chuyên đề một số phương pháp cực trị hình học

Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan A x P M 1 B O N C Giáo viên hướng dẫn: ĐỖ KIM SƠN Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Trong hoạt động mình, người ln ln đối mặt với câu hỏi tìm giá trị cực đại cực tiểu đối tượng hình học độ dài, diện tích, bề mặt thể tích, … Ngay tự nhiên, hình có dạng đều, chúng mang tính chất đặc biệt, chứa ẩn tính chất “cực trị” mà hình khác khơng có tam giác đều, hình vng, lục giác hình trịn, khối cầu,… Ngày tốn cực trị quan tâm nghiên cứu Những phương pháp giải dạng tập hình học đặc trưng bắt nguồn từ lý thuyết toán học Ở ta, loại sách tổng kết lại tốn cực trị hình học cịn hiếm, khơng hệ thống phương pháp giải đưa cách nhìn học tập, nhiều tập mang tính chất liệt kê không làm bật ý tưởng đề toán phương pháp tiếp cận giải toán Thời gian qua, nhờ hướng dẫn giáo viên môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Một số phương pháp tìm cực trị hình học” Chuyên đề giới thiệu số phương pháp tìm cực trị thường gặp hình học phẳng hình học vectơ Trong phương pháp có ví dụ minh họa Và cuối phần tập tổng hợp với tập giải phương pháp khác Trong trình biên soạn, sưu tầm tập hợp phương pháp ví dụ, tập, chúng em cố gắng nhiều thiếu sót điều khó tránh Vì vậy, chúng em mong thầy bạn thông cảm Xin chân thành cảm ơn! Nhóm biên tập Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Tóm tắt kiến thức : 1) Cực trị hình học : Cho biểu thức f phụ thuộc điểm X biến thiên miền D Ta nói : 2) Phép tốn vector: Phép cộng vector: * Quy tắc điểm: * Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành Phép trừ vector: * Quy tắc: Tích vector với số: Cho số k ≠ Tích vector a với số k vector kí hiệu , hướng vector a k > ngược hướng vector a k < có độ dài Tích vô hướng hai vector : Cho khác vector Ta có : Một số kí hiệu dùng tài liệu : độ dài cạnh BC, CA, AB : độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C : độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C : bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp : bán kính đường trịn bàng tiếp góc A, B, C Điểm Lemoine: Một số điểm đặc biệt tam giác Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Định nghĩa: Trên cạnh BC, CA, AB (các đường lấy điểm tương ứng cho đường đối trung) Khi đường thẳng đồng quy điểm L gọi điểm Lemoine Tính chất: Cho , L điểm tam giác Gọi H, K, N theo thứ tự hình chiếu L BC, CA, AB Khi L điểm Lemoine L trọng tâm Điểm Toricelli: Cho có góc nhỏ Khi tồn điểm T có tính chất nhìn cạnh BC, CA, AB góc Điểm T gọi điểm Toricelli Điểm Gergone: Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB Khi đường thẳng đồng quy điểm J gọi điểm Gergone Điểm Naghen: Các đường tròn bàng tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB Khi đường thẳng đồng quy điểm N gọi điểm Naghen Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Phương pháp 1: Vận dụng quan hệ đường xiên đường vng góc Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Ví dụ 1.1: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE= BF= CG= DH Xác định vị trí điểm E, F, G, H cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải: HAE= EBF(c-g-c) HE= EF E A B F O H D G C Tương tự ta có: HE= EF= FG= GH nên tứ giác EFGH hình thoi