Tài liệu PTVP HK2 0506 Web pptx

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ---PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SV CHƯƠNG 5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG • TS... KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP EULER ---Bảng kết quả: Tính gần đúng tích phân với công thức h

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SV

CHƯƠNG 5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006)

NỘI DUNG

-A- BÀI TOÁN CÔSI (GIÁ TRỊ ĐẦU)

B- BÀI TOÁN BIÊN

1 – PHƯƠNG PHÁP EULER

1- PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

2 – EULER CẢI TIẾN + RUNGE – KUTTA

3 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO

BÀI TOÁN CÔSI

-Tìm hàm y = y(t) thoả phương trình vi phân thường & điều kiện đầu

Giải xấp xỉ: Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau, độ dài h

= (b – a)/n, (n + 1) điểm chia t 0 = a < t 1 = a + h < … < t n = b

),,(

'

a y

b t

a y

t f y

MINH HOẠ Ý TƯỞNG

-Bài toán Côsi:

& công thức xấp xỉ đạo hàm 2 điểm:

0(

0,25

5

y

t t

t y

y

Từ đó xây dựng đa thức nội suy Lagrange (spline) y gđ và vẽ đồ thị so sánh với nghiệm chính xác g(t) =

hãy tính xấp xỉ nghiệm y tại t = 0.5, t = 1.

Với bước chia h = 0.5

h

x f h

x

f x

.0

.442

ygđ.Lagrange  2  

CÁC SƠ ĐỒ GIẢI XẤP XỈ PTRÌNH VPHÂN THƯỜNG

,(

'

a

y

b a t

y t f

y

Chia [a, b]  n đoạn

ih a

t n

a

b

Tính w i , i = 0  n

Sơ đồ Euler (i = 0  n – 1)

S/đ Euler cải tiến (i = 0  n – 1)

2)(

),

(),

,(

2 1

1

1 2

1 0

k k

w w

k w

h t

hf k

w t hf k

w w

i i

i i

i i

sửGiả



),(

1

0

i i i

i

i

w t hf w

w

w w

sửGiả

2(

),

(),

2,

2(

)2,

2(

),,

(

4 3

2 1

1

3 1

4 2

3

1 2

1

k k

k k

w w

k w

t hf k

k w

h t

hf k

k w

h t

hf k

w t hf k

i i

i i

i i

i i

i i

Btoán Côsi: Tìm y(t)

VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP EULER

-Sơ đồ Euler:

Bằng p/pháp Euler, giải bài toán Côsi với n = 3 đoạn chia:

So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm g(t) = (t+1) 2 – 0.5e t

Từ đó tính xấp xỉ tích phân bằng c/t hình thang:

0(

10

,1

y

t t

y y





1 0

)

( dt t y

I

Giải: f(t,y) = y – t 2 + 1

5.0,

0

2 1

0

i i

i i

i i

w w

KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP EULER

-Bảng kết quả:

Tính gần đúng tích phân với công thức hình thang

2

22

1



VÍ DỤ EULER CẢI TIẾN

-Tính y(1.) của bt Côsi sau bằng

SĐ Euler cải tiến với h = 0.5: 

0(

10

,1

y

t t

y y

1)

,

(t y y  t2  h 

f

5.0,

(,

),

1 1

2 1

k

k w

w k

w h t

hf k

w t

VÍ DUÏ RUNGE – KUTTA

0(

1

y

t y y

),

(,

)2,

2(

)2

,2

(,

),

(

4 3

2

1 1

3 4

2 3

1 2

1

k k

k

k w

w

k w

h t

hf k

k w

h t

hf k

k w

h t

hf k

w t

hf k

i i

i i

i i

i i

i i

Runge –

Kutta 4:

w i  w i+1

75

4251302

6396027

2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

a u

u t

f dt

du

b t

a u

u t

f dt

du

),,

,(

),,

,(

2 1 2

2

2 1 1

1 1

)(

a

u

đầukiện

0

1  , w 

MINH HOẠ Ý TƯỞNG

,4

24

'

10

,1

22

3'

2

2

2 2

1 2

1

2

2 2

1 1

u e

t t

u u

u

u e

t u

u

u

t t

Với bước chia h = 0.5, tính xấp xỉ nghiệm u 1 , u 2 tại t = 0.5; 1

So sánh giá trị tính được với giá trị nghiệm chính xác:

 t e t e t e t u  t e t e t t e t

3

23

1

;3

13

Điểm chia: t0 0 t1 0.5 t2 1.

