 49781 49788 49795 49801 49807 2,9 49813 49819 49825 49831 49836 49841 49846 49851 49856 49861 3,0 0,49865 3,1 49903 3,2 49931 3,3 49952 3,4 49966 3,5 49977 3,6 49984 3,7 49989 3,8 49993 3,9 49995 4,0 499968 4,5 499997 5,0 49999997 6.1 Phụ lục bảng số 118 MI2020 – KỲ 20191 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Phụ lục 3: Giá trị hàm phân phối chuẩn tắc Φ( x ) = √1 2π x −∞ e − t2 dt x 0,0 0,50000 50399 50798 51197 51595 51994 52392 52790 53188 53586 0,1 53983 54380 54776 55172 55567 55962 56356 56749 57142 57535 0,2 57926 58317 58706 59095 59483 59871 60257 60642 61026 61409 0,3 61791 62172 62556 62930 63307 63683 64058 64431 64803 65173 0,4 65542 65910 66276 66640 67003 67364 67724 68082 68439 68739 0,5 69146 69447 69847 70194 70544 70884 71226 71566 71904 72240 0,6 72575 72907 73237 73565 73891 74215 74537 74857 75175 75490 0,7 75804 76115 76424 76730 77035 77337 77637 77935 78230 78524 0,8 78814 79103 79389 79673 79955 80234 80511 80785 81057 81327 0,9 81594 81859 82121 82381 82639 82894 83147 83398 83646 83891 1,0 84134 84375 84614 84850 85083 85314 85543 85769 85993 86214 1,1 86433 86650 86864 87076 87286 87493 87698 87900 88100 88298 1,2 88493 88686 88877 89065 89251 89435 89617 89796 89973 90147 1,3 90320 90490 90658 90824 90988 91149 91309 91466 91621 91774 1,4 91924 92073 92220 92364 92507 92647 92786 92922 93056 93189 1,5 93319 93448 93574 93699 93822 93943 94062 94179 94295 94408 1,6 94520 94630 94738 94845 94950 95053 95154 95254 95352 95449 1,7 95543 95637 95728 95818 95907 95994 96080 96164 96246 96327 1,8 96407 96485 96562 96638 96712 96784 96856 96926 96995 97062 1,9 97128 97193 97257 97320 97381 97441 97500 97558 97615 97670 2,0 97725 97778 97831 97882 97932 97982 98030 98077 98124 98169 2,1 98214 98257 98300 98341 98382 98422 99461 98500 98537 98574 2,2 98610 98645 98679 98713 98745 98778 98809 98840 98870 98899 2,3 98928 98956 98983 99010 99036 99061 99086 99111 99134 99158 2,4 99180 99202 99224 99245 99266 99285 99305 99324 99343 99361 2,5 99379 99396 99413 99430 99446 99261 99477 99492 99506 99520 2,6 99534 99547 99560 99573 99585 99598 99609 99621 99632 99643 2,7 99653 99664 99674 99683 99693 99702 99711 99720 99728 99763 2,8 99744 99752 99760 99767 99774 99781 99788 99795 99801 99807 2,9 99813 99819 99825 99831 99836 99841 99846 99851 99856 99861 3,0 0,99865 3,1 99903 3,2 99931 3,3 99952 3,4 99966 3,5 99977 3,6 99984 3,7 99989 3,8 99993 3,9 99995 4,0 999968 4,5 999997 5,0 99999997 6.1 Phụ lục bảng số 119 MI2020 – KỲ 20191 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy (n) Phụ lục 4: Giá trị t1n−α phân phối Student P( X < t1−α ) = − α với X ∼ 𝒯 (n) PP P PP − α 0, 90 P Bậc tự PPP P 0, 95 0, 975 0, 99 0, 995 0, 998 0,9995 3,078 6,314 12,706 31,821 63,526 318,309 363,6 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 31,600 1,638 2,353 3,128 4,541 5,841 10,215 12,922 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8,610 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6,869 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,705 5,408 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,041 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4,781 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,318 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4,221 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,140 15 1,341 1,753 2,131 2,606 2,947 3,733 4,073 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,015 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,965 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 3,922 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,819 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,767 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,725 26 1,315 1,796 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,674 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3,659 +∞ 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291 6.1 Phụ lục bảng số 120 MI2020 – KỲ 20191 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Phụ lục 5: Giá trị hàm khối lượng xác suất Poa-xông P( X = k) = λk −λ k! e ❍❍ λ ❍ ❍❍ k ❍ ❍ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,904837 0,818731 0,740818 0,670320 0,606531 0,548812 0,090484 0,163746 0,222245 0,268128 0,303265 0,329287 0,004524 0,016375 0,033337 0,053626 0,075817 0,098786 0,000151 0,001091 0,003334 0,007150 0,012636 0,019757 