HAE= EBF cịn suy Ta lại có Do đó: Như hình thoi EFGH hình vng Gọi O giao điểm AC EG Tứ giác AECG có AE= CG, AE// CG nên hình bình hành, suy O trung điểm AC EG, O tâm cà hai hình vng ABCD EFGH HOE vng cân: Chu vi EFGH= 4.HE= OE Do chu vi EFGH nhỏ OE nhỏ Kẻ Theo quan hệ đường vng góc đường xiên: OE  OK( độ dài OK không đổi) nên OE= OK E K Do OE= OK Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA Nhận xét phương pháp giải: cách giải có biến đổi tương đương sau: Chu vi EFGH nhỏ HE nhỏ OE nhỏ Quan hệ OE OK (OK không đổi) cho phép ta xác định vị trí điểm E để OE có độ dài nhỏ Ví dụ 1.2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua trung điểm M AB có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C, D Xáx định vị trí điểm C, D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Giải: Gọi K giao điểm CM DB MAC= MBK(g-c-g) MC= MK Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan DCK có đường cao DM trung tuyến nên tam giác cân, suy Kẻ Do M thuộc tia phân giác cùa góc D nên: MH= MB= a y D x H C A a M B a K Do CD AB= 2a MH= a nên: Khi Vậy Các điểm C, D xác định trê Ax, By cho AC= BD= a Ví dụ 1.3: Cho tam giác ABC có góc B góc tù, điểm D di chuyển cạnh BC Xác đ5nh vị trí điểm D cho tổng khoảng cách từ B từ C đến đường thẳng Ad có giá trị lớn Giải: Gọi S diện tích ABC Khi D di chuyển cạnh BC ta có: Kẻ Do BE + CF lớn ta có : nên BE+ CF = AD nhỏ Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan A E B H D C F Đường xiên AD nhỏ hình chiếu HD nhỏ Ta có HD  HB ( ) HD = HB DB Như D trùng B tổng khoảng cách từ B từ C đến AD có giá trị lớn Ví dụ 1.4: Cho hình bình hành ABCD Qua A vẽ đường thẳng d không cắt hình bình hành Gọi B’, C’, D’, hình chiếu vng góc điểm B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng BB’ + CC’ + DD’ có giá trị lớn Giải: Gọi O giao điểm AC BD O’ hình chiếu vng góc O d DD’B’B hình thang B' C' O' A B D' d O D C Mà O trung điểm BD ( ABCD hình bình hành) Do OO’ đường trung bình hình thang DD’B’B O trung điểm AC.( ABCD hình bình hành) Do OO’ đường trung bình cùa ACC’ nên OO’ OA Do BB’ + CC’ + DD’ = 4.OO’ 4.OA ( không đổi) Dấu “=” xảy O’  A d vng góc AC A Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Phương pháp 2: Quan hệ đoạn thẳng đường gấp khúc Ví dụ 2.1: Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí điểm: F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải: Gọi I, K, M theo thứ tự trung điểm EF, EG GH AEF vuông A có AI trung tuyến A AI= F B I E K G M D Tương tự MC= H C IK đường trung bình EFG IK= Tương tự KM= Do đó: chu vi EFGH= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có: AI + IK + KM + MC  AC (so sánh độ dài đoạn thẳng đường gấp khúc) Suy ra: chu vi EFGH  2AC ( không đổi) Chu vi EFGH nhỏ 2AC A, I, K , M, C thẳng hàng  Nhận xét phương pháp giải: cách vẽ trung điểm cạnh EF, GH, trung điểm đường chép EG, ta tính chu vi tứ giác EFGH hai lần độ dài đường gấp khúc AIKMC, độ dài đường gấp khúc nhỏ đường gấp khúc trở thành đoạn thẳng AC Ví dụ 2.2: Cho tam giác ABC nhọn Dựng tam giác có chu vi nhỏ nội tiếpABC, tức có ba đỉnh nằm ba cạnh tam giác Giải: Cách 1: Xét tam giác MNP nội tiếp ABC cách tùy ý ( M thuộc AB, N thuộc BC, P thuộc AC) Vẽ E, F cho AB đường trung trực NE, AC đường trung trực NF Chu vi