 

 0 1

10

.0

SƠ ĐỒ EULER

a u

u t

f dt

du

b t

a u

u t

f dt

du

),,

,(

),,

,(

2 1 2

2

2 1 1

1 1

)(

a

u

đầukiện

Điều

i

i i

i

i i

,4

24

'

10

,1

22

3'

2 ,

,

2 2

2 1

2

1 ,

,

2

2 2

1 1

2 1 2

2 1 1

u e

t t

u u

u

u e

t u

u u

u u t f

t

u u t f

1

0 2

0 1 2

.01

1,1,05

.01

2

1 2

1

1 1

f w

f w

ÁP DỤNG : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

"



 y a a

y

a t

y y t f y

Đưa về bài toán Côsi cấp 1: Đổi biến u 1 (t)= y(t), u 2 (t)=y’(t)

2

2 1 1

2 1

,,'

,,''

'

,,

'

u u t f y

y t f y

u

u u t f u

1 1



a y a

u

a y a

1

0 1





w w

2

0 2

0 1 0 2

0 2

1 2

2 1

0 2

0 1 0 1

0 1

1 1

,,,

,

,,

w t

hf w

w

h w

w t

hf w

w

VÍ DỤ

-Với h = 0.1, tính xấp xỉ giá trị y(0.2), y’(0.2) của nghiệm

bài toán sau bằng phương pháp Euler:

0(',4.0)

0(

0,

sin2

'2

y y

t t e

y y

2 2

1

2 2

2 1

2 1 1

2 1

,,sin

22

sin'

22

'

6.00

,4.00

&

,,

'

u u t f t

e u

u t

e y y

u

u u

u u t f u

u

t t

4

.06

.0,

,

6.0,4.0,01

.04.0,

,

2

0 2

0 1 0 2

0 2

1 2

1

0 2

0 1 0 1

0 1

1 1

f w

w t

hf w

w

f w

w t

hf w

w

BÀI TOÁN BIÊN

y

b x

a y

y x f

y

,)

(

),',,(''

Hay gặp: Bài toán biên tuyến tính cấp 2

y

b x

a x

r y x q y x p

y

,

),()

('

)(

"

10

,1

2'1

y y

x e

x y

y x

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

y

b x

a x r y x q y x p

y

,

*),

()

('

)(

2 1

2)

(

"

h

x y x

y x

y x

y x

y x

3 2

2)

(

"

h

x y x

y x

y x

CÔNG THỨC LẮP GHÉP

n

q h p

h

p h

p

h q

h p

h

p

h q

2 2

1 1

2

2 2

1 0

0

2 1

0 0

2

1

2 2

1

0

0 2

1 2

n

p

h r

h

r h

r h

r h

p

h r

h

b

2 1

2 1

2

1 2

3 2 2 2

1 1

LẬP BẢNG LẮP GHÉP

y

b x

a x r y x q y x p

y

,

*),

()

('

)(

"

 Lập bảng cột x k  p k = p(x k ), q k = q(x k ), r k = r(x k )  a kk (đ/chéo chính), a k,k+1 (chéo trên), a k-1,k (dưới), b k  Nghiệm y k

 Đ/chéo a kk : k = 1  n; a k,k+1 : k = 1  (n – 1), a k-1,k : k = 2  n

2)

0(

32

2'3

"

y y

x y

y y

h = 0.2  n = 5  6 điểm chia  Hệ phương trình 4 ẩn

2

0

4

0

6

0

8.0

3

3

3

3



2222

4

38

32

46.4

3

13

13.1

7

07

07.0

264

1

152

0168

0116

1



Ma trận cấp 4: Chéo chính a kk – 4 phần tử; Chéo trên a k, k+1 : 3

08.2



08.2



08.2



08.2

168

0

152

0

264

1

08.2

3.100

7.00

0

08.27

.00

3.108

.27

.0

03

.108

.2

b A

1

168

0

273

0

608

0

08.2

3.100

7.00

0

08.27

.00

3.1642

.10

0625

.01

0

593

0

636

0

006

1

y