0,000004 0,000055 0,000250 0,000715 0,001580 0,002964 0,000002 0,000015 0,000057 0,000158 0,000356 0,000001 0,000004 0,000013 0,000035 0,000001 0,000003 ❍❍ λ ❍ ❍❍ k ❍ ❍ 0,7 0,8 0,9 1,0 2,0 3,0 0,496585 0,449329 0,406570 0,367877 0,135335 0,049787 0,347610 0,359463 0,365913 0,367789 0,270671 0,149361 0,121663 0,143785 0,164661 0,183940 0,270671 0,224042 0,028388 0,038343 0,049398 0,061313 0,180447 0,224042 0,004968 0,007669 0,011115 0,015328 0,090224 0,168031 0,000695 0,001227 0,002001 0,003066 0,036089 0,100819 0,000081 0,000164 0,000300 0,000511 0,012030 0,050409 0,000008 0,000019 0,000039 0,000073 0,003437 0,021604 0,000002 0,000004 0,000009 0,000859 0,008101 0,000001 0,000191 0,002701 10 0,000038 0,000810 11 0,000007 0,000221 12 0,000001 0,000055 13 0,000013 14 0,000003 15 0,000001 6.1 Phụ lục bảng số 121 MI2020 – KỲ 20191 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Phụ lục 5: Giá trị hàm khối lượng xác suất Poa-xông P( X = k) = λk −λ k! e (tiếp theo) ❍❍ λ ❍ ❍❍ k ❍ ❍ 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111 0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998 0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994 0,195367 0,175467 0,133853 0,191226 0,057252 0,033737 0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727 0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090 0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116 0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756 0,013231 0,036266 0,068838 0,011405 0,120477 0,131756 10 0,005292 0,018133 0,041303 0,070983 0,099262 0,118580 11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020 12 0,000642 0,003434 0,011262 0,026350 0,048127 0,072765 13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376 14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,013924 0,032384 15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431 16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930 17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786 18 0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893 19 0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370 20 0,000004 0,000030 0,000159 0,000617 21 0,000001 0,000010 0,000061 0,000264 22 0,000003 0,000022 0,000108 23 0,000001 0,000008 0,000042 24 0,000003 0,000016 25 0,000001 0,000006 26 0,000002 27 0,000001 6.1 Phụ lục bảng số 122 MI2020 – KỲ 20191 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG 6.2 6.2.1 Nguyễn Thị Thu Thủy Hướng dẫn sử dụng bảng số Bảng giá trị hàm Gao-xơ (Phụ lục 1) Hàm mật độ xác suất phân phối chuẩn tắc, hay hàm Gao-xơ ϕ( x ) = −x √1 e 2π hàm số chẵn, tức ϕ( x ) = ϕ(− x ), giảm Khi x > 3, ta coi ϕ( x ) = Để tra giá trị ϕ(1, 25) ta dóng hàng "1,2" với cột "5" số "1826", suy ϕ(1, 25) = 0, 1826; ϕ hàm chẵn nên ϕ(−1, 25) = 0, 1826; ϕ(4, 0) = 6.2.2 Bảng giá trị hàm Láp-la-xơ (Phụ lục 2) Hàm Láp-la-xơ φ( x ) = √1 2π x − t2 e dt hàm số lẻ, tức φ(− x ) = −φ( x ), tăng Khi x > 5, ta coi φ( x ) = 0, Để tra giá trị φ(1, 25) ta dóng hàng "1,2" với cột "5" số "39435", suy φ(1, 25) = 0, 39435; φ( x ) hàm lẻ nên φ(−1, 25) = −0, 39435; φ(5, 5) = 0, 6.2.3 Bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc (Phụ lục 3) Hàm phân phối chuẩn tắc Φ( x ) = √1 2π x −∞ e − t2 dt hàm Láp-la-xơ φ( x ) = liên hệ với hệ thức Φ( x ) = φ( x ) + 0, 6.2.4 √1 2π x − t2 e dt Bảng giá trị t1n−α phân phối Student (Phụ lục 4) Giả sử biến ngẫu nhiên X ∼ 𝒯 (n) Để tìm giá trị t1n−α cho P( X < t1n−α ) = − α ta dóng hàng "n" với cột "1 − α" tương ứng Chẳng hạn với n = 24, α = 0, 05 t24 1−0,05 = 1, 711 Nếu n ≥ 30, thay việc tìm t1n−α từ bảng phân phối Student ta tìm u1−α từ bảng hàm số Láp-la-xơ từ hệ thức φ(u1−α ) = 1−2α Ví dụ cho α = 0, 05, φ(u1−α ) = 0, 45, tra ngược bảng Láp-la-xơ ta u1−α = 1, 65 Ta tra bảng phân phối Student dòng +∞ cho trường hợp nhận u1−α = 1, 645 6.2 Hướng dẫn sử dụng bảng số 123 ... nghĩa thống kê xác suất 18 1.3.5 Nguyên lý xác suất nhỏ, nguyên lý xác suất lớn 19 Công thức cộng nhân xác suất 20 1.4.1 Xác suất. .. sinh viên học giỏi môn Xác suất thống kê Lời giải: Gọi A kiện "nhóm có sinh viên học giỏi môn Xác suất thống kê" ; Ai kiện "nhóm i có sinh viên học giỏi môn Xác suất thống kê" , i = 1, , Khi A... nhiên phép tính xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất, véc tơ ngẫu nhiên, lý thuyết ước lượng thống kê, lý thuyết định thống kê Chương Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất Các tượng