MNP = NM + MP + PN = EM + MP + PF  EF Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan F A P M E N B C Ta cần xét EF nhỏ Ta có EAF tam giác cân có góc đỉnh khơng đổi nên cạnh đáy nhỏ cạnh bên nhỏ EF nhỏ AE nhò AN nhỏ Như chu vi tam giác MNP nhỏ N chân đường cao kẻ từ A, M P giao điểm cùa EF với AB, AC Ta có nhận xét N chân đường cao kẻ từ A M P chân hai đường cao lại tam giác CM: Xét HMP: AB đường phân giác góc EMH, AC đường phân giác ngồi góc FPH Ta có AB, AC gặp A nên HA tia phân giác góc MHP Vì AH HC nên HC đường phân giác đỉnh H Theo AC đường phân giàc đỉnh P, HC gặp AC C nên MC tia phân giác góc đỉnh M F A P M E B H C MB MC tia phân giác góc kề bù nên MB MC Tương tự PC PB Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ M, N, P chân ba đường cao tam giác ABC Do tam giác ABC nhọn nên M, N, P thuộc biên tam giác Cách 2: Lấy M, N, P tùy ý AB, BC, CA nối tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với M, N, P Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác, S diện tích tam giác Khi đó: 10 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan DE ≥ AB=2R DEmin = 2R DE// AB Lúc OM vng góc AB Bài 20: Cho tam giác có cạnh Lấy D BC Gọi r1, r2 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABD tam giác ADC Xác định vị trí D để tích r1.r2 lớn Tính giá trị lớn Hướng dẫn Đặt BD = x CD = 1-x Tam giác DEA vuông E Max D trung điểm BC Bài 21: Cho đường thẳng d Hướng dẫn: Gọi G trọng tâm Kẻ GH d Do DM = 3DG Với điểm D thuộc d dựng điểm M cho Tìm độ dài nhỏ G cố định Dấu “=” xảy Vậy minDM = 3GH Bài 22: Cho số thực x, y thoả xy = cho hai vectơ , giá trị nhỏ hợp với góc Tìm Hướng dẫn: Sử dụng Bài 23: Cho đường thẳng d tứ giác ABCD Tìm d điểm M cho đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn: M chân đường vng góc hạ từ trọng tâm G xuống d Bài 24: Cho điểm A, B, C đường thẳng d Tìm điểm M thuộc d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: T = Hướng dẫn: (với I, K trung điểm AB, BC) Gọi D điễm thỏa D điểm cố định Do T đạt M hình chiếu D d Bài 25: Cho đều, cạnh a 40 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan a) Cho M điểm đường trịn ngoại tiếp b) Cho đường thẳng d, tìm điểm N d cho Hướng dẫn: Gọi G trọng tâm thì: a) =2 b) N hình chiếu G d , tính Bài 26: Trong tất tam giác nội tiếp đường tròn , tìm tam giác để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: a) b) c) theo a nhỏ Hướng dẫn: a) Áp dụng công thức đường trung tuyến b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki c) Khai triển bình phương vơ hướng: Bài 27 Chứng minh với ta có bất đẳng thức: Hướng dẫn: Gọi O, G tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm OA.GA + OB.GB + OC.GC Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Bài 28: Cho M điểm Hướng dẫn: = abc M tâm đường tròn ngoại tiếp Bài 29: Cho có Tìm giá trị nhỏ biểu thức Tìm giá trị nhỏ biểu thức Hướng dẫn: 41 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Bình phương tổng Bài 30: Cho ta có suy điều phải chứng minh ngoại tiếp đường tròn tâm I Tìm giá trị lớn biểu thức Hướng dẫn: Bình phương vơ hướng Max T = suy Bài 31: Cho = độ dài a Trên hai cạnh Ox, Oy lấy điểm A, B cho OA + OB = a Tìm độ dài ngắn đoạn AB Hướng dẫn: Dấu “=” xảy OA = OB = Vậy AB = Bài 32: Từ điểm I cạnh BC dựng cho MN có độ dài ngắn Hướng dẫn: Đặt , Xác định vị trí điểm I Ta có nên (ABCD hình bình hành) Tìm điểm K cạnh AD để Vậy MN ngắn BK ngắn 42 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Từ ta suy cách dựng điểm I Bài 33: Cho tứ giác lồi ABCD, M điểm tùy ý cạnh CD Gọi tam giác AMB, ACB, ADB Cmr: Hướng dẫn: chu vi M thuộc cạnh CD nên Do (Dấu “=” khơng xảy không phương) Tương tự với BM Suy Như AM + BM < suy AM + BM + AB < (đpcm) Bài 34: Cho M điểm thuộc miền Gọi H, I, K theo thứ tự hình chiếu đạt giá trị nhỏ M BC, CA, AB Tìm vị trí M để Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki: Dấu “=” xảy M điểm Lemoine Bài 35: Cho Hướng dẫn: Ta có điểm M tùy ý Tìm giá trị nhỏ tồng nên 43 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Chú ý: ta có: Dấu “=” xảy M điểm Lemoine Bài 36: Cho Các điểm M, N, P di động đường thẳng BC, CA, AB Xác định vị trí điểm M, N, P cho đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn: Gọi G trọng tâm ; H, I, K theo thứ tự hình chiếu G BC, CA, AB Ta có Áp dụng 14 ta Dấu “=” xảy Vậy ( G điểm Lemoine ) nhỏ M, N, P hình chiếu điểm Lemoine đường thẳng BC, CA, AB Bài 37: Trong tất tam giác nội tiếp đường trịn , tìm tam giác để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn: Gọi tam giác có độ dài cạnh giác Giả sử AM, BE, CF đường trung tuyến trung điểm CD MI = BE AI = CF Do bán kính đường ngoại tiếp tam Dựng hình bình hành ABCD, gọi I và: Khi Mà nên Dấu “=” xảy Bài 38: Cho đoạn thẳng AB, đường thẳng d số thực điểm M thuộc d lập tổng cho Với Xác định vị trí điểm M để T đạt giá trị nhỏ 44 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Hướng dẫn: Gọi I điểm xác định Do T nhỏ MI nhỏ M hình chiếu I d Bài 39: Cho trọng tâm G nội tiếp đường tròn tròn đường kính OG Giả sử AM, BM, CM cắt G ọi M điểm thuộc đường theo thứ tự điểm Cmr: Hướng dẫn: Với điểm M ta có: Trong hệ thức cho thu Do bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Đúng M thuộc đường trịn đường kính OG Vậy Bài 40: Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng: a) b) Hướng dẫn: Gọi I, K trung điểm AC, BD Ta có a) Vì nên b) Theo câu a: 45 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Bài 41: Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nôi tiếp rằng: Chứng minh Hướng dẫn: Sử dụng suy điều phải chứng minh Bài 42: Cho M thuộc miền Hướng dẫn: Gọi H trực tâm Đáp số T nhọn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 43: Cho tam giác nhọn ABC với Q tâm đường trịn Euler Đường trịn ngoại tiếp cắt AQ, BQ, CQ M, N, P Chứng minh rằng: Hưóng dẫn: Gọi H, G trực tâm trọng tâm Suy Ta có O, H, Q, G thẳng hàng Tương tự suy ra: Bài 44: Gọi O, I , G, H, L, N, J tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, trọng tâm, trực tâm, điểm Lemoine, điểm Naghen, điểm Gergone sau: 1) 2) , chứng minh bất đẳng thức 46 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) Hưóng dẫn: Biễu diễn vectơ phương vô hướng ta thu công thức sau: theo vectơ bình 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Bài 45: Cho hình vng ABCD có cạnh 12 cm, E trung điểm CD, điểm F thuộc cạnh BC cho CF = cm Các điểm G,H theo thứ tư di chuyển AB AD cho GH// EF Xác định vị trí điểm G cho tứ giác EFGH có diện tích lớn Tính diện tích lớn Hướng dẫn: Đặt SEFGH = S, BG = x AGH đồng dạng CEF  47 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan   DH = Áp dụng : S = SABCD – SGAH - SGBF – SCEF - S DEH Suy giá trị cần tìm Bài 46: Cho ABC, M điểm nằm tam giác, qua M dựng dường thẳng song song với cạnh tam giác tạo thành tam giác nhỏ có diện tích s1, s2, s3 Gọi S diện tích tam giác ABC Tìm vị trí M để s1 + s2 + s3 nhỏ Hướng dẫn: Đặt S = SABC, S1 = SMDK , S2 = SMGE, S3 = SMFH X = DM, y = ME, z =FH Áp dụng Tỉ số diện tích tam giác đồng dạng Suy : Áp dụng BĐT BCS : x2 + y2 + z2 ≥  s1 + s2 + s3 ≥ Bài 47: Cho hình vng ABCD Dựng đừong thẳng d qua C cắt tia AB, AD hai điểm phan biệt M, N cho MN có độ dài nhỏ Hướng dẫn : Gọi a cạnh hình vng BM = x, DN = y Ta có : BC // AN   xy = a2 MN2 = ( a+x)2 + ( a+y)2 =2a( x + y ) + ( x + y )2 MN2 nhỏ  x +y nhỏ  Vị trí d cần tìm Bài 48: Cho tam giác ABC vng tai A Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM  BC, IN  AC, IK AB Tìm vị trí I cho tổng IM2 + IN2 + IK2 nhỏ Hướng dẫn Kẻ AH  BC, IE AH Áp dụng Pitago: IK2 + IN = AI2 ≥ AE2 Đặt AE = x , EH= y Áp dụng BĐT Cauchy IM2 + IK2 +IN ≥ 48 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Bài 49: Cho hình vng ABCD cạnh a, cạnh AB AD lần lựơt lấy điểm di động E F cho: AE + EF + FA=2a.Tìm vị trí E, F cho diện tích tam giác CEF lớn Hướng dẫn: Dấu = Bài 50: Cho đường trịn (O;R),đường kính AB cố định C điểm cố định nằm A O, M di động đường trịn (O;R).Tìm vị trí M (O;R) tương ứng lúc độ dài Hướng dẫn: Mà CB không đổi Dấu = Bài 51:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, bên ngồi tam giác vẽ hai nửa đường trịn có đường kính AB, AC Một đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự M, N (khác A) Giả sử tam giác ABC vuông A, xác định hai điểm M, N cho chu vi tứ giác BCMN lớn Hướng dẫn: Dấu = M, Nlần lượt trung điểm cung AB, AC Bài 52:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, từ điểm I thuộc miền tam giác vẽ đoạn IH, IK, IL vng góc với BC, CA, AB Tìm vị trí I cho nhỏ Hướng dẫn: không đổi Dấu = I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 49 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Bài 53: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O;R) có hai đường chéo AC, BD vg goc I (khác O) Tìm vị trí ABCD cho diện tích tam giác ICD lớn Hướng dẫn: OI cắt (O;r) M’ Mà IM’ ,OM’ không đổi Dấu = IC, ID tạo với IO góc Bài 54: Chi hai điểm A, b cố định điểm M di động cho MAB tam giác MAB la tam giác có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB Tìm giá trị lớn tích KH.KM Hướng dẫn: Tam giác KAH đồng dạng tam giác KMB KH.KM=AK.KB Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương Do (khơng đổi) Dấu = AK=KB Bài 55: Cho tam giác ABC Xác dịnh vị trí điểm M nằm tam giác ABC cho AM.BC + BM.CA + CM.AB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn: 1)Tam giác ABC nhọn Vẽ AM cắt BC I Ta có 50 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Chứng minh tương tự,suy Dấu = xảy trực tâm 2) vng Khơng tổng qt giả sử góc A Tương tự câu 3) tù Không tổng quát giả sử góc A Nếu M A ta có = 2AB.CA Nếu M A vẽ Ta có M nằm Do > MA B’C + B’M.CA + CM.AB’ Áp dụng câu ta > 2AB.AC Vậy M A AM.BC + BM.CA + CM.AB đạt giá trị nhỏ Bài 56: Cho điểm M nằm góc nhọn xOy Hai điểm A, B thay đổi Ox, Oy cho aOA = bOB Tìm vị trí A,B cho aMA + bMB đạt giá trị nhỏ nhất.(với a,b hai số cho trước, a,b >0) Hướng dẫn: Áp dụng bđt Ptolemy cho tứ giác≥OAMB, ta có OA.MB + OB.MA ≥ OM.AB  3OB.Mb + 2OB.MA ≥ 2OM.AB  Min 2MA + 3MB Bài 57: Một lục giác có độ dài cạnh CM lục giác có đường chéo nhỏ 2.(Đường chéo đường chéo chia lục giác thành hai tứ giác) Hướng dẫn: Xét lục giác ABCDEF Xét tam giác ACE Khơng tính tổng qt, giả sử CE cạnh lớn tam giác Áp dụng bđt Ptolemy cho tứ giác ACDE Từ suy AD ≤ Bài 58: Trong tam giác ABC, CMR: a) a2 + b2 +c2 ≤ 9R2 b) R2 + a2 + b2 ≥ c2 Hướng dẫn: a) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , ta có : ( Khai triển ta được: = 2R2 – c2  9R2 – (a2 +b2 + c2) ≥ dpcm b)Khai triển (OA + OB – OC)2 ≥ + + )2 ≥ Bài 59: Tứ diện ABCD, trọng tâm G, bán kính mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp R, r, độ dài cạnh a, b, c, d, e, f Chứng tỏ: a) a2 + b2 + c2 +d2 +e2 + f2 16R2 b) GA + GB + GC + GD Hướng dẫn: 51 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan a) Khai triển ( b) Ta có GA.R Suy ra: (GA + GB + GC + GD)R (GA + GB + GC + GD)R )2 GA2+ GB2 + GC2+ GD2 Mà: GA2+GB2+GC2+GD2 = Từ suy đpcm Trong q trình biên sọan chuyên đề này, chúng em tham khảo trích dẫm từ nhiều nguồn sách, báo tài liệu khác _”Chuyên đề bất đẳng thức cực trị hình học phẳng” Nguyễn Đức Tấn _”23 chuyên đề 1001 toán “ _”Nâng cao phát triển tóan” Vũ Hữu Bình _ Báo “ Tóan học tuổi trẻ” Hội Tóan học Việt Nam phát hành _ “ Lời giải mơn tóan đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong TPHCM từ năm 1989 đến 2001” Nguyễn Đức Tấn _Một số tài liệu từ mạng Cảm ơn tác giả sách, báo nói có sách hay giúp chúng em hịan thành tốt chuyên đề Chân thành cảm ơn thầy bạn dành thời gian xem chuyên đề Nhóm biên tập hân hạnh đón nhận đóng góp từ thầy bạn Nhóm biên tập 52 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Phạm Ngọc Xuân Đào Nguyễn Thị Mỹ Huyền Võ Thị Diễm Phí Lê Thị Thu Thảo Nguyễn Hòang Anh Thư Trương Thanh Thư Lời mở đầu Trang Chương 1: Cực trị hình học sơ cấp Phương pháp 1:Vận dụng quan hệ đừơng xiên đường vng góc Phương pháp 2: Vận dụng quan hệ đoạn thẳng đường gấp khúc Phương pháp 3: Áp dụng BĐT đường tròn .15 Phương pháp 4: Áp dụng BĐT đại số 18 Phương pháp 5: Ứng dụng diện tích 21 Chương 2: Cực trị hình học Vectơ 24 Phương pháp 1: Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vectơ .25 53 Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan Phương pháp 2: Tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vơ hướng vectơ 28 Phương pháp 3:Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng hai vectơ .30 Chương 3: Bài tập áp dụng 34 54 ... em xin giới thiệu chuyên đề ? ?Một số phương pháp tìm cực trị hình học? ?? Chuyên đề giới thiệu số phương pháp tìm cực trị thường gặp hình học phẳng hình học vectơ Trong phương pháp có ví dụ minh... khơng có tam giác đều, hình vng, lục giác hình trịn, khối cầu,… Ngày tốn cực trị quan tâm nghiên cứu Những phương pháp giải dạng tập hình học đặc trưng bắt nguồn từ lý thuyết toán học Ở ta, loại... sách tổng kết lại toán cực trị hình học cịn hiếm, khơng hệ thống phương pháp giải đưa cách nhìn học tập, nhiều tập mang tính chất liệt kê không làm bật ý tưởng đề toán phương pháp tiếp cận giải toán